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- Oskar Wolf
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Hans Walser, [ ] Stammbrüche 1 Problemstellung In der Antike, so zum Beispiel im alten Ägypten, gehörte es zum guten Ton, Brüche in eine Summe von Stammbrüchen zu zerlegen, also in Brüche mit dem Zähler 1. Diese Zerlegung ist allerdings nicht immer eindeutig, wie folgende Beispiele zeigen: 2 Der gierige Algorithmus 7 12 = = = = S hät solang s hät Wir gehen nun so vor, dass wir zu einem gegebenen Bruch den größten Stammbruch nehmen, der noch im gegebenen Bruch enthalten ist. Diesen größten Stammbruch finden wir, indem wir den Kehrwert des gegebenen Bruches auf die nächste ganze Zahl aufrunden, und davon wieder den Kehrwert nehmen. Beispiel: 3 7!! 7 3 " # $ = 3! 1 3 Somit ist 1 3 der größte Stammbruch, der in 3 enthalten ist. 7 Vom Rest nehmen wir wieder den größten noch darin enthaltenen Stammbruch und so weiter und so fort. Dabei hoffen wir, dass es einmal aufgeht im Sinne, dass der Rest ein Stammbruch wird. In unserem Beispiel: 3 7!! 7 3 " # $ = 3! % 1 3 = 2 21!! 21 # " 2 $ = 11! % 1 11 = 1 Stammbruch! 231 Somit haben wir eine Stammbruchzerlegung: 3 7 = Das Verfahren wurde von Fibonacci in seinem Liber abaci beschrieben. 2.2 Formal Es sei a, a < b, der zu zerlegende Bruch. Dann arbeiten wir mit der folgenden Rekursi- b on. Start: Rekursionsformel: r 1 = a b
2 Hans Walser: Stammbrüche 2/18 q n = 1 1 r n+1 = r n % q n Abbruchkriterium: Wir hören auf, sobald r n = q n, also r n+1 = 0. Wir erhalten die Stammbruchzerlegung: a b =! " rn # $ Abbruch! q n n=1 Dass das Verfahren immer abbricht, wurde von James Joseph Sylvester 1880 bewiesen. 2.3 CAS-Programm Ein Programm (MuPAD) kann so aussehen: Stammbrueche:=proc(a,b) begin r[1]:=a/b: rest:=a/b: q[1]:=1/ceil(b/a): n:=0: while rest > 0 do n:=n+1: q[n]:=1/ceil(1/r[n]): r[n+1]:=r[n]-q[n]: rest:=r[n+1]: end_while: if n=1 then print(unquoted,"".a."/".b." = ".q[1]); else print(nonl,"".a."/".b." = ".q[1]); for k from 2 to n-1 do print(nonl,"+".q[k]); end_for: print(unquoted,"+".q[n]); end_if: end_proc: Für unser Beispiel ergibt sich: Stammbrueche(3,7); 3/7 = 1/3+1/11+1/231 Das Verfahren ist nicht optimal. Ein berühmtes Gegenbeispiel ist: = Der Algorithmus liefert eine Summe von vier Stammbrüchen: Stammbrueche(59, 120); 59/120 = 1/3+1/7+1/65+1/10920
3 Hans Walser: Stammbrüche 3/ Liste Zerlegung in Stammbrüche geordnet nach Nennern Nenner = 1 1/1 = 1 Nenner = 2 1/2 = 1/2 2/2 = 1 Nenner = 3 1/3 = 1/3 2/3 = 1/2+1/6 3/3 = 1 Nenner = 4 1/4 = 1/4 2/4 = 1/2 3/4 = 1/2+1/4 4/4 = 1 Nenner = 5 1/5 = 1/5 2/5 = 1/3+1/15 3/5 = 1/2+1/10 4/5 = 1/2+1/4+1/20 5/5 = 1 Nenner = 6 1/6 = 1/6 2/6 = 1/3 3/6 = 1/2 4/6 = 1/2+1/6 5/6 = 1/2+1/3 6/6 = 1 Nenner = 7 1/7 = 1/7 2/7 = 1/4+1/28 3/7 = 1/3+1/11+1/231 4/7 = 1/2+1/14 5/7 = 1/2+1/5+1/70 6/7 = 1/2+1/3+1/42 7/7 = 1 Nenner = 8 1/8 = 1/8 2/8 = 1/4 3/8 = 1/3+1/24 4/8 = 1/2
