Zuchtwertschätzung mit Best Linear Unbiased Prediction Verfahren

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1 Zuchtwertschätzung mit Best Linear Unbiased Prediction Verfahren Birgit Gredler-Grandl Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

2 Termine und Inhaltsübersicht 06. Nov VCE, BLUP-Zuchtwertschätzung 13. Nov BLUP-Zuchtwertschätzung 20. Nov Kopplungsungleichgewicht 27. Nov QTL-Mapping und Genomweite Assoziationsstudien 04. Dez Genomweite Assoziationsstudien und Genomische Selektion 11. Dez Genomische Selektion 18. Dez Prüfung ZL I ZL II Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

3 Termine Keine Vorlesung am 9. Oktober 2015: 2 Einheiten kompensiert mit Peter von Rohr à 1 Einheit noch frei 18. Dezember 2015 Prüfung à 1 Einheit noch frei Zumindest 1 Einheit noch einholen An welchem Termin? Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

4 Heutige Vorlesung Zuchtwertschätzung mittels BLUP Tiermodell Was heisst BLUP? Was sind Mischmodellgleichungen? Wie berechnen sich Zuchtwerte mit einem BLUP Tiermodell? Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

5 Bei der Zuchtwertschätzung werden umfangreiche Gleichungssysteme mit der Matrix Algebra gelöst! Kenntnisse der Algebra der Matrizen Voraussetzung!! Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

6 Literatur Alfons Willam Henner Simianer, Tierzucht Raphael A. Mrode, Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Richard M. Bourdon, Understanding Animal Breeding Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

7 Beiträge in Form von Folien, Ideen, Konzepte... von Chris Baes, University Guelph (CA) VO-Unterlagen ETH Alfons Willam, BOKU Wien VO-Unterlagen Spezielle Tierzucht Marlies Dolezal, VETMED Wien Diverse VO-Unterlagen Roswitha Baumung, BOKU Wien VO-Unterlagen Biostatistik in den Nutztierwissenschaften Kay-Uwe Götz, Bayerische Landesanstalt für Landwirtschaft VO-Unterlage Quantitative Genetik und Zuchtplanung, TU München Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

8 Zuchtwerte als Selektionsinstrument Züchtung basiert auf Selektion x Elterngeneration Remonte Selektierte Eltern der nächsten Generation Setzt voraus, dass ein Kriterium bzw. Instrument zur Verfügung steht um Tiere zu rangieren Zuchtwert ist das Werkzeug um Tiere nach ihrem genetischen Potenzial zu rangieren Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

9 Entwicklung Milchleistung bei Braunviehkühen Durchschnitt aller Standardabschlüsse (Rust, 2015) in der Schweiz Milch - kg Jahre Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

10 Methoden der Zuchtwertschätzung Selektionsindex (Selektionsindextheorie nach Hazel und Lush, 1943) BLUP Verfahren Mischmodellgleichungen (Henderson, 1973) Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

11 Lineare Modelle Mit einem Modell versuchen wir die Wirklichkeit zu beschreiben, z.b. wie die Milchleistung einer Kuh zustande kommt. Das Modell sollte alle Kausaleffekte enthalten. Modell der Leistung: Phänotyp = Genotyp + Umwelt Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

12 Lineare Modelle Mit einem Modell versuchen wir die Wirklichkeit zu beschreiben, z.b. wie die Milchleistung einer Kuh zustande kommt. Das Modell sollte alle Kausaleffekte enthalten. y = Xb ˆ + y = Zuˆ + e e Lineares Modell mit fixen Kausaleffekten Lineares Modell mit zufälligen Kausaleffekten y = Xbˆ + Zuˆ + e Gemischtes lineares Modell mit fixen und zufälligen Kausaleffekten (Mixed Models) Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

13 Fixe versus zufällige Kausaleffekte Die Unterteilung in fixe und zufällige Effekte ist ein langjähriges Diskussionsthema Keine universell gültige Regel/Definition Statistisch kann jeder Effekt als fix oder zufällig betrachtet werden Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

