Methoden der computergestützten Produktion und Logistik

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1 Methoden der computergestützten Produktion und Logistik 3. Allgemeine Input-Output Systeme Prof. Dr.-Ing. habil. Wilhelm Dangelmaier Modul W 2336 SS 2017

2 Ausgehend von der Definition eines Systems betrachten wir hier ausschließlich Input und Output als Menge der Attribute und als Funktion des Systems die Relationen zwischen Input und Output. Untersysteme und Relationen zwischen den Untersystemen werden nicht betrachtet. Wir geben Schritt für Schritt Parameter und/oder zeitliche Sachverhalte an, die das zunächst unverständliche Verhalten erklären und entwickeln. Im Prinzip wird in den einzelnen Absätzen nichts zusätzliches eingeführt: Das beobachtete System lässt sich ganz einfach beschreiben, wenn wir von folgendem Parameter ausgehen Wir betrachten ein System zunächst ohne eine spezifizierende Ordnung über eine Zeitmenge. 2

3 Definition Ein Tripel (X, Y, S) heißt ein allgemeines Input-Output System, wenn X und Y sind Mengen S ist eine nichtleere Relation S X Y gilt. Ist (X, Y, S) ein allgemeines (Input-Output)System, so heißt X die Inputmenge, jedes Element daraus ein Input, Y heißt die Outputmenge, jedes Element daraus ein Output. S heißt die zu (X, Y, S) gehörige Input-Output-Relation. Ein Paar (x, y) X Y, für das auch gilt (x, y) S heißt ein Input-Output Paar von (X, Y, S). Bei einem Input-Output Paar (x, y) sagen wir y wird in (X, Y, S) von x aus erreicht und x ist in (X, Y, S) ein für y möglicher Input. Für ein beliebiges x X sei mit xs die Menge xs : = {y : y Y xsy} bezeichnet. Wir nennen xs die von x aus erreichbare Menge von Outputs. In ähnlicher Weise sei für ein beliebiges y Y mit Sy die Menge Sy : = {x : x X xsy} bezeichnet. Sy nennen wir die für y mögliche Menge von Inputs. X S Y 3

4 Das Konzept der erreichbaren Menge und der möglichen Menge legt die Einführung der Abbildungen (.)S und S(.) nahe: (.)S: S(.) : 1 2 S P(Y) : x (.)S(x) : xs S P(X) : y S(.)(y) : Sy (.)S nennen wir die zu (X, Y, S) gehörige Vorwärtsabbildung; S(.) heißt die zu (X, Y, S) gehörige Rückwärtsabbildung: (.)S ist die Relation aller x auf ihre erreichbaren Mengen, z. B. (.) S : {(x1,x 1S),(x2,x2S),...} mit x 1 X. S(.) ist die Relation aller y auf ihre möglichen Mengen. 4

5 Beispiel: a. Sachsystem: Der Süßwarenautomat in der Kantine der Fa. Sandplatz akzeptiert verschiedene Münzen und gibt verschiedene Waren ab (Bspw. folgt auf einen Input von 50 ct der Output von Kaugummi und Lollipop). Am Systembeginnpunkt wird über den Einwurf einer Münze die Bereitstellung der Ware aus dem Speicher angestoßen Am Systemendepunkt ist die Transformation mit der Bereitstellung der Ware beendet. X : = {50 ct, 1, 2 }, y : = {Kaugummi 4711, Lakritze, Gummibärchen} S : = {(50 ct, Kaugummi 4711), (1, Lakritze), (2, Gummibärchen)} 5

6 b. Produktionssystem: Zur Produktion von Fahrradspeichen werden geeignete Drahtsorten mit entsprechendem Durchmesser, Werker, Maschinen und Werkzeuge bereitgestellt. X : = {Drahtsorte xyz, Drahtsorte A47, Drahtsorte B11, } Y: = {(Speiche 30 cm, 2 mm, Edelstahl), ( ), } S: = {(Drahtsorte xyz, (Speiche 30 cm, 2 mm, Edelstahl)), (, ), } 6

7 c. Transportsystem Wir betrachten eine Kreuzung im internen Transport der Fa. Sandplatz als allgemeines Input-Output System (X, Y, S). An dieser Kreuzung kommen Fahrzeuge aus drei Richtungen an und gehen in drei Richtungen ab. Da auf einen kreuzungsfreien Verkehr Wert gelegt wird, ist bei der Kontrolle ein Start im Transport gleichzeitig nach Montage und Lager, bei Start im Wareneingang nach Kontrolle und Montage möglich. Ware, die in das Lager geht, muss auf jeden Fall zur (Stückzahl-) Kontrolle. Bei jeder Auslagerung findet eine Qualitätsprüfung statt. Kontrolle (K) Wareneingang (W) Montage (M) Lager (L) Wir betrachten die an der Kreuzung eintreffenden Fahrzeuge mit ihrem Startort als Input, die ausgelösten Transporte mit der Zieladresse als Output. Es ergibt sich folgendes allgemeines Input-Output System X: = {W, M, L, K}; Y = {W, M, L, K, ML, KM}; S = {(W, K), (W, M), (W, KM), (K, L), (K, ML), (L, K)} 7