4 Hans Walser: Stammbrüche 4/18 5/8 = 1/2+1/8 6/8 = 1/2+1/4 7/8 = 1/2+1/3+1/24 8/8 = 1 Nenner = 9 1/9 = 1/9 2/9 = 1/5+1/45 3/9 = 1/3 4/9 = 1/3+1/9 5/9 = 1/2+1/18 6/9 = 1/2+1/6 7/9 = 1/2+1/4+1/36 8/9 = 1/2+1/3+1/18 9/9 = 1 Nenner = 10 1/10 = 1/10 2/10 = 1/5 3/10 = 1/4+1/20 4/10 = 1/3+1/15 5/10 = 1/2 6/10 = 1/2+1/10 7/10 = 1/2+1/5 8/10 = 1/2+1/4+1/20 9/10 = 1/2+1/3+1/15 10/10 = 1 Nenner = 11 1/11 = 1/11 2/11 = 1/6+1/66 3/11 = 1/4+1/44 4/11 = 1/3+1/33 5/11 = 1/3+1/9+1/99 6/11 = 1/2+1/22 7/11 = 1/2+1/8+1/88 8/11 = 1/2+1/5+1/37+1/4070 9/11 = 1/2+1/4+1/15+1/660 10/11 = 1/2+1/3+1/14+1/231 11/11 = 1 Nenner = 12 1/12 = 1/12 2/12 = 1/6 3/12 = 1/4 4/12 = 1/3 5/12 = 1/3+1/12 6/12 = 1/2 7/12 = 1/2+1/12 8/12 = 1/2+1/6 9/12 = 1/2+1/4 10/12 = 1/2+1/3 11/12 = 1/2+1/3+1/12 12/12 = 1
5 Hans Walser: Stammbrüche 5/18 Nenner = 13 1/13 = 1/13 2/13 = 1/7+1/91 3/13 = 1/5+1/33+1/2145 4/13 = 1/4+1/18+1/468 5/13 = 1/3+1/20+1/780 6/13 = 1/3+1/8+1/312 7/13 = 1/2+1/26 8/13 = 1/2+1/9+1/234 9/13 = 1/2+1/6+1/39 10/13 = 1/2+1/4+1/52 11/13 = 1/2+1/3+1/78 12/13 = 1/2+1/3+1/12+1/156 13/13 = 1 Nenner = 14 1/14 = 1/14 2/14 = 1/7 3/14 = 1/5+1/70 4/14 = 1/4+1/28 5/14 = 1/3+1/42 6/14 = 1/3+1/11+1/231 7/14 = 1/2 8/14 = 1/2+1/14 9/14 = 1/2+1/7 10/14 = 1/2+1/5+1/70 11/14 = 1/2+1/4+1/28 12/14 = 1/2+1/3+1/42 13/14 = 1/2+1/3+1/11+1/231 14/14 = 1 Nenner = 15 1/15 = 1/15 2/15 = 1/8+1/120 3/15 = 1/5 4/15 = 1/4+1/60 5/15 = 1/3 6/15 = 1/3+1/15 7/15 = 1/3+1/8+1/120 8/15 = 1/2+1/30 9/15 = 1/2+1/10 10/15 = 1/2+1/6 11/15 = 1/2+1/5+1/30 12/15 = 1/2+1/4+1/20 13/15 = 1/2+1/3+1/30 14/15 = 1/2+1/3+1/10 15/15 = 1 Nenner = 16 1/16 = 1/16 2/16 = 1/8 3/16 = 1/6+1/48 4/16 = 1/4 5/16 = 1/4+1/16 6/16 = 1/3+1/24
6 Hans Walser: Stammbrüche 6/18 7/16 = 1/3+1/10+1/240 8/16 = 1/2 9/16 = 1/2+1/16 10/16 = 1/2+1/8 11/16 = 1/2+1/6+1/48 12/16 = 1/2+1/4 13/16 = 1/2+1/4+1/16 14/16 = 1/2+1/3+1/24 15/16 = 1/2+1/3+1/10+1/240 16/16 = 1 Nenner = 17 1/17 = 1/17 2/17 = 1/9+1/153 3/17 = 1/6+1/102 4/17 = 1/5+1/29+1/1233+1/ /17 = 1/4+1/23+1/1564 6/17 = 1/3+1/51 7/17 = 1/3+1/13+1/663 8/17 = 1/3+1/8+1/82+1/ /17 = 1/2+1/34 10/17 = 1/2+1/12+1/204 11/17 = 1/2+1/7+1/238 12/17 = 1/2+1/5+1/170 13/17 = 1/2+1/4+1/68 14/17 = 1/2+1/4+1/14+1/476 15/17 = 1/2+1/3+1/21+1/714 16/17 = 1/2+1/3+1/10+1/128+1/ /17 = 1 Nenner = 18 1/18 = 1/18 2/18 = 1/9 3/18 = 1/6 4/18 = 1/5+1/45 5/18 = 1/4+1/36 6/18 = 1/3 7/18 = 1/3+1/18 8/18 = 1/3+1/9 9/18 = 1/2 10/18 = 1/2+1/18 11/18 = 1/2+1/9 12/18 = 1/2+1/6 13/18 = 1/2+1/5+1/45 14/18 = 1/2+1/4+1/36 15/18 = 1/2+1/3 16/18 = 1/2+1/3+1/18 17/18 = 1/2+1/3+1/9 18/18 = 1 Nenner = 19 1/19 = 1/19 2/19 = 1/10+1/190 3/19 = 1/7+1/67+1/8911 4/19 = 1/5+1/95
