Aufgabensammlung zur Vorlesung Höhere Mathematik III Fakultät Maschinenbau und Mechatronik Deutsch-französischer Studiengang Fahrzeugtechnologie

Transkript

1 Aufgaben. Aufgabe: Betrachten Sie das Anfangswertproblem... y +4ÿ +5_y +y =0 y(0) = _y(0) = 0; ÿ(0) = 3 (a) Transformieren Sie dieses Anfangswertproblem 3. Ordnung in ein System linearer Anfangswertprobleme. Ordnung und schreiben Sie dies in Matrixform. (b) Bestimmen Sie die Lösung dieses Systems. (c) Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems mit Hilfe der Laplace-Transformation. Nehmen Sie hierzu ggf. MATLABs Symbolics Toolbox zur Hilfe. (d) Überprüfen Sie Ihre Lösung durch ein MATLAB-Programm. (e) Überprüfen Sie Ihre Lösung durch eine Simulink-Simulation.. Aufgabe: Bestimmen Sie die Basislösungen des homogenen Differentialgleichungssystems _~y = ψ Aufgabe: Nehmen Sie an, die Modellierung eines technischen Systems habe folgende Bestimmungs(differential)gleichungen ergeben:! ~y ü _v u v =0 _u + v u + v = (a) Übertragen Sie dieses System zunächst in ein System von linearen Differentialgleichungen. Ordnung. (b) Lösen Sie dieses (inhomogene) System. (c) Überprüfen Sie Ihre Lösung durch eine Simulink-Simulation. 4. Aufgabe: Berechnen Sie mit Hilfe des Runge-Kutta-Verfahrens eine Näherungslösung des Anfangswertproblems _y =(x + y +) y( ) = mit den Schrittweiten h =0:4, h =0: im Intervall [ ; ] und vergleichen Sie die Näherungen mit der exakten Lösung (z.b. mit einer MATLAB-Grafik). Stand: März 007, Seite von 4

2 5. Aufgabe: Berechnen Sie mit Hilfe des Euler-Cauchy-Verfahrens eine Näherungslösung des Anfangswertproblems _y = sin (x + y) y() = mit der Schrittweite h = 0:5 im Intervall [; ] und vergleichen Sie die Näherungen mit der exakten Lösung (z.b. mit einer MATLAB-Grafik). 6. Aufgabe: Schreiben Sie eine MATLAB-Funktion, die unter Verwendung der Funktion ode3 (Runge- Kutta-Verfahren) bestimmte Integrale einer Funktion f (x) numerisch berechnet. 7. Aufgabe: Berechnen Sie eine Näherungslösung des Anfangswertproblems _y =(x + y +) y( ) = mit der Schrittweite h =0: im Intervall [ ; ] mit der Formel von Adams-Bashford y n+ = y n + h (3f (x n;y n ) 6f (x n ;y n ) +5f (x n ;y n )) zur Lösung des Anfangswertproblems _y = f (x; y) y(x 0 )=y 0 indem Sie eine entsprechende MATLAB-Funktion programmieren. Vergleichen Sie die Näherungen mit der exakten Lösung und der Runge-Kutta-Lösung (vgl. Aufgabe 6). 8. Aufgabe: Lösen Sie das Anfangswertproblem ÿ =_y y + y(0) = ; _y(0) = mit Hilfe der Laplace-Transformation. 9. Aufgabe: Berechnen Sie zu einem Signal x(t) = 8 >< >: t 0 falls t [0; ] t<0 Stand: März 007, Seite von 4

