Verlauf Material LEK Glossar Lösungen. Marcel Schmengler, Emmelshausen VORANSICHT. Klasse: 7/8 Dauer: 3 4 Stunden Inhalt:

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1 Reihe 16 S 1 Verlauf Material Die Siedler von Catan spielerisch in die Wahrscheinlichkeitsrechnung einsteigen Kosmos Verlag (Nr.: ) Marcel Schmengler, Emmelshausen erhältlich und kostet 26,99. Das Spiel Siedler von Catan ist beim Getreide Holz Lehm Erz Wolle Räuber Fotos im gesamten Beitrag, falls nicht anders angegeben: Kosmos Verlag Klasse: 7/8 Dauer: 3 4 Stunden Inhalt: Zufallsexperiment mit 2 Würfeln, Prognose, Ergebnismenge, Ereignis, Laplace-Wahrscheinlichkeit, absolute und relative Häuigkeiten, Bernoulli-Kette, Gesetz der großen Zahlen Ihr Plus: Eine Blütenaufgabe bietet eine differenzierte Rückmeldung zum Lernerfolg. Anhand des Spiels Die Siedler von Catan führen Sie die Grundbegriffe der Stochastik ein. Die Schüler erkennen in einem Experiment die Gültigkeit des Gesetzes der großen Zahlen. Am Ende steht eine Blütenaufgabe. Nutzen Sie die Blütenaufgabe zur Lernerfolgskontrolle!

2 Reihe 16 S 2 Verlauf Material Didaktisch-methodische Hinweise Die vorliegenden Materialien bieten einen spielerischen Zugang zur Wahrscheinlichkeitsrechnung. Auf der Basis des Spiels Die Siedler von Catan zeigen wir eine Möglichkeit auf, die Grundbegriffe der Stochastik wie das Zufallsexperiment und dessen Ergebnismenge einzuführen. Die Schüler haben nach einer kurzen Einstiegsphase, in der Sie die Spielidee erläutern, die Möglichkeit, eigenständig zu arbeiten. Zunächst entdecken sie mithilfe eines Experimentes das Gesetz der großen Zahlen (M 2). Aber auch die Theorie kommt nicht zu kurz: Ihre Schüler lernen, die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Experiments theoretisch zu begründen. Aufgaben zum Spiel Die Siedler von Catan motivieren die Schüler, ihr neu gewonnenes Wissen anzuwenden. Fachlicher Hintergrund: Zufallsexperimente und das Gesetz der großen Zahlen Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit zufälligem Ausgang. Es ist beliebig oft wiederholbar und hat mindestens zwei verschiedene, nicht vorhersehbare Ergebnisse. Die Ergebnismenge ist einfach die Menge der Ergebnisse des Zufallsexperimentes. Ein Bernoulli- Experiment ist ein Experiment mit genau 2 möglichen Ausgängen. Wiederholt man das Bernoulli-Experiment n-mal, so spricht man von einer Bernoulli-Kette. Die Trefferwahrscheinlichkeit der Einzelexperimente muss hierbei immer gleich sein. Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass bei einer Bernoulli-Kette die Folge der relativen Häuigkeiten h n gegen die Trefferwahrscheinlichkeit p konvergiert: P(lim (h ) = p) = 1 n n Blütenaufgaben kontextorientierte Aufgaben mit steigendem Schwierigkeitsgrad Am Ende der Unterrichtsreihe steht eine Blütenaufgabe. Diese nutzen Sie zur Lernerfolgskontrolle jedes einzelnen Schülers. Blütenaufgaben sind anforderungsgestufte Aufgaben, die aus mehreren zunehmend anspruchsvolleren Teilaufgaben zum selben Kontext bestehen. Der strukturelle Aufbau der Blütenaufgabe bedingt ihren Namen: Wie bei einer Blume, die mit den Wurzeln im Boden beginnt, startet die Blütenaufgabe mit Grundaufgaben, die jeder Schüler beherrschen sollte. Auf diesem Fundament bauen Umkehraufgaben, Begründungsaufgaben, das Erinden eigener Aufgaben oder auch offene Aufgaben auf. Zu Diagnosezwecken und zur Förderung mathematischer Kompetenz Bei der praktischen Umsetzung sollten Sie darauf achten, dass das Anforderungsniveau für die Schüler transparent bleibt. Etwa die Frage, wie viele Aufgaben die Schüler lösen müssen oder wie viel Zeit für die Bearbeitung zur Verfügung steht. Blütenaufgaben sind im Unterricht sowohl zur Diagnose als auch zur Förderung mathematischer Kompetenzen geeignet. Sie bieten die Möglichkeit, binnendifferenziert zu arbeiten. Folgende Merkmale charakterisieren eine Blütenaufgabe und helfen Ihnen dabei, selbst solche Aufgaben zu entwickeln: 1. Die Blütenaufgabe hat einen in sich geschlossenen Kontext. 2. Die Einzelaufgaben sind unabhängig voneinander, damit die Schüler die Möglichkeit haben, frei zu wählen. 3. Die ersten Aufgaben trainieren grundlegende Kompetenzen. 4. Der Kontext wird unter verschiedenen Facetten betrachtet. 5. Die einzelnen Aufgaben werden von Stufe zu Stufe immer offener. 6. Der Arbeitsaufwand der einzelnen Teilaufgaben sollte nicht zu hoch sein.