8 Mögliche Menge von Inputs Sy = S(K): = {W, L} Output Rückwärtsabbildung Input Input-Menge Vorwärtsabbildung W M L K ML KM W M L K Input-Output-Relation Transportkreuzung: = {(W, K), (W, M), (W, KM), (K, ML), (L, K)} Output-Menge Erreichbare Menge von Outputs xs = (W)S: = {M, K, KM} XxY Input-Output-Paar 8

9 d. Beginn-Produktionsereignis mit Bereitstellung von Werkzeugen Ausklinken X: = {(55 cm Rohrabschnitt, Haltevorrichtung 55), (57 cm Rohrabschnitt, Haltevorrichtung 57)}; Y: = {Herstellen eines 54 cm Sattelrohres}; S: = {((55 cm Rohrabschnitt, Haltevorrichtung 55), Herstellen eines 54 cm Sattelrohres), ((57 cm Rohrabschnitt, Haltevorrichtung 57), Herstellen eines 54 cm Sattelrohres)}. 9

10 Das zu einem allgemeinen Input-Output System (X, Y, S) inverse System (X, Y, S) -1 ist definiert durch das allgemeine Input-Output System, (Y, X, S -1 ). Beispiel: Inverses System a. Sachsystem: Wir geben einen Kaugummi 4711 in den Eingabeschlitz. Die Ausgabe sind bspw. 50 ct und die blinkende Taste Kaugummi Das vernünftige Beispiel ist ein Flaschenrücknahmeautomat, der Geld ausgibt und gleichzeitig die Art der Flasche anzeigt. b. Produktionssystem: Fahrradnaben werden aus Aluminium hergestellt. Ggf. werden diese Naben wieder eingeschmolzen und es entsteht wieder Aluminium. 10

11 Für eine beliebige Menge M X Y sei die Einschränkung (Restriktion) von (X, Y, S) auf M durch das allgemeine System (X, Y, S M) definiert. Beispiel: Einschränkung Der Versand signalisiert eine erhöhte Nachfrage an Fahrrädern mit 56 cm und 58 cm Rahmenhöhe. Die Produktion kann 54 cm, 56 cm, 58 cm, 60 cm und 62 cm hohe Rahmen herstellen. Hier schränkt M auf 56 cm und 58 cm ein. X: = {Stahlrohr}, Y: = {54 cm-fahrrad, 56 cm-fahrrad, 58 cm-fahrrad, 60 cm-fahrrad, 62 cm-fahrrad}, S: = {(Stahlrohr, 54 cm-fahrrad), (Stahlrohr, 56 cm-fahrrad), (Stahlrohr, 58 cm-fahrrad), (Stahlrohr, 60 cm-fahrrad), (Stahlrohr, 62 cm-fahrrad)} M: = {(Stahlrohr, 56 cm-fahrrad), (Stahlrohr, 58 cm-fahrrad)} Einschränkung auf M: X: = {Stahlrohr}, Y: = {54 cm-fahrrad, 56 cm-fahrrad, 58 cm-fahrrad, 60 cm-fahrrad, 62 cm-fahrrad} (S M) : = {(Stahlrohr, 56 cm-fahrrad), (Stahlrohr, 58 cm-fahrrad)} 11

12 Eigenschaften Wir nennen ein allgemeines Input-Output System funktional : S ist eine funktionale Relation. Beispiel: Funktional a) Sachsystem: In den Süßwarenautomaten können 50 ct, 1 und 2 eingeworfen werden. Auf 50 ct wird mit Kaugummi, auf 1 mit Kaugummi und auf 2 mit Gummibärchen reagiert. X : = {50 ct, 1, 2 } Y : = {Kaugummi, Gummibärchen}, S : = {(50 ct, Kaugummi), (1, Kaugummi), (2, Gummibärchen)} b) Produktionssystem: Das 54 cm Sattelrohr kann aus einem 55 cm - oder einem 57 cm - Rohrabschnitt hergestellt werden. Bei Funktionalität hat der 57 cm - Rohrabschnitt aber nur diese eine Verwendung. 12

