10. März 2017, 10:00 11:30 Uhr, HS 0117, Kurt-Wolters-Str. 3 und HS III, Diagonale 5

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1 Universität Kassel- D Kassel Prof. Dr. rer. nat. Manfred Koch Universität Kassel Kurt-Wolters-Str Kassel kochm@uni-kassel.de fon fax WS 2016/2017 Studienbegleitende Prüfung (Bachelor, Bau- und Umweltingenieurwesen) Hydromechanik I + II 10. März 2017, 10:00 11:30 Uhr, HS 0117, Kurt-Wolters-Str. 3 und HS III, Diagonale 5 Prüfungsteilnehmer Korrekturanmerkungen Name, Vorname Matrikelnummer Unterschrift Punktebilanz und Note Aufgabe Summe Note Max. Punkte Punkte

2 Aufgabe 1 (4 Punkte) Ein elektrischer Wasserkocher hat eine Leistung von 2000 W. Von der Energie, die zum Erhitzen des Wassers verwendet wird, gehen 30% verloren. Wie lange dauert es, bis ein halber Liter Wasser von 20 C auf 95 C erhitzt wird? Gegeben: cw= 4,19 kj/(kg*k) Aufgabe 2 (6 Punkte) Ein Zylinder rotiert in einem mit einer viskosen Flüssigkeit (voll-) gefüllten zylinder-förmigen Behälter. Der Innenzylinder hat einen Radius ri = 0,16m, der Außenzylinder von ra=0,17m. Die (gleiche) Länge der Zylinder ist L= 0,5m. Wie groß ist die Viskosität des Fluids, wenn bei einer Umdrehungszahl von n=55/min ein Drehmoment von M = 2,5Nm gemessen wird? Die Reibung am Zylinderkopf ist zu vernachlässigen!!! Aufgabe 3 (4 Punkte) Sportschwimmer trainieren ihre Zeiten in einer modernen Schwimmanlage mit zwei Becken. Eines dieser Becken ist eigentlich für Nichtschwimmer gedacht und hat daher nur eine Tiefe von 1,2 m, während das andere eine normale Tiefe von 2m hat. Ein durchtrainierter Schwimmer wechselt beim Training nun von einem zum anderen Becken und wundert sich, dass er beim 100 m Kraulen ständig unterschiedliche Zeiten hat. Er zweifelt an sich selbst. Können Sie ihm helfen? Was ist da los? Schätzen Sie den Zeitunterschied in % nur unter Annahme des Newtonscher Schubspannungsansatz. Gegeben: Standardbedingungen des Wassers. Die Unterkante des Körpers des Schwimmers liegt etwa 30cm tief im Wasser. Aufgabe 4 (4 Punkte) Gegeben ist ein Manometer mit zwei Behältern, die mit Wasser (blau) gefüllt sind. Im Rohr befindet sich Öl (braun) mit einer Dichte von ρöl= 910kg/m³. Bestimmen Sie die Druckdifferenz zwischen den Punkten A und B sowie C und D! Gegeben: h1= 0,3 m, h2 = 0,2 m und h3 = 0,4 m. Aufgabe 5 (6 Punkte) Gegeben ist eine rechteckige Platte mit einer Drehangel am oberen Ende. Um Wasser vom linken ins rechte Becken einleiten zu können, muss die Platte über einen Motor gegen den Wasserdruck gehoben werden. Die Betreiber der Anlage haben von einem Motorhersteller Kräfteangaben in kn für verschiedene Motortypen erhalten, mit denen die Platte entgegen des Wasserdrucks gehoben werden kann.

