Satz 105 Seien X und Y unabhangige kontinuierliche Zufallsvariablen. Fur die Dichte von Z := X + Y gilt f Z (z) = f X (x) f Y (z x) d x :

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1 3.4 Summen von Zufallsvariablen Satz 105 Seien X und Y unabhangige kontinuierliche Zufallsvariablen. Fur die Dichte von Z := X + Y gilt Z 1 f Z (z) = f X (x) f Y (z x) d x : 1 Beweis: Nach Denition der Verteilungsfunktion gilt F Z (t) = Pr[Z t] = Pr[X + Y t] = wobei A(t) = f(x; y) 2 R 2 j x + y tg. Z A(t) f X;Y (x; y) d xd y DWT 3.4 Summen von Zufallsvariablen 263/460

2 Beweis (Forts.): Aus der Unabhangigkeit von X und Y folgt Z F Z (t) = f X (x) f Y (y) d xd y A(t) Z 1 Z t x = f X (x) f Y (y) d y 1 1 Mittels der Substitution z := x + y, d z = d y ergibt sich d x: und somit Z t x 1 Z t F Z (t) = 1 f Y (y) d y = Z 1 1 Z t f Y (z x) d z 1 f X (x)f Y (z x) d x d z : DWT 264/460

3 Satz 106 (Additivitat der Normalverteilung) Die Zufallsvariablen X 1 ; : : : ; X n seien unabhangig und normalverteilt mit den Parametern i ; i (1 i n). Es gilt: Die Zufallsvariable Z := a 1 X 1 + : : : + a n X n ist normalverteilt mit Erwartungswert = a : : : + a n n und Varianz 2 = a : : : + a2 n 2 n. Beweis: Wir beweisen zunachst den Fall n = 2 und a 1 = a 2 = 1. Nach Satz 105 gilt fur Z := X 1 + X 2, dass Z 1 f Z (z) = f X1 (z y) f X2 (y) d y 1 Z (z = exp y 1 ) 2 + 2) {z } =:v d y: DWT 3.4 Summen von Zufallsvariablen 265/460

4 Beweis (Forts.): Wir setzen Damit ergibt sich unmittelbar woraus wir ermitteln. v 2 2 = (z y 1) := := v 1 := (z )= v 2 2 := v v2 1 + (y 2) (z 1 2 ) ; 2 2 v 2 = y y2 2 z DWT 3.4 Summen von Zufallsvariablen 266/460

5 Beweis (Forts.): Damit folgt fur die gesuchte Dichte f Z (z) = Wir substituieren noch und erhalten exp t := v 2 und d t = v 2 Z d y f Z (z) = 1 (z ) 2 Z 1 2 exp exp Mit Lemma 92 folgt, dass f Z (z) = '(z; ; ) ist. exp v 2 2 d y: 2 t 2 2 d t: DWT 267/460

6 Beweis (Forts.): Daraus erhalten wir die Behauptung fur n = 2, denn den Fall Z := a 1 X 1 + a 2 X 2 fur beliebige Werte a 1 ; a 2 2 R konnen wir leicht mit Hilfe von Satz 93 auf den soeben bewiesenen Fall reduzieren. Durch Induktion kann die Aussage auf beliebige Werte n 2 N verallgemeinert werden. DWT 268/460

7 3.5 Momenterzeugende Funktionen fur kontinuierliche Zufallsvariablen Fur diskrete Zufallsvariablen X haben wir die momenterzeugende Funktion M X (s) = E[e Xs ] eingefuhrt. Diese Denition kann man unmittelbar auf kontinuierliche Zufallsvariablen ubertragen. Die fur M X (s) gezeigten Eigenschaften bleiben dabei erhalten. DWT 3.5 Momenterzeugende Funktionen fur kontinuierliche Zufallsvariablen 269/460

8 Beispiel 107 Fur eine auf [a; b] gleichverteilte Zufallsvariable U gilt Z b M U (t) = E[e tx ] = e tx 1 a b a d x e tx b = t(b a) a = etb e ta t(b a) : DWT 270/460

