6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Definitionen und Beispiele Beispiel 1 Zufallsexperiment 1,2,3,4,5,6 Elementarereignis

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1 1 6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Definitionen und Beispiele Spiele aus dem Alltagsleben: Würfel, Münzen, Karten,... u.s.w. sind gut geeignet die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung darzustellen. Wir wollen uns deshalb zunächst die grundlegenden Definitionen durch Beispiele aus der Welt der Spiele veranschaulichen. Beispiel 1 Augenzahl beim Wurf mit einem homogenen Würfel Der Wurf mit einem homogenen Würfel ist ein Vorgang, den wir in der Wahrscheinlichkeitslehre Zufallsexperiment nennen. Bei einem solchen Wurf wird stets eine der 6 Augenzahlen des Würfels 1,2,3,4,5,6 auftreten. Wir nennen jedes der 6 möglichen Ergebnisse ein Elementarereignis. Die Gesamtheit aller Elementarereignisse heißt Ergebnismenge E: E={1,2,3,4,5,6}. Welches der 6 Elementarereignisse bei dem Wurf eintritt, ist nicht vorhersehbar, sondern zufallsbedingt. Aus diesem Grund sprechen wir von einem Zufallsexperiment. Wir können verschiedene Elementarereignisse unter verschiedenen Gesichtspunkten zusammenfassen: Z.B. "Alle geraden Elementarereignisse: A={2,4,6}", "Alle ungeraden Elementarereignisse: B={1,3,5}" oder "Alle Primzahlen unter den Elementarereignissen: C={2,3,5}", u.s.w.. Die Zusammenfassung der Elementarereignisse ist stets eine Teilmenge der Ergebnismenge E: A " E,B " E oder C " E. Wir nennen A,B und C dann Ereignisse des Würfelexperimentes. Gemäß den Rechenregeln der Mengenlehre existieren zu einer Menge aus n Elementen 2 n Teilmengen, wozu auch E selbst und die leere Menge gehören. Die Menge aller Ereignisse, die sich durch Teilmengenbildung aus der Ergebnismenge E erzeugen lässt, nennen wir auch den Ereignisraum. Im Zusammenhang mit den Zufallsexperimenten werden wir auch den Begriff der Zufallsvariablen verwenden. Eine Zufallsvariable kann diskret oder stetig sein. Sie ist das Ergebnis einer Abbildung, die jedem Elementarereignis e i E genau eine Zahl X(e i ) zuordnet. In unserem Beispiel ist eine solche Zahl zweckmäßig durch das Element selbst definiert: X(e i )=e i, z.b. X(3)=3. Beispiel 2 Augenzahl beim Wurf mit zwei unterscheidbaren Würfeln Beim Wurf mit einem roten und einem schwarzen Würfel können insgesamt 36 verschiedene Konstellationen auftreten. Wir benennen die Ergebnismenge, indem wir die möglichen Elementarereignisse zusammenfassen und schreiben für jedes Elementarereignis zuerst die Augenzahl des roten Würfels: E={(1,1);(1,2);(1,3);... ;(6,4);(6,5);(6,6)}. Wir können unter verschiedenen Gesichtspunkten zu dieser Ergebnismenge Teilmengen formulieren. Z.B. als Menge aller Elementarereignisse, bei denen der rote Würfel eine 1 zeigt: Ereignis A: Roter Würfel zeigt eine 1: A={(1,1);(1,2);(1,3);(1,4);(1,5);(1,6)}. Weil jeder Wurf ein Zufallsergebnis erzeugt, handelt es sich auch in diesem Experiment um ein Zufallsexperiment. Jedem Paar aus der Menge der Elementarereignisse können wir eine Zahl x zuordnen, z.b. die Summe der Augenzahlen. Dadurch definieren wir für dieses Experiment eine diskrete Zufallsvariable. Die Zufallsvariablen zu unserem

