Seminar: Algorithmisches in der Geometrie Ausarbeitung zum 8. Vortrag: Fast freie Gruppen sind kontextfrei

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1 Seminar: Algorithmisches in der Geometrie Ausarbeitung zum 8. Vortrag: Fast freie Gruppen sind kontextfrei Michael Hamann 11. Juni 2010 Diese Ausarbeitung beweist die Aussage, dass fast freie Gruppen kontextfrei sind durch die Konstruktion eines Kellerautomaten. Des Weiteren wird der Cayley-Graph einer Gruppe eingeführt und ein Zusammenhang zwischen kontextfreien Grammatiken und den dazugehörigen Gruppen hergestellt. Die Ausarbeitung richtet sich im Wesentlichen nach [Joh90], [MS83] und [LR00]. 1 Fast freie Gruppen sind kontextfrei Definition 1.1. Eine Gruppe G heißt fast frei, wenn G eine freie Untergruppe von endlichem Index in G enthält. Unser Ziel ist es, eine Präsentation einer fast freien Gruppe G zu konstruieren, die G in eine freie Untergruppe H und Repräsentanten der endlich vielen Nebenklassen von H in G aufteilt. Wir wollen weiter zeigen, dass wir diese freie Untergruppe auch als normale Untergruppe wählen können, so dass wir eine endliche Faktorgruppe erhalten. Auf diese Weise können wir dann schlussendlich zeigen, dass wir mit Hilfe dieser Zerlegung einen Kellerautomaten konstruieren können, der auf seinem Stack die freien Anteile verfolgt und mit seinen Zuständen (u.a.) festhält, in welcher Nebenklasse wir uns gerade befinden. Doch um diese Präsentation konstruieren zu können, müssen wir zunächst einige gruppentheoretische Aussagen beweisen: Lemma 1.2. Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe von G mit endlichem Index in G. Dann enthält H eine in G normale Untergruppe N von endlichem Index in G. Beweis: Sei N := w G w 1 Hw. 1

2 Behauptung: (i) N ist ein Normalteiler (ii) Es existieren nur endlich viele zu H konjugierte Untergruppen in G. (iii) Seien H, H G Untergruppen von endlichem Index in G. Dann ist auch H H eine Untergruppe von endlichem Index in G. Aus den Behauptungen folgt, dass N die gewünschte normale Untergruppe von endlichem Index in G ist, da der Schnitt aus endlich vielen Untergruppen von endlichem Index in G besteht und der Schnitt von endlich vielen Untergruppen von endlichem Index auch wieder endlichen Index in G hat. Beweis der Behauptung: w 1 N w = w G Damit ist N ein Normalteiler in G. (i) Sei w G. Dann gilt: (w w) 1 Hw w G Gruppe = w G w 1 Hw = N (ii) Sei [G : H] = d der Index von H in G. Wähle nun Nebenklassenrepräsentanten {w 1,..., w d } G von H in G. Sei w G, H = w 1 Hw eine zu H konjugierte Untergruppe in G. Da Hw = Hw i für ein i {1,..., d} gilt w 1 Hw = w 1 Hw i. Sei w 1 hw H. Dann ex. h, h H mit w 1 hw = w 1 h w i = (h} 1 {{ w} ) 1 w i = ( h 1 w i ) 1 w i = w 1 i hw i. = h 1 w i H w 1 i Hw i. Die umgekehrte Inklusion kann man analog zeigen. Also ist jede zu H konjugierte Untergruppe gleich einer der (endlich vielen) Gruppen w 1 i Hw i, i {1,..., d}. Es gibt damit nur endlich viele zu H konjugierte Untergruppen in G. (iii) Seien H, H G Untergruppen von endlichem Index in G, es gibt also Vertretersysteme {w 1,..., w k }, { w 1,..., w l } G, k, l N der Nebenklassen von H bzw. H in G. Es bleibt zu zeigen, dass { } {( ) } H w i H w j i {1,..., k}, j {1,..., l} = H H w w G. : Sei w H w i H w j. Zu zeigen ist, dass alle w H w i H w j in (H H) w liegen. 2

