Methoden der computergestützten Produktion und Logistik

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1 Methoden der computergestützten Produktion und Logistik 4. (ustands-)parametrisierung eines Input-Output Systems Prof. Dr.-Ing. habil. Wilhelm Dangelmaier Modul W 2336 SS 2017

2 Definition Ein Quadrupel (, Y,, p) heißt eine ustandsparametrisierung des allgemeinen Input- Output-Systems (, Y, S), wenn p eine Parametrisierungsabbildung p: P( Y) von S mit p(z) z funktional z p(z) S ist. P( Y) bezeichnet die Potenzmenge von Y. Ist (, Y,, p) eine ustandsparametrisierung von (, Y, ), so heißt die zugehörige ustandsmenge und p die ustandsparametrisierungsabbildung. Damit wird S in eine Schar von funktionalen Relationen (Parameterlinien) zerlegt, die in ihrer Gesamtheit genau S überdecken. Gilt xp(z)y, so gibt die ustandsparametrisierung (, Y,, p) im ustand z als Antwort zum Input x den Output y ab. Gilt in einem ustand x die Beziehung xp(z) =, so gibt die ustandsparametrisierung im ustand z zum Input x keinen Output ab. 2

3 Beispiel: ustandsparametrisierung der Lackiererei = {x 1, x 2, x 3 } bezeichne Herren-, Damen- und Kinderräder, Y = {y 1, y 2, y 3 } die Farben gelb, grün und rot. Die Lackiererei ist wie folgt von der Temperatur der Außenluft abhängig: S x 1 y 1 x 2 x 3 y 3 x 1 y 3 x 2 y 2 x 3 x 1 x 2 y 1 x 3 y 3 x 1 y 1, y 3 x 2 y 1, y 2 x 3 y 3 p ( 20 ) p (21-30 ) p 31 p(z) Die abhängig vom Parameter verwendeten Teilmengen von S zeigt die folgende Skizze p ( 20 ) p (21-30 ) p ( 31 ) y 1 y 2 y 3 y 1 y 2 y 3 y 1 y 2 y 3 x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 3

4 u einer gegebenen ustandsparametrisierung (, Y,, p) definieren wir die zugehörige Outputrelation von in Y durch ( ) Y : (z,x) y : xp(z)y ist eine funktionale Relation von in Y: Für = (z 1, x 1 ) gilt y 1. Oft ist es zweckmäßig, in einer ustandsparametrisierung (, Y,, p) statt der Parametrisierungsabbildung p die Outputrelation anzugeben. Wir sprechen von der Outputform der ustandsparametrisierung (, Y,, p) und verwenden dafür das Symbol (, Y, ; ). x x 1 x 2 x 3 z z 1 z 2 y z 3 4

5 Beispiel: Outputform der ustandsparametrisierung Wir formulieren den Output (die Farben) abhängig von Temperatur und Input. x x 1 x 2 x 3 20 y 1 - y 3 z y 3 y y 1 y 3 Neben dem Symbol (, Y,, p) sei als Symbol noch pars für eine ustandsparametrisierung eines allgemeinen Input-Output-Systems (, Y, S) eingeführt. 5

6 Beispiel: ustandsparametrisierung Das allgemeine System (, Y, S) sei gegeben durch : = {Herrenrad, Hollandrad, Damenrad, Kinderrad}; Y: = {rot, gelb, grün}; S: = {Herrenrad / rot, Herrenrad / gelb, Hollandrad / grün, Damenrad / rot, Damenrad / gelb} Eine (mögliche) ustandsparametrisierung pars = (, Y,, p) von (, Y, S) ist dann gegeben durch : = {Sommer, Winter} p: = {Sommer, Winter} -> P(x y) : Sommer -> p(sommer): = {Herrenrad / rot, Damenrad / gelb}; Winter -> p(winter): = {Herrenrad / gelb, Hollandrad / grün, Damenrad / rot} Die Outputrelation von pars wird durch folgende Tabelle angegeben: Herrenrad Hollandrad Damenrad Kinderrad Sommer rot - gelb - Winter gelb grün rot - 6

7 Eigenschaften von ustandsparametrisierungen Es bezeichne pars = (, Y,, p) eine gegebene ustandsparametrisierung eines allgemeinen Systems (, Y, S) und die zugehörige Outputrelation. Die ustandsparametrisierung pars heißt vollständig: x 1 p(z) x 1 S z Jedes x aus dem Vorbereich hat eine uordnung zu jedem ustand z. In diesem Falle gilt also 1 = 1 S. 7

8 Beispiel: vollständige ustandsparametrisierung a) Sachsystem b) Produktionssystem ct 1 2 Herren Holland Damen Lakritze Gummibären Kaugummi Gummibären 20 gelb grün rot Kaffee rot gelb gelb Ü-Ei Tee 31 grün rot grün 8