7 Hans Walser: Stammbrüche 7/18 5/19 = 1/4+1/76 6/19 = 1/4+1/16+1/304 7/19 = 1/3+1/29+1/1653 8/19 = 1/3+1/12+1/228 9/19 = 1/3+1/8+1/66+1/ /19 = 1/2+1/38 11/19 = 1/2+1/13+1/494 12/19 = 1/2+1/8+1/152 13/19 = 1/2+1/6+1/57 14/19 = 1/2+1/5+1/28+1/887+1/ /19 = 1/2+1/4+1/26+1/988 16/19 = 1/2+1/3+1/114 17/19 = 1/2+1/3+1/17+1/388+1/ /19 = 1/2+1/3+1/9+1/342 19/19 = 1 Nenner = 20 1/20 = 1/20 2/20 = 1/10 3/20 = 1/7+1/140 4/20 = 1/5 5/20 = 1/4 6/20 = 1/4+1/20 7/20 = 1/3+1/60 8/20 = 1/3+1/15 9/20 = 1/3+1/9+1/180 10/20 = 1/2 11/20 = 1/2+1/20 12/20 = 1/2+1/10 13/20 = 1/2+1/7+1/140 14/20 = 1/2+1/5 15/20 = 1/2+1/4 16/20 = 1/2+1/4+1/20 17/20 = 1/2+1/3+1/60 18/20 = 1/2+1/3+1/15 19/20 = 1/2+1/3+1/9+1/180 20/20 = Anzahl der Stammbrüche Bei gegebenen Nenner Wir sehen, dass wir bei unserem Algorithmus mit relativ wenigen Stammbrüchen auskommen. Innerhalb eines gegebenen Nenners variiert die Anzahl der benötigten Stammbrüche bei verschiedenen Zählern. Für den Nenner 11 beispielsweise variiert die Anzahl der Stammbrüche zwischen 1 und 4. Dies wird im folgenden Diagramm dargestellt:
8 Hans Walser: Stammbrüche 8/18 Anzahl der Stammbrüche beim Nenner Maximale Anzahl Im folgenden Diagramm wird zu gegebenem Nenner die maximale Anzahl der benötigten Stammbrüche dargestellt. Die Nenner laufen von 1 bis 20. Maximale Anzahl der Stammbrüche Im folgenden Diagramm wird die Situation für Nenner von 1 bis 200 dargestellt. Die untere grüne Kurve ist der Graf der Funktion t! ln( t), die obere der Graf der Funktion ( ). t! ln t 2 Nenner von 1 bis 200
9 Hans Walser: Stammbrüche 9/18 Im Folgenden das Diagramm für Nenner von 1 bis Nenner von 1 bis Brüche größer als eins Der Algorithmus funktioniert auch bei Brüchen größer als eins und liefert ein eigenartiges Resultat, wie die Beispielfolge zeigt: 3/7 = 1/3+1/11+1/231 10/7 = 1+1/3+1/11+1/231 17/7 = 1+1+1/3+1/11+1/231 24/7 = /3+1/11+1/231 31/7 = /3+1/11+1/231 Der ganzzahlige Anteil wird in Einsen aufgedröselt. 2.7 Das Basler Problem Nach Euler ist:! 1 " =!2 n 2 6 n=1 Das ist die Lösung des so genannten Basler Problems. Wir können nun versuchen, unseren Algorithmus auf den Bruch!2 6 anzuwenden. Natürlich muss das schief gehen, da der Bruch irrational ist und die Stellenanzahl des Computers beschränkt. Wir erhalten: Erster Versuch: Stammbrueche(PI^2, 6); Error: Division by zero [_power]; during evaluation of 'ceil' Zweiter Versuch: Wir ersetzen! durch eine Dezimalzahl mit 20 Stellen.