3 Sowohl w als auch w können bezüglich H w i und H w j dargestellt werden. Seien hierzu h und h passende Elemente in H und h und h passende Elemente in H, so dass sich folgende Darstellung ergibt: w = h w i w = h w j w = h w i w = h w j Unter Ausnutzung dieser Darstellungen können wir w in (H H) w darstellen: H w =h w i = h h 1 h {}} { w i = h h 1 w h 1 w =h w j = h h 1 h w j = h } {{} w H Da G eine Gruppe ist, folgt daraus, dass h h 1 = h h 1 H H, wir haben also einen passendes Element in (H H) gefunden. Damit gilt die Inklusion H w i H w j (H H) w. Umgekehrt enthalten die Mengen H w = H w i und H w = H w j die Menge (H H) w. Damit ist H w i H w j Obermenge von (H H) w und es folgt die Gleichheit H w i H w j = (H H) w. : Sei w G. Dann existieren i {1,..., k}, j {1,..., l} mit H w i H w j (H H) w. Nach dem selben Schema wie bei der anderen Richtung folgt auch hier die Gleichheit. Damit gibt es nur maximal k l viele, also endlich viele, Nebenklassen von (H H). Lemma 1.3. Jede Untergruppe H von endlichem Index in einer endlich erzeugten Gruppe G ist endlich erzeugt. Beweis: Sei n die Anzahl der Erzeuger von G, F n die freie Gruppe in n Erzeugern und π : F n G eine (surjektive) Projektion von F n auf G. Sei weiter d := [G : H] der Index von H in G und {g 1,..., g d } ein Nebenklassenvertretersystem von H in G. Wähle w 1,..., w d F n aus den Urbildern von g 1,..., g d unter π. Behauptung: {w 1,..., w d } ist ein Vertretersystem der Nebenklassen von π 1 (H) in F n. Beweis: Sei w F n. Dann ist π(w) = h g i, h H, i {1,..., d}. Sei h π 1 (h), dann existiert ein k Kern(π) mit w = k h w i. Es gilt Kern(π) π 1 (H), h π 1 (H) und damit ist w π 1 (H)w i. Die Menge {w 1,..., w d } enthält also ein Vertretersystem der Nebenklassen von π 1 (H) in F n. Würden zwei w i, w j in der selben Nebenklasse liegen, so gäbe es ein h π 1 (H) mit g i = π(w i ) = π( h w j ) = π( h) g j. Es gilt aber π( h) H, damit würden w i und w j auf die selbe Nebenklasse projiziert, das ist ein Widerspruch zu ihrer Definition. Damit gilt die Behauptung. 3

4 Mit der Behauptung hat π 1 (H) endlichen Index in F n und ist damit nach dem Satz von Nielsen-Schreier (siehe Vortrag 1) frei und endlich erzeugt. Wähle eine endliche Basis {b 1,, b m }, m N von π 1 (H) und betrachte ihre Bilder unter π in G. Diese Bilder erzeugen H, womit H endlich erzeugt ist. Definition 1.4. Eine Sequenz A 0 α 0 A 1 α 1 A 2... A n 1 α n 1 A n (1) von Gruppen und Homomorphismen heißt exakt, wenn Bild α i 1 = Kern α i, 1 i n 1 Wenn A 0 und A n die triviale Gruppe sind und n = 4 ist, dann heißt (1) kurze exakte Sequenz. Definition 1.5. Eine Erweiterung einer Gruppe G durch eine Gruppe A ist eine Gruppe G die eine normale Untergruppe N hat mit A = N und G/N = G, oder anders ausgedrückt: Die Gruppe G ist eine Erweiterung einer Gruppe G durch