Ginzburg-Landau-Theorie

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1 Supraleitung als thermodynamische Phase Thomas Unden, Andreas Hajduk Universität Ulm T. Unden, A. Hajduk

2 Gliederung 1 Phänomene der Supraleitung Supraleitung 1. Art 2 Thermodynamische Potentiale 3 im feldfreien Raum im felderfüllten Raum Lösungen der Ginzburg-Landau-Gleichungen 4 Supraleiter 2. Art Oberächenenergie von Grenzächen Flussschläuche und Vortices T. Unden, A. Hajduk

3 Supraleitung 1. Art Verlustloser Suprastrom Abbildung: Widerstand einer Quecksilberprobe in Abhängigkeit von der Temperatur (Originaldaten von Kamerlingh Onnes von 1911). [1] T. Unden, A. Hajduk

4 Supraleitung 1. Art Meiÿner-Eekt: Supraleitung im Magnetfeld Abbildung: Meiÿner-Ochsenfeld-Eekt. [5] T. Unden, A. Hajduk

5 Supraleitung 1. Art Phasendiagramm SL 1. Art Abbildung: Phasendiagramm eines Supraleiters 1. Art. [1] T. Unden, A. Hajduk

6 Supraleitung 1. Art Phasendiagramm SL 1. Art Abbildung: Phasendiagramm eines Supraleiters 1. Art. [1] T. Unden, A. Hajduk

7 Supraleitung 1. Art Magnetisierung Abbildung: Magnetisierungskurve eines Supraleiters 1. Art. [1] T. Unden, A. Hajduk

8 Supraleitung 1. Art Wärmekapazität Abbildung: Wärmekapazität eines Supraleiters 1. Art bei konstantem Volumen. [1] T. Unden, A. Hajduk

9 Thermodynamische Potentiale T. Unden, A. Hajduk

10 Thermodynamische Potentiale Festkörper im magnetischen Feld T. Unden, A. Hajduk

11 Thermodynamische Potentiale Entsprechende thermodynamische Potentiale Dierential der Energie, die in Feld und Medium gespeichert ist: δa ges = 1 [ ] d 3 r E dd + Hd B 4π 1. HS der Thermodynamik E(S, B): (1) de = δq + δa = TdS + 1 4π Hd B (2) Freie Energie F (T, B): df = d(e TS) = SdT + 1 Hd 4π B (3) freie Enthalpie G(T, H): ( ) dg = d F 1 4π H B = SdT 1 4π Bd H (4) T. Unden, A. Hajduk

12 Thermodynamische Potentiale Anwendung auf Supraleiter 1. Art Feldabhängigkeit des thermodynamischen Potentials: G(T, H) = G(T, 0) 1 B(H )dh (5) 4π 0 Normalleiter (H = B Normaler Magnetismus wird vernachlässigt) G n(t, H) G n(t, 0) = 1 8π H 2 (6) Supraleiter (B = 0) (Vernachlässigung von Oberächeneekten) Im Gleichgewicht gilt bei H = H c(t ) H G s(t, H) = G s(t, 0) (7) Somit gilt G n(t, H c) = G s(t, H c) (8) G s(t, 0) = G n(t, 0) 1 8π H 2 c E B = 1 8π H 2 c (9) T. Unden, A. Hajduk

13 im feldfreien Raum im felderfüllten Raum Lösungen der Ginzburg-Landau-Gleichungen T. Unden, A. Hajduk

14 im feldfreien Raum im felderfüllten Raum Lösungen der Ginzburg-Landau-Gleichungen Ordnungsparameter und Phasenübergänge Annahme: Es gibt einen Ordnungsparameter ψ, der die geordnete Phase unterhalb der kritischen Temperatur T c charakterisiert. Beispiel: Ferromagnet Ordnungsparameter: ψ = n n n +n wird Null für T > T c In der Supraleitung: Makroskopische Wellenfunktion ψ( r) = ψ( r) e iφ( r) ist komplexer Ordnungsparameter T. Unden, A. Hajduk