13 zerlegend: x,x' 1 S x x' xs x' S O Zwei unterschiedliche Inputs führen zu zwei erreichbaren Mengen ohne gemeinsames Element. Beispiel: Zerlegend a) Sachsystem: Der Einwurf von 1 in den Süßwarenautomaten führt zur Ausgabe von Kaugummi und Lakritze, 2 führen zu Gummibärchen und Schokolade. X : = {1, 2 }, Y: = {(Kaugummi, Lakritze), (Gummibärchen, Schokolade)}, S: = {(1, (Kaugummi, Lakritze)) (2, (Gummibärchen, Schokolade))} 13

14 b) Speichenfertigung: X: = {Draht Durchmesser 1,8 mm, Draht Durchmesser 2,0 mm, Draht Durchmesser 2,1 mm}; Y: = {Herstellen von Speiche 280 mm, Herstellen von Speiche 290 mm, Herstellen von Speiche 300 mm, Herstellen von Speiche 310 mm, Herstellen von Speiche 320 mm, Herstellen von Speiche 330 mm, Herstellen von Speiche 340 mm}; S: = {(Draht Durchmesser 1,8 mm, Herstellen von Speiche 280 mm), (Draht Durchmesser 2,0 mm, Herstellen von Speiche 290 mm), (Draht Durchmesser 2,1 mm, Herstellen von Speiche 300 mm), (Draht Durchmesser 1,8 mm, Herstellen von Speiche 320 mm), (Draht Durchmesser 2,0 mm, Herstellen von Speiche 340 mm)}. 14

15 alternativ: x 1 S x' 1 S x x' xs x' S O Jedes xs muss mit mindestens einem x S mindestens ein y gemeinsam haben. Beispiel: Speichenfertigung X: = {Draht Durchmesser 1,8 mm, Draht Durchmesser 2,0 mm, Draht Durchmesser 2,2 mm}; Y: = {Herstellen von Speiche 280 mm, Herstellen von Speiche 290 mm, Herstellen von Speiche 300 mm, Herstellen von Speiche 310 mm, Herstellen von Speiche 320 mm, Herstellen von Speiche 330 mm, Herstellen von Speiche 340 mm}; S: = {(Draht Durchmesser 1,8 mm, Herstellen von Speiche 280 mm), (Draht Durchmesser 2,0 mm, Herstellen von Speiche 280 mm), (Draht Durchmesser 1,8 mm, Herstellen von Speiche 290 mm), (Draht Durchmesser 2,2 mm, Herstellen von Speiche 290 mm), (Draht Durchmesser 2,0 mm, Herstellen von Speiche 330 mm), (Draht Durchmesser 1,8 mm, Herstellen von Speiche 300 mm), (Draht Durchmesser 2,0 mm, Herstellen von Speiche 310 mm), (Draht Durchmesser 2,2 mm, Herstellen von Speiche 320 mm)}. 15

16 schachtelnd: x,x' X xs x' S x' S xs Der Output kann so geordnet werden, dass ausgehend von einer minimalen Outputmenge jede Outputmenge Teilmenge der nächstgrößeren Outputmenge ist. Beispiel: Speichenfertigung X: = {Draht Durchmesser 1,8 mm, Draht Durchmesser 2,0 mm, Draht Durchmesser 2,1 mm, Draht Durchmesser 2,2 mm, Draht Durchmesser 2,4 mm, Draht Durchmesser 2,5 mm, Draht Durchmesser 2,6 mm}; Y: = {Herstellen von Speiche 280 mm, Herstellen von Speiche 290 mm, Herstellen von Speiche 300 mm, Herstellen von Speiche 310 mm, Herstellen von Speiche 320 mm, Herstellen von Speiche 330 mm, Herstellen von Speiche 340 mm}; S: = {(Draht Durchmesser 1,8 mm, Herstellen von Speiche 280 mm), (Draht Durchmesser 2,0 mm, Herstellen von Speiche 280 mm), (Draht Durchmesser 2,0 mm, Herstellen von Speiche 290 mm), (Draht Durchmesser 2,1 mm, Herstellen von Speiche 280 mm), (Draht Durchmesser 2,1 mm, Herstellen von Speiche 290 mm), (Draht Durchmesser 2,1 mm, 16

