GTI ÜBUNG 8 NELSON/PETRICK, QUINE/MCCLUSKEY, NAND

Transkript

1 1 GTI ÜBUNG 8 NELSON/PETRICK, QUINE/MCCLUSKEY, NAND

2 Aufgabe 1 Nelson/Petrick 2 Beschreibung Gegeben sei die folgende Funktionstabelle Achtung: die Codeworte sind einschrittig codiert, d.h. nicht aufsteigend

3 Aufgabe 1 Nelson/Petrick 3 Dezimal Oktal x 4 x 3 x 2 x 1 y 0 (x) y 1 (X)

4 Aufgabe 1 Nelson/Petrick 4 Beschreibung Ermitteln Sie ein Konjunktive Minimalform (KMF) für die Funktion y 0 mit Hilfe eines Symmetriediagramms. Hinweis: das Zeichnen eines SD sollte aus der letzten Übung bekannt sein hier benötigen wir eine Nullstellenüberdeckung

5 Aufgabe 1 Nelson/Petrick 5 Dezimal Oktal x 4 x 3 x 2 x 1 y 0 (x) Wir ermitteln zuerst ein SD für die Funktion y 0. x 2 x x x4

6 Aufgabe 1 Nelson/Petrick 6 Dann suchen wir alle Blöcke einer Nullstellenüberdeckung x 1 Primimplikate: (x 4 + x 3 + x 2 ), (x 4 + x 2 + x 1 ) Achtung: Variablen negieren und verodern! Dies ist genau das Gegenteil zu der DNF-Bestimmung. x x4 Tipp: wie DNF auslesen und dann negieren (De Morgan) x 3 z.b. x 2 x 3 x 4 x 2 x 3 x 4 = x 2 + x 3 + x 4 Alle Primimplikate sind Kerne, also lautet die KMF: y 0 = (x 4 + x 3 + x 2 ) (x 4 + x 2 + x 1 )

7 Aufgabe 1 Nelson/Petrick 7 Ermitteln Sie alle Primimplikanten für die Funktion y 0 mit Hilfe des Nelson Verfahrens. Verwenden Sie dabei die Primimplikate aus Teilaufgabe a, Hinweis: Ausdistribuieren der Primimplikate

8 Aufgabe 1 Nelson/Petrick 8 Das Nelson Verfahren Ziel: algebraische Bestimmung aller Primimplikaten zur Bildung einer DMF Vorgehen: o o o o Behandlung aller Freistellen (Don t cares) als Einsstellen Bestimmung einer konjunktiven Form mittels Nullblocküberdeckung Umformen auf eine disjunktive Form mittels Distribution und Absorption Streichen aller Terme, die nur Freistelle (Don t cares) überdecken

9 Aufgabe 1 Nelson/Petrick 9 Wir wenden das Nelson-Verfahren an. Vorgehen: o Behandlung aller Freistellen (Don t cares) als Einsstellen o o Bestimmung einer konjunktiven Form mittels Nullblocküberdeckung Umformen auf eine disjunktive Form mittels Distribution und Absorption y 0 = (x 4 + x 3 + x 2 ) (x 4 + x 2 + x 1 ) Distributivgesetz = x 4 + x 2 + x 4 x 3 + x 4 x 2 + x 4 x 1 + x 3 x 2 + x 3 x 1 + x 2 x 1 Absorption = x 4 + x 2 + x 3 x 1 o Streichen aller Terme, die nur Freistelle (Don t cares) überdecken Keine Don t Cares vorhanden -> Lösung entspricht der Lösung des dritten Schritts

10 Aufgabe 1 Nelson/Petrick 10 Lösung y 0 = x 4 + x 2 + x 3 x 1 Überprüfen im Symmetriediagramm: x 1 x x4 x 3

11 Aufgabe 1 Nelson/Petrick 11 Bestimmen Sie eine Disjunktive Minimalform (DMF) für die Funktion y 1 mit Hilfe des Nelson/Petrick Verfahrens Hinweis: Zuerst Nelson anwenden, dann Petrick (letzte Übung)

12 Aufgabe 1 Nelson/Petrick 12 Wir wenden das Nelson-Verfahren an. Vorgehen: o Behandlung aller Freistellen (Don t cares) als Einsstellen o o o Bestimmung einer konjunktiven Form mittels Nullblocküberdeckung Umformen auf eine disjunktive Form mittels Distribution und Absorption Streichen aller Terme, die nur Freistelle (Don t cares) überdecken