eine Gruppe A, wenn die Sequenz exakt ist. 1 A ι G π G 1 Lemma 1.6 (Fünferlemma). Sei α 0 A α 1 0 A α 2 1 A α 3 2 A 3 A 4 φ 0 φ 1 B 0 β 0 B 1 β 1 B 2 β 2 B 3 β 3 B 4 ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen. Wenn φ 0, φ 1, φ 3 und φ 4 Isomorphismen sind, dann ist auch φ 2 ein Isomorphismus. Beweis: Injektivität: Sei a 2 Kern(φ 2 ), also ist β 2 φ 2 (a 2 ) = 1. Da das Kästchen rechts von φ 2 kommutiert, ist damit auch φ 3 α 2 (a 2 ) = 1, da aber φ 3 injektiv ist, muss schon α 2 (a 2 ) = 1 sein, also a 2 Kern(α 2 ). Da das Diagramm an der Stelle A 2 exakt ist, liegt a 2 damit im Bild von α 1, also existiert a 1 A 1 mit α 1 (a 1 ) = a 2. Da auch das Kästchen links von φ 2 kommutiert, ist β 1 φ 1 (a 1 ) = φ 2 α 1 (a 1 ) = φ 2 (a 2 ) = 1, a 1 liegt also im Kern von β 1 φ 1. Sei b 1 := φ 1 (a 1 ), b 1 liegt offensichtlich im Kern von β 1. Da das Diagramm an der Stelle B 1 exakt ist liegt b 1 damit auch im Bild von β 0, es existiert also ein b 0 B 0 mit β 0 (b 0 ) = b 1. Da φ 0 surjektiv ist, existiert a 0 A 0 mit φ 0 (a 0 ) = b 0. Da das linke Kästchen kommutiert, gilt φ 1 α 0 (a 0 ) = b 1. Da φ 1 injektiv ist und φ 1 (a 1 ) = b 1 muss α 0 (a 0 ) = a 1 gelten. Da das Diagramm an der Stelle A 1 exakt ist und a 1 im Bild von A 0 unter α 0 liegt, liegt es im Kern von α 1, also ist a 2 = α 1 (a 1 ) = 1. Damit ist der Kern von φ 2 trivial und φ 2 injektiv. φ 2 φ 3 φ 4 4

5 Surjektivität: Sei b 2 B 2, b 3 := β 2 (b 2 ). Da das Diagramm an der Stelle B 3 exakt ist und b 3 im Bild von β 2 liegt, ist β 3 (b 3 ) = 1. Da φ 3 surjektiv ist, existiert a 3 A 3 mit φ 3 (a 3 ) = b 3. Da das rechte Kästchen kommutiert, gilt φ 4 α 3 (a 3 ) = β 3 φ 3 (a 3 ) = β 3 (b 3 ) = 1. Da φ 4 injektiv ist, ist aber schon α 3 (a 3 ) = 1, also a 3 Kern(α 3 ). Da das Diagramm an der Stelle A 3 exakt ist existiert a 2 A 2 mit α 2 (a 2 ) = a 3. Da das Kästchen rechts von φ 2 kommutiert, ist β 2 φ 2 (a 2 ) = φ 3 α 2 (a 2 ) = φ 3 (a 3 ) = b 3. Sei b 2 := φ 2 (a 2 ). Da β 2 (b 2 b 1 2 ) = β 2 (b 2 ) β 2 (b 1 2 ) = b 3 b 1 3 = 1 ist, ist b 2 b 1 2 im Kern von β 2. Da das Diagramm an der Stelle B 2 exakt ist, existiert b 1 B 1 mit β 1 (b 1 ) = b 2 b 1 2. Da φ 1 surjektiv ist, existiert a 1 A 1 mit φ(a 1 ) = b 1. Da das Kästchen links von φ 2 kommutiert, ist φ 2 α 1 (a 1 ) = β 1 φ 1 (a 1 ) = β 1 (b 1 ) = b 2 b 1 2. Sei a 2 := α 1 (a 1 ). Dann ist φ 2 (a 2 a 2 ) = φ 2 (a 2) φ 2 (a 2 ) = b 2 b 1 2 b 2 = b 2. Das Element a 2 a 2 ist also ein Urbild von b 2, damit ist φ 2 surjektiv. Insgesamt ist φ 2 also ein Isomorphismus. Lemma 1.7. Sei G eine fast freie, endlich erzeugte Gruppe. Dann hat G eine Präsentation in der Form y 1,..., y n, d 1,..., d t ; d i y d d 1 i = u i,d, d i d ε j = z i,ε,j d k i, j = 1,..., t, d = 1,..., n, ε = ±1 wobei u i,d, z i,ε,j y 1,..., y n, t, n N, t 0 und d 1 in G das neutrale Element ist. Beweis: Sei H eine freie Untergruppe von endlichem Index in G (H existiert nach der Definition von fast frei ). Dann enthält H nach Lemma 1.2 eine in G normale Untergruppe N von endlichem Index in G. Nach dem Satz von Nielsen-Schreier (siehe Vortrag 1) ist jede Untergruppe einer freien Gruppe frei, also ist insbesondere N als Untergruppe der freien Gruppe H frei. Nach Lemma 1.3 ist jede Untergruppe mit endlichem Index in einer endlich erzeugten Gruppe endlich erzeugt. N ist damit eine normale, endlich erzeugte freie Untergruppe von endlichen Index in G. Wir fassen im Folgenden G als Erweiterung von G/N durch N auf um eine Präsentation in der oben angegebenen Form zu konstruieren: 1 N ι G η G/N 1 Sei n der Rang von N und {y 1,..., y n } eine Basis von N. Die Faktorgruppe G/N ist endlich (da N endlichen Index in G hat). Sei t die Anzahl ihrer Elemente und η : G G/N die kanonische Projektion von G auf G/N. Sei weiter b 1,..., b t ; b i b ε j = b k die Präsentation von G/N, die sich aus der Multiplikationstabelle von G/N ergibt. Wir konstruieren nun Repräsentanten d i der Äquivalenzklassen b i von G/N in G, indem wir d i, i = 1,..., t aus G wählen mit η(d i ) = b i. Da N der Kern des Homomorphismus η ist, existieren für alle d {1,..., n}, i, j {1,..., t} und ε {1, 1} u i,d, z i,ε,j N und k {1,..., t} mit und d i y d d 1 i = u i,d (2) d i d ε j = z i,ε,j d k, (3) 5

6 denn also d i y d d 1 i η(d i y d d 1 i Kern(η) = N und ) = η(d i ) η(y d ) η(d 1 i ) = b i 1 b 1 i = 1, η(d i d ε j) = η(d i ) η(d j ) ε = b i b ε j = b k = η(d k ), d.h. d i d ε j η 1 (b k ), also in der Form z i,ε,j d k darstellbar. Unter der Verwendung der y i, d i als Zeichen sei G := y 1,..., y n, d 1,..., d t ; d i y d d 1 i = u i,d, d i d ε j = z i,ε,j d k. Da alle Relationen in G auch in G gelten, ist durch G G θ : y i y i, i = 1,..., n d j d j, j = 1,..., t ein eindeutiger Homomorphismus gegeben (UAE der freien Gruppe, UAE der Faktorgruppe). Sei Ñ := y 1,..., y n G die von y 1,..., y n in G erzeugte Untergruppe. Das Bild der Einschränkung θ 1 von θ auf Ñ ist N. Da N wie Ñ frei ist vom Rang n und die Erzeuger der einen Gruppe auf die der anderen abgebildet werden ist θ 1 : Ñ N ein Isomorphismus. Die Untergruppe Ñ ist aufgrund der Relation (2) ein Normalteiler in G. Außerdem gilt Ñ = Kern π Kern η θ da θ Ñ Isomorphismus mit Bild N ist und Kern η = N. Damit wird mit der UAE der Faktorgruppe ein eindeutiger Homomorphismus θ 2 : G/Ñ G/N induziert: η θ G G/N π!θ 2 G/Ñ Da alle Relationen, die in G/N definiert sind auch in G/Ñ gelten, muss θ 2 injektiv sein. Außerdem ist η θ surjektiv, also ist auch θ 2 surjektiv, θ 2 ist damit ein Isomorphismus. Daher ist durch 1 Ñ inc G π G/Ñ 1 θ 1 θ θ 2 1 N ι G η G/N 1 ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen gegeben. Da θ 1 und θ 2 Isomorphismen sind folgt mit Lemma 1.6, dass θ auch ein Isomorphismus ist. Damit gilt die Behauptung. 6