9 Beispiel (Forts.) Fur eine standardnormalverteilte Zufallsvariable N N (0; 1) gilt Z M N (t) = p 1 +1 e t e 2 =2 d 2 1 Z = e t2 = p e (t )2 =2 d 2 1 = e t2 =2 : DWT 3.5 Momenterzeugende Funktionen fur kontinuierliche Zufallsvariablen 271/460

10 Beispiel (Forts.) Daraus ergibt sich fur Y N (; 2 ) wegen Y N (0; 1) M Y (t) = E[e ty ] = e t E[e (t) Y ] = e t M N (t) = e t+(t)2 =2 : DWT 272/460

11 Weiterer Beweis von Satz 106: Beweis: Gema dem vorhergehenden Beispiel gilt M Xi (t) = e t i+(t i ) 2 =2 : Wegen der Unabhangigkeit der X i folgt M Z (t) = E[e t(a 1X 1 + +a nx n) ] = = = ny ny i=1 i=1 M Xi (a i t) e a it i +(a i t i ) 2 =2 = e t+(t)2 =2 ; ny i=1 mit = a a n n und 2 = a a2 n 2 n. E[e (a it)x i ] DWT 3.5 Momenterzeugende Funktionen fur kontinuierliche Zufallsvariablen 273/460

12 4. Zentraler Grenzwertsatz Satz 108 (Zentraler Grenzwertsatz) Die Zufallsvariablen X 1 ; : : : ; X n besitzen jeweils dieselbe Verteilung und seien unabhangig. Erwartungswert und Varianz von X i existieren fur i = 1; : : : ; n und seien mit bzw. 2 bezeichnet ( 2 > 0). Die Zufallsvariablen Y n seien deniert durch Y n := X 1 + : : : + X n fur n 1. Dann folgt, dass die Zufallsvariablen Z n := Y n n p n asymptotisch standardnormalverteilt sind, also Z n N (0; 1) fur n! 1. DWT 4 Zentraler Grenzwertsatz 274/460

13 Etwas formaler ausgedruckt gilt: Die Folge der zu Z n gehorenden Verteilungsfunktionen F n hat die Eigenschaft lim F n(x) = (x) fur alle x 2 R: n!1 Wir sagen dazu auch: Die Verteilung von Z n konvergiert gegen die Standardnormalverteilung fur n! 1. DWT 275/460

14 Dieser Satz ist von groer Bedeutung fur die Anwendung der Normalverteilung in der Statistik. Der Satz besagt, dass sich die Verteilung einer Summe beliebiger unabhangiger Zufallsvariablen (mit endlichem Erwartungswert und Varianz) der Normalverteilung umso mehr annahert, je mehr Zufallsvariablen an der Summe beteiligt sind. DWT 276/460

15 Beweis: Wir betrachten X i := (X i )= fur i = 1; : : : ; n mit E[X i ] = 0 und Var[X i ] = 1. Damit gilt (gema vorhergehendem Beispiel) M Z (t) = E[e tz ] = E[e t(x 1 +:::+X n )=p n ] = M X 1 (t= p n) : : : M X n (t= p n) : Fur beliebiges i betrachten wir die Taylorentwicklung von M X i (t) =: h(t) an der Stelle t = 0 h(t) = h(0) + h 0 (0) t + h00 (0) t 2 + O(t 3 ): 2 Aus der Linearitat des Erwartungswerts folgt h 0 (t) = E[e tx i X i ] und h00 (t) = E[e tx i (X i )2 ]: DWT 4 Zentraler Grenzwertsatz 277/460

