Berechenbarkeit, Beweisbarkeit. Geschichte

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1 Berechenbarkeit, Beweisbarkeit Geschichte

2 Inhalt 1. Wahrheit ausrechnen der Traum 1. Aristoteles 2. Lullus 3. Leibniz 2. Entwicklung der Grundlagen 1. Boole 2. Frege 3. Cantor 4. Russel 3. Grenzen des Berechnens, 1. Hilbert 2. Turing 3. Gödel 4. Davis, Matiyasevitch, Putnam 4. Logik und Berechnung 1. Schönfinkel 2. Church 3. Curry 4. Robinson, Kowalski, Colmerauer

3 Aristoteles Syllogismen Terme Propositionen Schlussfiguren Alle Menschen sind sterblich Sokrates ist ein Mensch Sokrates ist sterblich Aristoteles B.C. Heutige Sichtweise: A, A ) B B A ) B, : B, : A modus ponens modus tollens

4 Der Traum des Raymundus Lullus Ars Magna, Ars combinatorica Experimente mit mechanischen Hilfsmitteln um Aussagen zu finden, zu kombinieren und zu beweisen. Übte grossen Einfluss auf G.W.Leibniz (1646) aus. Raymundus Lullus Wollte alles was in der Bibel steht beweisen.

5 Leibniz Erfindet Binärsystem Konstruiert Rechenmaschine Erster Logikkalkül Gleichungslogik Gottfried Wilhelm Leibniz x 1 = y 1,, x n = y n x = y x = y, y = z f(x 1,,x n ) = f(y 1,,y n ) x = x y = x x = z Leibniz-Regel = ist Äquivalenzrelation Traum (Calculus ratiocionator): Jedem Begriff wird eine Zahl zugeordnet. Durch Kombination kann Wahrheitsgehalt jeder Aussage ausgerechnet werden.

6 Boolesche Algebra George Boole: Algebra der Logik Verknüpfung elementarer Aussagen zu einer komplexen Aussage Wahrheitsgehalt der gesamten Aussage errechnet sich aus den Wahrheitsgehalten der Teilaussagen George Boole A = es regnet, B = die Straße ist nass, C = (A ) B) AÆ C = A Æ (A ) B) = A Æ (:A Ç B) = (A Æ :A) Ç (A Æ B) = 0 Ç (A Æ B) = (A Æ B). Folglich: Wenn A wahr ist und A ) B wahr ist, errechnet sich B zu wahr.

7 Quantorenlogik Boolesche Logik ist zu abstrakt Elementare Aussagen in der Mathematik müssen weiter analysiert werden Aussagen über Beziehungen von Elementen untereinander Werte von Funktionen Gottlob Frege Erfindet: Quantoren 8, 9 Quantifizierte Aussagen 8 x. P(x) 9 x. P(x) Beispiele: gerade(x) := 9 y. y+y=x prim(x) := 8 y 1.8y 2. 1 y 1 + y 2 Æ y 1 +y 2 < x ) :(y 1 *y 2 =x) 8 x. gerade(x) ) 9 y 1. 9 y 2. prim(y 1 )Æ prim(y 2 )Æ y 1 +y 2 =x.

8 Endliche und unendliche Mengen Entwickelt die (naive) Mengenlehre Entwickelt Kardinalitäten und Arithmetik unendlicher Mengen Zu jeder Kardinalzahl gibt es eine nächst-größere 0 = { }, 1 = { 0 }, 2 = { 0, 1 },., n+1 = { 0, 1,, n 0 = N, 1, 2, Diagonalargument Georg Cantor Für keine Menge X gibt es eine surjektive Funktion f: X! P(X) X < P(X) < P(P(X) ) < R hat mehr Elemente als N 1 R Kontinuumshypothese : R 1?

9 Das Problem des Barbiers Axiomatisierung der Zahlentheorie unabhängig auch Frege entdeckt Antinomien der naiven Mengenlehre R := { x x x } darf keine Menge sein Lösung: Typentheorie Wurzel getypter Programmiersprachen Populärversion: In in einem Ort gibt es einen Barbier, der behauptet, er rasiere alle Männer in dem Ort, nur nicht die, die sich selbst rasieren. Was macht er dann mit sich selbst? Rasiert er sich selbst ) er darf sich nicht rasieren rasiert er sich nicht selbst ) er muss sich rasieren

10 Hilberts Präzisierung von Leibniz Traum David Hilbert Syntax zahlentheoretischer Aussagen: Variablen v x y z... Terme: t v 0 t+1 t 1 + t 2 t 1 * t 2 Finde eine Methode, zu einer beliebigen zahlentheoretischen Aussage zu entscheiden, ob sie wahr ist oder falsch. Ausdrücke: e t 1 = t 2 t 1 < t 2 e 1 e 2 e 1 e 2 e x.e x.e Aussagen: Ausdrücke ohne freie Variablen