3 Berechnen Sie die nötige Motorkraft (Fmotor), um die Platte entgegen des Wasserdrucks zu heben. Gegeben: Fläche der Platte = Breite x Länge= 3m x 5m; α=50 ; h=12m. Das Gewicht der Platte ist zu vernachlässigen. Das Motorgestänge greift horizontal unten an der Platte an. Aufgabe 6 (5 Punkte) Der Klimawandel macht auch vor dem Eisbären in der Arktis nicht halt. Wegen des Abschmelzens der Eisflächen auf dem arktischen Meer, brechen diese in immer kleinere Eisschollen auf, so dass sie eventuell Eisbären, die von einer zur anderen springen, nicht mehr tragen können, so dass den Tieren die Ruhezeiten auf so einer Scholle fehlen. Es sei eine Eisscholle mit vertikalem Rand angenommen. Welche Fläche A muss diese mindestens haben, um einen ausgewachsenen, schweren Eisbären mit einer Masse von 800 kg noch zu tragen, bzw. dass das arme Tier sich trockenen Fußes noch auf der Scholle ausruhen kann? Gegeben: Dicke der Eischolle d=40cm, die so dick ist, dass sie auch nicht bricht; Dichte des Meerwassers ρmeer =1025 kg/m 3 Aufgabe 7 (4 Punkte) Aus der Betriebsanleitung des PKW s Ihres Professors: Der Reifendruck sollte bei etwa 2,6 bar liegen. Beachten Sie allerdings, dass der gemessene Druck von der jeweiligen Umgebungstemperatur abhängt, so dass bei einer Erhöhung um 10 C der Druck sich um etwa 0,1bar erhöht. Überprüfen Sie diese Aussage quantitativ für den Temperaturbereich C. Aufgabe 8 (5 Punkte) Wasser strömt mit der Geschwindigkeit v1=5m/s in ein Rohr, welches am Anfang einen Durchmesser von 300mm und am Ende von 200mm hat. Es strömt von dort aus in ein zylin -derförmiges Becken mit einem Durchmesser von 15m und einer Höhe von 3m. Am Boden des Beckens ist ein Riss, durch den kontinuierlich Wasser (Q3) ausströmt. Das Becken ist dadurch nach 45 min gefüllt. a) Wie groß ist die Austrittsgeschwindigkeit des Wassers an Punkt 2? b) Wie groß ist der Abfluss Q3 durch den Riss? Aufgabe 9 (6 Punkte) Die Abb. rechts zeigt ein Prandtl- oder Pitot- Rohr, wie es z.b. zum Messen der Fluggeschwindigkeit in einem Flugzeug eingesetzt wird. Das Flugzeug fliegt in einer Höhe von 10km mit einer Geschwindigkeit von v= 800 km/h über einem Gebiet, wo die Bodentemperatur 20 C beträgt. Berechnen sie den Differenzdruck pdiff, der im Messwertwandler verarbeitet werden müssen, um diese Geschwindigkeit zu messen. Hinweis: Berechnen Sie die Dichte der Luft in dieser Höhe mit der barometrischen Höhenformel. Der adiabatische Temperaturgradient, d.h. die Abnahme der Temperatur mit der Höhe ist etwa 6,5 C/km. Gegeben: Spezifische Gaskonstante der Luft: R i=287 J/(kg*K)

4 Aufgabe 10 (6 Punkte) Ein Kanal soll aus einem Stausee durch ein Rohrleitungssystem mit 3m³/s gespeist werden (siehe Abbildung). Der Wasserstand im Stausee wird konstant auf 115 münn gehalten und die Austrittsöffnung liegt in der Höhe von 140 münn. Es liegt ein scharfkantiger Ein- und Austritt vor. a) Ist die Strömung im zweiten Abschnitt des Rohrleitungssystems laminar oder turbulent? b) Wie groß ist die benötigte elektrische Pumpenleistung? Gegeben: Erster horizontaler Abschnitt des Rohrleitungssystems: L1= 50 m, d= 0,4 m; Vertikaler Abschnitt des Rohrleitungssystems: L2= 60 m, d= 0,4 m; Zweiter horizontaler Abschnitt des Rohrleitungssystems: L3= 50 m, d= 0,4 m; Rauigkeit k=0,0017m Verlustkoeffizient Einlauf: ζe= 0,5 Verlustkoeffizient Auslauf: ζa= 0,5 Verlustkoeffizient Krümmer: ζk= 0,19 Verlustkoeffizient Schieber: ζs= 5,0 Pumpenwirkungsgrad: η= 0,8