2 2 Experiment bestehen in ihrer Gesamtheit aus den 11 Zahlen: X={2,3,4,...,12}. Hier verwenden wir natürlich die Zuordnung: X(e i )=Summe der Augenzahlen=x, z.b. X(1,5)=6. Beispiel 3 Ziehung von Kugeln aus einer Urne Eine Urne enthält 5 Kugeln, drei weisse und zwei schwarze. Ziehen wir zufällig zwei Kugeln aus der Urne, wobei wir Zug für Zug die Kugeln wieder zurücklegen, so entstehen folgende vier Elementarereignisse (w für weiss, s für schwarz): E = {(w,w);(w,s);(s,w);(s,s)}. Durch geeignete Formulierungen können wir Teilmengen zu E bilden: Z.B. A=Beide Kugeln sind von gleicher Farbe; A = {(w,w);(s,s)}. Das Ereignis A enthält also zwei Elementarereignisse. Insgesamt existieren zu 4 Elementen 2 4 =16 Teilmengen oder Ereignisse, deren Gesamtheit den Ereignisraum darstellt. Mit den Zuordnungen X(w,w)=1, X(w,s)=2, X(s,w)=3 und X(s,s)=4 erhalten wir zu den 4 Elementarereignissen die 4 diskreten Zufallsvariablen 1,2,3 und 4. Wir fassen die formulierten Begriffe zusammen: Definition Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment mit folgenden Eigenschaften: 1 Das Experiment ist unter gleichen äußeren Bedingungen beliebig oft wiederholbar. 2 Das Experiment besitzt mehrere sich gegenseitig ausschließende Ergebnisse. 3 Die Ergebnisse im Experiment sind zufallsbedingt. Definition Elementarereignis und Ergebnismenge 1 Die möglichen, sich aber gegenseitig ausschließenden Ergebnisse eines Zufallsexperimentes heißen Elementarereignisse. 2 Die Menge aller Elementarereignisse heißt Ergebnismenge. Definition Ereignis und Ereignisraum 1 Eine Teilmenge der Ergebnismenge eines Zufallsexperimentes heißt Ereignis. 2 Die Menge aller Ereignisse heißt Ereignisraum. Definition Zufallsvariable Unter einer Zufallsvariablen X verstehen wir eine Funktion, die jedem Elementarereignis e aus der Ergebnismenge E eines Zufallsexperimentes genau eine reelle Zahl x zuordnet: X(e)=x. Nachdem wir gelernt haben, daß Ereignisse eines Zufallsexperiments durch Mengen beschrieben werden, wollen wir auch die Verknüpfung von Ereignissen durch entsprechende Operationen in der Mengenlehre erklären.

3 Verknüpfungen von Ereignissen Die Vereinigung (oder Summe) A B von Ereignissen bedeutet: Entweder tritt A ein oder B oder A und B gleichzeitig. Der Durchschnitt (oder Produkt) A B von Ereignissen bedeutet: Die Ereignisse A und B treten gleichzeitig ein. Das zu A komplementäre Ereignis Das Ereignis A tritt nicht ein. Beispiele zu den Verknüpfungen 1 Zufallsexperiment: Roulett A bedeutet: Die Elementarereignisse im Roulett sind die Zahlen 0,1,2,...,36. Wir definieren zwei Ereignisse A und B um sie zu verknüpfen: A="Alle geraden Zahlen", A={2,4,6,...,36} B="Alle Zahlen im 1.Drittel", B={1,2,3,...,12}. Dann bedeuten: A B= {1,2,3,...,11,12,14,16,...,36} A B={2,4,6,8,10,12} A=E-A={0,1,3,5,...35}. 2 Zufallsexperiment: Wurf mit zwei Würfeln. Die Elementarereignisse sind die 36 Zahlenpaare (1,1),(1,2),...,(6,6). Wir definieren zwei Ereignisse für die Verknüpfung: A="Beide Augenzahlen sind gleich": A={(1,1),(2,2),...,(6,6)} B="Der zweite Würfel hat die Augenzahl 5": B={(1,5),(2,5),...(6,5)} Dann bedeuten: A B={(1,1),(2,2),...(6,6),(1,5),(2,5),...,(6,5)}, A B = {(5,5), A ==E-A = {(1,2),1,3)...,(2,1),(2,3)(2,4),...,(6,5)} Zweckdienlich zur Berechnung von Problemen in der Wahrscheinlichkeitstheorie sind die so genannten De Morganschen Regeln: Für zwei beliebige Ereignisse A und B gelten folgende Regeln: 1 2 A"B = A#B A"B = A#B.

4 Laplace-Experiment Wird ein Zufallsexperiment mit einer endlichen Ergebnismenge E hinreichend oft wiederholt und zeigt sich dabei, daß keines der Elementarereignisse gegenüber einem anderen bevorzugt auftritt, so werden alle Ereignisse stets näherungsweise gleich häufig auftreten und wir sprechen von einem Laplace-Experiment. Beispiele 1 Bei dem Wurf mit einer Münze können wir die Elementarereignisse Zahl und Wappen unterscheiden. Keines der beiden Ereignisse ist gegenüber dem anderen bevorzugt. In einer hinreichend großen Versuchsreihe geht der Quotient der Anzahl der Ereignisse Zahl gegenüber der Anzahl der Ereignisse Wappen gegen 1, wie eine Versuchsreihe belegt. Autor Anzahl Anzahl Anzahl Quotient Würfe Kopf Wappen Zahl : Wappen Buffon ,953 Pearson , ,998 2 Bei dem Zufallsexperiment "Wurf mit einem Würfel" ist jedes Elementarereignis gleichmöglich, vorausgesetzt, der Würfel ist homogen. In einem Versuch mit einem Würfel wird ausgezählt, wie häufig bei n=50, n=210 und n=410 Würfen die einzelnen Augenzahlen auftreten. Augenzahl n = 50 n = 210 n = In der Tabelle sind die so genannten absoluten Häufigkeiten der einzelnen Augenzahlen für n=50, 210 und 410 aufgelistet. Im Diagramm sind die Ergebnisse prozentual (bezogen auf n) dargestellt. Wir registrieren, dass in guter Näherung alle Elementarereignisse gleich häufig vorkommen. Anmerkung zum nächsten Beispiel Manche Zufallsexperimente entsprechen vom Ansatz zwar nicht den Bedingungen eines Laplace-Experiments, weil ihre Elementarereignisse nicht gleichmöglich sind, können aber durch eine modifizierte Formulierung zu einem Laplace-Experiment gemacht werden.