3 (a) Die Faltung des Signals mit sich selbst. (b) Die Laplace-Transformierte. 0. Aufgabe: Eine wichtige Testfunktion für das Systemverhalten von Mess- und Regelsystemen ist die Sprung- oder Heaviside-Funktion u(t) = 8 >< >: 0 falls t 0 t<0 (a) Bestimmen Sie die Laplace-Transformierte U (s) dieser Funktion. (b) Skizzieren Sie die Funktionen u ff (t) = (u(t) u(t ff)) in der Nähe von ff =0und ff bestimmen Sie Laplace-Transformierten U ff (s) von u ff (t). (c) Gegen welche Funktion konvergieren die Laplace-Transformierten U ff (s) punktweise, falls ff gegen 0 konvergiert? (d) Von welcher Funktion müsste dies die Laplace-Transformierte sein?. Aufgabe: Bestimmen Sie die komplexe Fourierreihenentwicklung von f (t) = sin(ßt) + cos(4ßt). Aufgabe: Bestimmen Sie mit Hilfe der Reihenentwicklungstabellen die reelle Fourierreihenentwicklung der periodischen Fortsetzung von f (t) =t ( t); t [0; ] 3. Aufgabe: Bestimmen Sie die komplexe Fourierreihenentwicklung von f (t) = X k= sin(kt) Welche Frequenz und welche Amplitude hat die 3. Harmonische? Plotten Sie mit Hilfe von MATLAB eine grafische Darstellung der Funktion über drei Periodizitätsintervalle hinweg. 4. Aufgabe: Bearbeiten Sie folgende Teilaufgaben: k Stand: März 007, Seite 3 von 4

4 (a) Zeigen Sie: die mit Hilfe einer n m Matrix A definierte Funktion f A (~x) =A~x ist eine lineare Abbildung. (b) Zeigen Sie: die durch f B : R! R 3 mit f B (x) = (x; 0; 3x) T definierte Funktion ist linear und lässt sich in der in Aufgabenteil (a) beschriebenen Weise mit Hilfe einer Matrix B darstellen. Bitte geben Sie diese Matrix an. (c) Welches geometrische Objekt wird durch den Wertebereich von f B dargestellt. (d) Bestimmen Sie zu der linearen Abbildung f : R 3! R mit f ((x; y; z) T )=x + y z (a) die darstellende Matrix, (b) die partiellen Funktionen im Punkt (; ; 0) T, (c) den Gradienten (Funktion), (d) die Niveaumenge zum Niveau 0 (welches geometrische Gebilde?), (e) den Definitions- und Wertebereich. 5. Aufgabe: Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen des Vektorfeldes f : R 3! R 3 mit sofern sie existieren. f ((x; y; z) T )=(3xyz; x + y; x sin(yz)) T ; 6. Aufgabe: Berechnen Sie mit Hilfe der Kettenregel die Ableitung von g ffi h : R! R mit und h : R! R 3 definiert durch h(t) = (sin(t); cos(t);t) T g : R 3! R definiert durch g(~x) =jj~xjj und machen Sie die Probe durch direktes Ableiten von g ffi h : R! R. 7. Aufgabe: Bei einer Füllstandsregelung eines Flüssigkeitbehälters hänge die momentan zufließende Volumenmenge q e (t) von der Zuflussgeschwindigkeit v e (t) und dem momentanen Öffnungswinkel eines Ventils ffi(t) in folgender Weise ab: q e (t) =K Q ffi(t) v e (t) wobei K Q irgendeine systemabhängige Konstante ist. Stand: März 007, Seite 4 von 4