17 Herstellen von Speiche 300 mm), (Draht Durchmesser 2,2 mm, Herstellen von Speiche 280 mm), (Draht Durchmesser 2,2 mm, Herstellen von Speiche 290 mm), (Draht Durchmesser 2,2 mm, Herstellen von Speiche 300 mm), (Draht Durchmesser 2,2 mm, Herstellen von Speiche 310 mm), (Draht Durchmesser 2,4 mm, Herstellen von Speiche 280 mm), (Draht Durchmesser 2,4 mm, Herstellen von Speiche 290 mm), (Draht Durchmesser 2,4 mm, Herstellen von Speiche 300 mm), (Draht Durchmesser 2,4 mm, Herstellen von Speiche 310 mm), (Draht Durchmesser 2,4 mm, Herstellen von Speiche 320 mm), (Draht Durchmesser 2,5 mm, Herstellen von Speiche 280 mm), (Draht Durchmesser 2,5 mm, Herstellen von Speiche 290 mm), (Draht Durchmesser 2,5 mm, Herstellen von Speiche 300 mm), (Draht Durchmesser 2,5 mm, Herstellen von Speiche 310 mm), (Draht Durchmesser 2,5 mm, Herstellen von Speiche 320 mm), (Draht Durchmesser 2,5 mm, Herstellen von Speiche 330 mm), (Draht Durchmesser 2,6 mm, Herstellen von Speiche 280 mm), (Draht Durchmesser 2,6 mm, Herstellen von Speiche 290 mm), (Draht Durchmesser 2,6 mm, Herstellen von Speiche 300 mm), (Draht Durchmesser 2,6 mm, Herstellen von Speiche 310 mm), (Draht Durchmesser 2,6 mm, Herstellen von Speiche 320 mm), (Draht Durchmesser 2,6 mm, Herstellen von Speiche 330 mm), (Draht Durchmesser 2,6 mm, Herstellen von Speiche 340 mm)}. 17

18 teilmengenleer: x,x' 1 S xs x' S xs x' S Beispiel: teilmengenleer a) Sachsystem: 50 ct und 1 führen jeweils zu Kaugummi und Gummibärchen (identische Outputmenge), während der Input von 2 zu Lakritze und Gummibärchen führt. In diesem Fall gibt der Automat kein Geld zurück (50 ct wird wie 1 behandelt). a) Produktionssystem: Rohrabschnitte von 55 cm und 57 cm Länge führen zu einem Sattelrohr von 54 cm Länge. Rohrabschnitte von 115 cm Länge resultieren in Sattelrohren von 56 und 58 cm Länge. Rohrabschnitte von 119 cm ergeben Sattelrohre von 58 cm und 60 cm Länge. 18

19 konstant: x,x' 1 S xs x' S Beispiel: konstant a) Sachsystem: Unabhängig von der eingeworfenen Münze wird immer Kaugummi ausgegeben. b) Produktionssystem: Unabhängig von der Länge der als Material verwendeten Stange wird immer ein 54 cm langes Sattelrohr erzeugt. inputfrei: card 1 S 1 outputfrei: card 2 S 1 19

20 Simulation Es seien (X, Y, S) und (X, Y, S ) zwei gegebene allgemeine Systeme. Wir nennen dann ein Paar (, ) von Abbildungen : X X und : Y Y eine Simulationszuordnung von (X, Y, S) zu (X, Y, S ), wenn dafür gilt: x X y Y xsy y' Y' (x)s' y' (y' ) y Existiert von (X, Y, S) zu (X, Y, S ) eine Simulationszuordnung, so sagen wir, (X, Y, S) wird von (X, Y, S ) simuliert, und wir nennen in diesem Fall (X, Y, S ) ein Simulationssystem von (X, Y, S). Bei einer Simulationszuordnung (, ) wird also verlangt, dass für ein beliebiges x X die davon in (X, Y, S) erreichten Outputs y xs auch im Umweg über das System (X, Y, S ) erreicht werden können. Wir können diese Forderung auch in folgender Weise ausdrücken: Für eine Simulationszuordnung (, ) muss gelten: x X xs {y : y Y y' Y' y' (x)s' y (y' )} 20

21 Beispiel: Sachsystem Ein Hersteller von Süßwarenautomaten vertreibt seine Geräte in Europa und in USA. In Europa werden eingeworfen und der Output in Gramm gemessen; in USA wird der Input auf Dollars abgestellt und der Output in Unzen gemessen. Dann simuliert der amerikanische Automat den europäischen: Wenn für den europäischen Automaten gilt: Doppelter Input = doppelter Output, dann gilt das auch in Amerika. Und genauso gilt sowohl in Europa als auch in Amerika: Lakritze doppelt so teuer wie Kaugummi, wenn das in Europa so gilt. 21