5 Lösung Aufgabe 1 Peff=P*η Peff=2000*0,7 Peff=1400 W ΔQ=m*cW*ΔT ΔQ=0,5kg * 4190 J/(kg*K) * 75K ΔQ= J Peff=ΔQ/t t=δq/peff t=157125/1400 t=112s Aufgabe 2 Newton scher Schubspannungsansatz τ =F/A τ = µ * dv/dy F/A= µ * dv/dy µ=f*dy/a*dv F=M/ri A=2* π *ri*l dy=ra-ri dv=ω*ri=2* π *n*ri µ= (M/ri)* (ra-ri)/(2* π *ri*l*2* π *n*ri) n=55/min 0,917/sec µ= (2,5/0,16)*(0,17-0,16)/(2*π*0,16*0,5*2* π*0,917*0,16) µ= 0,34 kg/(m*s) µ= 0,34 Pa*s Aufgabe 3 Annahme: Newton scher Schubspannungsansatz zwischen Schwimmer und Boden. F1 = τ *A = µ * dv1/dz1 dv1= vschwimmer1=s/t1 F2= τ *A = µ * dv2/dz2 dv2= vschwimmer2= s/t2 F1=F2 µ * (s/t1) /dz1= µ * (s/t2)/dz2 dz1=1,2m-0,3m=0,9m dz2=2m-0,3m=1,7m 1/ (t1*0,9) = 1/(t2*1,7) (t2*1,7) = (t1*0,9) t1/t2 =1,7/0,9 t1/t2 =1,88 Im flacheren Becken braucht der Schwimmer ca. 1,9 mal so lange wie im tiefen Becken. (theoretische Annahme nach Newton schem Schubspannungsansatz) Aufgabe 4 Druckdifferenz zwischen den Punkten A und B plinks = prechts pa + ρh20 * g * h1 = pb + ρöl * g * h2 + ρh20 * g * h3

6 pa - pb = ΔpAB = ρöl * g * h2 + ρh20 * g * h3 - ρh20 * g * h1 ΔpAB = 910*9,81*0,2+1000*9,81*0,4-1000*9,81*0,3 ΔpAB = 2766,4Pa Druckdifferenz zwischen den Punkten C und D plinks = prechts pc - ρh20 * g * h3 - ρöl * g * h2 = pd - ρh20 * g * h1 pc - pd= ΔpCD= ρh20 * g * h3 + ρöl * g * h2- ρh20 * g * h1 ΔpCD=1000*9,81*0,4+910*9,81*0,2-1000*9,81*0,3 ΔpCD=2766,4Pa ΔpCD= ΔpAB Das geschlossene System ist nur gedreht. Aufgabe 5 5m Position des Schwerpunkts zs = h1- (a/2) * sin (α) zs = 12 (5/2) * sin(50) zs = 10,08 m (zs: vertikaler Abstand von Wasseroberfläche)) a = 5m (Länge der Platte) Kraft F1 auf Platte p = F1 /A F1 = ρ * g * zs * A F1 = 1000*9,81*10,08*(5*3) F1 = N p = ρ * g * zs Geneigtes System ZS`= zs / sin(α) ZS`= 10,08/ sin(50) ZS`= 13,16 m Position des Druckmittelpunkts im geneigten System Zd`= ZS`+ I0 / (A * ZS`) (Trägheitsmoment des Rechtecks: I0 = b*a³/12) Zd`= Zs`+ (b*a³/12)/(a* ZS`) Zd`= 13,16 + (3*5³/12)/(3*5*13,16) Zd`= 13,32m Position des Motordrehpunkts im geneigten System sin(α)= h1/ (K +a) K = (h1/sin(α))-a K = (12/sin(50))-5