16 Beweis (Forts.): Damit gilt h 0 (0) = E[X i ] = 0 und h00 (0) = E[(X i )2 ] = Var[X] = 1: Durch Einsetzen in die Taylorreihe folgt h(t) = 1 + t 2 =2 + O(t 3 ), und wir konnen M Z (t) umschreiben zu M Z (t) = 1 + t2 2n + O t 3 n 3=2 n! e t2 =2 fur n! 1: Aus der Konvergenz der momenterzeugenden Funktion folgt auch die Konvergenz der Verteilung. Damit ist Z asymptotisch normalverteilt. DWT 278/460

17 Beweis (Forts.): Die momenterzeugende Funktion existiert leider nicht bei allen Zufallsvariablen und unser Beweis ist deshalb unvollstandig. Man umgeht dieses Problem, indem man statt der momenterzeugenden Funktion die so genannte charakteristische Funktion ~M X (t) = E[e itx ] betrachtet. Fur Details verweisen wir auf die einschlagige Literatur. DWT 279/460

18 Der Zentrale Grenzwertsatz hat die folgende intuitive Konsequenz: Wenn eine Zufallsgroe durch lineare Kombination vieler unabhangiger, identisch verteilter Zufallsgroen entsteht, so erhalt man naherungsweise eine Normalverteilung. DWT 280/460

19 Ein wichtiger Spezialfall das Zentralen Grenzwertsatzes besteht darin, dass die auftretenden Zufallsgroen Bernoulli-verteilt sind. Korollar 109 (Grenzwertsatz von de Moivre) X 1 ; : : : ; X n seien unabhangige Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen mit gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit p. Dann gilt fur die Zufallsvariable H n mit H n := X 1 + : : : + X n fur n 1, dass die Verteilung der Zufallsvariablen H n := H n np p np(1 p) fur n! 1 gegen die Standardnormalverteilung konvergiert. DWT 281/460

20 Beweis: Die Behauptung folgt unmittelbar aus dem Zentralen Grenzwertsatz, da = 1 n E[H n] = p und 2 = 1 n Var[H n] = p(1 p). Bemerkung Wenn man X 1 ; : : : ; X n als Indikatorvariablen fur das Eintreten eines Ereignisses A bei n unabhangigen Wiederholungen eines Experimentes interpretiert, dann gibt H n die absolute Haugkeit von A an. DWT 4 Zentraler Grenzwertsatz 282/460

21 4.1 Normalverteilung als Grenzwert der Binomialverteilung Korollar 109 ermoglicht, die Normalverteilung als Grenzwert der Binomialverteilung aufzufassen. Die folgende Aussage ist eine Konsequenz von Korollar 109: Korollar 110 Sei H n Bin(n; p) eine binomialverteilte Zufallsvariable. Die Verteilung von H n =n konvergiert gegen N (p; p(1 p)=n) fur n! 1. DWT 4.1 Normalverteilung als Grenzwert der Binomialverteilung 283/460

22 0.4 Bin(10, 0.3) ϕ(x) 0.4 Bin(20, 0.3) ϕ(x) Bin(50, 0.3) ϕ(x) Bin(100, 0.3) ϕ(x) Vergleich von Binomial- und Normalverteilung Bin(n; 0:3) bei 0:3n zentriert, mit p 0:3 0:7n horizontal gestaucht und vertikal gestreckt DWT 4.1 Normalverteilung als Grenzwert der Binomialverteilung 284/460

23 Historisch gesehen entstand Korollar 109 vor Satz 108. Fur den Fall p = 1=2 wurde Korollar 109 bereits von Abraham de Moivre (1667{1754) bewiesen. De Moivre war geburtiger Franzose, musste jedoch aufgrund seines protestantischen Glaubens nach England iehen. Dort wurde er unter anderem Mitglied der Royal Society, erhielt jedoch niemals eine eigene Professur. Die allgemeine Formulierung von Korollar 109 geht auf Pierre Simon Laplace (1749{1827) zuruck. Allerdings vermutet man, dass die Losung des allgemeinen Falls p 6= 1=2 bereits de Moivre bekannt war. DWT 285/460