22 Beispiel: Produktionssystem Wir stellen eine Analogie von Damen- und Kinderrädern her. Die Durchmesser der Rohre sind im Verhältnis von 1,5 : 1 unterschiedlich, die Speichen der Laufräder im Verhältnis 30 cm : 15 cm, usw. Aber ein Sattelrohr bleibt ein Sattelrohr und zu einem Fahrrad Nirwana Lady existiert ein Fahrrad Nirwana junior. Alle Mehrfachverwendungen bei Damen- Fahrrädern gelten analog bei Kinderrädern. 22

23 Schaltungen Wir wollen für allgemeine System die wichtigsten Schaltungen angeben. Durch deren Kombination gewinnen wir komplexer aufgebaute allgemeine Systeme. Umgekehrt können wir versuchen, ein gegebenes komplexes allgemeines System in eine Kombination von Schaltungen einfacher allgemeiner Systeme zu zerlegen. Bezeichnen (X 1, Y 1, S 1 ) und (X 2, Y 2, S 2 ) gegebene allgemeine Systeme. Wir definieren dann folgende Schaltungen zwischen ihnen: 23

24 Das kartesische Produkt (X 1, Y 1, S 1 ) (X 2, Y 2, S 2 ) ist definiert als das allgemeine System (X, Y, S) mit X: = X 1 X 2, Y: = Y 1 Y 2, S: = {((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )): x 1 S 1 y 1 x 2 S 2 y 2 }. S 1 X 1 X 2 Y 1 Y 2 S 2 Beispiel: Süßwarenautomat Der Süßwarenautomat hat zwei Eingabeschlitze: X 1 für Münzen, X 2 für Geldscheine. Für unterschiedliche Münzen erhält man unterschiedliche Kaugummis, für unterschiedliche Geldscheine unterschiedliche Schokolade. Das kartesische Produkt erlaubt die vollständige Enumeration aller Kombinationsmöglichkeiten. Die Mengen X 1, X 2 sowie Y 1, Y 2 können sich überlappen; man erhält aber immer Outputs an zwei unabhängigen Ausgabekanälen: S 1 und S 2 wirken bei qualitativ additiv. 24

25 Beispiel: Herstellung von Fahrradspeichen Wir produzieren Fahrradspeichen unterschiedlicher Länge und Dicke und betrachten das ganze qualitativ (keine Faktoreinsatzmengen). S 1 und S 2 sind zwei voneinander unabhängige Produktionen. Das kartesische Produkt ist die Kombinatorik des Inputs der beiden parallelen Systeme S 1 und S 2. Draht mit in mm X: = X 1 X 2 Y: = Y 1 Y 2 Speiche mit Länge in cm und in mm X 1 = {1,8, 2,0} Y 1 = {(28 1,8), (28 2,0), (26 1,8)} X 2 = {2,0, 2,2} Y 2 = {(28 2,0), (28 2,2), (26 2,2)} S: = {(x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )} { (((1,8), (2,0)), ((28 1,8), (28 2,0))), (((1,8), (2,0)), ((26 1,8), (28 2,0))), (((1,8), (2,2)), ((28 1,8), (28 2,2))), (((1,8), (2,2)), ((28 1,8), (26 2,2))), (((1,8), (2,2)), ((26 1,8), (28 2,2))), 25

26 (((1,8), (2,2)), ((26 1,8), (26 2,2))), (((2,0), (2,0)), ((28 2,0), (28 2,0))), (((2,0), (2,2)), ((28 2,0), (28 2,2))), (((2,0), (2,2)), ((28 2,0), (26 2,2))) } 26

27 Beispiel: Herstellung von Fahrradrahmen Wir produzieren Fahrräder mit Rahmenhöhe 54, 56 und 58 cm. Fahrradrahmen: Rahmenhöhe in cm X: = X 1 X 2 X 1 = {54, 56} X 2 = {56, 58} X = {(54, 56), (54, 58), (56, 56), (56, 58)} Fahrrad: Rahmenhöhe in cm Y: = Y 1 Y 2 Y 1 = {54, 56} Y 2 = {56, 58} Y = {(54, 56), (54, 58), (56, 56), (56, 58)} Rahmen Fahrrad S: = {(x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )} S = {((54, 56), (54, 56)), ((56, 56), (56, 56)), ((54, 58), (54, 58)), ((56, 58), (56, 58))} 27

28 Die Serienschaltung (X 1, Y 1, S 1 ) (X 2, Y 2, S 2 ) ist definiert als das allgemeine System (X, Y, S) mit X: = X 1 ; Y: = Y 2, S: = S 1 S 2. X 1 S 1 S 2 Y 2 S 1 S 2 bedeutet die Transformation von X 1 nach Y 2 ; der Output der beiden Systeme S 1 und S 2 wird auf das Gemeinsame der beiden Systeme begrenzt. 28