14 Schätzung fixer Kausaleffekte Die in der Analyse berücksichtigten Ausprägungen (Stufen) eines Kausalfaktors sind gezielt (fix) ausgewählt. z.b. Futterration, Rasse Fragestellung und Interpretation beschränken sich auf die jeweils ausgewählten Faktorstufen Unterscheiden sich Mittelwerte signifikant voneinander? Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

15 Schätzung zufälliger Kausaleffekte Die in der Analyse berücksichtigten Ausprägungen (Stufen) eines bestimmten Kausalfaktors können als Zufallsstichprobe aller möglichen Stufen in der Grundgesamtheit aufgefasst werden. Fragestellung und Interpretation zielt hier auf die Grundgesamtheit aller möglichen Faktorstufen ab. Variationsparameter - Varianz Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

16 Fixe versus zufällige Kausaleffekte fixer Effekt Anzahl Effektstufen gering Interpretation untersuchte Effektstufen Stichprobenziehung gezielt Zielgrösse: Vergleich von Mittelwerten Rasse, Geschlecht, Futterration,... Anzahl Effektstufen hoch Interpretation Grundgesamtheit zufälliger Effekt Stichprobenziehung zufällig Zielgrösse: Schätzung von Varianzkomponenten Zuchtwerte (Tiereffekte) Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

17 BLUP Verfahren Weltweit Goldstandard für die Zuchtwertschätzung bei Nutztieren Der Hauptvorteil des BLUP Verfahrens ist die simultane Schätzung von fixen und zufälligen Effekten in der Zuchtwertschätzung (vor BLUP mussten die phänotyp. Leistungen um die systematischen Umwelteffekte vorkorrigiert werden) Die Theorie des BLUP Verfahrens wurde in den 70er Jahren publiziert, die breite Anwendung fand jedoch erst Ende der 80er / Anfang 1990 statt, als leistungsfähige Computer zur Verfügung standen. Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

18 Charles Roy Henderson ( ) Iowa, PhD Student von JL Lush (siehe Selektionsindex) Entwickelte verschiedene Methoden zur Varianzkomponentenschätzung Entwickelte Methode für A -1 When I see a flock of cattle, I don t see hoofs and horns, but I see a mean and a variance. Vater BLUP Tiermodell Entwickelte Mischmodellgleichungen um Zuchtwerte mit BLUP Eigenschaften zu erhalten A Biographical Memoir by L. Dale Van Vleck Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

19 Eigenschaften von BLUP BEST: Korrelation zwischen dem wahrem (a) und dem geschätzten () Zuchtwert wird maximiert (Minimierung des Schätzfehlers, Lösungen haben minimale Fehlervarianz - Minimumvarianz). E( - a) 2 Minimum! LINEAR: die Schätzer für die Zuchtwerte sind lineare Funktionen der Beobachtungen UNBIASED: unverzerrt: die Erwartungswerte der Lösungen entsprechen den wahren Werten (E(a) = E()), keine systematische Über- oder Unterschätzung (Erwartungstreue) PREDICTION: Vorhersage von zufälligen Effekten Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

20 Symbolische Darstellung von Erwartungstreue und Minimumvarianz Auf eine Zielscheibe wurden mit 3 verschiedenen Gewehren je 5 Schüsse abgegeben: Der Scheibenmittelpunkt symbolisiert den wahren Parameter p Die Gewehre symbolisieren 3 verschiedene Schätzverfahren Die einzelnen Einschüsse symbolisieren die jeweils erzielten Stichprobenschätzwerte Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

21 Symbolische Darstellung von Erwartungstreue und Minimumvarianz Gewehr 1 Gewehr 2 Gewehr 3 Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

22 Symbolische Darstellung von Erwartungstreue und Minimumvarianz Gewehr 1: Zeigt die geringsten Schwankungen zwischen den Einschüssen Schiesst aber systematisch daneben à entspricht Minimumvarianz mit systematischem Schätzfehler Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