15 im feldfreien Raum im felderfüllten Raum Lösungen der Ginzburg-Landau-Gleichungen Entwicklung der freien Energie ψ 2 entspricht Dichte n s der Cooper-Paare Nahe T c für kleinen Ordnungsparameter kann freie Energie nach Ordnungsparameter ψ entwickelt werden Wähle Entwicklung, so dass für T T c (T T c ) ψ 0 gilt und für T > T c ψ = 0, wobei Übergang bei T = T c stetig Allgemeiner Ansatz: F s (T, B) = F n (T, 0) + α ψ 2 + β 2 ψ 4 (10) Ungerade Potenzen von ψ sind bei ψ = 0 nicht analytisch und sind deshalb ausgeschlossen ψ = 0 muss für T > T c Minimum der freien Energie sein Bedingung erfüllt da kein linearer Term auftaucht T. Unden, A. Hajduk

16 im feldfreien Raum im felderfüllten Raum Lösungen der Ginzburg-Landau-Gleichungen Abhängigkeit der freien Energie von den Parametern α und β Nach Minimierung ergeben sich 2 Lösungen: für T > T c : α β < 0 ψ = 0 für T < T c : α β > 0 ψ = α β 0 Sei β = β 0 > 0 Wähle α(t ) = α 0 T Tc Tc Abbildung: Minima der freien Energie. [2] T. Unden, A. Hajduk

17 im feldfreien Raum im felderfüllten Raum Lösungen der Ginzburg-Landau-Gleichungen Freie Energie der Gleichgewichtslösung Im therm. Gleichgewicht gilt: F ψ = 0 2α(T ) ψ 0 + 2β(T ) ψ 3 0 = 0 ψ 0 2 = α β F s F n = H2 c 8π = α ( α β ( ) 2 Hc 2 = 4π α2 0 T T c β 0 T c ) ( + β α 2 β ) 2 = 1 α 2 2 β Lineares Verhalten von H c in der Nähe von T = T c kann vorhergesagt werden. Für die Wärmekapazität c gilt im Temperaturbereich T < T c: c S (T ) = T 2 T 2 Fs Es gilt T T c: c N (T c) c S (T c) = α2 0 β T c. ( α ) = c N (T ) α2 0 β β T (11) T. Unden, A. Hajduk

18 im feldfreien Raum im felderfüllten Raum Lösungen der Ginzburg-Landau-Gleichungen Freie Energie unter Anwesenheit eines Magnetfeldes Entwicklung der freien Energie unter Störung der räumlichen Homogenität. Anregungen mögen langwellig sein: F s(t, B) = F n(t, 0) + α ψ 2 + β 2 ψ ( ) 2 2m ψ i (12) Hinzunahme von magnetischen Feldern: Beachtung der Eichinvarianz F s(t, B) = F n(t, 0) + α ψ 2 + β 2 ψ ( ) 2m e 2 A ψ B i c + 2 8π (13) Mit ψ = ψ e iφ folgt ( ) 1 2m e 2 A ψ i c [ ( ) = 1 2 ] 2 ( ψ ) 2 + φ e A ψ 2 2m c (14) = 1 2m 2 ( ψ ) m vs 2 ψ 2 (15) T. Unden, A. Hajduk

19 im feldfreien Raum im felderfüllten Raum Lösungen der Ginzburg-Landau-Gleichungen Technische Konstruktion des inhomogenen Ordnungsparameters Abbildung: Einteilung des Festkörpers in Zellen. [6] T. Unden, A. Hajduk

20 im feldfreien Raum im felderfüllten Raum Lösungen der Ginzburg-Landau-Gleichungen Minimierung der freien Enthalpie freie Enthalpie: G s(t, H) = Bedingung für Gleichgewicht: d 3 r [ F s(t, B) H B 4π ] (16) δg s = Gs Gs δψ + ψ ψ δψ + Gs A ψ, ψ sowie A sind voneinander unabhängige Variablen, d.h z.b. δ A! = 0 (17) δ ψ ψ 2 = ψ ψ 2 δψ (18) = ψ (ψ ψ) δψ (19) = ψδψ (20) T. Unden, A. Hajduk