3 Reihe 16 S 4 Verlauf Material Auf einen Blick Einstieg Material Thema Stunde M 1 Die Siedler von Catan eine kleine Regelkunde Die Regeln wiederholen 1. Haptisch Material Thema Stunde M 2 Welches Feld wählen? Ein Experiment hilft 1. M 3 Analyse Mithilfe eines Experimentes das Gesetz der großen Zahlen entdecken Die wichtigsten e Tippkarte und Memoblatt Mathematische e, die man sich merken muss, erlernen Material Thema Stunde M 4 Was haben sich die Entwickler des Spiels gedacht? Mithilfe von Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen das Design des Spiels begründen M 5 Welche Taktik ist die beste? Ein Proisiedler werden Eine strategische Entscheidung für den Bau einer Siedlung fällen Eine Blütenaufgabe zur Leistungskontrolle Material Thema Stunde M 6 LEK Würfelexperimente teste dein Wissen! Anforderungsgestufte Aufgaben zur Leistungskontrolle 4. Minimalplan Bei Zeitnot lassen Sie die Schüler die Regeln des Spiels (M 1) als Hausaufgabe wiederholen. Die Schüler machen das Würfelexperiment (M 2) und erlernen die wichtigsten e (M 3). Anschließend erarbeiten Sie mit den Schülern, was sich die Entwickler des Spiels gedacht haben (M 4). M 5 ist Zusatzmaterial für Schnelle. Auf eine Leistungskontrolle verzichten Sie, wenn die Zeit knapp ist. Stattdessen lassen Sie die Schüler das Material M 6 als Hausaufgabe bearbeiten.

4 S 1 M 1 Die Siedler von Catan eine kleine Regelkunde Ziel des Spiels Während des Spiels muss es dir gelingen, auf der Insel Catan, die aus einer Reihe von sechseckigen Rohstofffeldern besteht, Straßen, Siedlungen und Städte zu bauen. Für jede Siedlung erhältst du 1 Siegpunkt, für jede Stadt 2 Siegpunkte. Für den Bau der Städte, Siedlungen und Straßen gelten gewisse Regeln (z. B. die Abstandsregel), die du im Internet indest unter: Sieger ist, wer als Erster 10 Siegpunkte erreicht hat. Wie erhalte ich die Rohstoffe für den Bau von Siedlungen? Zu Beginn des Spiels setzt jeder Spieler 2 Siedlungen an beliebige Rohstofffelder. Auf diesen Feldern liegen Zahlenkärtchen. Man würfelt mit 2 Würfeln. Steht deine Siedlung an einem Rohstofffeld, auf dem ein Zahlenkärtchen mit der gewürfelten Augensumme liegt, erhältst du den entsprechenden Rohstoff. Es kommt also darauf an, an welchem Zahlenkärtchen deine Siedlung steht. Außerdem gibt es die Möglichkeit, mit den Mitspielern und der Bank Rohstoffe zu tauschen. Anschließend hast du die Möglichkeit, deine Straßen, Siedlungen und Städte zu bauen. Baue deine Siedlungen an den Feldern, die möglichst viel Ertrag bringen.

