M. Link Finite Elemente in der Statik und Dynamik

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1 M. Link Finite Elemente in der Statik und Dynamik

2 Finite Elemente in der Statik und Dynamik Von Dr.-Ing. Michael Link Professor an der Gesamthochschule Kassel 2., uberarbeitete und erweiterte Aufiage Mit 84 Bildern und zahlreichen Beispielen B. G. Teubner Stuttgart 1989

3 Prof. Dr.-Ing. Michael Link Geboren 1941 in Konigsberg Studium des Bauingenieurwesens im Fachbereich Konstruktiver Ingenieurbau der Technischen Hochschule Darmstadt. Von wissenschaftlicher Assistent am Lehrstuhl fur Leichtbau des Fachbereichs Maschinenbau der TH Darmstadt Promotion Eintritt in ein Unternehmen der Luft- und Raumfahrtindustrie Leiter der Abteilung Strukturberechnung/Test. Seit 1980 Professor und Leiter des Fachgebiets Leichtbau an der Universitat Gesamthochschule Kassel im Fachbereich Bauingenieurwesen. CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek Link, Mlchael: Finite Elemente in der Statik und Dynamik / von Michael Link. - 2., Oberarb. u. erw. Aufl. - Stuttgart: Teubner, 1989 ISBN ISBN (ebook) DOI / Oas Werk einschlieblich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschotzt. Jede Verwertung auberhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Veri ages unzuliissig und strafbar. Oas gilt besonders for Vervielfiiltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. B. G. Teubner, Stuttgart 1984 Gesamtherstellung: Priizis-Druck GmbH., Karlsruhe Umschlaggestaltung: W. Koch, Sindelfingen

4 Vorwort Das vorliegende Buch entstand aus der Vorlesungsreihe "Finite Elemente" und "Tragwerksdynamik",die der Verfasser an der Universit~t Gesamthochschule Kassel fur Bauingenieur- und Maschinenbaustudenten im 8. und 9. Semester des Vertiefungsstudiums h~lt. Es baut darauf auf, dab der Leser mit den Grundlagen der Matrizenrechnung und der numerischen Mathematik (lineare Gleichungen, numerische Integration) vertraut ist. Das Buch zielt nicht so sehr auf die Darstellung der numerischen Methoden der Mathematik, ohne die die Realisierung der Methode der Finiten Elemente (FEM) auf dem Computer nicht denkbar ist, sondern mehr auf die Darstellung des strukturmechanischen Hintergrunds. Dies begrundet sich daraus, dab dem heute in der Praxis t~tigen Ingenieur FEM-Computersoftware als Werkzeug der Konstruktionsanalyse und -optimierung meist schon zur VerfUgung steht und nicht erst entwickelt werden mub. FUr den Anwender von FEM-Software ist es jedoch unerl~blich, den strukturmechanischen Hintergrund der Methode zu kennen, da seine Hauptaufgabe immer mehr darin besteht, die reale Konstruktion zu idealisieren,d.h. ein FE-Modell zu erstellen und die Computerergebnisse zu interpretieren, als die Computerprogramme selbst zu entwickeln. Modellbildung und Ergebnisinterpretation ~ndjedoch nur durch das Verst~ndnis der stukturmechanischen Grundlagen moglich. Nach einer elementaren EinfUhrung der FEM im Kap.2 an Hand einer einfachen Fachwerkstruktur werden deshalb auch im Kap.3 die Grundlagen der linearen Elastizitatstheorie dargestellt.hierbei spielt das Prinzip vom station~ren Wert der Gesamtenergie eine besondere Rolle, da das darauf basierende R i t z sche Verfahren anschliebend im Kap.4 zur mathematischen BegrUndung der FE-Methode dient. Die Auswahl und die Darstellung der verschiedenen Elementtypen im Kap.5 erfolgte zum einen unter dem Gesichtspunkt,inwieweit die Elemente Eingang in die Praxis gefunden haben, zum anderen aber auch unter dem Gesichtspunkt der Einfachheit der Formulierung. So wurde beispielsweise versucht, die Koeffizienten der Elementmatrizen so weit wie moglich in analytischer Form anzugeben, um damit die Interpretation des Elementtragverhaltens zu erleichtern. Der Dynamikteil des Buches beginnt im Kap.7 mit der Herleitung der diskreten Bewegungsgleichungen auf der Grundlage des Prinzips der virtuellen