7 Satz 1.8. Fast freie, endlich erzeugte Gruppen sind kontextfrei. Beweis: Sei G eine fast freie, endlich erzeugte Gruppe. Nach Lemma 1.7 kann G in der Form y 1,..., y n, d 1,..., d t ; d i y d d 1 i = u i,d, d i d ε j = z i,ε,j d k, wobei u i,d, z i,ε,j y 1,..., y n sind, präsentiert werden. Unter Verwendung der Relationen dieser Präsentation kann jedes Wort eindeutig in die Form wd i mit einem reduzierten Wort w y 1,..., y n gebracht werden. Die erste Relation erlaubt es, die d i an das Ende des Wortes zu verschieben, die zweite Relation reduziert diese d i auf genau ein d i. Dieses Wort repräsentiert das neutrale Element von G genau dann, wenn w leer ist und d i das Symbol d 1 ist, welches in G das neutrale Element ist. Der Kellerautomat M für das Wortproblem dieser Präsentation von G verwaltet den freien Teil des Wortes wd i auf seinem Stack und besitzt Zustände d 1,..., d t, die das jeweilige Element d i repräsentieren. Zusätzlich verwendet der Automat einige weitere Arbeitszustände, um die entsprechenden Zustandsübergänge durchzuführen. Der Kellerautomat M beginnt damit, dass er ein neues Zeichen $ auf seinen Stack schreibt, um zu verhindern, dass der Stack zwischendurch leer wird und der Automat akzeptiert. Der Zustand, der anschließend eingenommen wird, ist d 1. Vom Zustand d 1 aus führt ein ε-übergang zum Endzustand, der das $ wieder vom Stack entfernt. Neue Zeichen werden immer nur von einem Zustand d i aus eingelesen. Wenn der Automat in einem Zustand d i ist und ein neues Zeichen einliest, gibt es zwei Fälle zu betrachten: a) Das eingelesen Zeichen ist ein yl ε {y 1,..., y n } ±. Dann verwenden wir die Relation d i yl ε = u ε i,l d i, die sich für ε = 1 aus d i y 1 l = (y l d 1 i ) 1 = (d 1 i u i,l ) 1 = u 1 i,l d i ergibt. Wir müssen also das Wort u ε i,l ({y 1,..., y n } ± ) auf den Stack schreiben, danach begeben wir uns wieder in den Zustand d i. b) Das eingelesene Zeichen ist ein d ε j {d 1,..., d t } ±. Dann verwenden wir die Relation d i d ε j = z i,ε,j d k. Wir müssen also das Wort z i,ε,j ({y 1,..., y n } ± ) auf den Stack schreiben, danach begeben wir uns in den Zustand d k. Um das entsprechende Wort in den y i auf den Stack zu schreiben, benutzen wir jeweils eine Kette von Arbeitszuständen, in deren (ε-) Übergängen wir jeweils prüfen, ob gerade das inverse Element zu dem Element, das wir auf den Stack schreiben möchten, auf dem Stack liegt, dann entfernen wir dieses, anderenfalls schreiben wir unser neues Element auf den Stack. Dies funktioniert genauso wie es in Vortrag 4 für die freien Gruppen gezeigt wurde und wie wir dort schon gesehen haben ist das Wort auf dem Stack im Anschluss an dieses Vorgehen reduziert. Damit ist nach dem Einlesen eines beliebigen Wortes das Wort wie oben beschrieben zerlegt und w liegt in reduzierter Form auf dem Stack und der Automat befindet sich im Zustand d i. Das eingelesene Wort ist also in G genau dann das neutrale Element, wenn der Stack nur noch das $-Zeichen enthält und sich der Automat im Zustand d 1 befindet. 7

