0, sonst. heißt Poisson-verteilt mit Parameter (oder Rate) λ > 0, kurz X Po(λ). Es gilt. x! e λ, x {0, 1,...} 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 164

Transkript

1 1.6.2 Poisson Verteilung (vgl. z.b. Fahrmeir et. al)) 1.6 Wichtige Verteilungsmodelle Eine weitere wichtige diskrete Verteilung ist die Poisson-Verteilung. Sie modelliert die Anzahl (eher seltener) Ereignisse in einem Zeitintervall (Unfälle, Todesfälle; Sozialkontakte, deviante Verhaltensmuster, etc.). Definition [Poisson-Verteilung] Eine Zufallsvariable X mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) =P (X = x) = { λ x x! e λ, x {0, 1,...} 0, sonst heißt Poisson-verteilt mit Parameter (oder Rate) λ > 0, kurz X Po(λ). Es gilt E(X) =λ, Var(X) =λ 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 164

2 1.6 Wichtige Verteilungsmodelle Die Poisson-Verteilung kann auch als Näherungsmodell für eine Binomialverteilung gesehen werden, wenn die Anzahl der Versuchswiederholungen n groß und die Trefferwahrscheinlichkeit π sehr klein ist (seltene Ereignisse!). Der Erwartungswert λ ist dann gleich n π. Es gilt also abgekürzt geschrieben X B(n, π) = n groß π klein X Po(n π) Hat man mehrere unabhängige Poisson-Prozesse, also dynamische Simulationen, bei denen die Ereignisanzahl Poisson-verteilt ist, also z.b. verschiedene deviante Verhaltensmuster, so ist die Gesamtanzahl der einzelnen Ereignisanzahlen wieder Poisson-verteilt: genauer gilt 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 165

3 1.6 Wichtige Verteilungsmodelle Satz [Addition von Poisson-verteilten Zufallsvariablen] Sind X Po(λ X ),Y Po(λ Y ) voneinander unabhängig, so gilt X + Y Po(λ X + λ Y ). Beachte, die Unabhängigkeit (genauer die Unkorreliertheit, siehe später) ist wesentlich. Hat man als Extremfall, z.b. zwei Ereignisse bei denen das eine das andere voraussetzt (Scheidungen, Scheidungen mit Streit um das Sorgerecht für Kinder), so ist die Gesamtzahl nicht mehr Poisson-verteilt. Es muss gelten, wenn X + Y Poisson-verteilt wäre: Var(X + Y )=E(X + Y )=E(X)+E(Y ) = Var(X)+Var(Y ), was aber bei abhängigen (korrelierten) X und Y verletzt ist. 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 166

4 Bsp Wichtige Verteilungsmodelle Max geht gerne auf Open-Air Festivals. Im Durchschnitt trifft er dort 6 weibliche Bekannte und 3 männliche Bekannte. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau 6 weibliche Bekannte trifft? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens einen männlichen Bekannten trifft? c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, das er weder einen männlichen noch eine weibliche Bekannte trifft, auf 2 verschiedene Arten. Diskutieren Sie eventuell zu treffende Zusatzannahmen. 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 167

5 1.6.3 Normalverteilung 1.6 Wichtige Verteilungsmodelle Die Normalverteilung ist wohl das wichtigste Verteilungsmodell der Statistik, denn viele Zufallsvariablen sind (nach Transformation) (ungefähr) normalverteilt. beim Zusammenwirken vieler zufälliger Einflüsse ist der geeignet aggregierte Gesamteffekt oft approximativ normalverteilt (Zentraler Grenzwertsatz, Kap. 1.7). die asymptotische Grenzverteilung, also die Verteilung bei unendlich großem Stichprobenumfang, typischer statistischer Größen ist die Normalverteilung. 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 168

6 Definition Wichtige Verteilungsmodelle Eine stetige Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit den Parametern μ und σ 2,in Zeichen X N(μ, σ 2 ), wenn für ihre Dichte gilt: f(x) = ( 1 exp 1 ) 2π σ 2σ2(x μ)2,x R (1.2) und standardnormalverteilt, in Zeichen X N(0; 1), falls μ =0und σ 2 =1gilt (π ist hier die Kreiszahl π = ). 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 169