5 5 3 Bei dem Ziehen einer Kugel aus einer Urne, die drei weiße und zwei schwarze Kugeln enthält, gibt es die zwei Elementarereignisse: A=Ziehen einer weißen Kugel; B=Ziehen einer schwarzen Kugel. Die Möglichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen, ist größer als die Möglichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen. Es liegt kein Laplace- Experiment vor. Wenn wir die Kugeln zusätzlich durchnumerieren und damit unterscheiden, w 1 (weiß1), w 2, w 3, s 1 (schwarz1) und s 2, so erhalten wir ein Zufallsexperiment mit 5 gleichmöglichen Elementarereignissen und damit ein Laplace Experiment. Mit dem Laplace- Experiment können wir einen ersten Wahrscheinlichkeitsbegriff formulieren. Besteht eine Ergebnismenge aus n gleichmöglichen Elementarereignissen, so wird für das einzelne Elementarereignis e i,1 i n, definitionsgemäß die folgende positive Zahl als Wahrscheinlichkeit definiert: P(e i ) = p i = 1 n. Setzt sich ein Ereignis A zusammen aus den g Elementen e k, 1 k g, so wird die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen von A definiert durch die Formel g g 1 P(A) = P({e 1,e 2,...,e g }) = " P(e k ) = " n = g n, k=1 k=1 worin der Buchstabe g auch symbolisieren soll, daß es sich um die für das Zufallsexperiment günstigen Fälle handelt. Streng mathematisch müßten wir in der Schreibweise unterscheiden zwischen P(e k ), worin e k ein Element ist, und P({e k }), worin nun {e k } ein Ereignis bzw. eine Teilmenge symbolisiert. Darauf wollen wir aber verzichten. Gemäß dieser Definition gilt natürlich für die Wahrscheinlichkeit P(A) eines beliebigen Ereignisses stets: P(A) 1, und für das sichere Ereignis gilt: P(E)=1. Außerdem gilt offensichtlich ( ) =1"P(A). P A Beispiele 1 Beim Wurf mit einem Würfel ist die Wahrscheinlichkeit für ein Elementarereignis, z.b. e 1 = 1, gegeben durch P(e 1 ) = 1. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A="Gerade 6 Zahl", A={2,4,6}, ist gegeben durch die Summe der drei Einzelwahrscheinlichkeiten der drei Elementarereignisse 2,4 und 6: P(A) = = 1 2. Das komplementäre Ereignis zu A heißt A="Ungerade Zahl", A={1,3,5}. Die Wahrscheinlichkeit für A ist gegeben durch P(A) =1"P(A) =1" 1 2 = 1 2. Die Wahrscheinlichkeit der Ergebnismenge E ist natürlich P(E)= 6" 1 6 =1.

6 6 2 Im Roulett ist die Wahrscheinlichkeit für das Elementarereignis e i ="Zahl i", 0 i 36, 1 18 gleich P(e i )=. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A="Rote Zahl" ist P(A)= 37 37, weil im Roulett 18 rote Zahlen existieren. Die Wahrscheinlichkeit für A="Keine rote Zahl" ist P(A) = 19, weil 19 der 37 Zahlen beim Roulett nicht rot sind Die Ziehung einer Kugel aus einer Urne, die drei weiße und zwei schwarze Kugeln enthält, ist prinzipiell kein Laplace-Experiment, weil die Elementarereignisse e 1 ="Weiße Kugel" und e 2 ="Schwarze Kugel" nicht gleichermaßen möglich sind. Wir können aber ein Laplace- Experiment daraus machen, indem wir die weißen bzw. die schwarzen Kugeln durchnummerieren, w 1,w 2 und w 3, bzw. s 1 und s 2, und nunmehr 5 gleichmögliche und unterscheidbare Elementarereignisse erhalten, die sich gegenseitig ausschließen. Jetzt liegt ein Laplace-Experiment vor. Fassen wir gedanklich die drei Elementarereignisse w 1,w 2 und w 3, zu einem Ereignis A={w 1,w 2, w 3 ) zusammen, so können wir die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer weißen Kugel mit den Gesetzen des Laplace-Experimentes bestimmen: P(A) = P(w 1,w 2,w 3 ) = 3 5. Entsprechend können wir die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B= A="Schwarze Kugel" berechnen: P(B) = P(A) = = 2 5 =1"P(A). " 49% 4 Beim Lottospielen gibt es m= $ ' unterscheidbare Elementarereignisse, die alle # 6 & gleichmöglich sind. Es gibt nur g=1 Wahrscheinlichkeit für den Hauptgewinn. Die Wahrscheinlichkeit P(A) eines Hauptgewinnes (Ereignis A) beträgt also: P(A) = 1. " 49% $ ' # 6 & 5 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(B) bei zehnmaligem Kartenziehen mindestens einen Buben zu ziehen, wenn nach jedem Ziehen die Karte zurückgesteckt wird? Das Kartenspiel bietet m=32 Möglichkeiten (Elementarereignisse) unterscheidbare Karten zu ziehen. Davon sind 4 günstige und 28 ungünstige Elementarereignisse, was das Ziehen eines Buben betrifft. Die Wahrscheinlichkeit bei einmaligen Ziehen 4 einen Buben zu erhalten, lautet: 32 = 1. Die Wahrscheinlichkeit bei einmaligem Ziehen keinen Buben zu erhalten, ist natürlich komplementär: = 7 8. Die Wahrscheinlichkeit bei zehnmaligem Ziehen mindestens einen Buben zu erhalten ist nun nicht etwa: P(B) = =1.25 oder 125%, 8 was logischerweise nicht zutreffen kann, sondern P(B)=1-P (B):