10 Hans Walser: Stammbrüche 10/18 Stammbrueche(float(PI^2), 6); /6 = 1+1/2+1/7+1/482+1/ / / / Alternierende Summen 3.1 Z vill isch z vill Wir gehen nun so vor, dass wir zu einem gegebenen Bruch den kleinsten Stammbruch nehmen, der noch größer oder gleich wie der gegebene Bruch ist. Diesen kleinsten Stammbruch finden wir, indem wir den Kehrwert des gegebenen Bruches auf die nächste ganze Zahl abrunden, und davon wieder den Kehrwert nehmen. Beispiel: 4 11!! 11 4 " # $ = 2! 1 2 Somit ist 1 2 der kleinste Stammbruch größer oder gleich 3 7. Zum Überschuss nehmen wir wieder den kleinsten Stammbruch größer oder gleich dem Überschuss. Diesen Stammbruch zählen wir ab. Und so weiter und so fort mit alternierenden Vorzeichen. Dabei hoffen wir, dass es einmal aufgeht im Sinne, dass der Ü- berschuss ein Stammbruch wird. In unserem Beispiel: 4 11!! 11 4 " 1 2 % 4 11 = % 3 22 = # $ = 2! 1 2! " 22! 22 3 # $ = 7! 1 7 Stammbruch! Somit haben wir eine alternierende Stammbruchzerlegung: 3.2 Formal 4 11 = 1 2! Es sei a, a < b, der zu zerlegende Bruch. Dann arbeiten wir mit der folgenden Rekursi- b on. Start: Rekursionsformel: r 1 = a b q n = 1 1! "! rn # $# r n+1 = q n % r n
11 Hans Walser: Stammbrüche 11/18 Abbruchkriterium: Wir hören auf, sobald r n = q n, also r n+1 = 0. Wir erhalten die Stammbruchzerlegung: Abbruch " a b = (!1)n!1 q n n=1 Dieser Algorithmus entsteht aus dem gierigen Algorithmus durch Vertauschen der Begriffe mindestens und höchstens. Weiter muss mit alternierendem Vorzeichen addiert werden. Der Leser oder die Leserin kann sich selber für diesen Algorithmus eine Bezeichnung aus dem kulinarischen Bereich ausdenken. 3.3 Liste Zerlegung in Stammbrüche geordnet nach Nennern Nenner = 1 1/1 = 1 Nenner = 2 1/2 = 1/2 2/2 = 1 Nenner = 3 1/3 = 1/3 2/3 = 1-1/3 3/3 = 1 Nenner = 4 1/4 = 1/4 2/4 = 1/2 3/4 = 1-1/4 4/4 = 1 Nenner = 5 1/5 = 1/5 2/5 = 1/2-1/10 3/5 = 1-1/2+1/10 4/5 = 1-1/5 5/5 = 1 Nenner = 6 1/6 = 1/6 2/6 = 1/3 3/6 = 1/2 4/6 = 1-1/3 5/6 = 1-1/6 6/6 = 1 Nenner = 7 1/7 = 1/7
12 Hans Walser: Stammbrüche 12/18 2/7 = 1/3-1/21 3/7 = 1/2-1/14 4/7 = 1-1/2+1/14 5/7 = 1-1/3+1/21 6/7 = 1-1/7 7/7 = 1 Nenner = 8 1/8 = 1/8 2/8 = 1/4 3/8 = 1/2-1/8 4/8 = 1/2 5/8 = 1-1/2+1/8 6/8 = 1-1/4 7/8 = 1-1/8 8/8 = 1 Nenner = 9 1/9 = 1/9 2/9 = 1/4-1/36 3/9 = 1/3 4/9 = 1/2-1/18 5/9 = 1-1/2+1/18 6/9 = 1-1/3 7/9 = 1-1/4+1/36 8/9 = 1-1/9 9/9 = 1 Nenner = 10 1/10 = 1/10 2/10 = 1/5 3/10 = 1/3-1/30 4/10 = 1/2-1/10 5/10 = 1/2 6/10 = 1-1/2+1/10 7/10 = 1-1/3+1/30 8/10 = 1-1/5 9/10 = 1-1/10 10/10 = 1 Nenner = 11 1/11 = 1/11 2/11 = 1/5-1/55 3/11 = 1/3-1/16+1/528 4/11 = 1/2-1/7+1/154 5/11 = 1/2-1/22 6/11 = 1-1/2+1/22 7/11 = 1-1/2+1/7-1/154 8/11 = 1-1/3+1/16-1/528 9/11 = 1-1/5+1/55 10/11 = 1-1/11 11/11 = 1 Nenner = 12 1/12 = 1/12