5 Im Regelkreis hat man damit eine nichtlineare Verknüpfung der beiden Größen v e (t) und ffi(t), denn die Multiplikation ist eine nichtlineare Operation. Nichtlineare Glieder sind bei der Analyse solcher Regelkreise besonders uaognehm, da sie analytisch schwer zu handhaben sind. Was macht man also, wenn einem nichts besseres einfällt und man auch sonst nix kann? Richtig, man linearisiert!! Im vorliegenden Fall liegt dem folgende Idee zu Grunde: Man geht davon aus, das System sei in einem eingeschwungenen Zustand, das heißt, verändere sich nur noch wenig um Sollwerte herum. In unserem Fall bedeutet dies, dass wir für die Größen v e (t), ffi(t) und q e (t) nur noch leichte Veränderungen um stationäre Werte v e, ffi e und q e beobachten. Das Symbol deutet hierbei an, dass das die Werte sind, die das System für diese Größen nach langer Zeit annehmen soll. Folgerichtig kann man dann die Zeitabhängigkeit vergessen und q e als Funktion von ffi und v auffassen: q e = q e (ffi; v) Im Punkt (ffi e;v e) nimmt q e nach Definition den Wert q e an. Dieser Ansatz ist nun Grundlage der Linearisierung um den Arbeitspunkt (ffi e;v e). Weisen Sie nach, dass in der Nähe von (ffi e;v e) die folgende lineare Approximation gilt: q e = q e (ffi; v) ß K Q v effi e + K Q v e(ffi ffi e) +K Q ffi e(v v e) Der Gag: das nichtlineare Glied wird in der Analyse durch die Summe der linearen Glieder Multiplikation mit einer Konstanten angewandt auf die Eingangssignale ffi = ffi ffi e und v = v v e ersetzt! 8. Aufgabe: Berechnen Sie eine Linearisierung der Funktion f (x; y) = x cos(ßy) x + y im Punkt (; ) T 9. Aufgabe: Bestimmen Sie die Ebene, die den Graph des Skalarfeldes f (x; y) =x cos(y) +y im Punkt (0;ß) T approximiert. Stand: März 007, Seite 5 von 4

6 0. Aufgabe: Bestimmen Sie die Jacobi-Matrix des Vektorfeldes ~f(x; y; z) = (cos(x)z; y ;xz) ap- Konstruieren Sie damit die lineare Abbildung, die das Vektorfeld im Punkt (0; 0; ) T proximiert.. Aufgabe: Betrachten Sie die Funktion f (x) = ( für x [0; ] 0 für x (; 4]: (a) Skizzieren Sie die periodische Fortsetzung der Funktion. (b) Bestimmen Sie die reelle Fourierreihen-Entwicklung der Funktion. (c) Bestimmen Sie die komplexe Fourierreihen-Entwicklung der Funktion.. Aufgabe: Betrachten Sie die periodische Funktion f (x) =e jx : (a) Welche Grundfrequenz! 0 hat Funktion. (b) Bestimmen Sie die komplexe Fourierreihen-Entwicklung der Funktion. (c) Bestimmen Sie die reelle Fourierreihen-Entwicklung der Funktion. 3. Aufgabe: Die gleichgerichtete Sinusschwingung hat die reelle Fourierreihen-Entwicklung f (x) = ß 4 ß f (x) =jsin(ßx)j ψ X k=! (k )(k +) cos(4kßx) : (a) Skizzieren Sie eine um ß Zeiteinheiten verzögerte Version dieser Funktion. (b) Bestimmen Sie anschließend die reelle Fourierreihen-Entwicklung dieser Funktion. 4. Aufgabe: Die Kippschwingung (Sägezahnimpuls) mit hat die reelle Fourierreihen-Entwicklung f (x) =x für x [0; ] f (x) = ß ψ X k=! k sin(ßkx) : Stand: März 007, Seite 6 von 4

7 (a) Bestimmen Sie die reelle Fourierreihen-Entwicklung der periodischen Fortsetzung der Funktion g(x) =+x für x [0; ]: (b) Skizzieren Sie das Amplitudenspektrum der Funktion f (x) im Frequenzintervall [ 3; +3] Hz. 5. Aufgabe: Skizzieren Sie die Höhenlinien der folgenden Funktionen: (a) (b) f (x; y) =x y + y; g(x; y) =3x y: 6. Aufgabe: Bestimmen Sie die partiellen Funktionen der Funktionen aus Aufgabe 5 im Punkt (; ) und skizzieren Sie diese. 7. Aufgabe: Bestimmen Sie bis zur Ordnung die partiellen Ableitungen der folgenden Funktionen: (a) f (x; y) =xe xy ; (b) x g(x; y; z) =e x+y + z ln y ; (c) h(x ;x ;x 3 ;x 4 )= x x ln (x 3 x 4 ) : 8. Aufgabe: Bestimmen Sie im Punkt (; ) die Tangentialebene an den Graphen der Funktion f (x; y) =ln xy und zeichnen Sie Funktion und Tangentialebene mit Hilfe von MATLAB. Stand: März 007, Seite 7 von 4