21 im feldfreien Raum im felderfüllten Raum Lösungen der Ginzburg-Landau-Gleichungen Variation der freien Enthalpie ( Betrachtung der Variation von e ) A ψ i c 2 nach ψ ( ) e 2 A ψ i c = 2 ψ ψ + e ic ψ Aψ e ic Aψ ψ + e 2 c 2 Aψ Aψ Weitere Betrachtung der Terme ψ ψ und ψ Aψ ( unter Beachtung von div φv ) = φ div V + V grad φ (21) ψ ψ = div (ψ ψ) ψ ψ (22) ( ) ( ) ψ Aψ = div ψ Aψ ψ div Aψ (23) ) = div (ψ Aψ ψ Aψ ψ A ψ (24) T. Unden, A. Hajduk

22 im feldfreien Raum im felderfüllten Raum Lösungen der Ginzburg-Landau-Gleichungen Variation der freien Enthalpie ( Betrachtung der Variation von e ) A ψ i c 2 nach ψ δ ψ ( ) d 3 r e 2 A ψ i c = ( ) df ψ e A ψ (25) i i c ( 2 + d 3 rψ A) e ψ (26) i c ( ) d 3 r e 2 A ψ i c = ( ) df e A ψδψ (27) i i c ( + d 3 r e 2 A) ψδψ (28) i c Randbedingung auf Oberäche: ( ) n e A ψ = 0 (29) i c T. Unden, A. Hajduk

23 im feldfreien Raum im felderfüllten Raum Lösungen der Ginzburg-Landau-Gleichungen Variation der freien Enthalpie Zusätzliche Variation nach ψ und A ergibt: δg s = + [ d 3 r {δψ ψ + β ψ 2 ψ + 1 ( ] } e 2 A) ψ + c.c. 2m i c { d 3 rδa 1 4π rot B 1 ) 4π rot H e [ψ ( i e A m c c (30) ]} ψ + c.c. (31)! = 0 (32) Unter Beachtung der Maxwell-Gleichungen (stationärer Fall): rot B = 4π c j s (33) rot H = 4π jextern = 0 (34) c ergeben sich letztendlich die Ginzburg-Landau-Gleichungen T. Unden, A. Hajduk

24 im feldfreien Raum im felderfüllten Raum Lösungen der Ginzburg-Landau-Gleichungen Ginzburg-Landau-Gleichungen αψ + β ψ 2 ψ + 1 ( e 2m i c A) 2 ψ = 0 1. G.L.-Gl. (35) j s = e 2m i (ψ ψ ψ ψ ) e 2 m c ψ ψa 2. G.L.-Gl. (36) unter der Randbedingung (kein Suprastrom ieÿt durch Oberäche) ( ) n e A ψ = 0 (37) i c G.L.-Gleichungen sind gekoppelte, partielle und nichtlineare Dierentialgleichungen 1. G.L.-Gleichung kann als stationäre Schrödinger-Gleichung mit Energieeigenwert α aufgefasst werden, wobei das Feld (Ordnungsparameter) ψ über die Nichtlinearität mit sich selbst wechselwirkt. (vgl. Gross-Pitaevskii-Gl.) T. Unden, A. Hajduk

25 im feldfreien Raum im felderfüllten Raum Lösungen der Ginzburg-Landau-Gleichungen Charakteristische Längenskalen der Kohärenzlänge Annahme: A = 0 und ψ reell Ginzburg-Landau-Gleichung (35) für den 1D-Fall: Mit der Denition f Längenskala ξ 2 (T ) = 2 2m d 2 ψ ψ = ψ + αψ + dx 2 βψ3 = 0 (38) α ψ folgt hieraus β 2 d 2 2m α dx 2 f f + f 3 = 0 (39) 2 2m α T. Unden, A. Hajduk

26 im feldfreien Raum im felderfüllten Raum Lösungen der Ginzburg-Landau-Gleichungen Kohärenzlänge Kohärenzlänge ξ(t ) = 2m α = T c 2m α 0 T c T (40) Die Kohärenzlänge ξ(t ) ist eine charakteristische Länge für die Variation von ψ bzw. f : Mit der Festlegung f (x) = 1 + g(x) mit g(x) << 1 erhält man aus der DGL in erster Ordnung von g ξ 2 (T ) d2 f dx 2 + f f 3 = 0 (41) ξ 2 (T )g (x) + (1 + g(x)) (1 + 3g +...) = 0 (42) T. Unden, A. Hajduk