8 Das ist genau der Zustand, in dem der Automat in den Endzustand übergeht und den Stack leert und damit die Eingabe akzeptiert, er akzeptiert also genau dann, wenn das eingelesene Wort in G das neutrale Element ist und erkennt damit das Wortproblem W (G). Da es nur endlich viele Zustände d i gibt mit jeweils nur endlich vielen Möglichkeiten für das nachfolgende Zeichen, gibt es auch nur endlich viele Arbeitszustände. Der Automat ist damit insgesamt endlich, also ein gültiger Kellerautomat. Hieraus folgt, dass G kontextfrei ist. 2 Cayley-Graphen einer Gruppe Definition 2.1 (Cayley-Graph). Sei G = X; R eine endlich erzeugte Gruppe. Der Cayley-Graph Γ(G) einer Präsentation von G enthält für jedes g G einen Knoten (der im Folgenden mit g bezeichnet wird) und für jedes g G und y X ±1 eine benannte Kante e = (g, y, gy) mit dem Anfangsknoten g, der Bezeichnung y und dem Endknoten gy. Zu jeder Kante e in C existiert eine inverse Kante e 1 = (gy, y 1, g). Beispiel: Es gilt Z = a und Z = 2, 3; = 3 + 3, = Die Cayley-Graphen der beiden Präsentationen sehen folgendermaßen aus (aus Übersichtlichkeitsgründen sind die Kanten jeweils nur in einer Richtung dargestellt):... a a a 1 a a 1 a a 2 a... a 2 a Kontextfreie Grammatiken und Gruppen Sei C = (V, Σ, P, S) eine kontextfreie Grammatik mit disjunkten endlichen Mengen von Variablen und Terminalsymbolen V bzw. Σ, dem Startsymbol S V und einer endlichen Menge P von Produktionen der Form A a mit A V und a (V Σ). Definition 3.1 (Nützlich, reduziert). Eine Variable A V heißt nützlich, wenn eine Ableitung S αaβ w eines Wortes w Σ aus Terminalsymbolen existiert, in der A vorkommt. Gibt es keine derartige Ableitung, so heißt A nutzlos. Eine Grammatik C heißt reduziert, wenn alle Variablen A V nützlich sind. Es ist offensichtlich, dass jede kontextfreie Grammatik in eine reduzierte Grammatik überführt werden kann, indem alle nutzlosen Variablen aus V entfernt werden und genauso alle Produktionen aus P, die nutzlose Variablen enthalten. Da es keine Ableitungen gibt, die diese Variablen benötigen, verändert dies die von C erzeugte Sprache nicht. 8

9 Definition 3.2. Es sei L(A) := {w w Σ und A w} die Menge der Wörter über dem Terminalalphabet, die von A abgeleitet werden können. Korollar 3.3. Wenn A nützlich ist, ist die Menge der von A ableitbaren Wörter L(A) nicht leer. Beweis: Dies folgt direkt aus den Definitionen von nützlich bzw. L(A). Lemma 3.4. Die Grammatik C (wie zuvor definiert) sei reduziert und erzeuge das Wortproblem W (G) einer Gruppe G. Seien A V und u, v L(A). Dann gilt in G u = v. Beweis: Sei A V. Die Variable A ist nützlich, da C reduziert ist. Es gibt also eine Ableitung S αaβ w 1 w 2 w 3 mit w 1 w 2 w 3 L(C) = W (G). Wir wählen die Wortteile w i nun so, dass w 2 gerade der Teil ist, der von A abgeleitet ist. Das ist möglich, da C kontextfrei ist. Die Ersetzung von w 2 durch u bzw. v ergibt in G die Gleichung w 1 uw 3 = 1 = w 1 vw 3, da L(C) aus den Präsentationen des neutralen Elements besteht. Da G eine Gruppe ist, existieren zu w 1 bzw. w 3 inverse Elemente w1 1 und w3 1 G, Multiplikation von links bzw. rechts mit ihnen ergibt u = v in G. Literatur [Joh90] Johnson, D. L.: Presentations of Groups. Cambridge University Press, 1990 (London Mathematical Society Student Texts No. 15) [LR00] Leininger, C. ; Reid, A.: Geometric group theory. informal notes, 2000 [MS83] Muller, David E. ; Schupp, Paul E.: Groups, the Theory of Ends, and Context-Free Languages. In: Journal of Computer and System Sciences 26 (1983), Nr. 3, S