8 9. Aufgabe: Zeichnen Sie den Graphen des Schnittes der Funktion x g(x; y; z) =e x+y + z ln y in Richtung des Ursprungs und berechnen Sie die Änderung der Funktion im Punkt (; 0; ) in diese Richtung. 30. Aufgabe: Bestimmen Sie das totale Differential des Skalarfeldes f (x; y) = x + y x 4y : 3. Aufgabe: Bestimmen Sie im Punkt (; ) die Richtungsableitung des Skalarfeldes aus Aufgabe 30 in Richtung (; ). 3. Aufgabe: Bestimmen Sie (ggf. mit Hilfe der MATLAB Symbolics Toolbox) die Punkte (x; y), für die die Richtungsableitung des Skalarfeldes aus Aufgabe 30 in Richtung (; ) extremal wird. Falls es Extremalpunkte gibt, untersuchen Sie, ob es sich dabei um Maxima oder Minima handelt! 33. Aufgabe: Bestimmen Sie die Linearisierung der Funktion f (x ;x ;x 3 ;x 4 )= q x x + x 3 x 4;x;x x3 im Punkt (; 0; ; 0). 34. Aufgabe: Die Zeitkonstante eines RC-Tiefpasses wird durch fi = definiert. Schätzen Sie mit Hilfe RC des totalen Differentials ab, um wie viel Prozent sich die Zeitkonstante maximal ändert, wenn R = 00 kω und C = 4:7 nf mit einer Toleranz von jeweils %verwendet werden. 35. Aufgabe: Bestimmen Sie die lokalen Extrema des Skalarfeldes f (x; y) =3xy x 3 y 3 : Stand: März 007, Seite 8 von 4

9 36. Aufgabe: Berechnen Sie das Kurvenintegral des Vektorfeldes f (x; y; z) = xy ;xy;0 über der durch ~r(t) =(t; t ); 0» t» definierten Kurve. 37. Aufgabe: Prüfen Sie, ob die Vektorfunktion ein Potentialfeld ist. f (x; y; z) = xy ;xy;0 38. Aufgabe: Bestimmen Sie das Potential (die Potentialfunktion) von 39. Aufgabe: f (x; y) = 3x y; x 3 : Bestimmen Sie das Kurvenintegral der Vektorfunktion f (x; y) = 3x y; x 3 über der durch ~r(t) =(t; t ); 0» t» definierten Kurve. 40. Aufgabe: Berechnen Sie eine Linearisierung der Vektorfunktion f (x; y) = ψ 3 0! 0 x y z C A im Punkt (; ; ). Stand: März 007, Seite 9 von 4

10 Lösungen Lösung zur 4. Aufgabe: Mit einer Schrittweite h = 0; erhält man: y 0 = y(x 0 )=y( ) = ; x 0 = k 0 = k =0; 64 k =0; k 3 =0; x = 0; 8 y = y (k 0 +k +k + k 3 ) = 0; analog: x = 0; 6 y = 0; x 3 = 0; 4 y 3 = 0; x 4 = 0; y 4 = 0; x 5 =0; 0 y 5 = 0; x 6 =0; y 6 = 0; x 7 =0; 4 y 7 = 0; x 8 =0; 6 y 8 = 0; x 9 =0; 8 y 9 = 0; x 0 =; 0 y 0 =0; Für eine Schrittweite h = 0; 4 gilt: y 0 = x 0 = x = 0; 6 y = 0; x = 0; y = 0; x 3 =0; y 3 = 0; x 4 =0; 6 y 4 = 0; x 5 =; 0 y 5 =0; Stand: März 007, Seite 0 von 4

