Lothar Papula. Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3

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2 Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3

3 Die drei Sande Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler werden durch eine Formelsammlung, ein Such mit Klausur- und Obungsaufgaben sowie ein Such mit Anwendungsbeispielen zu einemlehr- und Lernsystern erganzt: Lothar Papula Mathematische Formelsammlung fur Ingenieure und Naturwissenschaftler Mit zahlreichen Abbildungen und Rechenbeispielen und einer ausfuhrllchen Integraltafel Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler Klausur- und Obungsaufgaben Mathematik fur Ingenieure und Natufwissenschaftler Anwendungsbeispiele Aufgabenstellungen aus Naturwissenschaft und Technik mit ausfuhrlichen L6sungen ---'

4 Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3 Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Statistik, Fehler- und Ausgleichsrechnung 5., verbesserte und erweiterte Auflage Mit 549 Abbildungen, zahlreichen Beispielen aus Naturwissenschaft und Technik sowie 285 Obungsaufgaben mit aushihrlichen L6sungen STUDIUM VIEWEG+ TEUBNER

5 Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet uber < abrufbar. 1. Auflage , verbesserte Auflage , verbesserte Auflage , verbesserte Auflage Mai , verbesserte und erweiterte Auflage 2008 Aile Rechte vorbehalten Vieweg +Teubner Verlag I GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008 Lektorat: Thomas Zipsner Der Vieweg+Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. Das Werk einschlieblich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschutzt. Jede Verwertung auberhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere fur Vervielfaltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden diirften. Technische Redaktion: Gabriele McLemore, Wiesbaden Umschlaggestaltung: Kiinkelt.opka Medienentwicklung, Heidelberg Satz: Druckhaus Thomas Mimtzer, Bad Langensalza Druck und buchbinderische Verarbeitung: Teslnska Tiskarna, a. s., Tschechien Gedruckt auf saurefreiern und chlorfrei gebleichtem Rapier. Printed in Czech Republic ISBN

6 v Vorwort Das dreibandige Werk Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler ist ein Lehr- und Arbeitsbuch fur das Grund- und Hauptstudium der naturwissenschaftlichtechnischen Disziplinen im Hochschulbereich. Es wird durch eine mathematische Formelsammlung und ein Ubungsbuch mit ausschlieblich anwendungsorientierten Aufgaben zu einem kompakten Lehr- und Lernsystem erganzt. Die Bande 1 und 2 lassen sich dem Grundstudium zuordnen, wahrend der vorliegende dritte Band spezielle Themen aus dem Hauptstudium behandelt. In der aktuellen 5. Auflage wurden aile bekannt gewordenen Fehler berichtigt und das Kapitel Fehler- und Ausgleichsrechnung geringfugig erweitert. Zur Stoffauswahl des dritten Bandes In diesem Band werden die folgenden im Hauptstudium wichtigen mathematischen Stoffgebiete behandelt: Vektoranalysis: Kurven und Flachen, Skalar- und Vektorfelder, Gradient, Divergenz und Rotation, spezielle ebene und raumliche Koordinatensysteme, Linien- oder Kurvenintegrale, Oberflachenintegrale, Integralsatze von GauB und Stokes Wahrscheinlichkeitsrechnung: Kombinatorik, Zufallsexperimente, Wahrscheinlichkeiten, Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen, Kennwerte oder MaBzahlen einer Verteilung, spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen wie z. B. Binomial-, Poisson- oder GauBverteilung, Verteilungen von mehreren ZufaIlsvariablen, Pruf- oder Testverteilungen wie z. B. Chi-Quadrat- oder t-verteilung Grundlagen der mathematischen Statistik: Zufallsstichproben, Haufigkeitsverteilungen, Kennwerte oder MaBzahlen einer Stichprobe, Parameterschatzungen, Parametertests, Anpassungs- oder Verteilungstests wie z. B. der Chi-Quadrat-Test, Korrelation und Regression Fehler- und Ausgleichsrechnung:.Fehlerarten" und MeBabweichungen, statistische Verteilung der MeBwerte und MeBabweichungen, Auswertung einer MeBreihe, Vertrauensbereiche,.Fehlerfortpflanzung" nach GauB (Varianzfortpflanzungsgesetz), Ausgleichs- oder Regressionskurven 1m Anhang (Teil A) findet der Leser wichtige Tabellen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik (benutzerfreundlich auf farbigem Papier gedruckt). Zur Darstellung des Stoffes Auch in diesem Band wird eine anschauliche, anwendungsorientierte und leicht verstandliche Darstellungsform des mathematischen Stoffes gewahlt, Begriffe, Zusammenhange, Satze und Formeln werden durch zahlreiche Beispiele aus Naturwissenschaft und Technik und anhand vieler Abbildungen naher erlautert.