29 Beispiel: Geldwechsler S 1 wechselt bestimmte Geldscheine in bestimmte Münzen. S 2 akzeptiert bestimmte Münzen, aber nicht alle, die S 1 ausgeben kann. S 1 : X 1 = {10, 20 }, Y 1 = {20 ct, 50 ct, 1, 2 } x 1 S 1 = {20 ct, 50 ct, 1 }, x 2 S 1 = {50 ct, 1, 2 } S 2 : X 2 = {50 ct, 1 }, Y 2 = {Schokolade, Kaugummi} Beispiel: Herstellung von Fahrradspeichen Die Begrenzungen seien folgendermaßen S 1 kann nur Speichen mit einer bestimmten Länge S 2 kann nur Speichen mit einer bestimmten Dicke herstellen. 29

30 Der Input-Durchschnitt (X 1, Y 1, S 1 ) (X 2, Y 2, S 2 ) ist definiert als das allgemeine System (X, Y, S) mit X : X1 X2;Y : Y1 Y 2;S : {(x,(y1,y 2)) : xs1 y1 xs2y2 } S 1 X 1 X 2 Y1 Y 2 S 2 Beispiel: Transformator S 1 ist ein Transformator, der von 50 V bis 200 V betrieben werden kann, S 2 entsprechend von 100 V bis 500 V. Dann brennt bei einem Input von 50 V keine Lampe, da xs 1 y 1 xs 2 y 2 nicht erfüllt ist. 30

31 Beispiel: Kombination von Süßwarenautomaten Zwei Automaten mit einem unterschiedlichen Spektrum von Münzen (S 1 akzeptiert 5 ct, S 2 nicht; S 2 akzeptiert 2, S 1 nicht) begrenzen den Input und geben bspw. für 1 eine bestimmte Outputmenge x S 1 an Schokoladetafeln und eine bestimmte Menge x S 2 an Kaugummis ab. Für 50 ct gilt eine andere Schokoladenmenge x S 1 und eine andere Kaugummimenge x S 2. Beispiel: Herstellung von Fahrradspeichen S 1 und S 2 begrenzen sich auf die gemeinsamen Durchmesser (2,0 mm) und stellen mit diesem Durchmesser Speichen von der Länge (26 cm und 28 cm) her. 31

32 Der Output-Durchschnitt (X 1, Y 1, S 1 ) 2 (X 2, Y 2, S 2 ) ist definiert als das allgemeine System (X, Y, S) mit : X X ;Y : Y Y ;S : {((x,x ),y) : x S y x S y} X S 1 X 1 X 2 Y 1 Y 2 S 2 Der Output-Durchschnitt kann als Schalter interpretiert werden: Wenn bspw. im Hauptfluss S 1 Apfelsaft ansteht, wird der nur produziert, wenn im Steuerfluss S 2 ebenfalls Apfelsaft anliegt. Andernfalls passiert nichts. Interpretiert man diese Schaltung als Montage, hat man in S 1 und in S 2 zwei unabhängige Prozesse, in S 1 die Gabel und in S 2 den Rahmen. Das passt nur bei einheitlicher Größe zusammen. 32

33 Beispiel: Süßwarenautomat Kaugummi 4711 wird nur ausgegeben, wenn die Eingabe 50 ct und die Eingabe in S 2 Kaugummi 4711 zusammenpassen (Die Eingabe 50 ct hat hier nur die Ausgabe Kaugummi 4711 ). Bspw. führt die Eingabe x 1 = 1 und die Eingabe x 2 = Ritter Sport zur Ausgabe y 1 Tafel Ritter Sport Schokolade. Beispiel: Herstellung von Fahrradspeichen S 1 und S 2 verwenden Draht unterschiedlicher Länge: S 1 : Coil; S 2 : Drahtabschnitte 5 m S 1 und S 2 produzieren dieselbe Speiche (Länge, Durchmesser) in dieselbe Kiste. 33

34 Der (Input-Output) Durchschnitt (X 1, Y 1, S 1 ) System (X, Y, S) mit X : X 1 X2;Y : Y1 Y 2;S : S1 S2 (X 2, Y 2, S 2 ) ist definiert als das allgemeine S 1 X 1 X 2 Y 1 Y 2 S 2 Hier stehen bei S 1 und S 2 dieselben Signale an; S 1 und S 2 produzieren denselben Output. Beispiel: Süßwarenautomat Nur S 1 akzeptiert 50 ct Münzen, nur S 2 nimmt 2. Also fallen diese beiden Input- Möglichkeiten weg. Nur S 1 kann Schokolade ausgeben, nur S 2 gibt Kaugummi. Also beschränkt sich die Ausgabe auf die durchgängig gemeinsame Menge Lollipops für 1. 34