13 Aufgabe 1 Nelson/Petrick 13 Dezimal Oktal x 4 x 3 x 2 x 1 y 1 (X) Wir starten mit einer KNF, d.h. Verundung aller Nullterme y 1 = (x 4 + x 3 + x 2 + x 1 ) (x 4 + x 3 + x 2 + x 1 ) (x 4 + x 3 + x 2 + x 1 ) (x 4 + x 3 + x 2 + x 1 ) ( x 4 + x 3 + x 2 + x 1 ) Achtung: umgekehrte Negation und Oder

14 Aufgabe 1 Nelson/Petrick 14 Wir wenden das Nelson-Verfahren an. Vorgehen: o Behandlung aller Freistellen (Don t cares) als Einsstellen o o o Bestimmung einer konjunktiven Form mittels Nullblocküberdeckung Umformen auf eine disjunktive Form mittels Distribution und Absorption Streichen aller Terme, die nur Freistelle (Don t cares) überdecken

15 Aufgabe 1 Nelson/Petrick 15 Wir starten mit einer KNF, d.h. Verundung aller Nullterme y 1 = (x 4 + x 3 + x 2 + x 1 ) (x 4 + x 3 + x 2 + x 1 ) (x 4 + x 3 + x 2 + x 1 ) (x 4 + x 3 + x 2 + x 1 ) ( x 4 + x 3 + x 2 + x 1 ) Distributivgesetz = (x 4 + x 3 + x 2 ) (x 4 + x 3 + x 1 ) ( x 4 + x 3 + x 2 + x 1 ) Distributivgesetz + Abs. = (x 4 + x 3 + x 2 ) ( x 3 + x 4 x 2 + x 4 x 1 + x 4 x 1 + x 2 x 1 ) Distributivgesetz + Abs. = x 4 x 3 + x 4 x 2 + x 4 x 1 + x 4 x 3 x 1 + x 3 x 2 + x 2 x 1

16 Aufgabe 1 Nelson/Petrick 16 Wir wenden das Nelson-Verfahren an. Vorgehen: o Behandlung aller Freistellen (Don t cares) als Einsstellen o o o Bestimmung einer konjunktiven Form mittels Nullblocküberdeckung Umformen auf eine disjunktive Form mittels Distribution und Absorption Streichen aller Terme, die nur Freistelle (Don t cares) überdecken Da keine Don t Cares enthalten! Also auf zum Petrick Verfahren.

17 Aufgabe 1 Nelson/Petrick 17 Bilden einer Überdeckungstabelle y 1 = x 4 x 3 + x 4 x 2 + x 4 x 1 + x 4 x 3 x 1 + x 3 x 2 + x 2 x 1 Implikant p i c k x 4 x 3 X X X X A 2 x 4 x 2 X X X X B 2 x 4 x 1 X X X X C 2 x 4 x 3 x 1 X X D 3 x 3 x 2 X X X X E 2 x 2 x 1 X X X X F 2

18 Aufgabe 1 Nelson/Petrick 18 Bilden des Petrick Ausdruckes Implikant p i c k x 4 x 3 X X X X A 2 x 4 x 2 X X X X B 2 x 4 x 1 X X X X C 2 x 4 x 3 x 1 X X D 3 x 3 x 2 X X X X E 2 x 2 x 1 X X X X F 2 Dazu: Disjunktion der spaltenweise konjugierten Implikanten PA = E (E + F) D (D + F) (A + C) A (A + B + C + E) (A + B + E + F) C (B + C) (B + F) = 1

19 Aufgabe 1 Nelson/Petrick 19 Vereinfachen des Petrick Ausdruckes Zuerst Anwendung der Absorption, dann Anwendung des Distributivgesetzes: PA = E (E + F) D (D + F) (A + C) A (A + B + C + E) (A + B + E + F) C (B + C) (B + F) = E D A C (B + F) = ABCDE + ACDEF Beide Ausdrücke kosten gleich viel (Primäre Kosten: 11, Sekundäre Kosten: 5) ABCDE: x 4 x 3 + x 4 x 2 + x 4 x 1 + x 4 x 3 x 1 + x 3 x 2 ACDEF: x 4 x 3 + x 4 x 1 + x 2 x 1 + x 4 x 3 x 1 + x 3 x 2

20 Aufgabe 2 Quine/ McCluskey 20 Beschreibung Optimieren Sie mit Hilfe des Verfahrens von Quine und McCluskey die Schaltfunktion, die den Hexcode (D C B A) für den Leuchtbalken a einer Siebensegmentanzeige umcodiert.