7 VI Zur aulleren Form Zentrale Inhalte wie Definitionen, Satze, Formeln, Tabellen, Zusammenfassungen und Beispiele sind besonders hervorgehoben: Definitionen und Satze, Formeln und Zusammenfassungen sind gerahmt und grau unterlegt. Tabellen sind gerahmt und teilweise grau unterlegt. Anfang und Ende eines Beispiels sind durch das Symbol _ gekennzeichnet. Bei der (bildlichen) Darstellung von Flachen und raumlichen Korpern werden Grauraster unterschiedlicher HeIligkeit verwendet, urn besonders anschauliche und aussagekraftige Bilder zu erhalten. Zum Einsatz von Computeralgebra-Programmen In zunehmendem MaBe werden leistungsfahige Computeralgebra-Programme wie z. B. DERIVE, MATHCAD oder MATHEMATICA bei der mathematischen Losung kompakter naturwissenschaftlich-technischer Probleme in Praxis und Wissenschaft erfolgreich eingesetzt. Solche Programme konnen bereits im Grundstudium ein nutzliches und sinnvolles Hilfsmittel sein und so z. B. als eine Art.Kontrollinstanz" beim Losen von Ubungsautgaben verwendet werden (Uberprufung der von Hand ermittelten Losungen mit Hilfeeines Computeralgebra-Programms auf einem PC). Die meisten der in diesem Werk gestellten Aufgaben lassen sich auf diese Weise problemlos losen. Eine Bitte.des Autors Fur Hinweise und Anregungen - insbesondere auch aus dem Kreis der Studierenden bin ich stetsdankbar, Sie sindeine unverzichtbare Voraussetzung und Hilfe fur die stetige Verbesserung des Lehrwerkes. Ein Wort des Dankes..... an aile Fachkollegen und Studierenden, die durch Anregungen und Hinweise zur Verbesserung dieses Werkes beigetragen haben,.. an die Mitarbeiterdes Verlages, ganz besonders aber an Herro Thomas Zipsner und Herro Ewald Schmitt, fur die hervorragende Zusammenarbeit wahrend der Entstehung und Drucklegung dieses Werkes. Wiesbaden, im Friihjahr 2008 Lothar Papula

8 VII Inhaltsverzeichnis I Vektoranalysis 1 1 Ebene und raumliche Kurven Vektorielle Darstellung einer Kurve Differentiation eines Vektors nach einem Parameter Ableitung eines Vektors Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor eines Massenpunktes Bogenlange einer Kurve Tangenten- und Hauptnormaleneinheitsvektor Kriimmung einer Kurve Ein Anwendungsbeispiel: Zerlegung von Geschwindigkeit und Beschleunigung in Tangential- und Normalkomponenten 27 2 Flachen im Raum Vektorielle Darstellung einer Flache Flachenkurven Tangentialebene, Flachennormale, Flachenelement Flachen vom Typ z = f't»; y) 43 3 Skalar- und Vektorfelder Ein einfiihrendes Beispiel Skalarfelder Vektorfelder Spezielle Vektorfelder aus Physik und Technik Homogenes Vektorfeld Kugelsymmetrisches Vektorfeld (Zentralfeld) Zylindersymmetrisches Vektorfeld Zusammenstellung der behandelten Vektorfelder 60 4 Gradient eines Skalarfeldes Definition und Eigenschaften des Gradienten Richtungsableitung Flachen vom Typ F(x; y; z) = Ein Anwendungsbeispiel: Elektrisches Feld einer Punktladung 69