27 im feldfreien Raum im felderfüllten Raum Lösungen der Ginzburg-Landau-Gleichungen Kohärenzlänge Hieraus ergibt sich als Dienretialgleichung für g ( ) g 2 (x) = g(x) (43) ξ 2 (T ) Lösung von Gl. (43) ist g(x) = g(0) e ± 2 ξ(t ) x (44) Eine kleine Störung g(x) von ψ = ψ = const. fällt mit einer charakteristischen Länge von der Ordnung ξ(t ) ab T. Unden, A. Hajduk

28 im feldfreien Raum im felderfüllten Raum Lösungen der Ginzburg-Landau-Gleichungen Kohärenzlänge Mit den Randbedingungen ψ(0) = 0 (Grenzäche zum Supraleiter bei x = 0) und ψ( ) = ψ kann die DGL ξ 2 (T ) d2 f dx 2 f + f 3 = 0 (45) gelöst werden. Integration ergibt ( ) 2 ξ 2 df (T ) f dx 2 f 4 = const. (46) Aus dem Verhalten im Unendlichen folgt hieraus für die Konstante const. = 1 2 ( ) 2 ξ 2 df (T ) = 1 ( ) f dx 2 (47) T. Unden, A. Hajduk

29 im feldfreien Raum im felderfüllten Raum Lösungen der Ginzburg-Landau-Gleichungen Kohärenzlänge Lösung für f: f = tanh x 2ξ(T ) (48) Abbildung: Lösung nach Gl. (48). [2] T. Unden, A. Hajduk

30 im feldfreien Raum im felderfüllten Raum Lösungen der Ginzburg-Landau-Gleichungen Charakteristische Längenskalen der Eindringtiefe eines Magnetfeld Annahme: A 0, aber ψ = ψ Ginzburg-Landau-Gleichung (36) für den 1D-Fall: js = e 2 m c ψ 2 A (49) Hieraus folgt: rot js = e 2 m c ψ 2 B (50) Mit der Maxwell-Gleichung js = c 4π rot B folgt B 4πe 2 ψ 2 m c 2 B = 0 (51) T. Unden, A. Hajduk

31 im feldfreien Raum im felderfüllten Raum Lösungen der Ginzburg-Landau-Gleichungen Eindringtiefe eines Magnetfelds Für einen Supraleier mit ebener Oberäche senkrecht zur x-richtung und einem Magnetfeld parallel zur Oberäche wird aus Gl. (51) Lösung dieser DGL ist d 2 B(x) dx 2 4πe ψ 2 B = 0 (52) m c 2 B(x) = B 0 e x λ (53) mit der Eindringtiefe m λ = c 2 4πe 2 ψ = m c 2 β 0 T c 2 4πe 2 α 0 T c T (54) T. Unden, A. Hajduk

32 im feldfreien Raum im felderfüllten Raum Lösungen der Ginzburg-Landau-Gleichungen Eindringtiefe eines Magnetfelds Abbildung: Lösung nach Gl. (54). [1] T. Unden, A. Hajduk

33 im feldfreien Raum im felderfüllten Raum Lösungen der Ginzburg-Landau-Gleichungen Charakteristische Längenskalen der Ginzburg-Landau-Parameter κ = λ(t ) ξ(t ) = 2 e c λ2 (T )H c(t ) (55) Diese Gröÿe ist komplett messbar und ermöglicht Unterscheidung zwischen Supraleiter 1. und 2. Art T. Unden, A. Hajduk

34 im feldfreien Raum im felderfüllten Raum Lösungen der Ginzburg-Landau-Gleichungen Kritischer Strom eines dünnen Films Annahmen: Filmdicke d << ξ(t ) ψ = const. Filmdicke d << λ(t ) j = const. ψ( r) = ψ e iφ( r) Ginzburg-Landau-Gleichungen: 2 α ψ + β ψ 3 + ( φ A) e ψ i 2 ( φ) ψ = 0 (56) j = e m ψ 2 c ( φ e A c ) = e ψ 2 v s (57) T. Unden, A. Hajduk