11 Lösung zur 7. Aufgabe: Laut Vorlesung ist die Funktion q e : R! R (ein Skalarfeld) im Punkt (' e ;ν e ) genau dann linearisierbar, wenn sie dort total differenzierbar ist. Das totale Differential ist dann der Gradient in diesem Punkt und in einer Umgebung des Punktes gilt die Linearisierung q e ('; ν) ß q e (' e ;ν e )+ < gradq e (' e ;ν e ); Es gilt nach Definition von q e ('; ν) für die = q e('; ν) =K Q ν ψ ' ' e ν ν e! > = q e('; ν) =K Q ' grad q e (' e ;ν e )= ψ K Q ν e K Q ' e! und für die gesuchte Linearisierung q e ('; ν) ß K Q ' e ν e + K Q ν e (' ' e )+K Q ' e (ν ν e ) Lösung zur 8. Aufgabe: Für die Linearisierung der Funktion f (x; y) =ln xy im Punkt (; ) erhält man L(x; y) =f (; ) + Jf (; ) (x ;y ) = f (; ) + rf (; ) (x ;y ) =ln + =0 x y += x y * + ; T ; (x ;y ) T Stand: März 007, Seite von 4

12 Die Ebene wird somit durch E = f(x; y) j x + y =g definiert. Mit Hilfe von MATLAB lassen sich Funktion und Ebene grafisch darstellen: x = (0.5:0.05:.5); y = x; [X,Y] = meshgrid(x,y); surf(x,y,log(./(x.*y))) view(5,5) hold Current plot held surf(x,y,-x-y) xlabel( x ) ylabel( y ) Die nachfolgende Grafik zeigt das Ergebnis dieser Berechnungen: x y Lösung zur 3. Aufgabe: Die Richtungsableitung im Punkt ~x (0) in Richtung ~v wird *ψ f ~x = f ~x f ~x bestimmt.!+ v v Stand: März 007, Seite von 4

13 Für die partiellen Ableitungen erhält man mit folgenden Anweisungen der MATLAB Symbolics Toolbox: syms x y f = (x^+y)/(*x-4*y); pretty(f) % Partielle Ableitung nach x dfx = diff(f, x ); dfx = simplify(dfx); pretty(dfx) x + y x - 4 y x - 4 x y - y / (x - y) % Partielle Ableitung nach y dfy = diff(f, y ); dfy = simplify(dfy); pretty(dfy) x ( + x) / (x - y) Für die Richtungsableitung im Punkt ~x =(x; y) in Richtung ~v =(; ) ergibt f (x; y) 4xy y =x + x +x (x y) (x y) = 3x 4xy y + x (x y) wie auch die folgende MATLAB-Berechnung zeigt: dfv = dfx+dfy; dfv = simplify(dfv); pretty(dfv) 3 x - 4 x y - y + x / (x - y) Für einen Extremalpunkt dieser Richtungsableitung müssen die partiellen Ableitungen notwendigerweise gleich null sein (kritische Punkte)! Stand: März 007, Seite 3 von 4

14 Mit Hilfe von MATLAB lassen sich diese Punkte wie folgt ermitteln: % Partielle Ableitung nach x dfvdx = diff(dfv, x ); dfvdx = simplify(dfvdx); pretty(dfvdx) % Partielle Ableitung nach y dfvdy = diff(dfv, y ); dfvdy = simplify(dfvdy); pretty(dfvdy) % Kritische Punkte finden [x0,y0] = solve(dfvdx,dfvdy) 8 x y - 8 y + x - / (x - y) 8 x - 8 x y + 3 x - y / (x - y) Warning: Explicit solution could not be found. > In C:\matlabR\toolbox\symbolic\solve.m at line 36 In C:\matlabR\toolbox\symbolic\@sym\solve.m at line 49 In C:\matlabR\work\uebungm3.m at line 35 x0 = [ empty sym ] y0 = [] Es gibt keine kritischen Punkte. Die Richtungsableitung in Richtung ~v = (; ) ist in keinem Punkt ~x =(x; y) extremal. Stand: März 007, Seite 4 von 4