Einfache mathematische Modelle, die nur Funktionen einer Veränderlichen und ihre Ableitung sowie entsprechende Integrale beinhalten.

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1 Einfache mathematische Modelle, die nur Funktionen einer Veränderlichen und ihre Ableitung sowie entsprechende Integrale beinhalten. Im folgenden habe ich einige interessante Anwendungen der Mathematik der Höheren Mathematik I zusammengestellt. Die genannten Modelle sind lineare und auch nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung, die trennbar sind und deshalb durch Integration gelöst werden können. Außerdem wird auch ein Beispiel eines inversen Problems, genauer einer Parameteridentifikation, betrachtet. Es handelt sich um folgendes: die Raketengleichung (ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands), das ewtonsche Abkühlungsgesetz, das Stefansche Abkühlungsgesetz, das inverse Problem zur Bestimmung des Abkühlungskoeffizienten im ewtonschen Gesetz, das ökonomische Wachstum, das logistische Wachstum. Die Beispiele bis 3 sind entnommen: Richard E. Williamson, Introduction to Differential Equations and Dynamical Systems, Mc Graw-Hill Comp., Inc., 997, die Beispiele 4 und 6: W.E. Boyce, R.C. DiPrima, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Einführung, Aufgaben, Lösungen, Spektrum Verlag, 995, das Beispiel 5 ist aus:. Sydsæter, P. Hammond, A. Seierstad, A. Strøm, Further Mathematics for Economic Analysis, Prentice Hall, Abdruck durch Pearson Education, Ich habe die Darstellung teilweise ergänzt durch Lösungen und Abbildungen.

2 Alles fliegt nach oben, aber keiner ist oben geblieben die Raketengleichung. Herleitung der Raketengleichung. Es bezeichne p = mv den Impuls der Rakete (ohne Auspuffgase) zur Zeit t. p, m und v bezeichnen die Zuwächse in p, m und v in einem Zeitintervall der Länge t von t bis t + t. Damit erhalten wir für den Impuls zur Zeit t + t : p + p = (m + m)(v + v) + ( m)(w + w), dabei ist w die Geschwindigkeit der ausgestoßenen Auspuffgase. Der zweite Term auf der rechten Seite beschreibt die Änderung des Impulses der Rakete aufgrund der Abgase (bei der Rakete entstehen die Abgase durch Verbrennen von Treibstoff und deshalb ist m < 0. Wir berechnen nun den Differenzenquotienten p t = m v + (v w) m t t + m v t m w t. Mit t 0 strebt auch m 0. Folglich erhalten wir Mit v e = v w ergibt sich die Gleichung dp dt = lim p t 0 t = mdv + (v w)dm dt dt. dp dt = mdv dt + v dm e dt = F, wenn F die äußeren räfte beschreibt, die auf die Rakete wirken. Bemerkungen: Die Geschwindigkeit v e kann in vielen Fällen als konstant vorausgesetzt werden. Die Herleitung aus F = d(mv) = m dv dt dt + v dm dt ist richtig, wenn F, m und v in Bezug auf das gesamte System, bestehend aus Rakete, Treibstoff und Abgasen, betrachtet wird. Wir wollen aber v nur als die Geschwindigkeit der Rakete mit dem unverbrannten Treibstoff betrachten. Wir untersuchen den Fall, dass die einzige auf die Rakete wirkende äußere raft die Schwerkraft ist, der Luftwiderstand wird vernachlässigt, d.h. wir untersuchen die Gleichung m dv dt + v dm e = mg = F. dt Diese ist äquivalent zu (m(t) = m 0) dv dt = v e dm m dt g. 2