9 VIII Inhaltsverzeichnis 5 Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes 5.1 Divergenz eines Vektorfeldes Ein einfiihrendes Beispiel Definition und Eigenschaften der Divergenz Ein Anwendungsbeispiel: Elektrisches Feld eines homogen geladenen Zylinders Rotation eines Vektorfeldes ' Definition und Eigenschaften der Rotation Ein Anwendungsbeispiel: Geschwindigkeitsfeld einer rotierenden Scheibe Spezielle Vektorfelder Quellenfreies Vektorfeld Wirbelfreies Vektorfeld Laplace- und Poisson-Gleichung Ein Anwendungsbeispiel: Potentialgleichung des elektrischen Feldes Spezielle ebene und raumliche Koordinatensysteme Polarkoordinaten Definition und Eigenschaften der Polarkoordinaten Darstellung eines Vektors in Polarkoordinaten Darstellung von Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace- Operator in Polarkoordinaten Ein Anwendungsbeispiel: Geschwindigkeitsvektor bei einer gleichformigen Kreisbewegung Zylinderkoordinaten Definition und Eigenschaften der Zylinderkoordinaten Darstellung eines Vektors in Zylinderkoordinaten Darstellung von Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace- Operator in Zylinderkoordinaten Zylindersymmetrische Vektorfelder Ein Anwendungsbeispiel: Geschwindigkeitsvektor eines Massenpunktes in Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten Definition und Eigenschaften der Kugelkoordinaten Darstellung eines Vektors in Kugelkoordinaten Darstellung von Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace- Operator in Kugelkoordinaten Kugelsymmetrische Vektorfelder (Zentralfelder) Ein Anwendungsbeispiel: Potential und elektrische Feldstarke in der Umgebung einer geladenen Kugel

10 Inhaltsverzeichnis IX 7 Linien- oder Kurvenintegrale Ein einfiihrendes Beispiel Definition eines Linien- oder Kurvenintegrals Berechnung eines Linien- oder Kurvenintegrals Wegunabhangigkeit eines Linien- oder Kurvenintegrals. Konservative Vektorfelder Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik Kugelsymmetrische Vektorfelder (Zentralfelder) Magnetfeld eines stromdurchflossenen linearen Leiters Elektrisches Feld eines geladenen Drahtes Arbeitsintegral Arbeit eines Kraftfeldes Ein Anwendungsbeispiel: Elektronen im Magnetfeld Oberflachenintegrale Ein einfiihrendes Beispiel Definition eines Oberflachenintegrals Berechnung eines Oberflachenintegrals Oberflachenintegral in speziellen Koordinaten Oberflachenintegral in Flachenparametern... ~ Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik FluB eines homogenen Vektorfeldes durch die Oberflache eines Wiirfels FluB eines zylindersymmetrischen Vektorfeldes durch die Oberflache eines Zylinders FluB eines kugelsymmetrischen Vektorfeldes durch die Oberflache einer Kugel Integralsatze von GauB und Stokes GauBscher Integralsatz Ein einfuhrendes Beispiel GauBscher Integralsatzim Raum GauBscher Integralsatz in der Ebene Stokes'scher Integralsatz Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik Elektrisches Feld eines homogen geladenen Zylinders Magnetfeld eines stromdurchflossenen linearen Leiters 222 Ubungsaufgaben ' Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt 6 235