24 4.2 Elementarer Beweis des Grenzwertsatzes von de Moivre fur p = 1=2 Wir betrachten die Wahrscheinlichkeit Pr[a H 2n b] fur p = 1=2 und a; b 2 R mit a b. Wenn die Verteilung von H 2n, wie R in Korollar 109 angegeben, gegen N (0; 1) konvergiert, so sollte Pr[a H 2n b] b a '(t) d t fur genugend groe n gelten. Wir schreiben f(n) 1 g(n) fur lim n!1 f(n)=g(n) = 1, wollen also zeigen: Z b Pr[a H 2n b] 1 '(t) d t: Da fur H 2n Bin(2n; 1=2) gilt, dass E[H 2n ] = n und Var[H 2n ] = n=2 ist, erhalten wir a H 2n = H 2n n p ; n=2 DWT 286/460

25 und es folgt p p Pr[a H 2n b] = Pr[n + a n=2 H 2n n + b n=2] X = i2i n Pr[H 2n = n + i] p p fur I n := fz 2 Z j a n=2 z b n=2g. Damit ist X Pr[a H 2n 2n b] = n + i i2i n 1 2 2n {z } =:p n;i : DWT 4.2 Elementarer Beweis des Grenzwertsatzes von de Moivre fur p = 1=2 287/460

26 Es gilt max p n;i p 2n n := i n und mit der Stirling'schen Approximation fur n! 2n 1 = (2n)! p n 1 (2n) 2n e 2n p 2 2n (n n e n p 2n) (n!) n ; 2n = 1 p n : Ersetzen wir nun die p n;i durch p n, so entsteht dabei ein Fehler, den wir mit q n;i := p n;i p bezeichnen. n DWT 4.2 Elementarer Beweis des Grenzwertsatzes von de Moivre fur p = 1=2 288/460

27 Fur i > 0 gilt q n;i = = 2n n+i 2n n Q i 1 j=0 Q i j=1 1 2n 2 1 2n = 2 (n j) (n + j) = iy (2n)! n! n! (n + i)! (n i)! (2n)! j=1 n j + 1 n + j = iy j=1 1 2j 1 : n + j Wegen der Symmetrie der Binomialkoezienten gilt q n; i = q n;i, womit auch der Fall i < 0 abgehandelt ist. DWT 289/460

28 Man macht sich leicht klar, dass 1 schlieen wir, dass 0 Y ln@ i 1 j=1 1 2j 1 A = n + j 1=x ln x x 1 fur x > 0 gilt. Damit = = ix j=1 ln 1 ix j=1 2j 1 n + j i(i + 1) i n + i 2j 1 n + j = i 2 n + O 1 pn ; ix j=1 2j 1 n + i i 2 n + i 3 n(n + i) da i = O( p n) fur i 2 I n. DWT 4.2 Elementarer Beweis des Grenzwertsatzes von de Moivre fur p = 1=2 290/460

29 Ebenso erhalten wir ln 0 i j= j 1 A n + j = = ix j=1 ix j= j + 1 n j + 1 i 2 n i = i 2 n! 1 2j 1 n + j ix j=1 O 2j 1 n i 1 pn : Zusammen haben wir e i 2 n i = e i2 n O p 1 n q n;i e i2 n +O p 1 n Wegen e O(1=p n) = 1 o(1) folgt daraus q n;i 1 e i2 =n. DWT 291/460

30 Damit schatzen wir nun Pr[a H 2n b] weiter ab: Pr[a H 2n b] = X i2i n p n q n;i 1 1 X p e i2 =n : n i2i n {z } =:S n p Mit := 2=n konnen wir die Summe S n umschreiben zu S n = p 1 X e (i)2 1 2 : 2 i2i n Diese Summe entspricht einer Naherung fur R b a '(t) d t = 1 p 2 R b a e t2 =2 d t durch Aufteilung der integrierten Flache in Balken der Breite R. Fur n! 1 konvergiert die b Flache der Balken gegen das Integral, d. h. S n 1 a '(t) d t. q. e. d. DWT 4.2 Elementarer Beweis des Grenzwertsatzes von de Moivre fur p = 1=2 292/460