21 Aufgabe 2 Quine/ McCluskey 21 Hex D C B A a b c d e f g A B C D E F f e a g d b c Seven_segment_display-animated.gif

22 Aufgabe 2 Quine/ McCluskey 22 Verfahren im Vergleich Bestimmen aller Primimplikanten: o o o Symmetriediagramme Nelson Verfahren Quine/McCluskey Verfahren Kostenminimale Auswahl der Primimplikanten: o o o Symmetriediagramme Überdeckungstabelle Petrick Verfahren

23 Aufgabe 2 Quine/ McCluskey 23 Quine - McCluskey Verfahren: 1) Alle Don t Cares werden als 1 angenommen und berücksichtigt 2) Bilden einer disjunktiven Normalform (Sinn: aller Terme haben gleich viele Literale, landen ergo in derselben Klasse) 3) Einteilung der Implikanten zu Klassen Q i, j (i: Anzahl Literale, j: Anzahl negierter Literale). Beispiel: Q 4, 0 = abcd, abde, 4) Reduktion zweier benachbarter Klassen Q i, j und Q i, j-1 mit Hilfe des Distributivgesetzes. (Reduktionsregel: xy + x y = x) 5) Wird auf tieferen Ebenen (kleineres i) wiederholt, bis keine Verkürzung möglich 6) Alle beim Zusammenfassen unberücksichtigten Terme, die nicht nur Don t Cares überdecken, sind die gesuchten Primimplikanten

25 Aufgabe 2 Quine/ McCluskey 25 Hex D C B A a A B C D E F Aufstellen der DNF: Prinzip: DNF(a) = Auslesen aller Einsstellen A B C D + AB C D + AB C D + A BC D + ABC D + ABC D + + AB CD + ABCD + ABCD A B CD + A B CD

27 Aufgabe 2 Quine/ McCluskey 27 Bestimmen der Klassen: DNF(a) = A B C D + AB C D + AB C D + A BC D + ABC D + ABC D + A B CD + A B CD + AB CD + ABCD + ABCD Q 4, 4 : {( A B C D)} Q 4, 3 : {( AB C D), ( A B CD)} Q 4, 2 : { AB C D, A BC D, Q 4, 1 : { ABC D, ( ABCD)} Q 4, 0 : {(ABCD)} Runde Klammern nicht notwendig! ABC D, A B CD, ( AB CD)}

29 Aufgabe 2 Quine/ McCluskey 29 Reduktion mit Hilfe des Distributivgesetzes: Q 4, 4 : {( A B C D)} Q 4, 3 : {( AB C D), ( A B CD)} Q 3, 3 = {( A C D), ( A B C)} Q 4, 3 : {( AB C D), ( A B CD)} Q 4, 2 : { AB C D, A BC D, ABC D, A B CD, ( AB CD)} Q 3, 2 = {(B C D), ( AB D), ( AB C), ( B CD), ( A CD)} Q 4, 2 : { AB C D, A BC D, Q 4, 1 : { ABC D, ( ABCD)} ABC D, A B CD, ( AB CD)} Q 3, 1 = {(AB D), (AC D), (BC D), ( ABC), ( ABD)} Q 4, 1 : { ABC D, ( ABCD)} Q 4, 0 : {(ABCD)} Q 3, 0 = {(ABC), (BCD)}

31 Aufgabe 2 Quine/ McCluskey 31 Reduktion mit Hilfe des Distributivgesetzes: Q 3, 3 : {( A C D), ( A B C)} Q 3, 2 : {(B C D), ( AB D), ( AB C),( B CD), ( A CD)} Q 2, 2 = {( A C), ( A C)} = {( A C)} Q 3, 2 : Q 3, 1 : {(B C D), ( AB D), ( AB C),( B CD), ( A CD)} {(AB D), (AC D), (BC D),( ABC), ( ABD)} Q 2, 1 = {(B D), (B D), ( AB)} = {(B D), ( AB)} Q 3, 1 : Q 3, 0 : {(AB D), (AC D), (BC D),( ABC), ( ABD)} {(ABC), (BCD)} Q 2, 0 = {(BC), (BC)} = {(BC)} Wir sind fertig, da die Klassen Q 2 sich nicht weiter reduzieren lassen.