5 6 Verschiebungen und des H a m i ton schen Prinzips, wodurch eine konsequente Erweiterung der im Kap. 3 fur statische Lasten benutzten Annahmen und Prinzipien erreicht wird. Nach der Darstellung zweiter Kondensierungsverfahren zur Reduktion der Ordnung des FE-Modells im Kap. 8 wird das Eigenschwingungsproblem behandelt. Dies jedoch nur soweit wie es zum Verstandnis des Tragverhaltens bei dynamischer Beanspruchung notwendig ist. Numerische Losungsverfahren werden daher zwar nicht behandelt, ihre "Black Box"-Existenz in Form entsprechender Ccmputerprogramme wird jedoch bei der Anwendung auf Systeme mit mehr als zwei oder drei Freiheitsgraden vorausgesetzt. Das Kap. 11 enthalt einige wichtige Verfahren zur Berechnung der Strukturantwort bei periodischen und nicht-periodischen Erregerfunktionen. Vom Kap. 8 ab dient ein einfaches aber typisches Standardbeispiel nicht nur dazu die Anwendung der abgeleiteten Gleichungen zu zeigen, sondern auch urn den EinfluB derelastodynamischen Tragwerksparameter (Eigenfrequenzen, Eigenformen, modale Massen, etc.) auf das Verhalten dynamisch beanspruchter Tragwerke zu veranschaulichen. Anwendungsbeispiele aus der Praxis des Bauwesens und des Maschinenbaus finden sich am Ende des Buches im Kap. 12. Die vorliegende Darstellung der FE-Methode ist auf die lineare Theorie beschrankt, d.h. es wird vorausgesetzt, dab das Werkstoffverhalten linear ist, und dab die Verschiebungen klein im Vergleich zu den Abmessungen der Struktur sind. Diese Annahmen sind in der Praxis bei den weitaus meisten technischen Anwendungen moglich. Sie stellen auberdem die Basis fur alle weitergehenden Formulierungen im nicht-linearen Bereich dar. In der vorliegenden 2. Auflage hat der Verfasser nicht nur die Moglichkeit zur Korrektur einiger Schreibfehler sondern auch zur Oberarbeitung und Erwciterung einiger Kapitel genutzt. So wurden die Scheibenelemente im Kap aus didaktischen Grunden auch direkt, d.h. ohne isoparametrische Transformation, hergeleitet. Das Kap. 10 wurde um zwei Verfahren der modalen Teilstrukturtechnik,die in den letzten Jahren an praktischer Bedeutung gewonnen haben, erweitert. AbschlieBend mochte si ch der Verfasser bei den Studenten und den Mitarbeitern des Fachgebietes Leichtbau an der Universitat Gh Kassel fur die Nachrechnung und Ausarbeitung der Beispiele sowie fur die Durchfuhrung der Zeichen- und Korrekturarbeiten bei der Herstellung der Druckvorlage bedanken. Mein Dank gilt insbesondere den Herren Dipl.-Ingenieuren K. Badenhausen, G. Hansel, E. Schlachter, J.U. Schulz, A. Schumann sowie Herrn Dr.-Ing. B. Nowak und nicht zuletzt Frau H. Hassebrauck fur die muhevolle Arbeit beim Schreiben des Manuskrips. Kassel, Januar 1989

6 Inhalt: 1. E i n 1 eitung 2. Der Grundgedanke der Methode der finiten Elemente 3. Grundgleichungen der linearen Elastizitatstheorie 3.1 Gleichgewichtsbedingungen 3.2 Zusammenhang Verzerrung - Verschiebung 3.3 Das Transformationsverhalten von Spannungen und Verzerrungen Das Werkstoffgesetz Das Hookesche Gesetz Das \~armedehnungsgesetz Transformation des Werkstoffgesetzes Innere und aubere Energie Prinzipe der Mechanik bei statischen Lasten Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen Variation, virtuelle Verschiebung und stationarer Wert eines Funktionals Das Prinzip vom stationaren Wert der Gesamtenergie Die Grundaufgabe der Variationsrechnung beim Zug/Druckstab Das Verfahren von Ritz 4. Die Finite Elemente Methode als verallgemeinertes Verfahren von Ritz 5. Elementsteifigkeitsmatrizen 5.1 Fragen zur Konvergenz 5.2 Das allgemeine Balkenelement Elementmatrix fur Normalkraft, Torsion und Biegung Transformation auf globale Koordinaten 5.3 Scheiben- und Volumenelemente Das Dreieckselement mit konstanter Dehnung (est) Die isoparametrische Elementfamilie Transformation auf Einheitselemente Steifigkeitsmatrizen Spannungen im Element

7 Plattenelemente Schubstarre Plattenelemente Schubweiche isoparametrische Plattenelemente Schalenelemente Ebene Schalenelemente Rotationssymmetrische Schalenelemente 6. ~quivalente Elementlastvektoren fur verteilte Lasten und Tempera turanderungen 7. Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen in der Dynamik, Hamiltonsches Prinzip und Bewegungsgleichungen 7.1 ~quivalente Massenmatrizen 7.2 Starre Massen 7.3 Dampfungseigenschaften der Elemente 7.4 Statische und dynamische Randbedingungen Kondensierung der Bewegungsgleichungen Geometrische Abhangigkeitstransformation Statische Kondensation Teilstrukturtechnik Das Eigenschwingungsproblem Das ungedampfte Eigenschwingungsproblem Der Einfachschwinger Der Mehrfachschwinger Eigenfrequenzen Ei genformen Eigenschaften der Eigenformen Zur numerischen Losung des Eigenwertproblems Das gedampfte Eigenschwingungsproblem Modale Transformation der Bewegungsgleichungen und Teilstruktur I<opp 1 ung Spektralzerlegung der Systemmatrizen Modale Kondensation der Bewegungsgleichungen und Teilstruktur Kopplung Die Hurty-Transformation Die Martinez-Transformation Teilstruktur- Kopplung

8 9 11. Berechnung der dynamischen Antwort 11.1 Freie Schwingungen 11.2 Harmonische Erregung und eingeschwungener Zustand 11.3 Frequenzgangberechnung in modalen Koordinaten 11.4 Nicht-periodische Erregerfunktion Oas Ouhamel-Integral Oiskrete Erregerfunktionen Antwortspektren 12. Anwendungsbeispiele aus der Praxis 12.1 Siloauslauf 12.2 Sendeantenne eines Satelliten 12.3 Kometensonde 12.4 Antennentrager 12.5 Treibstofftank 12.6 Zahnrad 12.7 Schwingungstilger 12.8 TribUnendachtrager Li teratur Sachregister