31 4.3 Verschiedene Approximationen der Binomialverteilung Sei H n Bin(n; p) eine binomialverteilte Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion F n. Fur n! 1 gilt F n (t) = Pr[H n =n t=n]! t=n p p p(1 p)=n! =! t np p : p(1 p)n Wir konnen F n somit fur groe n durch approximieren. Diese Approximation ist in der Praxis deshalb von Bedeutung, da die Auswertung der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung fur groe n sehr aufwandig ist, wahrend fur die Berechnung der Normalverteilung eziente numerische Methoden vorliegen. DWT 4.3 Verschiedene Approximationen der Binomialverteilung 293/460

32 Beispiel 111 Wenn man die Wahrscheinlichkeit berechnen mochte, mit der bei 10 6 Wurfen mit einem idealen Wurfel mehr als mal eine gerade Augenzahl fallt, so muss man eigentlich folgenden Term auswerten: T := X i i=5; Dies ist numerisch kaum ezient moglich Die numerische Integration der Dichte ' der Normalverteilung ist hingegen relativ einfach. Auch andere Approximationen der Verteilung, beispielsweise durch Polynome, sind bekannt. Entsprechende Funktionen werden in zahlreichen Softwarebibliotheken als " black box\ angeboten. : DWT 294/460

33 Beispiel Mit der Approximation durch die Normalverteilung erhalten wir T 1 5; p 5 2; = = 1 (1) 0;1573 :! DWT 4.3 Verschiedene Approximationen der Binomialverteilung 295/460

34 Bei der Approximation der Binomialverteilung mit Hilfe von Korollar 109 fuhrt man oft noch eine so genannte Stetigkeitskorrektur durch. Zur Berechnung von Pr[X x] fur X Bin(n; p) setzt man Pr[X x]! x + 0;5 np p np(1 p) statt an. Pr[X x]! x np p np(1 p) DWT 296/460

35 Der Korrekturterm lat sich in der Histogramm-Darstellung der Binomialverteilung veranschaulichen. Die Binomialverteilung wird dort durch Balken angegeben, deren Flache in etwa der Flache unterhalb der Dichte ' von N (0; 1) entspricht. Wenn man die Flache der Balken mit " X x\ durch das Integral von ' approximieren mochte, so sollte man bis zum Ende des Balkens fur " X = x\ integrieren und nicht nur bis zur Mitte. Dafur sorgt der Korrekturterm 0;5. DWT 4.3 Verschiedene Approximationen der Binomialverteilung 297/460

36 Approximationen fur die Binomialverteilung Approximation durch die Poisson-Verteilung: Bin(n; p) wird approximiert durch Po(np). Diese Approximation funktioniert sehr gut fur seltene Ereignisse, d. h. wenn np sehr klein gegenuber n ist. Als Faustregel fordert man n 30 und p 0;05. Approximation durch die Cherno-Schranken: Bei der Berechnung der tails der Binomialverteilung liefern diese Ungleichungen meist sehr gute Ergebnisse. Ihre Starke liegt darin, dass es sich bei den Schranken nicht um Approximationen, sondern um echte Abschatzungen handelt. Dies ist vor allem dann wichtig, wenn man nicht nur numerische Naherungen erhalten mochte, sondern allgemeine Aussagen uber die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen beweisen mochte. DWT 298/460

37 Approximation durch die Normalverteilung: Als Faustregel sagt man, dass die Verteilungsfunktion F n (t) von Bin(n; p) durch F n (t) ((t np)= p p(1 p)n) approximiert werden kann, wenn np 5 und n(1 p) 5 gilt. DWT 299/460