13 Hans Walser: Stammbrüche 13/18 2/12 = 1/6 3/12 = 1/4 4/12 = 1/3 5/12 = 1/2-1/12 6/12 = 1/2 7/12 = 1-1/2+1/12 8/12 = 1-1/3 9/12 = 1-1/4 10/12 = 1-1/6 11/12 = 1-1/12 12/12 = 1 Nenner = 13 1/13 = 1/13 2/13 = 1/6-1/78 3/13 = 1/4-1/52 4/13 = 1/3-1/39 5/13 = 1/2-1/8+1/104 6/13 = 1/2-1/26 7/13 = 1-1/2+1/26 8/13 = 1-1/2+1/8-1/104 9/13 = 1-1/3+1/39 10/13 = 1-1/4+1/52 11/13 = 1-1/6+1/78 12/13 = 1-1/13 13/13 = 1 Nenner = 14 1/14 = 1/14 2/14 = 1/7 3/14 = 1/4-1/28 4/14 = 1/3-1/21 5/14 = 1/2-1/7 6/14 = 1/2-1/14 7/14 = 1/2 8/14 = 1-1/2+1/14 9/14 = 1-1/2+1/7 10/14 = 1-1/3+1/21 11/14 = 1-1/4+1/28 12/14 = 1-1/7 13/14 = 1-1/14 14/14 = 1 Nenner = 15 1/15 = 1/15 2/15 = 1/7-1/105 3/15 = 1/5 4/15 = 1/3-1/15 5/15 = 1/3 6/15 = 1/2-1/10 7/15 = 1/2-1/30 8/15 = 1-1/2+1/30 9/15 = 1-1/2+1/10 10/15 = 1-1/3 11/15 = 1-1/3+1/15
14 Hans Walser: Stammbrüche 14/18 12/15 = 1-1/5 13/15 = 1-1/7+1/105 14/15 = 1-1/15 15/15 = 1 Nenner = 16 1/16 = 1/16 2/16 = 1/8 3/16 = 1/5-1/80 4/16 = 1/4 5/16 = 1/3-1/48 6/16 = 1/2-1/8 7/16 = 1/2-1/16 8/16 = 1/2 9/16 = 1-1/2+1/16 10/16 = 1-1/2+1/8 11/16 = 1-1/3+1/48 12/16 = 1-1/4 13/16 = 1-1/5+1/80 14/16 = 1-1/8 15/16 = 1-1/16 16/16 = 1 Nenner = 17 1/17 = 1/17 2/17 = 1/8-1/136 3/17 = 1/5-1/42+1/3570 4/17 = 1/4-1/68 5/17 = 1/3-1/25+1/1275 6/17 = 1/2-1/6+1/51 7/17 = 1/2-1/11+1/374 8/17 = 1/2-1/34 9/17 = 1-1/2+1/34 10/17 = 1-1/2+1/11-1/374 11/17 = 1-1/2+1/6-1/51 12/17 = 1-1/3+1/25-1/ /17 = 1-1/4+1/68 14/17 = 1-1/5+1/42-1/ /17 = 1-1/8+1/136 16/17 = 1-1/17 17/17 = 1 Nenner = 18 1/18 = 1/18 2/18 = 1/9 3/18 = 1/6 4/18 = 1/4-1/36 5/18 = 1/3-1/18 6/18 = 1/3 7/18 = 1/2-1/9 8/18 = 1/2-1/18 9/18 = 1/2 10/18 = 1-1/2+1/18 11/18 = 1-1/2+1/9 12/18 = 1-1/3
15 Hans Walser: Stammbrüche 15/18 13/18 = 1-1/3+1/18 14/18 = 1-1/4+1/36 15/18 = 1-1/6 16/18 = 1-1/9 17/18 = 1-1/18 18/18 = 1 Nenner = 19 1/19 = 1/19 2/19 = 1/9-1/171 3/19 = 1/6-1/114 4/19 = 1/4-1/25+1/1900 5/19 = 1/3-1/14+1/798 6/19 = 1/3-1/57 7/19 = 1/2-1/7+1/88-1/ /19 = 1/2-1/12+1/228 9/19 = 1/2-1/38 10/19 = 1-1/2+1/38 11/19 = 1-1/2+1/12-1/228 12/19 = 1-1/2+1/7-1/88+1/ /19 = 1-1/3+1/57 14/19 = 1-1/3+1/14-1/798 15/19 = 1-1/4+1/25-1/ /19 = 1-1/6+1/114 17/19 = 1-1/9+1/171 18/19 = 1-1/19 19/19 = 1 Nenner = 20 1/20 = 1/20 2/20 = 1/10 3/20 = 1/6-1/60 4/20 = 1/5 5/20 = 1/4 6/20 = 1/3-1/30 7/20 = 1/2-1/6+1/60 8/20 = 1/2-1/10 9/20 = 1/2-1/20 10/20 = 1/2 11/20 = 1-1/2+1/20 12/20 = 1-1/2+1/10 13/20 = 1-1/2+1/6-1/60 14/20 = 1-1/3+1/30 15/20 = 1-1/4 16/20 = 1-1/5 17/20 = 1-1/6+1/60 18/20 = 1-1/10 19/20 = 1-1/20 20/20 = 1