33 Aufgabe 2 Quine/ McCluskey 33 Klasse Q 4 : keine unberücksichtigten Terme Q 4, 4 : {( A B C D)} Q 4, 3 : {( AB C D), ( A B CD)} Q 3, 3 = {( A C D), ( A B C)} Q 4, 3 : {( AB C D), ( A B CD)} Q 4, 2 : { AB C D, A BC D, ABC D, A B CD, ( AB CD)} Q 3, 2 = {(B C D), ( AB D), ( AB C), ( B CD), ( A CD)} Q 4, 2 : { AB C D, A BC D, Q 4, 1 : { ABC D, ( ABCD)} ABC D, A B CD, ( AB CD)} Q 3, 1 = {(AB D), (AC D), (BC D), ( ABC), ( ABD)} Q 4, 1 : { ABC D, ( ABCD)} Q 4, 0 : {(ABCD)} Q 3, 0 = {(ABC), (BCD)}

34 Aufgabe 2 Quine/ McCluskey 34 Klasse Q 3 : Q 3, 3 : {( A C D), ( A B C)} Q 3, 2 : {(B C D), ( AB D), ( AB C),( B CD), ( A CD)} Q 2, 2 = {( A C), ( A C)} = {( A C)} Q 3, 2 : Q 3, 1 : {(B C D), ( AB D), ( AB C),( B CD), ( A CD)} {(AB D), (AC D), (BC D),( ABC), ( ABD)} Q 2, 1 = {(B D), (B D), ( AB)} = {(B D), ( AB)} Q 3, 1 : Q 3, 0 : {(AB D), (AC D), (BC D),( ABC), ( ABD)} {(ABC), (BCD)} Q 2, 0 = {(BC), (BC)} = {(BC)} Es gibt zwei Primimplikanten der Klasse Q 3 und vier der Klasse Q 2 (nämlich alle!). Primimplikanten: B CD, AC D, A C, B D, AB, BC

35 Aufgabe 2 Quine/ McCluskey 35 Lösen per Überdeckungstabellen: Primimplikanten: B CD, AC D, A C, B D, AB, BC A E F B CD 1 1 AC D 1 1 A C B D AB BC

36 Aufgabe 2 Quine/ McCluskey 36 Lösen per Überdeckungstabellen: Anwenden der Kernimplikantenregel: A E F B CD 1 1 AC D 1 1 A C B D AB BC

37 Aufgabe 2 Quine/ McCluskey 37 Lösen per Überdeckungstabellen: Anwenden der Kernimplikantenregel: A E F B CD 1 1 AC D 1 1 A C B D AB BC Alle Einstellen werden überdeckt (vertikal geschnitten). Wir benötigen dazu alle Primimplikanten mit Ausnahme des Termes AB. Die restlichen Terme bilden unsere DMF

38 Aufgabe 3 NAND 38 Beschreibung: Mit Hilfe von NAND-Gattern, kann jede beliebige Schaltfunktion realisiert werden (Gleiches gilt für die Verwendung von NOR-Gattern.). Realisieren Sie nun die Schaltfunktion: f = AC D + A C + BC + B D Unter ausschließlicher Verwendung von NAND-Gattern, die zwei Eingänge besitzen. Wie viele NAND-Gatter sind erforderlich?

39 Aufgabe 3 NAND 39 Basissysteme: Ein Basissystem ist erzeugend (und minimal), d.h. jede beliebige Schaltfunktion kann durch alleinigen Einsatz der Komponenten des Basissystems realisiert werden. Korollar: Jedes Basissystem kann in jedes andere Basissystem umgeformt werden. Bedeutende Basissysteme: o o NAND NOR o AND, OR, Negation (Es reicht auch: AND, Negation bzw. OR, Negation )

40 Aufgabe 3 NAND 40 Basissysteme:

41 Aufgabe 3 NAND 41 Nandisierung/Norisierung: Um einen beliebigen aussagenlogischen Ausdruck in eine Nand-Form oder Nor-Form mit zwei Eingängen zu bringen wenden wir folgende Gesetze an: NAND: Doppelnegation, De Morgan, 1 bzw. 0 Erweiterung NOR: A A A11 A A A AB AB AB1 AB AB A + B A B + 0 A + B A + B A B A1 B1 A + B A + B A + B + 0 Wir können so jeden Ausdruck analog schrittweise umformen.