9 diskret: z card(p(z)) {0,1} Für jeden ustand z ist die bei p zugeordnete funktionale Relation p(z) entweder leer, oder aber sie besteht nur aus einem einzigen Paar (x, y) S. Es gibt demnach zu jeden ustand z von pars höchstens einen Input x, bei dem Output abgegeben wird. Beispiel: diskrete ustandsparametrisierung a) Sachsystem b) Produktionssystem 50 ct 1 2 Herren Holland Damen 20 Lakritze gelb gelb

10 nichtabschaltend: z p(z) 0 In jedem ustand gibt es mindestens eine Durchschaltung von x nach y. Beispiel: nichtabschaltende ustandsparametrisierung a) Sachsystem b) Produktionssystem 50 ct 1 2 Herren Holland Damen 20 Lakritze Gummibären 20 gelb gelb rot - 10

11 zerlegend: z,z' z z' p(z) p(z' ) wei unterschiedliche ustände z, z haben keine gemeinsamen Relationen: z: x y, z : x y. Beispiel: zerlegende ustandsparametrisierung a) Sachsystem b) Produktionssystem 50 ct 1 2 Herren Holland Damen 20 Lakritze gelb rot Tee grün 11

12 alternativ: z z' z z' p(z) p(z' ) Für alle ustände z gibt es mindestens einen ustand z, mit dem mindestens eine Relation gemeinsam ist. Beispiel: alternative ustandsparametrisierung a) Sachsystem b) Produktionssystem 50 ct 1 2 Herren Holland Damen 20 Lakritze - Tee Lakritze gelb - grün Tee gelb rot grün Tee 31 - rot grün 12

13 teilmengenleer: z,z' p(z) p(z' ) p(z) p(z' ) Nicht teilmengenleer bedeutet: Die Relationen bei einem bestimmten ustand sind eine Teilmenge der Relationen bei einem anderen ustand. Beispiel: teilmengenleere ustandsparametrisierung a) Sachsystem b) Produktionssystem teilmengenleer teilmengenleer ct 1 2 Herren Holland Damen Lakritze Gummibären Kaugummi Gummibären 20 rot gelb grün Kaffee weiß - blau Ü-Ei Tee 31 schwarz - grün 13

14 nicht teilmengenleer nicht teilmengenleer ct 1 2 Herren Holland Damen Lakritze Lakritze Gummibären Gummibären 20 rot gelb grün rot - grün 31 - gelb grün 14

15 parallel: x,x' y,y' Y z xp(z)y x'p(z)y' y y' Für alle Parameter/Schalterstellungen haben alle Inputs x denselben Output y (oder keine Relation) oder: ein ustand hat nur einen Output. Beispiel: parallele ustandsparametrisierung a) Sachsystem b) Produktionssystem 50 ct 1 2 Herren Holland Damen 20 Lakritze Lakritze rot rot gelb - gelb 31 Tee Tee Tee 31 grün grün grün 15

16 invertierbar: z p(z) 1 ist funktional Ein Output hat (bei einem bestimmten ustand) nur einen Input. Die Relationenmatrix ist in beiden Richtungen eindeutig. Beispiel: invertierbare ustandsparametrisierung a) Sachsystem b) Produktionssystem 50 ct 1 2 Herren Holland Damen 20 Lakritze rot gelb Tee grün 16

17 Simulation Es bezeichne pars = (, Y,, p) und pars = (, Y,, p ) zwei gegebene ustandsparametrisierungen der allgemeinen Systeme (, Y, S) beziehungsweise (, Y, S ). Wir nennen nun einen Tripel (,, ) von Abbildungen :, : Y Y und : eine Simulationszuordnung von pars zu pars, wenn dafür gilt: x yy z xp(z)y y' Y' (x)p'( (z))y' (y' ) Existiert eine Simulationszuordnung (,, ) von pars zu pars, so sagen wir, pars wird von pars simuliert. Wir nennen dann pars eine Simulation-ustandsparametrisierung von pars. S Y y S Y Simulation von pars durch pars 17

18 ustandsreduktion Eine ustandsparametrisierung wird hinsichtlich der ustände und hinsichtlich der Inputmenge durch Beobachtung des Systems und eine schrittweise Vervollständigung wachsen. Daher werden sich ggf. Redundanzen in den ustandsparametrisierungen einstellen. Natürlich sind wir daran interessiert, derartige Redundanzen zu erkennen und zu beseitigen. Eine ustandsparametrisierung pars heißt zustandsminimal: (,Y, \ z {z},p \ ist keine ustandsparametrisierung von (, Y,). Über die Menge {z} hinaus enthält keine ustände. Wenn man einen ustand z aus wegnimmt, ist das System S nicht mehr vollständig. {z}) 18