11 x Zu Abschnitt 7 Zu Abschnitt 8 Zu Abschnitt 9 Inhaltsverzeichnis II Wahrscheinlichkeitsrechnung Hilfsmittel aus der Kombinatorik 1.1 Urnenmodell Permutationen Kombinationen Variationen / Tabellarische Zusammenstellung der wichtigsten Formeln Grundbegriffe Einfiihrende Beispiele Zufallsexperimente Elementarereignisse und Ergebnismenge eines Zufallsexperiments Ereignisse und Ereignisraum Verkniipfungen von Ereignissen Wahrscheinlichkeit Laplace-Experimente Wahrscheinlichkeitsaxiome Eigenschaften der relativen Haufigkeiten Wahrscheinlichkeitsaxiome von Kolmogoroff Festlegung unbekannter Wahrscheinlichkeiten in der Praxis ("statistische" Definition der Wahrscheinlichkeit) Wahrscheinlichkeitsraum ( Additionssatz fur beliebige Ereignisse Bedingte Wahrscheinlichkeit Multiplikationssatz Stochastisch unabhangige Ereignisse Ereignisbaume Totale Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und Bayes'sche Formel Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen Zufallsvariable oder Zufallsgrolsen Einfiihrende Beispiele Definition einer Zufallsvariablen Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen (diskrete Verteilung) Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariablen (stetige Verteilung)

12 Inhaltsverzeichnis XI 5 Kennwerte oder Ma8zahlen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung Erwartungswert einer Zufallsvariablen Ein einfiihrendes Beispiel Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen Erwartungswert einer Funktion Mittelwert, Varianz und Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen Mittelwert, Varianz und Standardabweichung einer stetigen Zufallsvariablen Mittelwert und Varianz einer linearen Funktion Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung Poisson-Verteilung GauBsche Normalverteilung Allgemeine Normalverteilung Standardnormalverteilung, Erlauterungen zur tabellierten Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der tabellierten Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung Quantile der Standardnormalverteilung Zusammenhang zwischen der Binomialverteilung und der Normalverteilung Tabellarische Zusammenstellung der wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen Approximation einer diskreten Verteilung durch eine andere Verteilung, insbesondere durch die Normalverteilung Wahrscheinlichkeitsverteilungen von mehreren Zufallsvariablen Ein einfuhrendes Beispiel...' Zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilungen Verteilungsfunktion einer zweidimensionalen Zufallsvariablen Diskrete zweidimensionale Verteilung Stetige zweidimensionale Verteilung Stochastisch unabhangige Zufallsvariable Funktionen von mehreren Zufallsvariablen Summen und Produkte von Zufallsvariablen Additionssatz fur Mittelwerte :2 Multiplikationssatz fur Mittelwerte Additionssatz fur Varianzen Eigenschaften einer Summe von stochastisch unabhangigen und normalverteilten Zufallsvariablen

13 XII Inhaltsverzeichnis 7.6 Uber die grobe Bedeutung der GauBschen Normalverteilung in den Anwendungen Zentraler Grenzwertsatz Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Summevon Zufallsvariablen Grenzwertsatz von Moivre-Laplace g Pruf- oder Testverteilungen Chi-Quadrat-Verteilung t-verteilung von Student 440 Ubungsaufgaben Zu Abschnitt 1 Zu Abschnitt 2 Zu Abschnitt 3 Zu Abschnitt 4 Zu Abschnitt 5 Zu Abschnitt 6 Zu Abschnitt III Grundlagen der mathematischen Statistik Grundbegriffe Ein einfuhrendes Beispiel Zufallsstichproben aus einer Grundgesamtheit Haufigkeitsverteilung einer Stichprobe Haufigkeitsfunktion einer Stichprobe Verteilungsfunktion einer Stichprobe Gruppierung der Stichprobenwerte bei umfangreichen Stichproben (Einteilung in Klassen) Kennwerte oder Mafizahlen einer Stichprobe Mittelwert, Varianz und Standardabweichung einer Stichprobe Spezielle Berechnungsformeln fiir die Kennwerte einer Stichprobe Berechnung der Kennwerte unter Verwendung der Haufigkeitsfunktion Berechnung der Kennwerte einer gruppierten Stichprobe Statistische Schatzmethoden fur die unbekannten Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ("Parameterschiitzungen") Aufgaben der Parameterschatzung Schatzfunktionen und Schatzwerte fur die unbekannten Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ("Punktschatzungen") Ein einfuhrendes Beispiel Schatz- und Stichprobenfunktionen