11 Bescheidenere mathematische Träume David Hilbert Hilbertsches Problem (1900) : Finde eine allgemeine Methode um diophantische Gleichungen zu lösen. Eine diophantische Gleichung ist ein Ausdruck p(x 1,..., x n ) = 0 wobei p ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten ist. Eine Lösung ist eine Folge a 1,... a n von ganzen Zahlen mit p(a 1,..., a n ) = 0. Beispiele: 4x - 2y 3 = 0 hat keine Lösung 4x - y - 3 = 0 hat unendlich viele Lösungen x 2 + y 2 - z 2 = 0 hat unendlich viele Lösungen Finde eine allgemeine Methode um zu entscheiden, ob eine gegebene diophantische Gleichung eine Lösung hat

12 Was ist eine Methode? Alan Turing ( ) Präzisiert Allgemeine Methode = Algorithmus durch Turing-Maschine Turing-Maschine: extrem einfaches mathematisches Maschinenkonzept Viele alternative Definitionen für Methode bzw. Algorithmus wurden versucht. Alle stellten sich als äquivalent zur Turing- Maschine heraus. Turing zeigt, dass es Berechnungsprobleme gibt, die algorithmisch nicht lösbar sind.

13 Leibniz Traum ist unerfüllbar Kurt Gödel Es gibt keine Methode, um die Wahrheit eines beliebigen Satzes der Zahlentheorie zu berechnen. Es gibt kein Axiomensystem aus dem mit der Quantorenlogik genau die wahren Aussagen der Zahlentheorie hergeleitet werden können. Wenn Σ ein Axiomensystem für die Zahlentheorie ist, dann gibt es zwei Möglichkeiten : Σ ist inkonsistent, d.h. aus Σ folgen auch unwahre Aussagen, oder Σ ist zu schwach, d.h. es gibt wahre Aussagen, die nicht aus Σ hergeleitet werden können.

14 Hilberts 10. Problem ist unlösbar Wichtige Vorarbeiten zum Beweis dieser Behauptung stammen von den Logikern/Philosophen Julia B. Robinson Martin Davis * Hilary Putnam * 1926 Viele spannend zu lesende Artikel und Bücher von Martin Davis, insbesondere: *Neu* Buch: M.Davis: Engines of Logic. (Semesterapparat) *Neu* Artikel: M.Davis:What is a computation in dem Buch Mathematics today (Semesterapparat)

15 Yuri Matiasevitch erledigt Hilberts 10. Problem Yuri Matiyasevitch * 1947 Es gibt keine allgemeingültige Methode um zu entscheiden, ob eine vorgelegte Diophantische Gleichung eine Lösung hat. Yuri bewies dies 1970 (im zarten Alter von 22) in seiner Doktorarbeit. Homepage: Noch Fragen? yumat@pdmi.ras.ru

16 Funktionenkalkül Alonzo Church Entwickelt einen Kalkül für Funktionen, heute Lambda-Kalkül genannt.. - Basis aller funktionalen Sprachen Datenstruktur für Funktionen f Methoden: Anwendung : apply(f,a) Konstruktor : abstract(x,e) Konventionelle mathematische Notation: f(a) x a e statt apply(f,a) statt abstract(x,e) Beispiel: square := λx. x * x square 3 = 9 Church s Lambda-Notation: f a Anwendung von f auf a λ x.e Abstraktion f:n!n ist λ-definierbar, f ist Turing-berechenbar

17 Kombinatorische Logik Entwickelt einen variablenfreien Kalkül für Funktionen Aus den Grundfunktionen S, K und I, mit Moses Schönfinkel I x := x ( K x) y := x ((S x) y) z := (x y)(x z) können alle berechenbaren Funktionen konstruiert werden. n-stellige Funktionen können auf 1-stellige zurückgeführt werden: Die Funktionen f : A B C entsprechen ein-eindeutig den Funktionen f c : A ( B C ). Das nennt man heute currying

18 Curry-Howard-Isomorphismus Programmieren = konstruktiv Beweisen Programme sind konstruktive Beweise konstruktive Beweise sind Programme Program extraction Lambda Kalkül und kombinatorische Logik Haskell Curry Lambda-Term t hat Typ α, α ist logische Aussage und t ihr intutionistischer Beweis Beispiele: λx.x hat Typ α! α und p! p ist logisch wahr p ( q p ) ist wahr, λ x.λy. x hat Typ α (β α) (p q r) (p q) p r ist wahr, der Beweis ist das Programm S=λ x.λ y.λ z. (xy)(yz) es hat Typ (α β γ) (α β) α γ

19 Programmieren mit Logik Gödel: berechenbar $ arithmetisch definierbar John Alan Robinson Unifikation Bob Kowalski Prozedurale Interpretation von Implikationen (Horn-Klauseln) Alain Colmerauer Prolog Programmiersprache auf Basis von Horn Klauseln