3 Integration nach t ergibt m v(t) = v e m dt gdt = v e ln m(t) gt + c. Die Integrationskonstante c kann aus einer Anfangsbedingung, d.h. der bekannten Geschwindigkeit v(t) zum Zeitpunkt t = 0, bestimmt werden. ehmen wir an, dass die Rakete von der Erdoberfläche aus gestartet wird, dann ist v(0) = 0 und wir erhalten: v(0) = v e ln m(0) + c = 0 c = v e ln m(0) und die Geschwindigkeit der Rakete (mit dem unverbrannten Treibstoff) ist v(t) = v e ln m(0) m(t) gt. Unter der Annahme, dass immer eine konstante Menge Treibstoff pro Zeiteinheit verbrennt, m r die Masse der Rakete und m f die Menge des Treibstoffs am Anfang ist, ergibt sich m(t) = m r + m f αt, 0 t m f α, und für die Geschwindigkeit v e ln v(t) = ( ) mr+mf m r+m f gt, αt 0 t m f α, v e ln mr+m f m r gt, t m f α. Die Parameter m r, m f und v e können so gewählt werden, dass v(t) 0 für 0 t m f gilt, insbesondere ist v ( m f ) α α 0 äquivalent zu gm f v e α ln( + m f /m r ). Zahlenbeispiel: Es seien m r = m f = 7kg, v e = 250 m = 0, 25 km, g = 9, 8 m, α = s s s 2 0, 7 kg bzw. der gesamte Treibstoff wird mit einer konstanten Rate innerhalb von s 0s verbrannt. Dann hat die Geschwindigkeitskurve den folgenden Verlauf: Geschwindigkeit der Rakete v(t) Man kann nun noch folgende Fragen stellen: Wie hoch fliegt die Rakete maximal, wenn man annimmt, dass sie vertikal von der Erdoberfläche abhebt? Wie groß ist die Geschwindigkeit der Rakete, wenn sie auf der Erdoberfläche aufschlägt? Eine Raketengleichung, die den Luftwiderstand berücksichtigt, kann mit Mitteln der HM noch nicht gelöst werden. 3

4 Der affee ist zu heiß das ewtonsche Abkühlungsgestz Das ewtonsche Abkühlungsgesetz beschreibt einen Abkühlungsprozeß mit folgender Differentialgleichung (Anfangswertproblem): u (t) = k(u(t) a), u(0) = u 0, dabei ist u die Temperatur des betrachteten Objekts (Festkörper oder auch Flüssigkeit), a die konstante Umgebungstemperatur und k > 0 die konstante Abkühlungsrate. Wie sieht die Funktion u(t) aus? Wir kennen zwar u(t) nicht, aber u (t) ist gegeben. Was wissen über die Funktion u(t)? Monotonieverhalten. Für u(t) > a ist u (t) = k(u(t) a) < 0 und die Funktion u(t) ist streng monoton fallend. Dagegen gilt für u(t) < a die Beziehung u (t) = k(u(t) a) > 0 und die Funktion u(t) ist streng monoton wachsend. rümmungsverhalten. Wir bilden die zweite Ableitung von u(t) : u (t) = ( k(u(t) a)) = ku (t) = ( k)( k)(u(t) a) = k 2 (u(t) a) und damit konvex für u(t) > a und konkav für u(t) < a. u' u'' ka k 2 (u-a) -k(u-a) streng monton wachsend a streng monton fallend u -k 2 a konkav a konvex u u u u(t) a u(t) a t t Wie sieht die Lösung tatsächlich aus? Dazu lösen wir die Differentialgleichung. Zunächst erhält man, dass u(t) = a = const eine Lösung der Differentialgleichung ist. Ist u(t) a, so dividieren wir durch u a und erhalten u u a = k. Integrieren wir nun unbestimmt nach der Zeit t, so folgt u u a dt = du = ln u a = k dt = kt + c, u a 4