19 Beispiel: zustandsminimale ustandsparametrisierung a) Sachsystem b) Produktionssystem zustandsminimal zustandsminimal 50 ct 1 2 Herren Holland Damen 20 Lakritze Lakritze Lakritze Gummibären Kaugummi 20 rot rot grün Kaffee gelb rot blau Ü-Ei Tee 31 grün weiß schwarz Es kann kein ustand für ( z p(z) S) z p(z) S ohne Aussageverlust weggenommen werden. 19

20 a) Sachsystem b) Produktionssystem nicht zustandsminimal nicht zustandsminimal 50 ct 1 2 Herren Holland Damen 20 Lakritze Lakritze Lakritze Kaugummi Kaugummi 20 rot rot grün Kaffee gelb rot grün Kaffee 31 gelb rot grün sonst sonst

21 zustandsreduziert: z,z' p(z) p(z' ) z z' Für zwei identische Relationen gilt: Wir fassen zu einem gesamthaften ustand, der nicht weiter differenziert werden muss, zusammen. Für eine gegebene ustandsparametrisierung pars = (, Y,, p) von (, Y, S) definieren wir auf der ustandsmenge dazu die Relation ~ ~ : z ~ z : p(z) p(z' ) Die Relation ~ ist eine spezielle Äquivalenzrelation, die Reduktionsäquivalenz von pars. Durch Übergang zum Quotienten von pars bezüglich der Reduktionsäquivalenz erhalten wir die Quotientenzustandsparametrisierung pars~, die definiert ist durch ( pars) ~: (,Y, / ~,p / ~) wobei /~ die Quotientenmenge von bezüglich ~ bedeutet und p/~ die Quotientenabbildung ist, die definiert ist durch p / ~: / ~ P( Y) : [z] p / ~ ([z]) : p(z) p/~([z]) reduzierte ustandsrelation p/~ als Funktion von ([z]), also den reduzierten uständen, definiert über die Elemente der Äquivalenzklasse [z]: p/~ ([z]) = p(z). 21

22 Beispiel: reduzierte ustandsparametrisierung a) Sachsystem b) Produktionssystem ct 1 2 Herren Holland Damen Lakritze Lakritze 31 Kaugummi Gummibären Kaugummi 20 rot gelb grün gelb rot rot Ü-Ei Tee 31 gelb rot rot 22

23 p(z) p ( 20 ) p (21 30 ) p ( 31 ) 50 ct L 50 ct L 50 ct G 1 S 1 S 1 Ü 2 K 2 K 2 T 50 ct Lakritze Kaugummi Lakritze Kaugummi 31 Gummibären Ü-Ei Tee 23

24 ~: ( 20 ) ~ (21 30 ). Bildet man den Quotienten aus und ~, fallen ( 20 ) und (21 30 ) weg: /~: {kalt, 31 } Und p/~ wird zu p/~: p (kalt) p ct L 50 ct G 1 S 1 Ü 2 K 2 T [z] [kalt]: = {( 20 ), (21 30 )} (pars)~: = (x, y, /~, p/~) : = {50 ct, 1, 2 } Y: = {Lakritze,, Kaugummi, Gummibären, Ü-Ei, Tee} 50 ct 1 2 /~ kalt Lakritze Kaugummi 31 Gummibären Ü-Ei Tee 24

25 Für jede Quotientenzustandsparametrisierung (pars)~ von pars gelten die Aussagen: Die Quotientenzustandsparametrisierung (pars)~ einer ustandsparametrisierung pars ist zustandsreduziert. pars wird über (,, ) mit : = id x, : = id y und : = : z (z): = [z] von (pars)~ simuliert. um Beweis brauchen wir uns nur zu überlegen, dass wegen p/~([z])=p(z) aus xp(z)y stets folgt xp/~([z])y. Wir nennen die angesprochene Simulation von pars die kanonische Simulation. Beispiel: Quotienten-ustandsparametrisierung 50 ct L S K kalt L S K [] L S K warm G Ü T 31 G Ü T 25

26 Eigenschaften vollständig diskret nichtabschaltend zerlegend alternativ teilmengenleer parallel invertierbar zustandsminimal zustandsreduziert (ustands-) Parametrisierung Beispiel: Klassifizierung von ustandsparametrisierungen Das allgemeine System (, Y, S) sei gegeben durch : = {a, b, c}, Y: = {A, B, C}; S: = {aa, ab, bc, ca, cb}. Wir betrachten dann folgende ustandsparametrisierungen par 1 S, par 2 S,, par 5 S von (, Y, S), die wir mit den Tabellen der zugehörigen Outputrelationen 1, 2,, 5 angeben. par 1 S: = [, Y, {1, 2, 3, 4, 5}; 1 ) 1 Herrenrad Hollandrad Damenrad 1 rot gelb grün gelb rot par 1 S x x x x x x x x 26