14 Inhaltsverzeichnis XIII Schatzungen fur den Mittelwert J Schatzungen fur die Varianz (J Schatzungen fur einen Anteilswert p (Parameter p einer Binomialverteilung) Tabellarische Zusammenstellung der wichtigsten Schatzfunktionen und ihrer Schatzwerte Ein Verfahren zur Gewinnung von Schatzfunktionen Maximum-Likelihood-Methode Anwendungen auf spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen Binomialverteilung Poisson-Verteilung GauBsche Normalverteilung Vertrauens- oder Konfidenzintervalle fur die unbekannten Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ("Intervallschatzungen") Vertrauens- oder Konfidenzintervalle und statistische Sicherheit Vertrauensintervalle fur den unbekannten Mittelwert J.1 einer Normalverteilung bei bekannter Varianz (J Vertrauensintervalle fur den unbekannten Mittelwert J.1 einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz (J Vertrauensintervalle fiir die unbekannte Varianz (J2 einer Normalverteilung Vertrauensintervalle fur einen unbekannten Anteilswert p (Parameter p einer Binomialverteilung) Vertrauensintervalle fur den unbekannten Mittelwert J.1 einer beliebigen Verteilung Statistische Prufverfahren fur die unbekannten Parameter einer Wahrschein- Iichkeitsverteilung ("Parametertests") Ein einfiihrendes Beispiel Statistische Hypothesen und Parametertests Planung und Durchfiihrung eines Parametertests Mogliche Fehlerquellen bei einem Parametertest Spezielle Parametertests Tests fur den unbekannten Mittelwert J.1 einer Normalverteilung bei bekannter Varianz (J Tests fur den unbekannten Mittelwert J.1 einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz (J Tests fur die Gleichheit der unbekannten Mittelwerte J.11 und J.12 zweier Normalverteilungen (Differenzentests) Abhangige und unabhangige Stichproben Differenzentests bei abhangigen Stichproben Differenzentests bei unabhangigen Stichproben Tests fur die unbekannte Varianz (J2 einer Normalverteilung Tests fur einen unbekannten Anteilswert p (Parameter p einer Binomialverteilung) Ein Anwendungsbeispiel: Statistische Qualitatskontrolle unter Verwendung von Kontrollkarten 593

15 XIV Inhaltsverzeichnis 5 Statistische Pnifverfahren fur die unbekannte Verteilungsfunktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ("Anpassungs- oder Verteilungstests") Aufgaben eines Anpassungs- oder Verteilungstests Ein einfuhrendes Beispiel Chi-Quadrat-Test (" X 2 -Test") Korrelation und Regression Korrelation Korrelationskoeffizient einer zweidimensionalen Stichprobe Korrelationskoeffizient einer zweidimensionalen Grundgesamtheit Regression 627 Ubungsaufgaben Zu Abschnitt 1 Zu Abschnitt 2 Zu Abschnitt 3 Zu Abschnitt 4 Zu Abschnitt 5 Zu Abschnitt IV Fehler- und Ausgleichsrechnung "Fehlerarten" (systematische und zufallige Me6abweichungen). Aufgaben der Fehler- undausgleichsrechnung Statistische Verteilung der Me6werte und Me6abweichungen ("Me6fehler") Haufigkeitsverteiiungen Normalverteilte Mebgroben Auswertung einer Me6reihe Mittelwert und Standardabweichung Vertrauensbereich fur den Mittelwert 11, MeBunsicherheit, MeBergebnis "Fehlerfortpflanzung" nach Gau Ein einfiihrendes Beispiel Mittelwert einer "indirekten" Mehgrolse GauBsches Fehlerfortpflanzungsgesetz (Varianzfortpflanzungsgesetz) MeBergebnis fur eine.jndirekte" Meligrobe Ausgleichs- oder Regressionskurven Ein einfiihrendes Beispiel Ausgleichung nach der "GauBschen Methode der kleinsten Quadrate".. 691