5 Anwenden der Exponentialfunktion führt auf u a = e kt+c = e kt e c. Wir können den Betrag folglich auflösen zu u(t) a = C e kt, C R, u(t) = a + C e kt, C R. Berücksichtigung der Anfangsbedingung ergibt: u(0) = a + C und damit Auswertung: u(t) = a + (u(0) a)e kt. Ist u(0) > a, so nimmt u(t) mit der Zeit ab und nähert sich für t der Umgebungstemperatur a. Ist dagegen u(0) < a, so nimmt u(t) mit der Zeit zu und nähert sich für t ebenfalls der Umgebungstemperatur a. Wann ist der affee kühler? Annahmen: Die Abkühlung erfolgt nach dem ewtonschen Abkühlungsgesetz. Die Temperatur einer Mischung von einer Flüssigkeitsmenge p mit der Temperatur T 0 und einer Flüssigkeitsmenge q mit einer Temperatur T führt sofort dazu, dass die Mischungsmenge p + q die Temperatur pt 0+qT hat. p+q Die Temperatur der Milch ist geringer als die Zimmertemperatur (=Umgebungstemperatur). Wann ist der affee kühler?. Der affee kühlt zunächst 0 Minuten ab und die Milch wird dann hinzugegeben. 2. Die Milch wird sofort in den affee geschüttet und die Mischung kühlt dann 0 Minuten ab. Was glauben Sie? Gehen wir mathematisch vor. Es sei T 0 die Temperatur des affees, T < a, die Temperatur der Milch, a die Umgebungstemperatur (Milch kommt aus dem ühlschrank). Im Fall ) ist die Temperatur des affees nach t = 0 Minuten: a + (T 0 a)e kt wird der affee nun mit der Milch gemischt, so ist die resultierende Temperatur: p(a + (T 0 a)e kt ) + qt. p + q 5

6 Dagegen gilt im 2. Fall, dass die Anfangstemperatur der Mischung gerade pt 0+qT p+q und zum Zeitpunkt t nun gerade (( ) ) pt0 + qt a + a e kt p + q ist. Welche Temperatur ist größer bzw. kleiner? Dazu betrachten wir die Differenz: p(a + (T 0 a)e kt (( ) ) ) + qt pt0 + qt a a e kt p + q p + q ( a + (T0 a)e kt T 0 e ) kt + q ( T T e ) kt a + ae kt p + q = p p + q (a( e kt )) + q p + q T ( e kt ) a( e kt ) = q ( ) p + q T ( e kt ) + a( e kt p ) p + q = p p + q = ( e kt ) (qt qa) p + q = q p + q ( e kt )(T a) Dieser Ausdruck ist negativ, wenn T < a gilt, d.h. der affee ist bei Methode ) (erst kühlt der affee ab und dann wird die Milch dazugegeben) kühler als bei der Methode 2), wenn die Temperatur der Milch kleiner als die Umgebungstemperatur ist. 6

7 ichtlinear ist besser das Stefansche Abkühlungsgesetz Das Stefansche Abkühlungsgesetz besagt, dass sich ein Festkörper oder auch eine Flüssigkeit bei einer Umgebungstemperatur a (in elvin) gemäß u = C(u 4 a 4 ) = C(u a)(u 3 + au 2 + a 2 u + a 3 ) abkühlt. (Temperatur in elvin). Wir versuchen u zu berechnen: Als erstes stellt man fest, dass u(t) = a und u(t) = a für alle Zeiten t Lösungen sind. Dann ergibt sich u = C(u 4 a 4 ) u = C u 4 a4 u u 4 a dt = 4 Wir müssen also eine Partialbruchzerlegung durchführen, es ist Partialbruchzerlegung: u 4 a 4 = (u 2 a 2 )(u 2 + a 2 ) = (u a)(u + a)(u 2 + a 2 ). (u a)(u + a)(u 2 + a 2 ) = A u a + B u + a + Cu + D u 2 + a 2 = A(u + a)(u 2 + a 2 ) + B(u a)(u 2 + a 2 ) + (Cu + D)(u a)(u + a) du u 4 a = 4 C dt. = A(a 3 + a 2 u + a u 2 + u 3 ) + B( a 3 + a 2 u a u 2 + u 3 ) + C( a 2 u + u 3 ) + D( a 2 + u 2 ) = (A B)a 3 Da 2 + (Aa 2 + Ba 2 Ca 2 )u + (Aa Ba + D)u 2 + (A + B + C)u 3, also das Gleichungssystem (A B)a 3 Da 2 =, Aa 2 + Ba 2 Ca 2 = 0, Aa Ba + D = 0, A + B + C = 0. mit der Lösung A = 4a 3 = B, C = 0, D = 2a 2. Alternativ mittels Einsetzmethode: = A(u + a)(u 2 + a 2 ) + B(u a)(u 2 + a 2 ) + (Cu + D)(u a)(u + a), u = a : = A 2a 2a 2, u = a : = B ( 2a) 2a 2, u = 0 : = ( 4a 3 a3 + ) ( a 3 ) + D( a 2 ) 4a 3 u = a 2 : = 4a 3 a3 (a + )(a 2 + ) 4a 3 a3 (a )(a 2 + ) + C a 2 a 2 (a + )(a ) 2a 2 a2 (a )(a + ) 0 = C(a 6 a 4 ). Damit erhält man du u 4 a = (ln u a ln u + a ) 4 4a3 2a arctan u 3 a + c 7