23 Symbolische Darstellung von Erwartungstreue und Minimumvarianz Gewehr 2: Starke Streuung der Einschüsse Keine systematische Abweichung à entspricht erwartungstreuem Schätzverfahren mit grossem zufallsbedingtem Fehler Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

24 Symbolische Darstellung von Erwartungstreue und Minimumvarianz Gewehr 3: à entspricht relativer Minimumvarianz innerhalb erwartungstreuer Schätzverfahren Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

25 Gemischte lineare Modelle - BLUP y = Xb + Zu + e Wir sind an den Lösungen für b und u: BLUP( a) = aˆ = GZ' V 1 ( y Xbˆ) ˆb = (X'V 1 X)X'V 1 y Um Lösungen zu erhalten, braucht man die V -1 Matrix (Varianz- Kovarianzmatrix der Beobachtungen). Diese ist nicht einfach zu berechnen. Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

26 Mischmodellgleichungen y = Xb + Zu + e Henderson entwickelte sogenannte Mischmodellgleichungen (Mixed model equations, MME), um Lösungen für b zu schätzen (estimate fixe Effekte) und Lösungen für u vorherzusagen (predict zufällige Effekte) ohne Notwendigkeit von V -1 Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

27 Mischmodellgleichungen y = Xb + Zu + e Henderson s Mixed Model Equations X'R Z'R 1 1 X X Z'R X'R 1 1 Z Z + G 1 b X'R * = u Z'R 1 1 y y Oftmals wird R -1 herausgekürzt: X'X X'Z b X'y * = + 1 Z'X Z'Z A λ u Z' y σ λ = σ 2 e 2 u Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

28 Mischmodellgleichungen Klassische Lösung der MME : bˆ uˆ = X'X Z'X X'Z Z'Z + A λ 1 * 1 X'y Z'y Der mittlere Klammerausdruck ist die Inverse der Koeffizientenmatrix In der Praxis liegt in der Invertierung der Koeffizientenmatrix oft ein Problem, da diese sehr gross werden kann. Deshalb kommen bei der Zuchtwertschätzung spezielle Algorithmen zur Anwendung, welche den Lösungsvektor schätzen, ohne die Koeffizientenmatrix zu invertieren (iterative Lösungswege). Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

29 Ein Beispiel: BLUP Tiermodell Was bedeutet Tiermodell? Zuchtwerte aller Tiere (Stiere, Kühe, Tiere ohne Leistungen) werden gleichzeitig unter Einbeziehung aller Verwandtschaftsinformationen geschätzt. Alle Leistungen von Verwandten sind massgebend Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

30 Beispiel: BLUP Tiermodell (Mrode, 2014, p37 ff) Merkmal: Gewichtszuwachs bis zum Absetzen (Entwöhnung) von Mastkälbern Kälber werden unter gleichen Managementbedingungen aufgezogen Kalb Geschlecht Vater Mutter Zuwachs (kg) 4 M W W M M Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

31 Beispiel: BLUP Tiermodell (Mrode, 2014, p37 ff) Merkmal: Gewichtszuwachs bis zum Absetzen (Entwöhnung) von Mastrindern Kalb Geschlecht Vater Mutter Zuwachs (kg) Ziel: Schätzen des Effektes des Geschlechts und der Zuchtwerte für alle Tiere 4 M W W M M Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

32 Beispiel: BLUP Tiermodell (Mrode, 2014, p37 ff) Merkmal: Gewichtszuwachs bis zum Absetzen (Entwöhnung) von Mastrindern Kalb Geschl. Vat. Mut. Zuwachs (kg) In der Zuchtwertschätzung wird davon 4 M ausgegangen, dass die Varianzkomponenten für 5 W das betrachtete Merkmal in der jeweiligen Population bekannt sind (aus vorherigen 6 W Varianzkomponenten-Schätzläufen mit z.b. 7 M REML- oder Bayes-Schätzverfahren) 8 M Varianzen müssen bekannt sein: σ σ 2 a 2 e = = Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