16 Hans Walser: Stammbrüche 16/ Die Formel von Leibniz Sie lautet: Da haben wir alternierendes Vorzeichen. Wir setzen nun den Bruch! 4! 4 = 1! ! ! 1 11 ±! = (!1) # n 2n+1 " n=0 in den alternierenden Algorithmus ein: Stammbrueche(float(PI),4); /4 = 1-1/4+1/28-1/3163+1/ / / Da! 4 irrational ist, haben wir wie beim Basler Problem ein unsinniges Beispiel. 4 Vergleich der beiden Verfahren 4.1 Nenner 19 Wir vergleichen exemplarisch die Resultate bei Brüchen mit dem Nenner 19. Der gierige Algorithmus liefert: Nenner = 19 1/19 = 1/19 2/19 = 1/10+1/190 3/19 = 1/7+1/67+1/8911 4/19 = 1/5+1/95 5/19 = 1/4+1/76 6/19 = 1/4+1/16+1/304 7/19 = 1/3+1/29+1/1653 8/19 = 1/3+1/12+1/228 9/19 = 1/3+1/8+1/66+1/ /19 = 1/2+1/38 11/19 = 1/2+1/13+1/494 12/19 = 1/2+1/8+1/152 13/19 = 1/2+1/6+1/57 14/19 = 1/2+1/5+1/28+1/887+1/ /19 = 1/2+1/4+1/26+1/988 16/19 = 1/2+1/3+1/114 17/19 = 1/2+1/3+1/17+1/388+1/ /19 = 1/2+1/3+1/9+1/342 19/19 = 1 Der alternierende Algorithmus liefert: Nenner = 19 1/19 = 1/19
17 Hans Walser: Stammbrüche 17/18 2/19 = 1/9-1/171 3/19 = 1/6-1/114 4/19 = 1/4-1/25+1/1900 5/19 = 1/3-1/14+1/798 6/19 = 1/3-1/57 7/19 = 1/2-1/7+1/88-1/ /19 = 1/2-1/12+1/228 9/19 = 1/2-1/38 10/19 = 1-1/2+1/38 11/19 = 1-1/2+1/12-1/228 12/19 = 1-1/2+1/7-1/88+1/ /19 = 1-1/3+1/57 14/19 = 1-1/3+1/14-1/798 15/19 = 1-1/4+1/25-1/ /19 = 1-1/6+1/114 17/19 = 1-1/9+1/171 18/19 = 1-1/19 19/19 = 1 Wir sehen unterschiedliche Profile. Die Maximalzahl der benötigten Stammbrüche ist bei beiden Verfahren Maximale Anzahl Im folgenden Diagramm wird zu gegebenem Nenner die maximale Anzahl der benötigten Stammbrüche dargestellt, für den gierigen Algorithmus in rot, für den alternierenden Algorithmus in blau, seitlich etwas versetzt. Die Nenner laufen von 1 bis 20. Maximalzahlen der benötigten Stammbrüche Wir sehen, dass die beiden Verfahren fast immer zur selben Maximalzahl führen, Ausnahmen sind die Nenner 14, 16 und 17, in denen der alternierende Algorithmus besser ist.
18 Hans Walser: Stammbrüche 18/18 Im Großversuch sehen wir, dass allerdings der gierige Algorithmus auch besser sein kann. Großversuch
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