8 und als implizite Lösung der Differentialgleichung: (ln u a ln u + a ) 4a3 2a arctan u 3 a = Ct + c ln u a u + a 2 arctan u a = 4Ca3 t + c. Die Integrationskonstante c kann wiederum aus einer Anfangsbedingung u(0) = u 0 bestimmt werden: c = ln u 0 a u 0 + a 2 arctan u 0 a. Und nun nach u auflösen?? ein! Sowohl das ewtonsche als auch des Stefansche Abkühlungsgesetz sind nicht absolut korrekt. Aus empirischen Untersuchungen und theoretischen Überlegungen ergibt sich aber die Gültigkeit des Stefanschen Abkühlungsgesetz auf dem Bereich der beobachtbaren Temperaturen. Das ewtonsche Gesetz liefert unter bestimmten Bedingungen eine nützliche Linearisierung des Stefanschen Gesetz. Was heißt das? Offensichtlich kann man das Abkühlungsgesetz schreiben als u = C(u 4 a 4 ) = f(u), wobei f(u) eine nichtlineare Funktion ist. Der Ausdruck ( u 3 ( u 4 a 4 = (u 3 + au 2 + a 2 u + a 3 )(u a) = 4a a) + u 2 ( a) + u ) 3 a + (u a) ( 4 4a 3 + 6ɛ + ) 4ɛ2 + ɛ 3 (u a), falls 0 < u 4 a ɛ. D.h., dass das ewtonsche Abkühlungsgesetz eine gute äherung für den Fall ist, dass u a klein ist. Es gilt a f(u) f(a) + f (a)(u a), wobei die Gerade y = f(a) + f (a)(u a) die beste lineare Approximation der nichtlinearen Funktion f(u) = C(u 4 a 4 ) an der Stelle u = a ist (Eigenschaft der. Ableitung). Was bedeutet das für f(u)? und damit f(u) = C(u 4 a 4 ), f (u) = 4Cu 3 f(u) f(a) + f (a)(u a) = 0 4Ca 3 (u a). Folglich ist das ewtonsche Abkühlungsgesetz mit der onstanten k = 4Ca 3 die beste lineare äherung des Stefanschen Abkühlungsgesetz in der ähe von u = a. Außerdem ist die (implizite) Lösung ln u a = kt + c viel einfacher! Wie bestimmt man k? Das beantwortet das nächste Thema. 8