16 Inhaltsverzeichnis xv 5.3 Ausgleichs- oder Regressionsgerade Bestimmung der Parameter einer Ausgleichsgeraden..., StreuungsmaBe und Unsicherheiten bei der Parameterbestimmung Ausgleichs- oder Regressionsparabel Nichtlineare Ausgleichsprobleme, die auf die lineare Regression zuruckfuhrbar sind Ubungsaufgaben Zu Abschnitt 3 Zu Abschnitt 4 Zu Abschnitt Anhang Teil A: Tabellen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Tabelle 1: Verteilungsfunktion (u) der Standardnormalverteilung Tabelle 2: Quantile der Standardnormalverteilung Tabelle 3: Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung ' Tabelle 4: Quantile der t- Verteilung von "Student" Teil B: Losungen der Ubungsaufgaben I Vektoranalysis Abschnitt 1 ' Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt II Wahrscheinlichkeitsrechnung Abschnitt ' Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt 6 ' Abschnitt

17 o. XVI Inhaltsverzeichnis III Grundlagen der mathematischen Statistik Abschnitt 1 0 Abschnitt 2 0 Abschnitt 3 0 Abschnitt 4. 0 Abschnitt 5. 0 Abschnitt IV Fehler- und Ausgleichsrechnung.. 0 Abschnitt 3 0 Abschnitt Abschnitt Literaturhinweise Sachwortverzeichnis

18 XVII Inhaltsiibersicht Band 1 Kapitel I: Allgemeine Grundlagen 1 Einige grundlegende Begriffe tiber Mengen 2 Die Menge der reellen Zahlen 3 Gleichungen 4 Ungleichungen 5 Lineare Gleichungssysteme 6 Der Binomische Lehrsatz Kapitel II: Vektoralgebra 1 Grundbegriffe 2 Vektorrechnung in der Ebene 3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum 4 Anwendungen in der Geometrie Kapitel III: Funktionen und Kurven 1 Definition und Darstellung einer Funktion 2 Allgemeine Funktionseigenschaften 3 Koordinatentransformationen 4 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion 5 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) 6 Gebrochenrationale Funktionen 7 Potenz- und Wurzelfunktionen 8 Algebraische Funktionen 9 Trigonometrische Funktionen 10 Arkusfunktionen 11 Exponentialfunktionen 12 Logarithmusfunktionen 13 Hyperbel- und Areafunktionen Kapitel IV : Differentialrechnung 1 Differenzierbarkeit einer Funktion 2 Ableitungsregeln 3 Anwendungen der Differentialrechnung

19 XVIII Inhaltsiibersicht Band 1 Kapitel V: Integralrechnung 1 Integration als Umkehrung der Differentiation 2 Das bestimmte Integral als Flacheninhalt 3 Unbestimmtes Integral und Flachenfunktion 4 Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung 5 Grund- oder Stammintegrale 6 Berechnung bestimmter Integrale unter Verwendung einer Stammfunktion 7 Elementare Integrationsregeln 8 Integrationsmethoden 9 Uneigentliche Integrale 10 Anwendungen Kapitel VI: Potenzreihenentwicklungen 1 U nendliche Reihen 2 Potenzreihen 3 Taylor-Reihen Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben

20 XIX Inhaltsiibersicht Band 2 Kapitel I: Kapitel II: Kapitel III: Kapitel IV : Kapitel V: Lineare Algebra 1 Reelle Matrizen 2 Determinanten 3 Erganzungen 4 Lineare Gleichungssysteme 5 Komplexe Matrizen 6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix Fourier-Reihen 1 Fourier- Reihe einer periodischen Funktion 2 Anwendungen Komplexe Zahlen und Funktionen 1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl 2 Komplexe Rechnung 3 Anwendungen der komplexen Rechnung 4 Ortskurven Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen 1 Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung 2 Partielle Differentiation 3 Mehrfachintegrale Gewohnliche Differentialgleichungen 1 Grundbegriffe 2 Differentialgleichungen 1. Ordnung 3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 4 Anwendungen in der Schwingungslehre 5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 6 Numerische Integration einer Differentialgleichung 7 Systeme linearer Differentialgleichungen