7 7 $ P(B) =1" 7 8 # 7 8 # 7 8 # 7 8 # 7 8 # 7 8 # 7 8 # 7 8 # 7 8 # 7 ' & ) = 0.737, % 8( worin B die Wahrscheinlichkeit anzeigt, bei zehnmaliger Ziehung keinen Buben zu erhalten. In allen fünf Beispielen basiert die Berechnungsmöglichkeit darauf, dass alle unterscheidbaren Elementarereignisse gleichwahrscheinlich waren. Dies ist aber meist nicht der Fall. Wir müssen deshalb den Wahrscheinlichkeitsbegriff verallgemeinern, um auch Zufallsexperimente mit nicht gleichmöglichen Elementarereignissen untersuchen zu können.

8 Absolute -Relative Häufigkeit; Wahrscheinlichkeit Absolute - Relative Häufigkeit Die meisten Experimente erfüllen nicht die Voraussetzungen eines Laplace-Experimentes. Wiederholen wir ein Experiment hinreichend häufig, so werden wir aber feststellen, daß die Ereignisse auf lange Dauer gewissen Gesetzmäßigkeiten unterliegen, im Gegensatz zur zufälligen Unregelmäßigkeit der einzelnen Ergebnisse. Anhand dieser Erkenntnis werden wir den einzelnen Ereignissen Wahrscheinlichkeiten zuordnen. Dabei werden wir den Begriff der relativen Häufigkeit verwenden. Die mathematische Aussage "Das Ereignis A besitzt die Wahrscheinlichkeit P(A)" soll dann folgenden Sachverhalt beschreiben: Wenn sich mit wachsender Anzahl n der Ausführungen eines Zufallexperimentes die Schwankungen in der relativen Häufigkeit h n (A) klein werden und sich einem festen Zahlenwert P(A) nähern, so werden wir diesen Zahlenwert definieren als Wahrscheinlichkeit P(A) des Zufallexperimentes, P(A) h n (A), falls n genügend groß ist. Wir sagen auch, die relativen Häufigkeiten stabilisieren sich für hinreichend viele Ausführungen um einen festen Zahlenwert. Für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten werden wir axiomatisch die Regeln formulieren, die für das Rechnen mit relativen Häufigkeiten gelten. Dazu müssen wir zunächst die Begriffe absolute Häufigkeit und relative Häufigkeit definieren und anhand geeigneter Beispiele diskutieren. Definition Absolute Häufigkeit Bei einer n-fachen Ausführung eines Zufallsexperimentes werden die einzelnen Ereignisse A, B,... mit gewissen absoluten Häufigkeiten H(A), H(B),... auftreten. Wir ermitteln die absoluten Häufigkeiten durch Abzählen. Definition Relative Häufigkeit Die relative Häufigkeit h n (A) eines Ereignisses A bei einer n-fachen Ausführung eines Zufallsexperimentes errechnen wir, indem wir die absolute Häufigkeit H n (A) durch einfaches Abzählen ermitteln und dann den Quotienten bilden: h n (A) = H n(a) n. Beispiele 1 Augenzahl mit zwei identischen Würfeln m ersten Beispiel würfeln wir mit zwei identischen Würfeln und untersuchen das Zufallsereignis "Summe der beiden Augenzahlen". Unsere Formulierung eines Elementarereignisses unterscheidet sich gegenüber dem Eingangsbeispiel, in dem wir dort die Würfel durch die Farben rot und schwarz unterschieden haben und dadurch insgesamt 36 gleichmögliche Elementarereignisse als Ergebnismenge erhielten. Im Eingangsbeispiel handelte es sich deshalb um ein Laplace- Experiment. Die Würfelsumme wurde dort als Zufallsvariable eingeführt. In diesem Beispiel unterscheiden wir die Würfel nicht und erklären die Summe der Augenzahlen als Elementarereignis. Die 11 möglichen Elementarereignisse 2,3,...,12 sind nun nicht gleichmöglich; es handelt sich um kein Laplace- Experiment. Um die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Elementarereignisse zu erforschen, führen wir umfangreiche Würfelserien durch. Die Anzahlen n der Ausführungen betragen n=190, n=428 und n= 997. Wir zählen die Häufigkeiten der einzelnen Ereignisse absolut und relativ und untersuchen, ob sich die relativen Häufigkeiten an bestimmten Zahlenwerten stabilisieren. Unsere Untersuchung stellen wir tabellarisch und grafisch dar:

9 9 Würfelsumme Absolute Häufigkeit n = 190 Absolute Häufigkeit n = 428 Absolute Häufigkeit n = 997 ( ) ( ) ( ) Würfelsumme Relative Häufigkeit n = 190 Absolute Häufigkeit n = 428 Relative Häufigkeit n = 997 Laplace ( ) 0, 04 0, 06 0,1 0, ( ) ( ) Zur Postulierung einer Wahrscheinlichkeit für die einzelnen Elementarereignisse benötigen wir deren relativen Häufigkeiten für große n. In der Tabelle und in der Grafik werden die relativen Häufigkeiten für zunehmende Anzahlen n der Ausführungen dargestellt. Außerdem ist die Wahrscheinlichkeit eingetragen, die sich für ein Laplace-Element ergibt. Nun handelt es sich in diesem Beispiel nicht um ein Laplace-Element; ansonsten wäre ja der ganze Aufwand zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeiten überflüssig. Wir können aber aus unserem Experiment ein Laplace-Experiment

10 10 machen, indem wir die Würfel gedanklich einfärben und in die 36 gleichmöglichen Elementarereignisse {(1,1),(1,2),...,(6,5),(6,6)} zerlegen. Wir haben nun ein Laplace-Experiment. 1 Die Wahrscheinlichkeit seiner Elementarereignisse beträgt Wir definieren die Teilmengen {A,B,C,...} durch A="Summe der Augenzahlen ist 2", B="Summe der Augenzahlen ist 3", C=" Summe der Augenzahlen ist 4",... u.s.w. Ereignis A besteht aus einem günstigen Element A = {(1,1)}, die Laplace-Wahrscheinlichkeit von A ist also, Ereignis B besteht aus 2 Elementen B = {(1,2),(2,1)}, besitzt also die Wahrscheinlichkeit 2 36 = 1 18, u.s.w. Die exakten Wahrscheinlichkeiten sind in der Tabelle mit angezeigt 2 Ziehen einer Kugel In einem Behälter befinden sich schwarze und weiße Kugeln unbekannter Anzahlen. Durch zufälliges Herausnehmen entstehen folgende relativen Häufigkeiten: n 414 Rel. Häufigkeit 856 Rel. Häufigkeit 1803 Rel. Häufigkeit 3612 Rel. Häufigkeit schwarz weiss Offensichtlich pendeln sich die relativen Häufigkeiten h s bzw. h w der schwarzen bzw. weißen Kugeln auf näherungsweise bzw ein. Wir erwarten, daß die relativen Häufigkeiten der beiden Ereignisse sich in der Nähe dieser beiden Werte stabilisieren. Wir werden die stabilen Werte der relativen Häufigkeiten großer Stückzahlen als Maßzahl für die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens für die schwarzen bzw. weißen Kugeln postulieren. Die Einführung eines empirischen Wahrscheinlichkeitsbegriffes P(A) h n (A) aus den Messreihen bedarf aber einiger unterstützender Regeln. Diese Regeln entsprechen den Eigenschaften, die wir bei den relativen Häufigkeiten beobachten. Bei einer n-fachen Ausführung eines Zufallexperimentes beobachten wir die nachstehenden Gesetzmäßigkeiten für die relativen Häufigkeiten der Ergebnismenge E: 1 Die relative Häufigkeit h n (A) eines beliebigen Ereignisses A ist eine nicht-negative Zahl, die höchstens 1 sein kann: 0 h n 1. 2 Für das sichere Ereignis E gilt: h n (E)=1. 3 Für sich ausschließende Ereignisse A, B gilt: h n (A B)=h n (A)+h n (B). 4 Für zwei beliebige Ereignisse A und B gilt: h n (A B)=h n (A)+h n (B)-h n (A B), worin h n (A B) das Ereignis beschreibt, in dem A und B gleichzeitig eintreten. 5 Mit zunehmender Anzahl der Versuche n stabilisiert sich im Regelfall die relative Häufigkeit h n (A) eines zufälligen Ereignisses A und schwankt immer weniger um einen bestimmten Wert A. In den beiden Beispielen, die diesen Ausführungen vorausgestellt wurden, dokumentieren sich nur die Eigenschaften 1,2,3 und 5, weil sich darin die Ereignisse gegenseitig ausschließen. Wir benutzen die Eigenschaften insgesamt, um daraus die Axiome herzuleiten, die wir von dem Begriff Wahrscheinlichkeit fordern.