35 im feldfreien Raum im felderfüllten Raum Lösungen der Ginzburg-Landau-Gleichungen Kritischer Strom eines dünnen Films Nullsetzen des Realteils von Gl. (56) ergibt mit ψ 0 die Lösung ψ 2 = α ( ) ( ) 1 + m v 2 s = ψ 2 1 m v 2 s β 2α 2 α (58) Daraus ergibt sich mit Gl. (57) für die Stromdichte: ( ) j = e ψ 2 1 m v 2 s v s (59) 2 α Oder mit f = ψ 2 α ψ v s = m 1 f 2 j = e ψ 2 2 α m f 2 1 f 2 (60) = e ψ 2 m ξ(t ) f 2 1 f 2 (61) T. Unden, A. Hajduk

36 im feldfreien Raum im felderfüllten Raum Lösungen der Ginzburg-Landau-Gleichungen Kritischer Strom eines dünnen Films Für f 2 = 2 erreicht die Stromdichte 3 ihren Maximalwert: j c = e ψ α 3 3 m (62) = 2e ψ m (63) ξ(t ) ( ) 3 1 T 2 T c j c : kritische Stromdichte Abbildung: Stromdichte als Funktion des Ordnungsparameters f. [3] T. Unden, A. Hajduk

37 im feldfreien Raum im felderfüllten Raum Lösungen der Ginzburg-Landau-Gleichungen Kritischer Strom eines dünnen Films Mechanismus: Für kleine Geschwindigkeiten v s können alle Cooper-Paare im Supraleiter zum Suprastrom beitragen j v s Durch Hinzuführen von kinetischer Energie für höhere v s werden immer mehr Cooper-Paare aufgebrochen und stehen nicht mehr für den Suprastrom zur Verfügung Stromdichte kann kritischen Wert j c nicht überschreiten Abbildung: Variation von Ordnungsparameter f Geschwindigkeit vs. [4] und Stromdichte j mit der T. Unden, A. Hajduk

38 Oberächenenergie von Grenzächen Flussschläuche und Vortices T. Unden, A. Hajduk

39 Oberächenenergie von Grenzächen Flussschläuche und Vortices Phasendiagramm SL 2. Art Abbildung: Phasendiagramm SL 2. Art. [1] T. Unden, A. Hajduk

40 Oberächenenergie von Grenzächen Flussschläuche und Vortices Magnetisierung SL 2. Art Abbildung: Magnetisierung SL 2. Art. [1] T. Unden, A. Hajduk

41 Oberächenenergie von Grenzächen Flussschläuche und Vortices Oberächenenergie zwischen Normalleiter und Supraleiter Betrachtung der Koexistenz von Supraleiter und Normalleiter unter den Randbedingungen ψ = 0, B = H c für x (64) ψ = ψ, B = 0 für x + (65) Es gilt für die freie Enthalpie-Dichte weit innerhalb des NL/SL: G s(x ) = G n(x ) = F n(x ) H c 2 8π = H 8π Durch den Übergang NL/SL ergibt sich eine zusätzliche freie Enthalpie in Bezug auf einen raumausfüllenden NL bzw. SL ( ) G s(x) H c 2 = G s(x) + H c 2 8π 8π 2 c (66) (67) T. Unden, A. Hajduk

42 Oberächenenergie von Grenzächen Flussschläuche und Vortices Oberächenenergie zwischen Normalleiter und Supraleiter Man bekommt somit zusätzlich folgende freie Enthalpie pro Fläche: γ = = dx dx [ ] G s(x) + H c 2 8π [ α ψ 2 + β 2 ψ m ( ) e 2 A ψ i c + ( B H ] c) 2 8π (68) (69) Aus Multiplikation von 1. G.L.-Gl. mit ψ und partieller Integration erhält man [ α ψ 2 + β ψ ( ) 2m e 2] A ψ = 0 (70) i c dx Nach Einsetzten in γ ndet man γ = dx [ β2 ψ 4 + ] [ (B Hc)2 = H c 2 ( ) dx 1 B 2 8π 8π H c T. Unden, A. Hajduk ( ) ] 4 ψ ψ (71)

43 Oberächenenergie von Grenzächen Flussschläuche und Vortices Oberäche zwischen Normalleiter und Supraleiter Abbildung: Oberäche zwischen Normalleiter und Supraleiter. [2] T. Unden, A. Hajduk