33 BLUP Tiermodell K. Geschl. Vat. Mut. Zuwachs (kg) 4 M W W M M y = p + a + ij i = Geschlecht j = Kalb i j e y ij = Zuwachs des Kalbes j mit Geschlecht i p i = fixer Effekt des Geschlechts i a j = zufälliger Effekt des Kalbes j e ij = zufälliger Fehler ij y = p + a + ij i j e ij 4.5 = p 1 + a 1 + e = p 2 + a 2 + e = p 2 + a 3 + e = p 1 + a 4 + e = p 1 + a 5 + e 15 Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

34 BLUP Tiermodell K. Geschl. Vat. Mut. Zuw. (kg) 4 M W W M M Modell nun in Matrixschreibweise y = Xb + Za n = Anzahl Beobachtungen p = Anzahl Stufen (Fix) q = Anzahl Stufen (Zufällig) y (n x 1) Anzahl Beobachtungen x 1 b (p x 1) Anzahl fixe Stufen x 1 a (q x 1) Anzahl zufällige Stufen x 1 X (n x p) Anzahl Beobachtungen x fixe Stufen Z (n x q) Anzahl Beobachtungen x zuf. Stufen X und Z sind Designmatrizen, welche die fixen und zufälligen Effekte den Beobachtungen y zuordnen Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

35 BLUP Tiermodell K. Geschl. Vat. Mut. Zuw. (kg) 4 M W W M M Modell nun in Matrixschreibweise y = Xb + Za y = Vektor mit phänotypischen Beobachtungen Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

36 BLUP Tiermodell K. Geschl. Vat. Mut. Zuw. (kg) 4 M W W M M Modell nun in Matrixschreibweise y = Xb + Za y = Faktorstufe 1 Faktorstufe X = Designmatrix für fixen Effekt Geschlecht Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

37 BLUP Tiermodell K. Geschl. Vat. Mut. Zuw. (kg) 4 M W W M M Modell nun in Matrixschreibweise y = Xb + Za Kälber und Eltern y = 3.9 X = 0 1 Z = Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

38 BLUP Tiermodell K. Geschl. Vat. Mut. Zuw. (kg) 4 M W W M M Modell nun in Matrixschreibweise y = Xb + Za Mischmodellgleichung X'X Z'X X'Z Z'Z + λa 1 bˆ aˆ = X'y Z'y Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

39 BLUP Tiermodell K. Geschl. Vat. Mut. Zuw. (kg) y = Xb + Za 4 M W W M M X'X Z'X X'Z Z'Z + λa 1 bˆ aˆ = X'y Z'y = X X' =? X'X =? Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

40 BLUP Tiermodell K. Geschl. Vat. Mut. Zuw. (kg) y = Xb + Za 4 M W W M M X'X Z'X X'Z Z'Z + λa 1 bˆ aˆ = X'y Z'y! X ' = 1 0 " X'Z =? $ % Z = Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

41 BLUP Tiermodell K. Geschl. Vat. Mut. Zuw. (kg) y = Xb + Za 4 M W W M M X'X Z'X X'Z Z'Z + λa 1 bˆ aˆ = X'y Z'y Z = X = Z' =? Z'X =? Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

42 BLUP Tiermodell K. Geschl. Vat. Mut. Zuw. (kg) y = Xb + Za 4 M W W M M X'X Z'X X'Z Z'Z + λa 1 bˆ aˆ = X'y Z'y! Z ' = " $ Z = % Z'Z = Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

43 BLUP Tiermodell K. Geschl. Vat. Mut. Zuw. (kg) y = Xb + Za 4 M W W M M X'X Z'X X'Z Z'Z + λa 1 bˆ aˆ = X'y Z'y! X ' = 1 0 " $ %! Z ' = " $ % y = X'y =? Z'y =? Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