5 S 2 Der Siedlungsbau Um eine Siedlung zu bauen, benötigst du Rohstoffe. Es gibt Holz, Lehm, Getreide, Wolle und Erz. Folgende Materialien benötigst du zum Bau: Straße Holz Lehm Siedlung Holz Getreide Stadt Wolle Lehm Getreide Getreide Erz Erz Erz Wenn die 7 gewürfelt wird Ein Zahlenkärtchen mit der 7 gibt es nicht. Wenn diese Augensumme gewürfelt wird, tritt der Räuber in Aktion. Der Spieler, der an der Reihe ist, setzt den Räuber auf ein beliebiges Rohstofffeld und zieht bei einem Spieler, der eine Siedlung an dem Feld hat, eine Karte. Hat ein Spieler mehr als 7 Karten auf der Hand, muss er die Hälfte seiner Karten auf den Vorratsstapel zurückgeben.

6 S 3 M 2 Welches Feld wählen? Ein Experiment hilft Zu Beginn des Spiels hast du die Wahl: Die Siedler von Catan ist in erster Linie ein Glücksspiel. Es hängt nämlich vom Zufall ab, welche Zahlen du würfelst. Gewürfelt wird mit 2 Würfeln, die Augensumme gibt an, welches Rohstofffeld einen Ertrag bringt. Wenn du Informationen darüber hättest, welche Augensumme am häuigsten gewürfelt wird, dann wäre die Antwort auf die Frage, wohin du deine Siedlung bauen sollst, sicher einfach. Das folgende Experiment gibt dir Aufschluss darüber. Experiment Nimm die beiden Würfel und würfele 50 Mal. Addiere bei jedem Wurf die Augenzahlen. Halte in Form einer Strichliste fest, wie oft die Summe der beiden Würfel 3, 8 oder 10 ergibt. Vergleiche deine Ergebnisse mit denen deines Banknachbarn. Addiert eure Ergebnisse, sodass eure Stichprobe 100 Würfe umfasst. Man sagt: Die Grundgesamtheit der Stichprobe beträgt dann 100. Welche Augensumme tritt bei 100 Würfen am häuigsten auf? Rohstofffeld Holz Anzahl Würfe 100 Würfe Antwort: Kannst du euer Ergebnis auch begründen? Die mathematischen e (M 3) helfen dir weiter.

7 S 4 M 3 Die wichtigsten e Tippkarte und Memoblatt Für die Entscheidung, welches Feld du wählen sollst, ist es wichtig zu wissen, welche Ergebnisse die Würfel liefern können. Dabei könnte man das Spiel auch mit nur einem Würfel spielen. Man müsste diesen dann 2 Mal werfen und die Augenzahlen addieren. Beispiel: Summe = 4 Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es beim Wurf mit 2 Würfeln? Welche Kombinationen gibt es für die 3, für die 8 und für die 10? Halte deine Ergebnisse als geordnete Stichprobe fest: Für die oben dargestellte Situation: (1,3), d. h. 1. Würfel = 1. Eintrag; 2. Würfel = 2. Eintrag Das Würfelexperiment ist ein Beispiel für ein Zufallsexperiment, d. h. ein Experiment, dessen Ausgang vom Zufall abhängt. Ein Zufallsexperiment ist beliebig oft wiederholbar und hat mindestens 2 verschiedene, nicht vorhersehbare Ergebnisse. Prognose = Vorhersage über den Ausgang eines Zufallsexperimentes Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit endlich vielen Ausgängen, bei dem alle Ereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben (Beispiel: Münzwurf, Würfelwurf). Anzahl der Ergebnisse, bei denen A eintritt P Laplace(A) =, A = Ereignis Anzahl aller möglichen Ergebnisse absolute Häuigkeit = wie oft das Ergebnis in der Versuchsreihe aufgetreten ist relative Häuigkeit = absolute Häuigkeit / Anzahl der Versuche Bernoulli-Experiment = Zufallsexperiment mit genau 2 möglichen Ergebnissen Ein Baumdiagramm dient der systematischen Beschreibung eines mehrstuigen Zufallsexperimentes. Jeder Pfad des Diagramms beschreibt ein Elementarereignis (= Ergebnis). Bernoulli-Kette = eine Serie voneinander unabhängiger Bernoulli-Experimente, bei der die Trefferwahrscheinlichkeiten der einzelnen Bernoulli-Experimente alle gleich sind. Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass bei einer Bernoulli-Kette die Folge der relativen Häuigkeiten h n gegen die Trefferwahrscheinlichkeit p konvergiert.