44 Oberächenenergie von Grenzächen Flussschläuche und Vortices Vorzeichen der Oberächenenergie Zur Berechnung von γ ist formale Lösung der Ginzburg-Landau- Gleichungen notwendig. Aus der Numerik erhält man folgendes Resultat: γ < 0 für κ = λ(t ) ξ(t ) > 1 2 γ > 0 für κ = λ(t ) ξ(t ) < 1 2 Supraleitung 1. Art Im Fall von κ > 1 2 kann freie Enthalpie verringert werden, indem Oberäche mit Normalleiter gebildet wird. Dieses Ergebnis begründet warum die magnetische Flussdichte B partiell in den Supraleiter 2. Art eindringt. T. Unden, A. Hajduk

45 Oberächenenergie von Grenzächen Flussschläuche und Vortices Das Fluxoid Frage: In welcher Art und Weise durchdringt die magnetische Flussdichte den Supraleiter? Abbildung: und das Fluxoid. [2] T. Unden, A. Hajduk

46 Oberächenenergie von Grenzächen Flussschläuche und Vortices Die Flussquantisierung Betrachtung des magnetischen Flusses φ durch eine geschlossene Kurve K: φ = = K K = m c q d a B = d s A (72) K [ ] d s m c j q 2 ψ + 2 i c 2q ψ 2 ( ψ ψ ψ ψ) (73) d s v s c q d s θ (74) K K (75) Dabei wurde die 2. G.L.-Gl. verwendet, sowie ψ = ψ e iθ. Unter Beachtung der Eindeutigkeit von ψ erhält man die Quantisierung des Fluxoids: φ := φ m c q d s v s = c 2πn = nφ0 mit n Z (76) 2e K T. Unden, A. Hajduk

47 Oberächenenergie von Grenzächen Flussschläuche und Vortices Vortices und Flussschläuche Abbildung: Vortices und Flussschläuche in der. [2] T. Unden, A. Hajduk

48 Oberächenenergie von Grenzächen Flussschläuche und Vortices Vortices und Flussschläuche Abbildung: Vortices und Flussschläuche in der. [2] T. Unden, A. Hajduk

49 Oberächenenergie von Grenzächen Flussschläuche und Vortices Zusammenfassung In der wird die freie Energie nach dem entsprechenden Ordnungsparameter nahe der kritischen Temperatur entwickelt. Es werden langwellige räumliche Anregungen in die Theorie miteinbezogen. (vgl. Homogenität der London- (1935) und Landau-Theorie (1937)) stellt Kontinuumsbeschreibung von Phasenübergängen dar Gute Beschreibung der wesentlichen Eigenschaften von Supraleitern ( Art) durch möglich T. Unden, A. Hajduk

50 Oberächenenergie von Grenzächen Flussschläuche und Vortices Anmerkungen Ableitung des Ginzburg-Landau-Funktionals aus der BCS-Theorie durch Gorkov im Jahre 1959 (BCS 1957). Ordnungsparameter ψ entspricht im Wesentlichen der BCS-Anregungsenergie und somit der Cooper-Paar-Dichte vernachlässigt Fluktuation des Ordnungsparameters Mean-Field-Lösung (ψ ψ ) 2 << ψ 2 Ginzburg Kriterium (77) kann auch auf andere kritische Phänomene angewendet werden. Besondere Stellung der der Supraleiter im Vergleich zu anderen Phänomenen (Ferromagnetismus) T. Unden, A. Hajduk

51 Oberächenenergie von Grenzächen Flussschläuche und Vortices Quellen [1] Andreas Schadschneider: Theoretische Festkörperphysik 2, Uni Köln 2002 [2] Carsten Timm: Theory of Superconductivity, TU Dresden 2011/2012 [3] P.G. de Gennes: Superconductivity of Metals and Alloys, Advanced Book Classics [4] Michael Tinkham: Introduction to Superconductivity, Dover Publications [5] Czycholl: Theoretische Festkörperphysik, Springer [6] Schwabl: Statistische Mechanik, Springer 2006 [7] Werner Buckel: Supraleitung, VCH, 1994 T. Unden, A. Hajduk

52 Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!