11 Axiomatik des Wahrscheinlichkeitsbegriffes Jedem Ereignis A eines Zufallsexperimentes mit der Ergebnismenge E können wir eine reelle Zahl P(A) h n (A) zugeordnen. Diese Zahl nennen wir Wahrscheinlichkeit des Experiments und fordern von ihr folgende Eigenschaften: Axiom 1: P(A) ist eine nicht-negative Zahl, die höchstens gleich 1 ist: 0 P(A) 1. Axiom 2: Für das sichere Ereignis (Ergebnismenge E) soll gelten P(A)=1. Axiom 3: Axiom 4: Für sich paarweise ausschließende Ereignisse A, B, C... gilt: P(A B C...)=P(A)+P(B)+P(C)+... Für beliebige Ereignisse A und B (die sich nicht notwendig gegenseitig ausschließen) gilt: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B), worin P(A B) die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses beschreibt, in dem A und B gleichzeitig auftreten. Wir definieren nun den Wert der Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses A. Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses A für Laplace-Experimente g g 1 P(A) = P({e 1,e 2,...,e g }) = " P(e k ) = " n = g (s ). n k=1 k=1 Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses A für beliebige Experimente P(A) h n (A), worin h n (A) die "stabilisierte" relative Häufigkeit des Ereignisses A für hinreichend große Anzahlen n von Ausführungen des Zufallexperimentes ist und die obige Axiomatik erfüllt. Wir bezeichnen die Art der Festlegung der Wahrscheinlichkeit für beliebige Experimente durch einen Näherungswert der relativen Häufigkeit auch als eine statistische oder empirische Definition. Diese empirische Definition muß im Einklang mit den vorausgestellten A- xiomen sein. Wir leiten aus den Axiomen zwei weitere Eigenschaften her, die in den Rechenanwendungen bedeutsam sind. Für das unmögliche Ereignis ist die Wahrscheinlichkeit Null: P( )=0. Für das zu A komplementäre Ereignis A gilt: P( A)=1-P(A). Das Axiomengerüst gibt uns die Regeln, wie wir mit Wahrscheinlichkeiten zu rechnen haben, die wir im Anschluß an Axiom 4 definiert haben. Durch die Einführung von Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse haben wir den Ereignisraum erweitert zum sogenannten Wahrscheinlichkeitsraum. Definition Wahrscheinlichkeitsraum Den Elementarereignissen e i aus der Ergebnismenge E={e 1,e 2,... } eines Zufallexperimentes ordnen wir eine reelle Wahrscheinlichkeit p(e i ) = p i so zu, dass folgende Aussagen erfüllt sind:... p(e i ) 0 für alle i und " p i = p 1 + p =1. i=1

12 12 Der Ereignisraum wird dadurch zum Wahrscheinlichkeitsraum. Die Wahrscheinlichkeit P(A) einer Teilmenge A von Elementarereignissen (Ereignis A) ist definiert als Summe der Wahrscheinlichkeiten der in A enthaltenen Elementarereignisse: P(A) = " p(e i ) = " p i. Beispiele i i 1 Ein Würfel wird solange geworfen, bis die 1 kommt. Unsere Elementarereignisse lauten: "1 beim ersten Wurf", "1 beim zweiten Wurf", "1 beim dritten Wurf",..., also E = {(1),(2),(3),...}, wodurch E prinzipiell aus Elementen (i) besteht. Ein Ereignis wird definiert als Teilmenge von E; z.b. A={(1),(5)} ist das Ereignis: 1 beim ersten oder beim fünften Versuch. Wir haben also einen Ereignisraum definiert. Wir erweitern den Ereignisraum zu einem Wahrscheinlichkeitsraum, indem wir jedem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit zuordnen. Dabei können wir grundsätzlich das Experiment nicht als Laplace-Experiment betrachten, weil die einzelnen Elementarereignisse nicht gleichwahrscheinlich sind. Wir können aber jeden einzelnen Wurf gedanklich als ein Laplace-Experiment betrachten und die Wahrscheinlichkeiten von "1 beim i-ten Wurf" formulieren: E={(1),( 2,1),(3,1),...,(6,1),(2,2,1),(2,3,1),...,(6,6,1),(2,2,2,1),...,(6,6,6,1),...}. Für den ersten Wurf gibt es 6 gleichwahrscheinliche Fälle; die Wahrscheinlichkeit beim ersten Wurf eine 6 zu werfen berechnen wir als Laplace-Experiment: Die Zufallsvariable 1 hat die Wahrscheinlichkeit Für (2) oder "1 beim zweiten Wurf" gibt es 36 gleichwahrscheinliche Fälle, nämlich (1),(2),...,(6),(2,1),(2,2),..,(2,6),...,(6,1),(6,2)...,(6,6), von denen nur (2,1), (3,1), (4,1), 5 (5,1) und (6,1) günstig sind. Die Wahrscheinlichkeit für (2) ist also 36 oder 5 6 " 1 6. Analog gibt es für (3) oder "1 beim dritten Wurf" 216 gleichwahrscheinliche Elementarereignisse von denen 25 günstig sind: (1),(2),...,(6),(2,1),(2,2),..,(2,6),...,(6,1),(6,2)...,(6,6),(2,2,1),(2,2,2),...,(6,6,6). 25 Die Wahrscheinlichkeit für (3) ist dann 216 = 5 6 " 5 6 " 1 6, u.s.w. Die Wahrscheinlichkeit i oder "1 beim i-ten Wurf ist dann offensichtlich: p(i) = p i = 5i"1 6 i. Wir prüfen nach, ob die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten zu den Elementarereignissen 1 ergibt: P(E)=1: " " 5 P(E) = # i$1 p i = i=1 6 i = 1 " 5 # i$1 % 6 i=1 6 i$1 = 1 " 6 % 5 i = 1 1 # # % i=0 6i 6 i=1 1$ 5 = 1 6 % 6 =1. 6 Danach sind unsere Forderungen an einen Wahrscheinlichkeitsraum erfüllt. 2 Ein Würfel enthält 3 rote, 2 blaue und eine gelbe Fläche. Wir ordnen beim Zufallsexperiment "Würfeln" den drei Elementarereignissen "Rote Fläche", "Blaue Fläche" und "Gelbe Fläche" der Reihe nach die Wahrscheinlichkeiten p 1 = 1 2,p 2 = 1 3 und p 3 = 1 6 zu. Jede Zahl liegt zwischen 0 und 1. Die Summe der drei Zahlen ist 1. Damit haben 1 6.