9 Eine schöne Leiche Bestimmung des Todeszeitpunkts Die Abkühlung des örpers, hier Leiche, wird mit dem ewtonschen Abkühlungsgesetz beschrieben. Annahmen: Der Leichnam wird zum Zeitpunkt t = 0 entdeckt und seine Temperatur θ 0 gemessen (Anfangsbedingung θ(0) = θ 0. Die Umgebungstemperatur sei konstant T. (Der Fall, dass die Umgebungstemperatur zeitabhängig ist, kann mit Mitteln der Höheren Mathematik I nicht betrachtet werden.) Die örpertemperatur zur Todeszeitpunkt t d sei θ d = 37 C. Die Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung θ = kt (θ T ) mit der Anfangsbedingung θ(0) = θ 0 haben wir bereits berechnet und sie lautet: θ(t) = T + (θ 0 T )e kt. Allerdings ist bisher der Abkühlungskoeffizient k noch unbekannt. Es handelt sich vom Aufgabentyp um ein sogenanntes inverses Problem, man will einen Parameter, nämlich den Abkühlungkoeffizienten, aus Lösungen der Differentialgleichung mit der gestellten Anfangsbedingung bestimmen. Durch eine weitere Messung der örpertemperatur θ zu einem späteren Zeitpunkt t > 0 erhalten wir aus der Lösung der Differentialgleichung θ = T + (θ 0 T )e kt, die einzige unbekannte Größe k indem wir die Gleichung nach k auflösen: θ T = (θ 0 T )e kt θ ( ) T θ 0 T = θ T e kt ln = kt, θ 0 T also k = ( ) θ T ln. t θ 0 T achdem wir k berechnet haben, können wir nun den Todeszeitpunkt bestimmen: θ(t d ) = T + (θ 0 T )e kt d t d = ( ) k ln θd T. θ 0 T Mit θ 0 = 29, 4 C und θ = 23, 3 C für t = 2h sowie einer Umgebungstemperatur T = 20 C ergibt sich k = ( ) 23, h ln 0, 523h 29, 4 20 und t d = ( ) , 523 ln h, 29h. 29, 4 20 Man kann also davon ausgehen, dass die Leiche ca. Stunde und 8 Minuten nach Eintritt des Todes gefunden wurde. 9

10 Mehr und immer mehr? das ökonomische Wachstum Es sei X = X(t) die Produktionsmenge, = (t) der apitalstock und A = A(t) der Arbeitseinsatz. Dann ergibt sich die Produktionsmenge nach der Cobb- Douglas-Produktionsformel zu X = c α A α, dabei ist c eine veränderliche Größe, die mit der Zeit zunimmt und berücksichtigt damit den technischen Fortschritt. Für kurze Zeiträume kann man c allerdings als konstant annehmen. Wir machen die beiden zusätzlichen Annahmen d dt = sx, (die Änderung der apitalmenge (der angehäufte apitalstock) ist proportional zum Produktionsausstoß) und A = A 0 e λt (der Arbeitseinsatz nimmt mit der Zeit exponentiell zu,) dabei sind c, s, A 0 und λ positive onstanten und 0 < α <. Setzen wir in die 2. Gleichung die. Gleichung und dann die 3. Gleichung ein, so ergibt sich d dt = s X = s c α A α = s c α A α 0 e αλt d dt = s c α A 0 e λt. () Wir möchten die apitalmenge (t) unter der Annahme, dass (0) = 0 war, bestimmen. Es gilt (t) dt = α α α = s c A α 0 d = α α d = s c A α 0 αλ eαλt + C α = s c A α 0 Unter Berücksichtigung von (0) = 0 ergibt sich e αλt dt λ eαλt + C und damit α (0) = α 0 = s c A α 0 (t) = λ + C C = α 0 λ s c Aα 0 ( 0 α + ) λ s c Aα 0 (e αλt ). Die Gleichung () ist ein Spezialfall des Solow-Wachstumsmodells (vgl. Beschreibung des Solow-Modells ) Mathematisch wird für die Berechnung des Solow-Modells eine Cobb-Douglas- Funktion zur Hilfe genommen, die den volkswirtschaftlichen Output wie folgt beschreibt: X = c F (, A) = c α A α 0

11 Dabei hat die Produktionsfunktion konstante Skalenerträge (Homogenitätsgrad = ), d.h. es gilt insbesondere ( ) F (, A) = A F A,, für alle und A. Ist k(t) = (t) das apital pro Arbeitseinheit und f(k) = F (k, ) = F (, ) = A(t) A F (, A) der Produktionsausstoß pro Arbeitseinheit, dann erhalten wir A und damit k k = A A k k = d dt (ln k) = d ( ln ) = dt A = s F (, A) λ = s A f(k) (ln ln A) = ddt A A λ = s f(k) k λ k = s f(k) λ k. Für allgemeines f können wir diese Differentialgleichung noch nicht lösen.