7 1.6 Wichtige Verteilungsmodelle Grundlegende Eigenschaften: a) Die Dichte der Standardnormalverteilung wird oft mit ϕ(x) bezeichnet, also ϕ(x) = 1 exp ( 12 ) 2π x2 und die zugehörige Verteilungsfunktion mit Φ(x) = x ϕ(u)du b) Φ(x) lässt sich nicht in geschlossener Form durch bekannte Funktionen beschreiben = numerische Berechnung, Tabellierung. c) μ und σ 2 sind genau der Erwartungswert und die Varianz, also, wenn X Nμ, σ 2 ), dann E(X) =μ und Var(X) =σ 2. 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 170

8 1.6 Wichtige Verteilungsmodelle d) Die Dichte ist symmetrisch um μ, d.h. f(μ x) = f(μ + x). 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 171

9 1.6 Wichtige Verteilungsmodelle Grundlegendes zum Rechnen mit Normalverteilungen: Es gilt: Φ( x) =1 Φ(x) (folgt aus der Symmetrie der Dichte). Gilt X N(μ, σ 2 ), so ist die zugehörige standardisierte Zufallsvariable standardnormalverteilt. Z = X μ σ Entscheidende Eigenschaft für die Tabellierung: Es reicht die Standardnormalverteilung zu tabellieren. Normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert μ und Varianz σ 2 muss man, wie unten erläutert, zuerst standardisieren, dann kann man aber auch die Standardnormalverteilungstabelle verwenden. Tabelliert sind die Werte der Verteilungsfunktion Φ(z) =P (Z z) für z 0. Ablesebeispiel: Φ(1.75) = 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 172

10 1.6 Wichtige Verteilungsmodelle Funktionswerte für negative Argumente: Φ( z) =1 Φ(z) Berechnung bei allgemeiner Normalverteilung: Wie bestimmt man bei X N (μ, σ 2 ) die Wahrscheinlichkeiten P (X a) aus der Tabelle der Standardnormalverteilung? Abgeschlossenheit gegenüber Linearkombinationen: Seien X 1 und X 2 unabhängig und X i N(μ i,σ 2 i ),i=1, 2. Ferner seien b, a 1,a 2 feste reelle Zahlen. Dann gilt Y 1 := a 1 X 1 + b N(a 1 μ 1 + b; a 2 1σ 2 1) Y 2 := a 1 X 1 + a 2 X 2 N(a 1 μ 1 + a 2 μ 2 ; a 2 1σ a 2 2σ 2 2). Das Ergebnis lässt sich auf mehrere Summanden verallgemeinern. 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 173

11 1.6 Wichtige Verteilungsmodelle Bsp [aus Fahrmeir et al.] Schultischhöhe: Y N(μ Y,σY 2 ), μ Y = 113, σy 2 =16 Stuhlhöhe: X N(μ X,σX 2 ), μ X =83, σx 2 =25 optimale Sitzposition: Tisch zwischen 27 und 29 cm höher als Stuhl. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Paar zueinander gut passt? Differenz: Y X soll zwischen [27, 29] sein. Definiere also V := Y X = Y +( X) Wegen X N( 83, 25) gilt dann V N(113 83, ) = N (30, 41). 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 174

12 Außerdem ergibt sich durch Standardisieren: 1.6 Wichtige Verteilungsmodelle 27 V V V Damit lässt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmen: P (27 V 29) = P ( V ) = = Φ( 0.156) Φ( 0.469) = = (1 Φ(0.156)) (1 Φ(0.469)) = = = Wahrscheinlichkeitsrechnung 175

13 Gerade in der Soziologie beobachtet man häufig große Stichprobenumfänge. Was ist das Besondere daran? Vereinfacht sich etwas und wenn ja was? Kann man Wahrscheinlichkeitsgesetzmäßigkeiten durch Betrachten vielfacher Wiederholungen erkennen? 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 176

14 1.7.1 Das i.i.d.-modell Betrachtet werden diskrete oder stetige Zufallsvariablen X 1,...,X n, die i.i.d. (independently, identically distributed) sind, d.h. die 1) unabhängig sind und 2) die gleiche Verteilung besitzen. Ferner sollen der Erwartungswert μ und die Varianz σ 2 existieren. Die Verteilungsfunktion werde mit F bezeichnet. Dies bildet insbesondere die Situation ab in der X 1,...,X n Merkmals X bei reiner Zufallsauswahl sind. eine Stichprobe eines 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 177