8 S 5 M 4 Was haben sich die Entwickler des Spiels gedacht? Wir betrachten das Spiel Die Siedler von Catan mit mathematischen Augen. Dabei fällt auf, dass sich die Entwickler des Spiels mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung auskennen. Aufgabe 1 Auf dem Bild siehst du die Zahlenkarten für die Rohstofffelder. Die Zahlen sind in unterschiedlicher Größe abgedruckt. a) Warum ist die 2 kleiner gedruckt als die 4? b) Erkläre, warum die 6 und 8 am größten gedruckt wurden. c) Welche Zahlen haben noch die gleiche Größe? Begründe! Aufgabe 2 Im Bild rechts siehst du den Räuber. Dieser wird aktiv, wenn ein Spieler die Augensumme 7 würfelt. Dann darf derjenige, der gewürfelt hat, einem Mitspieler einen Rohstoff stehlen. Warum haben die Entwickler des Spiels wohl die 7 gewählt, um den Räuber zu aktivieren? Begründe deine Antwort sowohl mathematisch als auch vor dem Hintergrund des Spielverlaufs. Zahlenkärtchen des Spiels Die Siedler von Catan Foto: Marcel Schmengler Aufgabe 3 Die Entwickler des Spiels sind dabei, eine Erweiterung des Spiels zu entwerfen: Dabei sollen die Spieler nach dem Würfeln, neben der Tatsache, dass ihnen der Räuber Rohstoffe klaut, auch belohnt werden. Allerdings soll die Belohnung, ein Rohstoff nach Wahl, etwas Besonderes sein. Hilf den Spieleentwicklern. Formuliere die mögliche neue Spielregel. Begründe auch, warum du sie für sinnvoll hältst. Der Räuber Foto: Marcel Schmengler

9 S 6 M 5 Welche Taktik ist die beste? Ein Proisiedler werden Hier lernst du mithilfe der Mathematik, ein richtiger Proi im Siedeln zu werden. Aufgaben 1. Du erhältst Rohstoffe für alle Zahlenfelder, an denen deine Siedlung steht. Wohin setzt du deine Siedlung? Begründe deine Entscheidung! Möglichkeit 1: Möglichkeit 2: 2 2. In der Regel grenzen die Siedlungen an verschiedene Ländereien. An welche Felder setzt du nun deine Siedlung, wenn du a) vorwiegend Holz (schwarz) und Lehm (weiß) benötigst? b) vorwiegend Holz (schwarz) und Lehm (weiß) benötigst, aber die Möglichkeit hast, Lehm 2 : 1 gegen einen beliebigen Rohstoff zu tauschen? Begründe auch hier deine Entscheidung! Möglichkeit 1: Möglichkeit 2:

10 S 7 M 6 Würfelexperimente teste dein Wissen! Bearbeite zwei Aufgaben deiner Wahl. Du hast 20 Minuten Zeit. Die Geschwister Laura und Leolo denken sich Glücksspiele mit 2 Würfeln aus. Aufgaben 1. Leolo darf sich aussuchen, ob er beim Spiel gegen seine Schwester mit der Augensumme 8 oder der Augensumme 9 gewinnt. Hilf ihm bei seiner Entscheidung. 2. Während ihr Bruder Leolo sich Regeln für ein neues Spiel ausdenkt, würfelt Laura einige Male und addiert die Augen. Sie wundert sich, dass eine Summe ziemlich oft vorkommt. Welche ist das? Begründe! Legende: 3. Laura und Leolo haben eine Idee: Anstatt zu würfeln und die Augen zu addieren, könnte man auch ein Glücksrad konstruieren, das die Zahlen 2 bis 12 enthält. Dabei sollen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Zahlen denen beim Würfeln entsprechen. Leolo zeichnet eine Skizze des Glücksrades. Kannst du das auch? 4. Laura schlägt vor, dass sie bei den Augensummen 5, 6 und 8 und Leolo bei 2, 7 und 12 gewinnt. Bei den restlichen Augensummen gewinnt keiner. = leicht Sollte Leolo auf den Vorschlag eingehen? Begründe! = schwieriger Foto: J. Mittag Weltspieltag des Deutschen Kinderhilfswerks Foto: picture-alliance / dpa

11 S 1 Lösungen und W Tipps zum Einsatz Einstieg In der Regel ist das Spiel einem Großteil der Klasse bekannt, sodass die Schüler die Idee des Spieles in Grundzügen erläutern können: Die Siedler von Catan ist ein Würfelspiel mit 2 Würfeln. Erklären Sie vorab, wie man Rohstoffe gewinnt. Dann untersuchen die Schüler die folgende Frage: An welches Feld soll ich meine Siedlung setzen? Lassen Sie sie dazu Vermutungen äußern. Einige Lernende werden bestimmt sagen, dass man am besten das Feld mit der Nummer 8 wählen sollte. Planen Sie gemeinsam mit den Schülern ein Experiment, um die Vermutung zu überprüfen. So leiten Sie ohne Bruch zum Arbeitsblatt M 4 über. M 1 Die Siedler von Catan eine kleine Regelkunde Dieses Blatt setzen Sie ein, falls einige Ihrer Schüler das Spiel noch nicht kennen bzw., um durch eine kurze Wiederholung der Regeln für alle die gleichen Grundlagen zu schaffen. M 2 Welches Feld wählen? Ein Experiment hilft Ein Hinweis bezüglich der zu erwartenden Lautstärke: Lassen Sie die Schüler auf einem Heft oder Ähnlichem würfeln, da sonst der Lautstärkepegel sehr hoch wird und ein konzentriertes Arbeiten kaum möglich ist. Lassen Sie Ihre Schüler zu zweit zusammenarbeiten. Jeder Schüler hat zwei Würfel und würfelt 50 Mal. Er addiert bei jedem Wurf die Augensumme der beiden Würfel und hält seine Ergebnisse in einer Strichliste fest. Anschließend addieren die Partner ihre Ergebnisse, sodass in relativ kurzer Zeit Würfelergebnisse von 100 Würfen zur Verfügung stehen. Mit diesem Würfelexperiment werden Ihre Schüler schnell erkennen, dass es am besten ist, seine Siedlung auf das Feld mit der 8 zu setzen. Die Schüler können die Frage, wohin man zu Beginn des Spiels seine Siedlung am besten setzt, also recht schnell beantworten, aber noch nicht begründen. Es lohnt sich, die Ergebnisse der ganzen Klasse zu sammeln und an der Tafel festzuhalten. So vergrößern Sie den Umfang der Stichprobe und erreichen ein deutlich klareres Ergebnis (Gesetz der großen Zahlen). Die zu erwartende Antwort lautet: Wir setzen unsere Siedlung an die 8, da sie bei 100 Würfen am häuigsten vorkommt. Allerdings fällt den Schülern die theoretische Begründung mitunter nicht so leicht. Die Tippkarten helfen hier weiter. Anhand des Ergebnisses eines einzelnen Wurfes kann man begründen, warum die 8 am häuigsten gewürfelt wird. Hier die Kombinationsmöglichkeiten für die gefragten Augensummen: 3: (1,2); (2,1) 8: (2,6); (3,5); (4,4); (5,3); (6,2) 10: (4,6); (5,5); (6,4)