13 13 wir den Ereignisraum zu einem Wahrscheinlichkeitsraum erweitert. Die Wahrscheinlichkeit A des Ereignisses "Rote Fläche" oder "Blaue Fläche" bzw. des äquivalenten Ereignisses "Keine gelbe Fläche" beträgt P(A) = p 1 + p 2 = = 5 6 =1" 1 6, worin "Gelbe Fläche" offenbar das komplementäre Ereignis zu ("Rote Fläche" oder "Blaue Fläche") bedeutet. 3 Wir werfen mit zwei Würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens mit einem Würfel eine 6 zu erhalten. Offensichtlich existieren 36 Elementarereignisse {(1,1),(1,2),..,(2,1),..,(6,6)}, falls wir die Würfel unterscheiden (1,2) (2,1). Von diesen enthalten 6 Elementarereignisse vorne eine 6 (Ereignis A) und 6 Elementarereignisse hinten eine 6 (Ereignis B). Ein Elementarereignis enthält zweimal eine 6:(6,6). Dann gilt: P(A"B) = P(A) + P(B) #P(A$B) = # 1 36 = Bedingte Wahrscheinlichkeit Es seien A und B Ereignisse, die bei einem Experiment auftreten können. Manchmal interessiert die Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Ereignis B eintrifft, wenn wir zusätzlich das Ereignis A als vorgegeben voraussetzen? Zur Verdeutlichung nehmen wir ein Laplace - Experiment an, indem n gleichmögliche Elementarereignisse eintreffen können, von denen in k Fällen das Ereignis A eintrifft, in l Fällen das Ereignis B, und schließlich in m Fällen das Ereignis A B, also A und B gleichzeitig. Aus der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition gemäß Laplace ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ereignisse: P(A) = k n,p(b) = l n und P(A"B) = m n. Die Wahrscheinlichkeit von B, unter der zusätzlichen Bedingung, dass wir nur Fälle untersuchen, in denen A vorkommt, beschreiben wir durch den Ausdruck P(B A). Zur Berechnung dieser Zahlengröße überlegen wir uns, dass wir nur die Fälle zur Untersuchung zulassen, in denen A eintrifft. Dies sind k Fälle. Unter diesen gibt es m Möglichkeiten für ein gleichzeitiges Eintreffen von B. Die Wahrscheinlichkeit für B, unter der Bedingung, dass A vorliegt, beträgt dann: P(B A) = m k = m n k n = P(A"B) P(A). Sind nun E und F zwei Ereignisse zu irgendeinem Experiment (nicht notwendig ein Laplace- Experiment), so nennen wir den Ausdruck P(E F) die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens von E unter der Hypothese, dass F eingetroffen ist. Für den Ausdruck P(E F) gelten folgende Regeln(ohne Beweis):

14 14 1 Schließen sich E und F gegenseitig aus, so ist P(E F) = 0. 2 Die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Eintreffens von E und F läßt sich anhand der bedingten Wahrscheinlichkeit so berechnen: P(E F)=P(E) P(F E)=P(F) P(E F). Multiplikationssatz 3 Für drei gleichzeitig eintreffende Ereignisse heißt der Multiplikationssatz so: P(A B C)=P(A) P(B A) P(C A B). Darin bedeutet P(C A B) die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des Ereignisses C unter der Wahrscheinlichkeit, daß die Ereignisse A und B bereits eingetreten sind. 4 Zwei Ereignisse E und F heißen unabhängig, wenn die Beziehung gilt: P(E F)=P(E) P(F). Dann folgt aus P(E F)=P(E) P(F E)=P(F) P(E F): P(F E)=P(F) und P(E F)=P(E). Mit anderen Worten: Die Wahrscheinlichkeit, dass E eintrifft, ist unabhängig davon, ob F eingetroffen ist oder nicht, und umgekehrt. Statistische Untersuchungen, bei denen ein Ereignis wiederholt beobachtet wird, können wir unterscheiden in Vorgänge, bei denen sich nach jeder Beobachtung der Grundzustand wieder herstellt, und in Ereignisse, die sich mit jeder Durchführung verändern. Wenn wir ein Würfelexperiment durchführen, so kehren wir nach jedem Wurf zur Ausgangssituation zurück, weil sich der Würfel nicht verändert. Wenn wir aus einem Stapel Karten ziehen und sie nicht zurückstecken, so verändern wir mit jeder entnommenen Karte die Basis für die Zugwiederholung. Diese Situation tritt auch beim Ziehen der Lottozahlen ein. Die 6 Wahrscheinlichkeit erfolgreich zu sein, ist mit dem ersten Zug offenbar 49, anschließend 5 48, dann 4, u.s.w.. Wir unterscheiden zwischen "Ziehen mit Zurücklegen" und "Ziehen 47 ohne Zurücklegen". Vorgänge, die sich bei jeder Durchführung verändern, lassen sich mit den Rechenregeln der bedingten Wahrscheinlichkeit im Regelfall einfacher lösen. Beispiele 1 In einem Behälter liegen 20 Glühbirnen, darunter sind 5 defekte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, keine defekte zu erhalten, wenn wir zwei Glühbirnen entnehmen? Sei A i das Ereignis keine defekte Birne zu ziehen. Die Wahrscheinlichkeit bei der 15 ersten Entnahme keine defekte zu erhalten ist P(A 1 )= 20 = 3 4, danach P(A 14 2 A 1 )= 19. Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit zweimal keine defekte Glühbirne zu erhalten, bilden wir das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten: 3 P(A 1 A 2 )=P(A 1 ) P(A 2 A 1 )= 4 "14 19 = = Dieses Ergebnis kann mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit relativ einfach ermittelt werden kann. Ohne diese Formel wäre die Rechnung komplizierter. Wir berechnen sie aus dem Quotienten: # 15& % ( Anzahl für zwei nichtdefekte Paare $ 2 ' P(A 1 " A 2 ) = = = 15)14 Gesamtzahl von Paaren # 20& 20)19 = % ( $ 2 '