15 Jede Funktion von X 1,...,X n ist wieder eine Zufallsvariable, z.b. das arithmetische Mittel oder die Stichprobenvarianz 1 n n i=1 X i S2 = 1 n n (X i X) 2 i=1 Vor dem Ziehen der Stichprobe: Wahrscheinlichkeitsaussagen möglich = Wahrscheinlichkeitsrechnung anwenden Gerade bei diesen Zufallsgrößen ist die Abhängigkeit von n oft wichtig, man schreibt dann X n, S 2 n Sind X 1,...,X n jeweils {0, 1}-Variablen, so ist Xn gerade die empirische relative Häufigkeit von Einsen in der Stichprobe vom Umfang n. Notation: H n 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 178

16 später: Induktionsschluss Durchführen eines Zufallsexperiments // Ziehen einer Stichprobe IMMER Wahrheit S planung VORHER NACHHER W sktsrechn. Wahre Urliste Zufallsvariablen Realisationen x 1,..., x N X 1,...,Xn x 1,...,xn }{{} neue Urliste eines Merkmals (z.b. X i Einkommen der i-ten Person) Auswertung, z.b. S ziehung arithmetisches Mittel der Stichprobe arithmetisches Mittel der Stichprobe x X = n 1 ni=1 X i x = n 1 ni=1 x i arithmetisches Mittel in der Grundgesamtheit Stichprobenvarianz empirische Varianz 1 s 2 X S 2 = n 1 ni=1 (X i X) 2 s 2 = n 1 ni=1 (x i x) 2 Varianz in der Grundgesamtheit empirische Verteilungsfunktion als empirische Verteilungsfunktion Zufallsvariable in jedem Punkt x F (x) F X 1,...,X n n (x) = n 1 {i : X i x} F X 1,...,X n n (x) = n 1 {i : x i x} empirische Verteilungsfunktion in der Grundgesamtheit 1 Gehört nicht zur Grundgesamtheit; hier für empirische Version 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 179

17 1.7.2 Das schwache Gesetz der großen Zahlen Betrachte für wachsenden Stichprobenumfang n: X 1,...,X n i.i.d. X i {0, 1} binäre Variablen mit π = P (X i =1) H n = die relative Häufigkeit der Einsen in den ersten n Versuchen. 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 180

18 s[1:i] s[1:i] s[1:i] :i 1:i 1:i s[1:i] s[1:i] s[1:i] :i 1:i 1:i 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 181

19 Beobachtungen: 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 182

20 Theorem [Theorem von Bernoulli] Seien X 1,...,X n, i.i.d. mit X i {0, 1} und P (X i =1)=π. Dann gilt für n H n = 1 n i=1 X i (relative Häufigkeit der Einsen ) und beliebig kleines ɛ>0 lim n P ( H n π ɛ) =1 Anschauliche Interpretation: Die relative Häufigkeit eines Ereignisses nähert sich praktisch sicher mit wachsender Versuchszahl an die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses an. 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 183

21 Zwei wichtige Konsequenzen: 1) Häufigkeitsinterpretation von Wahrscheinlichkeiten: 2) Induktion: Man kann dieses Ergebnis nutzen, um Information über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit (π ˆ= Anteil in einer Grundgesamtheit) zu erhalten. Sei z.b. π der (unbekannte) Anteil der SPD Wähler, so ist die relative Häufigkeit in der Stichprobe eine gute Schätzung für π. Je größer die Stichprobe ist, umso größer ist die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit sehr nahe beim wahren Anteil π ist. 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 184

22 Das Ergebnis lässt sich verallgemeinern auf Mittelwerte beliebiger Zufallsvariablen: Schwaches Gesetz der großen Zahl: Gegeben seien X 1,...,X n i.i.d. Zufallsvariablen mit (existierendem) Erwartungswert μ und (existierender) Varianz σ 2. Dann gilt für n X n := 1 n i=1 X i und beliebiges ɛ>0: lim P ( X n μ ɛ) =1 n Schreibweise: P X n μ ( Stochastische Konvergenz, X n konvergiert in Wahrscheinlichkeit gegen μ.) Konsequenz für die Interpretation des Erwartungswerts: 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 185

23 1.7.3 Der Hauptsatz der Statistik Satz [Hauptsatz der Statistik] Seien X 1,...,X n i.i.d. mit Verteilungsfunktion F und sei F n (x) die empirische Verteilungsfunktion der ersten n Beobachtungen. Mit D n := sup x F n (x) F (x), gilt für jedes c>0 lim P (D n >c)=0. n 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 186