38 Kapitel III Induktive Statistik 1. Einfuhrung Das Ziel der induktiven Statistik besteht darin, aus gemessenen Zufallsgroen auf die zugrunde liegenden Gesetzmaigkeiten zu schlieen. Im Gegensatz dazu spricht man von deskriptiver Statistik, wenn man sich damit beschaftigt, groe Datenmengen verstandlich aufzubereiten, beispielsweise durch Berechnung des Mittelwertes oder anderer abgeleiteter Groen. DWT 1 Einfuhrung 300/460

39 2. Schatzvariablen Wir betrachten die Anzahl X von Lesezugrien auf eine Festplatte bis zum ersten Lesefehler und nehmen an, dass Pr[X = i] = (1 p) i 1 p, setzen also fur X eine geometrische Verteilung an. Dahinter verbirgt sich die Annahme, dass bei jedem Zugri unabhangig und mit jeweils derselben Wahrscheinlichkeit p ein Lesefehler auftreten kann. Unter diesen Annahmen ist die Verteilung der Zufallsvariablen X eindeutig festgelegt. Allerdings entzieht sich der numerische Wert des Parameters p noch unserer Kenntnis. Dieser soll daher nun empirisch geschatzt werden. Statt p konnen wir ebensogut E[X] bestimmen, da wir daraus nach den Eigenschaften der geometrischen Verteilung p mittels p = 1 E[X] berechnen konnen. DWT 2 Schatzvariablen 301/460

40 Dazu betrachten wir n baugleiche Platten und die zugehorigen Zufallsvariablen X i (fur 1 i n), d. h. wir zahlen fur jede Platte die Anzahl von Zugrien bis zum ersten Lesefehler. Die Zufallsvariablen X i sind dann unabhangig und besitzen jeweils dieselbe Verteilung wie X. Wir fuhren also viele Kopien eines bestimmten Zufallsexperiments aus, um Schlusse auf die Gesetzmaigkeiten des einzelnen Experiments ziehen zu konnen. Dies ist das Grundprinzip der induktiven Statistik. Die n Messungen heien Stichproben, und die Variablen X i nennt man Stichprobenvariablen. DWT 302/460

41 Grundprinzip statistischer Verfahren Wir erinnern an das Gesetz der groen Zahlen (Satz 63) bzw. den Zentralen Grenzwertsatz (Satz 108). Wenn man ein Experiment genugend oft wiederholt, so nahert sich der Durchschnitt der Versuchsergebnisse immer mehr dem Verhalten an, das man " im Mittel\ erwarten wurde. Je mehr Experimente wir also durchfuhren, umso genauere und zuverlassigere Aussagen konnen wir uber den zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraum ableiten. Auf diesem Grundprinzip beruhen alle statistischen Verfahren. DWT 303/460

42 Um E[X] empirisch zu ermitteln, bietet es sich an, aus den Zufallsvariablen X i das arithmetische Mittel X zu bilden, das deniert ist durch Es gilt E[X] = 1 n nx i=1 X := 1 n nx i=1 E[X i ] = 1 n X i : nx i=1 E[X] = E[X]: X liefert uns also im Mittel den gesuchten Wert E[X]. Da wir X zur Bestimmung von E[X] verwenden, nennen wir X einen Schatzer fur den Erwartungswert E[X]. Wegen der obigen Eigenschaft ist X sogar ein so genannter erwartungstreuer Schatzer. DWT 2 Schatzvariablen 304/460

43 Denition 112 Gegeben sei eine Zufallsvariable X mit der Dichte f(x; ). Eine Schatzvariable oder kurz Schatzer fur den Parameter der Dichte von X ist eine Zufallsvariable, die aus mehreren (meist unabhangigen und identisch verteilten) Stichprobenvariablen zusammengesetzt ist. Ein Schatzer U heit erwartungstreu, wenn gilt E[U] = : Bemerkung: Die Groe E[U ] nennt man Bias der Schatzvariablen U. Bei erwartungstreuen Schatzvariablen ist der Bias gleich Null. DWT 305/460