35 Beispiel: Herstellung von Fahrradspeichen S 1 und S 2 verwenden denselben Draht (bspw. beide vom selben Coil) und produzieren 28 cm Speichen in dieselbe Kiste. Beispiel: Herstellung von Karosserieteilen Das könnte bspw. 2 mm-blech sein. Dann macht S 1 das linke und S 2 das rechte Teil. Das klappt für 2, 3, 4 mm Blech, 5 mm Blech kann S 2 nicht zum passenden Teil aus y verarbeiten. 35

36 Die (Input-Output) Vereinigung (X 1, Y 1, S 1 ) System (X, Y, S) mit X : X 1 X2;Y : Y1 Y 2;S : S1 S2 (X 2, Y 2, S 2 ) ist definiert als das allgemeine S 1 X 1 X 2 Y 1 Y 2 S 2 36

37 Beispiel: Getränkeautomat Ein Getränkeautomat hat 2 Prozessoren. Die Eingabe ist Tee, Kaffee, Limonade. Nur S 1 macht Tee, nur S 2 macht Kaffee, beide können Limonade machen. Wenn Limonade bestellt wird, macht das entweder S 1 oder S 2 (oder beide). Das bedeutet: Wir lassen die ganze Bandbreite X rein. Wenn es für beide passt, dann arbeiten S 1 und S 2. Wenn es nur für S 1 passt, dann arbeitet nur S 1, bekommt den ganzen Saft und Y = Y 1 Y 2 merkt nichts davon, dass nur S 1 arbeitet. 37

38 Beispiel: Herstellung von Fahrradspeichen Jeder Drahtdurchmesser / jede Länge / jede Speiche Bei bestimmten Konstellationen arbeiten S 1 und S 2 parallel, sonst einzeln (möglicherweise begründet durch die Werkzeugverfügbarkeit). Beispiel: Herstellung von Fahrradrahmen X 1 : 54, 56 cm Rahmen, X 2 : 56, 58, 60 cm Rahmen, Y 1 : 54, 56 cm Fahrräder, Y 2: 56, 58, 60 cm Fahrräder, X: 54, 56, 58, 60 cm Rahmen, Y: 54, 56, 58, 60 cm Fahrräder, 54, 58, 60 cm nicht arbeitsteilig, 56 cm arbeitsteilig. 38

39 Die Rückkopplungsschaltung (X, Y, S) (X R, Y R, S R ) eines Output-Durchschnitts (X, Y, S) = (X 1, Y 1, S 1 ) 2 (X 2, Y 2, S 2 ) mit einem Regler (X R, Y R, S R ) ist definiert als das allgemeine System (X, Y, S) mit X : X 1;Y : Y1 Y 2;S : {(x,y) : ss1y ysr S2y} X 1 S 1 Y 1 Y 2 S 2 S R S R ist außerhalb des betrachteten Systems, nur wenn die Outputs aus S 1 und S 2 identisch sind, gibt es einen Output. 39

40 Beispiel: Süßwarenautomat Kaugummi 4711 wird nur ausgegeben, wenn die Eingabe von 50 ct und die Eingabe in S 2 für die Ausgabe von Kaugummi 4711 zusammenpassen und das Befinden des Kindes S R nach dem Genuss einer Tafel Schokolade (Input 2 und x 2 = Schokolade ) genau die Eingabe für Kaugummi 4711 bewirkt. Beispiel: Lagerzugang S R ist ein Zähler, der die Signale Y zählt, bspw. die je Monat produzierte Menge. Bei Erreichen der Sollstückzahl meldet das Lager über S R : Sollstück -Zahl am Eingang erreicht. Dieses Signal wird von S 2 in ein Signal y umgesetzt. 40

41 Es sei (X, Y, S) ein allgemeines System, dessen Outputmenge Y ein kartesisches Produkt Y = Y 1 Y 2 ist. Wir erklären dann die Projektionen (X, Y 1, S 1 ) und (X, Y 2, S 2 ) durch S : {(x,y1) : x X y1 Y1 xs(y1,y 2 y 2 Y 2 ) S : {(x,y ) : x X y Y xs(y1,y 2)}. y1 Y1 Offenbar gilt für die Projektionen (X, Y 1, S 1 ) und (X, Y 2, S 2 ) von (X, Y, S) die Beziehung (X, Y 1, S 1 ) 1 (X, Y 2, S 2 ) = (X, Y, S) (Input - Durchschnitt). Zulässig ist in diesem Fall ein Input x dann, wenn es dazu einen Output y 1 gibt und ein Output y 2 existiert, der in S 2 aus x entsteht. y 2 ist Y 2! und es dazu einen Output y 2 gibt und ein Output y 1 existiert, der in S 1 aus x entsteht. y 1 ist Y 1! 41