24 Interpretation: (1:lx)/lx (1:lx)/lx (1:lx)/lx sort(x) sort(x) sort(x) Normal CDF (1:lx)/lx (1:lx)/lx function(x) pnorm(x, 0, 1) (x) sort(x) sort(x) x 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 187

25 1.7.4 Der zentrale Grenzwertsatz Gibt es für große Stichprobenumfänge Regelmäßigkeiten im Verteilungstyp? Gibt es eine Standardverteilung, mit der man oft bei großen empirischen Untersuchungen rechnen kann? Damit kann man dann insbesondere Fehlermengen einheitlich behandeln. 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 188

26 Satz [Zentraler Grenzwertsatz] Seien X 1,...,X n i.i.d. mit E(X i )=μ und Var(X i )=σ 2 > 0 sowie Z n = 1 n n i=1 ( ) Xi μ. σ Dann gilt: Z n ist asymptotisch standardnormalverteilt, in Zeichen: Z n a N(0; 1), d.h. es gilt für jedes z Für die Eingangsfragen gilt also: lim P (Z n z) =Φ(z). n Ja, wenn man die Variablen geeignet mittelt und standardisiert, dann kann man bei großem n näherungsweise mit der Normalverteilung rechnen. Dabei ist für festes n die Approximation umso besser, je symmetrischer die ursprüngliche Verteilung ist. 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 189

27 Histogram of res Histogram of res Histogram of res Density Density Density res res res Histogram of res Histogram of res Histogram of res Density Density Density res res res 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 190

28 Anwendung des zentralen Grenzwertsatz auf X: Gemäß dem Gesetz der großen Zahlen weiß man: Xn μ Für die Praxis ist es aber zudem wichtig, die konkreten Abweichungen bei großem aber endlichem n zu quantifizieren, etwa zur Beantwortung folgender Fragen: Gegeben eine Fehlermarge ε und Stichprobenumfang n: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X höchstens um ε von μ abweicht? Gegeben eine Fehlermarge ε und eine Sicherheitswahrscheinlichkeit γ: Wie groß muss man n mindestens wählen, damit mit mindestens Wahrscheinlichkeit γ das Stichprobenmittel höchstens um ε von μ abweicht (Stichprobenplanung)? 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 191

29 Aus dem zentralen Grenzwertsatz folgt: 1 n n i=1 ( ) Xi μ σ = n i=1 X i nμ n σ = n X n nμ n σ = X n μ σ/ n a N(0, 1) oder auch ( ) a X n N μ, σ2. n 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 192

30 Wichtige Anwendung: Approximation der Binomialverteilung Sei X B(n, π). Kann man die Verteilung von X approximieren? Damit lässt sich der zentrale Grenzwertsatz anwenden: 1 n n i=1 ( ) Y i π π(1 π) = 1 n Yi n π π(1 π) = Yi n π n π(1 π) a N(0, 1) und damit so dass X E(X) Var(X) a N(0, 1) ( ) x n π P (X x) Φ n π(1 π) falls n groß genug. 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 193

31 Es gibt verschiedene Faustregeln, ab wann diese Approximation gut ist, z.b. n π 5 und n (1 π) 5 n π(1 π) 9 Stetigkeitskorrektur: Durch die Approximation der diskreten Binomialverteilung durch die stetige Normalverteilung geht der diskrete Charakter verloren. Man erhält als Approximation P (X = x) 0 für jedes x N, was gerade für mittleres n unerwünscht ist. Benutze deshalb bei ganzzahligem x N. P (X x) =P (X x +0.5) Man erhält als bessere Approximation P (X x) Φ ( ) x +0.5 nπ nπ(1 π) 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 194

32 P (X = x) Φ ( x +0.5 nπ nπ(1 π) ) Φ ( ) x 0.5 nπ nπ(1 π) Fiktives Beispiel: Ein Politiker ist von einer gewissen umstrittenen Maßnahme überzeugt und überlegt, ob es taktisch geschickt ist, zur Unterstützung der Argumentation eine Mitgliederbefragung zu dem Thema durchzuführen. Er wählt dazu 200 Mitglieder zufällig aus und beschließt, eine Mitgliederbefragung zu riskieren, falls er in der Stichprobe mindestens 52% Zustimmung erhält. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in der Stichprobe mindestens 52% Zustimmung zu erhalten, obwohl der wahre Anteil nur 48% beträgt? 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 195