44 Der Schatzer X ist also ein erwartungstreuer Schatzer fur den Erwartungswert von X. Ein wichtiges Ma fur die Gute eines Schatzers ist die mittlere quadratische Abweichung, kurz MSE fur mean squared error genannt. Diese berechnet sich durch MSE := E[(U ) 2 ]. Wenn U erwartungstreu ist, so folgt MSE = E[(U E[U]) 2 ] = Var[U]. Denition 113 Wenn die Schatzvariable A eine kleinere mittlere quadratische Abweichung besitzt als die Schatzvariable B, so sagt man, dass A ezienter ist als B. Eine Schatzvariable heit konsistent im quadratischen Mittel, wenn MSE! 0 fur n! 1 gilt. Hierbei bezeichne n den Umfang der Stichprobe. DWT 306/460

45 Fur X erhalten wir wegen der Unabhangigkeit von X 1 ; : : : ; X n " # 1 nx MSE = Var[X] = Var X i n = 1 n 2 nx i=1 i=1 Var[X i ] = 1 n Var[X]: DWT 307/460

46 Bei jeder Verteilung mit endlicher Varianz folgt MSE = O(1=n) und somit MSE! 0 fur n! 1. Der Schatzer X ist also konsistent. Aus der Konsistenz von X im quadratischen Mittel konnen wir mit Hilfe des Satzes von Chebyshev (siehe Satz 61) folgende Konsequenz ableiten. Sei " > 0 beliebig, aber fest. Dann gilt Pr[jX j "] = Pr[jX E[X]j "] Var[X] " 2! 0 fur n! 1. Fur genugend groe n liegen also die Werte von X beliebig nahe am gesuchten Wert = E[X]. Diese Eigenschaft nennt man auch schwache Konsistenz, da sie aus der Konsistenz im quadratischen Mittel folgt. DWT 2 Schatzvariablen 308/460

47 Als nachstes betrachten wir eine weitere von X abgeleitete Schatzvariable: S := vu u t 1 n 1 nx i=1 (X i X) 2 : Wir zeigen, dass S 2 ein erwartungstreuer Schatzer fur die Varianz von X ist. Sei := E[X] = E[X i ] = E[X]. (X i X) 2 = (X i + X) 2 = (X i ) 2 + ( X) 2 + 2(X i )( X) = (X i ) 2 + ( X) 2 2 n nx j=1 = n 2 n (X i ) 2 + ( X) 2 2 n (X i )(X j ) X j6=i (X i )(X j ): DWT 2 Schatzvariablen 309/460

48 Fur je zwei unabhangige Zufallsvariablen X i, X j mit i 6= j gilt Daraus folgt E[(X i )(X j )] = E[X i ] E[X j ] = (E[X i ] ) (E[X j ] ) = 0 0 = 0: E[(X i X) 2 ] = n 2 n E[(X i ) 2 ] + E[( X) 2 ] = n 2 n Var[X i] + Var[X]: DWT 310/460

49 Wegen Var[X i ] = Var[X] und Var[X] = 1 nvar[x] folgt nun und somit gilt fur S 2 E[(X i X) 2 ] = n 1 n E[S 2 ] = 1 n 1 nx i=1 E[(X i X) 2 ] Var[X]; = 1 n 1 n n 1 Var[X] = Var[X]: n S 2 ist also eine erwartungstreue Schatzvariable fur die Varianz von X. DWT 311/460

50 Die vorangegangene Rechnung erklart, warum man als Schatzer nicht 1 n nx i=1 (X i X) 2 6=! S 2 verwendet, wie man vielleicht intuitiv erwarten wurde. DWT 2 Schatzvariablen 312/460

51 Denition 114 Die Zufallsvariablen X := 1 n nx i=1 X i und S 2 := 1 n 1 nx i=1 (X i X) 2 heien Stichprobenmittel bzw. Stichprobenvarianz der Stichprobe X 1 ; : : : ; X n. X und S 2 sind erwartungstreue Schatzer fur den Erwartungswert bzw. die Varianz. DWT 313/460