27 Eigenschaften vollständig diskret nichtabschaltend zerlegend alternativ teilmengenleer parallel invertierbar zustandsminimal zustandsreduziert Eigenschaften vollständig diskret nichtabschaltend zerlegend alternativ teilmengenleer parallel invertierbar zustandsminimal zustandsreduziert (ustands-) Parametrisierung par 2 S: = [, Y, {1, 2, 3}; 2 ) 2 Herrenrad Hollandrad Damenrad 1 rot - rot 2 gelb - gelb 3 - grün - par 3 S: = [, Y, {1, 2}; 3 ) par 2 S x x x x x x 3 Herrenrad Hollandrad Damenrad 1 rot grün rot 2 gelb grün gelb par 3 S x x x x x x 27

28 Eigenschaften vollständig diskret nichtabschaltend zerlegend alternativ teilmengenleer parallel invertierbar zustandsminimal zustandsreduziert Eigenschaften vollständig diskret nichtabschaltend zerlegend alternativ teilmengenleer parallel invertierbar zustandsminimal zustandsreduziert (ustands-) Parametrisierung par 4 S: = [, Y, {1, 2}; 4 ) 4 Herrenrad Hollandrad Damenrad 1 rot - gelb 2 gelb grün rot par 5 S: = [, Y, {1, 2, 3, 4}; 5 ) par 4 S x x x x x x 5 Herrenrad Hollandrad Damenrad 1 rot - rot 2 rot - rot 3 gelb grün gelb 4 gelb - gelb par 5 S x x 28

29 Beispiel: Transportsystem ugrundegelegt sei die Kreuzung und das allgemeine System (, Y, S) mit = {W, M, L, K}; Y = {W, M, L, K, ML, KM}; S = {(W, K), (W, M), (W, KM), (K, L), (K, ML), (L, K)}; Wir geben für das allgemeine System (, Y, S) eine ustandsparametrisierung an, so dass deren ustände den gerade erlaubten Verkehrsfluss in der Kreuzung festlegen. Wir definieren dazu (, Y,, p) durch : = {1, 2, 3, 4, 5}; 5 Schalterstellungen P: P( Y): 1 p(1) = {(W, KM)}, Schalterstellung 1: Wir lassen W nach KM, 2 p(2) = {(W, K)}, 3 p(3) = {(K, L), (L, K)}, 4 p(4) = {(K, ML), (L, K), (W, K)}, 5 p(5) = {(W, M)}. 29

30 Eine übersichtliche graphische Darstellung dieser ustandsparametrisierung ist auch gegeben durch Man kann sich als zweckmäßig vorstellen, die Kreuzung durch eine gewisse zeitliche Abfolge dieser ustände zu regeln. Man beachte dabei auch: Die gewählte ustandsparametrisierung muss die Realisierbarkeitsbedingung erfüllen, dass für jeden ustand z der mit p(z) zugeordnete Verkehr kreuzungsfrei verläuft. 30

31 Schaltungen von ustandsparametrisierungen Es bezeichne pars 1 = ( 1, Y 1, 1, p 1 ) eine ustandsparametrisierung von ( 1, Y 1, S 1 ) und pars 2 = ( 2, Y 2, 2, p 2 ) eine solche von ( 2, Y 2, S 2 ). Wir definieren dann zwischen pars 1 und pars 2 folgende Schaltungen: Das kartesische Produkt pars 1 pars 2 ist definiert als die ustandsparametrisierung von pars: = (, Y,, p) von (, Y, S): = ( 1, Y 1, S 1 ) ( 2, Y 2, S 2 ), die gegeben ist durch : = 1 2 ; P: 1 2 P(( 1 2 ) (Y 1 Y 2 )): (z 1, z 2 ) p(z 1, z 2 ) = {((x 1 x 2 ), (y 1 y 2 )): x 1 p 1 (z 1 ) y 1 x 2 p 2 (z 2 )y 2 } S Y 1 Y 2 S

32 Beispiel ct morgens Eistee Cola Fanta abends Tee Kaffee Heringsbrot Glühwein 2 20 Hering Brötchen Brezel Heringssalat Brezel belegt 30 Eis Kirschbecher Birne Helene 32

33 1 morgens abends : = ct 1 2 Y 1 Eistee Cola Fanta Tee Kaffee Glühwein Hering Heringssalat Heringsbrötchen Brötchen Y 2 Brezel Brezel belegt Eis (morgens / -> 20 ), (1 / 1 ), (Cola / Hering) Kirschbecher Birne Helene 33

34 Aufgabe Konstruiere die Serienschaltung zum Beispiel für das kartesische Produkt. 34