15 15 2 Ein Nahrungsmittel bestehe aus 3 Komponenten. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Komponenten nicht durch Umweltgifte belastet sind, betrage bei einer Komponenten 10%; bei den zwei anderen jeweils 15%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einer einwandfreien Nahrung? Seien A das Ereignis "Komponente 1 ist einwandfrei", B das Ereignis "Komponente 2 ist einwandfrei", C entsprechend. Alle Ereignisse sind unabhängig voneinander. Dann gilt generell: P(A B C)=P(A) P(B A) P(C A B). Weil die Ereignisse unabhängig voneinander sind, rechnen wir so: P(A B C)=P(A) P(B) P(C)= = Das Zufallsexperiment: "Ziehung der 6 Lottozahlen" kann auch zerlegt werden in 6 (ohne Zufallszahl) nacheinander ausgeführte Zufallsexperimente: Zufallsexperiment 1: Ziehung einer Kugel aus einem Behälter mit 49 Kugeln, Zufallsexperiment 2: Ziehung einer Kugel aus einem Behälter mit 48 Kugeln,..., Zufallsexperiment 6: Ziehung einer Kugel aus einem Behälter mit 44 Kugeln. Zufallsexperimente, die nacheinander auftreten, beschreiben wir durch den Ereignisbaum. Nach jeder Ziehung entstehen neue Äste; zuerst haben wir 49 Elementarereignisse zum Zufallsexperiment 1, an jedem dieser Elementarereignisse können wir 48 neue Elementarereignisse anknüpfen, dann 47, u.s.w.. Wir können insgesamt Zahlenfolgen (Pfade) unterscheiden. Unter diesen suchen wir alle diejenigen Pfade heraus, welche die 6 Zahlen enthalten. Die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige lässt sich danach so berechnen. Zunächst berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten für jedes einzelne Zufallsexperiment und multiplizieren diese miteinander. Anschließend multiplizieren wir diese Zahl mit der Anzahl der Vertauschungsmöglichkeiten für 6 Elemente: P(A ="6 Richtige") = 6 49" 48" 47" 46" 45" Zum Zufallsexperiment "10 Skatkarten" stellen wir die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, genau 1 Buben zu erhalten. Wir bezeichnen mit B i das Ereignis mit der i- ten Karte einen Buben zu erhalten und entsprechend mit Bi das Ereignis, keinen Buben zu erhalten. Dann lautet die Wahrscheinlichkeit, nur mit der ersten Karte einen Buben zu erhalten, so: ( ) ( ) #P( B 3 B 1 "B 2 ) # P( B 4 B 1 "B 2 "B 3 ) #...# P( B 10 B 1 "B 2 "..."B 9 ) P B 1 "B 2 "B 3 "B 4 "B 5 "B 6 "B 7 "B 8 "B 9 "B 10 = P( B 1 ) #P B 2 B 1 = 4 32 # # # # # # # # # = Die Wahrscheinlichkeit, nur mit der zweiten Karte einen Buben zu erhalten, ist nun: ( ) ( ) #P( B 2 B 1 ) #P( B 3 B 1 "B 2 ) # P( B 4 B 1 "B 2 "B 3 ) #...# P( B 10 B 1 "B 2 "..."B 9 ) P B 1 "B 2 "B 3 "B 4 "B 5 "B 6 "B 7 "B 8 "B 9 "B 10 = P B 1 = # 4 31 # # # # # # # # =

16 16 Offensichtlich ist die Wahrscheinlichkeit mit der i- ten Karte einen Buben zu erhalten stets , also insgesamt die Wahrscheinlichkeit nur einen Buben zu erhalten " 4% " $ ' 28 % $ ' # 1& # 9 & Zum gleichen Ergebnis gelangen wir mit der Binomialformel: = " 32% $ ' # 10&

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