42 Beispiel: Süßwarenautomat Y 1 verschiedene Schokolade Y 2 verschiedene Kaugummis Man erhält Kaugummi und Schokolade. Bei Einwurf von 1 erhält man aus Ausgabe 1 1 Tafel Rittersport und aus Ausgabe 2 einen Kaugummi Schokolade oder Kaugummi allein ist nicht zulässig; möglich ist allerdings Kaugummi 4712 anstelle von Kaugummi 4711, wenn Ritter-Sport festliegt. 42

43 Beispiel: Herstellung von Fahrradspeichen S 1 verwendet 2 mm-draht, um 28 cm Speichen herzustellen. Dann muss S 2 entsprechende Speichen mit Durchmesser 2 mm herstellen können (und umgekehrt). Dabei darf kein Ausschuss entstehen. Beispiel: Herstellung von Karosserieteilen S 1 verwendet 2 mm-blech, um ein linkes Teil y 1 herzustellen. Dann kann S 2 ein Korrespondierendes rechtes Teil y 2 herstellen. S 2 verwendet 3 mm-blech, um ein rechtes Teil y 2 herzustellen. Dann kann S 1 ein korrespondierendes linkes Teil y 1 herstellen. 43

44 Beispiel: Nacharbeitslinien Die beiden Nacharbeitslinien der Fa. Sandplatz mit 2 Stationen und einer Weiche von Linie 1 nach Linie 2 werden als zusammengeschaltete Systeme verstanden. Die möglichen Qualitätszustände werden mit I VI bezeichnet. S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 Es sei X 1 = X 2 = = X 5 = Y 1 = Y 2 = = Y 5 = {I, II, III, IV, V, VI}. Die Relationen S 1 X 1 Y 1, S 2 X 2 Y 2 S 5 X 5 Y 5 seien durch folgende Tabelle angegeben: I II III IV V VI S 1 II, III VI, V - I, II V, VI III, II S 2 I, VI VI, V I V I S 3 I I, VI III, IV S 4 II V, VI - V I, II - S 5 III - - II, III - I 44

45 Damit resultiert folgendes allgemeines Input-Output System (X, Y, S): X = {I, II, III, IV, V, VI}; Y = {I, II, III, IV, V, VI} {I, II, III, IV, V, VI} S = {(II, (I, I)), (V, (I, III))} II V V VI, V V S 1 S 2 VI, V V V I, VI S 3 I, VI I, VI S 4 S 5 I V, VI VI I I I, II I III 45

46 Beispiel: Lackieranlage In das Lackiersystem der Fa. Sandplatz sind Weichen eingebaut. Das System (X, Y, S) soll die möglichen Materialflüsse zwischen den Aufgabestellen I, II, III, IV und den Abgabestellen a, b, c, d beschreiben. I II III IV Grundierung 1 Grundierung 2 Grundierung 3 Grundierung Gabeln 1 3 Decklack 1 2 b 1 Decklack 2 c Decklack 3 2 d Decklack Gabeln Das System (X, Y, S) soll die möglichen Verbindungen zwischen den Aufgabestellen I, II, III, IV und den Abgabestellen a, b, c, d beschreiben, die über die Weichen hergestellt werden können. X: = {I, II, III, IV}; Y: = {a, b, c, d}; S: = {I a, I b, II c, III c, IV c, IV d}. Dabei hat die Aussage xy S die Bedeutung von der Aufgabestelle x gibt es eine Verbindung zur Abgabestelle y. a 46

47 Aufgabe 1: Eigenschaften Gib fünf Eigenschaften für allgemeine Input-Output Systeme an. Aufgabe 2: Aussagen über Input-Output Systeme Überlege die Richtigkeit von 1. (X, Y, S) alternativ (X, Y, S) nicht zerlegend. 2. Card X 1 1 S = X (X, Y, S) schachtelnd (X, Y, S) alternativ. Beweis: 3. (X, Y, S) zerlegend (X, Y, S) teilmengenleer 4. pars vollständig pars parallel pars zustandsreduziert pars zerlegend. Beweis: 5. pars zustandsminimal pars zustandsreduziert. Beweis: 6. pars zerlegend pars teilmengenleer. Beweis: 47

48 Aufgabe 3: Vereinigung von Süßwaren- und Getränkeautomat Aufgabe 4: Zerlegung der Fahrradproduktion nach Standorten M 1, M 2, M 3, M 4 48