44 BLUP Tiermodell K. Geschl. Vat. Mut. Zuw. (kg) 4 M W W M M X'X = X'Z = X'X Z'X y = Xb + Za X'Z Z'Z + λa bˆ X'y = aˆ Z'y Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov Z'X = Z'Z =

45 BLUP Tiermodell X'X Z'X X'Z Z'Z + λa bˆ X'y = aˆ Z'y Tier8 Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov ˆb ˆb 1.Männlich 2,Weiblich Tier1 Tier 2 Tier3 = Tier 4 Tier5 Tier6 Tier

46 BLUP Tiermodell X'X Z'X X'Z Z'Z + λa bˆ X'y = aˆ Z'y Tier8 Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov ˆb ˆb 1.Männlich 2,Weiblich Tier1 Tier 2 Tier3 = Tier 4 Tier5 Tier6 Tier

47 BLUP Tiermodell Inverse der additiv genetischen Verwandtschaftsmatrix muss aufgestellt werden Erinnerung: verschiedene Methoden bei grossen Datensätzen muss Inverse direkt aufgestellt werden! Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

48 A BLUP Tiermodell 1 X'X Z'X X'Z Z'Z + λa 1 bˆ X'y = aˆ Z'y = Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

49 BLUP Tiermodell X'X Z'X X'Z Z'Z + λa 1 bˆ aˆ = X'y Z'y A 1 = Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

50 BLUP Tiermodell X'X Z'X A 1 X'Z Z'Z + λa bˆ X'y = aˆ Z'y = σ 40 λ= = = 2 σ 20 2 e 2 a Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov Varianzen müssen bekannt sein!

51 BLUP Tiermodell X'X Z'X 1 λ A = X'Z Z'Z + λa 1 bˆ X'y = aˆ Z'y Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

52 BLUP Tiermodell X'X Z'X 1 λ A = X'Z Z'Z + λa 1 bˆ X'y = aˆ Z'y Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

53 BLUP Tiermodell X'X Z'X X'Z Z'Z + λa 1 bˆ aˆ = X'y Z'y Z'Z 1 +λ A = Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

54 Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl 6. Nov BLUP Tiermodell Folien ZL I+II LFW C11 = + Z'y X'y a b A Z'Z Z'X X'Z X'X 1 ˆ ˆ λ ˆb ˆb =

55 Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl 6. Nov BLUP Tiermodell Folien ZL I+II LFW C ˆb ˆb = ˆb! " $ % = X'X X'Z Z'X Z'Z + λa 1! " $ % 1 X'y Z'y! " $ %

56 Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl 6. Nov BLUP Tiermodell Folien ZL I+II LFW C ˆb ˆb = ˆb! " $ % = X'X X'Z Z'X Z'Z + λa 1! " $ % 1 X'y Z'y! " $ %

57 BLUP Tiermodell! " ˆb $! = X'X X'Z % " Z'X Z'Z + λa 1 $ % 1! " X'y Z'y $ %! " ˆb 1 ˆb $! = " % $ % 1! " $ % Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

58 BLUP Tiermodell Lösung der MME ˆb 1.Männlich bˆ ,Weiblich Tier Tier Tier3 = Tier Tier Tier Tier Tier8 BLUE Schätzer für die Faktorstufen des fixen Effektes Geschlecht BLUP Schätzer für den zufälligen Tiereffekt = Zuchtwert Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

59 BLUP Tiermodell Lösung der MME ˆb 1.Männlich bˆ ,Weiblich Tier Tier Tier3 = Tier Tier Tier Tier Tier8 Männliche Kälber wachsen schneller als Weibliche Obwohl wir keine Beobachtung für Tiere 1 bis 3 hatten, haben sie trotzdem Zuchtwerte Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

60 BLUP Tiermodell Kalb Geschl. Vater Mutter Zuchtwert Rang 8 M W M M W M W M Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov

61 BLUP Tiermodell geschafft J Qualitas AG Birgit Gredler-Grandl Folien ZL I+II LFW C11 6. Nov