12 Und wenn sie nicht gestorben sind, dann leben sie noch heute die Bevölkerungsdynamik Das einfachste Modell Es sei (t) die Population einer gegebenen Spezies zum Zeitpunkt t. Annahme: Die Änderungsrate der der Population (t) ist proportional zum gegenwärtigen Wert von, d.h. d dt = r, mit der Proportionalitätskonstante r, die für r > 0 eine Wachstumsrate und für r < 0 eine Zerfallsrate ist. Außerdem sei eine Anfangsbedingung gegeben: (0) = 0. Durch Integration erhalten wir: dt = d = ln (t) = r dt = rt + C (t) = e rt, dabei ist 0, da die Populationsgröße nie negativ sein kann. Wir bestimmen die onstante aus der Anfangsbedingung: (0) = = 0 und es ergibt sich die Lösung: (t) = 0 e rt. Modellkritik: Die Lösung ist stets streng monoton wachsend, da (t) = r 0 e rt > 0 für alle t R ist. Für t strebt die Lösung gegen Unendlich! Das ist nicht realistisch, da bei wachsender Population auch ein erhöhter Ressourcenverbrauch entsteht, wird die Population irgendwann ihre maximale Größe erreicht haben und diese nicht überschreiten. Verbessertes Modell Logistisches Wachstum Ersetzen r durch f(), wählen f(), so dass f() r > 0, für kleine, f() abnimmt, wenn zunimmt, und dass f() < 0 wird, wenn ausreichend groß ist. Die einfachste Funktion f(), die das realisiert, ist f() = r a, mit a = const > 0, dies ergibt die sogenannte Verhulst-Gleichung oder auch logistische Gleichung ( = (r a) = r ) mit = r a > 0 und der Anfangsbedingung (0) = 0. Untersuchung des urvenverlaufs: 2

13 Dazu betrachten wir zunächst die erste Ableitung in Abhängigkeit von der Funktion selbst: = 0, für = 0, ( (t) = r ) > 0, für 0 < <, = = 0, für =, < 0, für <. Für die 2. Ableitung erhält man (t) = (r 2r ( ) = r 2 2 ) ( ) = = 0, für = 0, > 0, für 0 < < 2, = 0, für = 2, < 0, für 2 < <, = 0, für =, > 0, für <. ' streng monoton wachsend, konvex streng monoton wachsend, konkav streng monoton fallend, konvex ''>0 ''<0 /2 ''>0 Lösung der Differentialgleichung: = r ( ), (0) = 0. Offenbar sind (t) = 0 bzw. (t) = für alle t Lösungen der Differentialgleichung (erfüllen aber nicht unbedingt die Anfangsbedingung). Es ist ( d ) dt = ( ) = r dt. Partialbruchzerlegung: Einsetzmethode: ( ) = A + B ( = A ) + B. = 0 : = A, = : = B B = 3

14 und wir erhalten + d = r dt ln ln = ln = rt + c. Für 0 < ist der Ausdruck im Logarithmus positiv und wir erhalten als Lösung der Differentialgleichung: = e rt C, C 0, und mit der Anfangsbedingung (0) = 0 ergibt sich C zu: d.h. Wir lösen nun nach auf ( ) ( ) e rt + = (t) = Offensichtlich ist (0) = 0 und = 0 0 = C, = 0 0 e rt. = 0 0 e rt ( 0) 0 e rt = [ ( 0 )e rt + 0 ] = 0 0, für 0 <. 0 + ( 0 )e rt 0 lim (t) = lim =. t t 0 + ( 0 )e rt 4