42 Aufgabe 3 NAND 42 Nandisierung/Norisierung: Falls kein 1 oder 0 Eingang zur Verfügung steht, verdoppelt man einfach den Eingang und hat somit aus einem, zwei Eingänge gemacht! NAND: NOR: A A A11 AA AA A A A A + A + A + A AB AB AB1 AB AB AB AB A + B A + A + B + B Sowas kommt manchmal in der Miniklausur vor erhöht den Schreibaufwand aber nochmal deutlich.

43 Aufgabe 3 NAND 43 f = AC D + A C + BC + B D Das Vorgehen: erst gesamt doppelt negieren und dann schrittweise auf die kleineren Terme zurückführen bis alles durch NAND mit zwei Eingängen substituiert ist f = AC D + A C + BC + B D Doppelnegation (Gesamt) = AC D A C BC B D De Morgan = ACD1 A1 C1 BC BD1 Erweitern mit 1 Wir wollen überall genau zwei Eingänge haben. Um mehrere Eingänge eines NAND auf zwei Eingänge zu reduzieren, doppelnegieren wir partiell und nutzen die Erweiterung mit 1.

44 Aufgabe 3 NAND 44 f = AC D + A C + BC + B D f = ACD1 A1 C1 BC BD1 Partielle Doppelnegation AC = AC D1 A1 C1 BC BD1 1 Erweiterung = AC1 D1 A1 C1 BC BD1 Den gleichen Trick nutzt man für den Gesamtterm. Man zergliedert diesen in zwei Hälften und jene ggf. dann wiederum in zwei Hälften, bis wir bei genau einem oder zwei verknüpften Teiltermen angekommen sind. = AC1 D1 A1 C11 1BC BD1 Man benötigt insgesamt also 15 NAND-Gatter mit zwei Eingängen. Man sieht: Diese Aufgabe macht immer besonders viel Spaß

45 Aufgabe 3 NAND 45 Anmerkung, um diese schöne Aufgabe zu rechtfertigen: Bei einer Implementierung von Logikfunktionen in CMOS-Technologie stehen dem Designer oft nur NAND-Gatterzellen mit fester Anzahl der Eingänge zur Verfügung (meistens nur zwei). Die Gründe dafür sind vor allem eine sehr starke Verschlechterung der Gatterlaufzeit in Abhängigkeit von der Anzahl (sog. fan in) und der aktuellen Belegung der Eingänge, die im schlimmsten Fall sogar quadratisch mit der Anzahl der Eingänge ansteigt. Zusätzlich erhöht sich auch der Energieverbrauch bei einer größeren Anzahl der Eingänge beträchtlich (mehr Transistoren, in CMOS immer 2*Anzahl der Eingänge, verbrauchen mehr Energie). Na ja Warum man das per Hand machen muss

46 Aufgabe 4 - Relation 46 In der Vorweihnachtszeit stellt sich die Frage, was besser ist: ewiges Glück oder ein Lebkuchenherz. Man sollte meinen: Nichts ist besser als ewiges Glück Ein Lebkuchenherz ist besser als nichts Besser ist bekanntlich eine transitive Relation. Was folgt daraus? Hinweis: an dieser Stelle ist ein gekünsteltes Lachen angebracht

47 Aufgabe 4 - Relation 47 Begriffsklärung: Was ist Glück? Aristoteles: Camus: Nietzsche: Glück als intrinsisches Endziel (später v.a. Epikur); Glück = polymorph (d.h. viele Güter (Freunde, Familie, ) führen gemeinsam zum Ziel) Berühmter Syllogismus: Glück liegt in der Eigenschaft, die uns von allen anderen unterscheidet (Tüchtigkeit der Seele (Cicero: ratio)) Teleologisches Glücksmodell veraltet, deshalb Einführung eines deontologischen Glücksmodell (vgl. Sysyphos) Glück wird indirekt erzielt (also nicht direkt angestrebt). Keine Schmerzvermeidung suchen, sondern höchste Intensität

48 Aufgabe 4 - Relation 48 Nichts ist besser als ewiges Glück Ein Lebkuchenherz ist besser als nichts Transitivität: x y y z x z x besser y y besser z x besser z Lebkuchenherz besser Nichts Nichts besser Glück Lebkuchenherz besser Glück