7 K = 10,66 m Momentengleichgewicht am Motor F1*r1 + FMotor* sin (α)*rm = 0 r1= Zd`-K =13,32 m-10,66 m=2,66m *2,66+ FMotor*sin(50)*5 = 0 rm=a=5m FMotor = *2,66/(sin(50)*5) FMotor = ,81 N FMotor = kn Lösungsvariante: sin(α)= h3/a h3= sin(α)*a h3= sin(50)*5 h3= 3,83m (h3: vertikaler Abstand von Boden bis Gelenk) F1=p*A p=(p1+p2)/2 (Trapezfläche) p1= ρ * g * h1 F1= (ρ * g * h1+ ρ * g * h2)/2 * A F1= ρ * g (h1+h2)/2 * A F1= 1000 * 9,81 (12+8,17)/2 * (5*3) F1= ,75 N p2= ρ * g * h2 (h2: vertikaler Abstand von Wasserspiegel bis Gelenk) h2= h1- h3 =12-3,83=8,17m (A: Fläche der Platte) Position des Druckmittelpunkts im geneigten System vom Gelenk r1=a*(h2+2*h1)/(3*(h1+ h2)) r1=5*(8,17+2*12)/(3*(12+8,17)) r1=2,66 m Momentengleichgewicht am Motor F1*r1 + FMotor* sin (α)*rm = ,75 *2,66+ FMotor*sin(50)*5 = 0 FMotor = ,75 *2,66/(sin(50)*5) FMotor = ,77N FMotor = -1030,6 kn rm=a=5m Aufgabe 6 F G = F A F G = (m Bär+m Eis) *g (Gewichtskraft) F A = ρ W * g * V W (Auftriebskraft) (m Bär+m Eis) *g = ρ W * g * V W m Eis= ρ Eis*V Eis V W=V Eis m Bär+ρ Eis*V Eis = ρ W * V Eis m Bär = ρ W * V Eis - ρ Eis*V Eis V Eis = m Bär/(ρ W-ρ Eis) V Eis=A Eis*d A Eis*d= m Bär/(ρ W-ρ Eis) /d A Eis= m Bär/((ρ W-ρ Eis)*d) A Eis=800kg/((1025kg/m³ kg/m³)* 0,4m) A=17,4m²

8 Aufgabe 7 p/t=konst. p1/p2=t1/t2 p2=p1*t2/t1 p2=2,6bar*293,15k/283,15k p1=2,69bar oder p/t=konst. p1 = p2*t1/t2 p2=2,6bar*283,15k/293,15k p1=2,51bar Der Druckgradient ist für diesen Temperaturbereich etwa 0,09bar/ 10 C. Aufgabe 8 a) Q1=Q2 A1*v1=A2*v2 v2= A1*v1/A2 v2= π*(d1/2)²*v1/(π*(d2/2)²) v2= (d1/2)²*v1/((d2/2)²) v2= (0,3m / 2)² * 5m/s / ((0,2m/2)²) v2= 11,25 m/s b) Q1=VB/t - Q3 Q3=VB/t - Q1 VB= π*(db/2)²*hb Q1=v1*A1=v1*π*(d1/2)² Q3= π*(db/2)²*hb/t - (v1*π*(d1/2)²) Q3= π*(15m/2)²* 3m / (45*60) - (5m/s * π*(0,3m/2)²) Q3=-0,157 m³/s Durch den Riss strömen 0,157 m³/s aus dem Becken. Aufgabe 9 Druck in der Flughöhe z mit barometrischer Höhenformel p=po *exp (-gz/(ri*to)) po=101300pa g=9,81 m/s² z=10000m Ri=R/M=8,31 J/(mol*K)/0,029kg/mol=287J/(kg*K) T0=273,15K+20K=293,15K p= *exp (-9,81*10000/(287*293,15)) p =31574 Pa Temperatur in Meter Höhe Tz= TBoden - z*tgradient Tz= 20 C 10km * 6,5 C/km Tz= -45 C = 228,15K

9 ρl=p/(ri*tz) ρl=31574/(287*228,15) ρl=0,482kg/m³ pdiff= ρl * v² / 2 pdiff= 0,482 * (800/3,6)² / 2 pdiff= Pa Aufgabe 10 a) Re=v*d/ν Q = v*a v=q/a v=3m³/s/(π*(0,4m/2)²) v=23,87m/s da d konstant, ist v im Rohr gleich Re=23,87m/s*0,4m/1*10-6 m²/s Re= >2300 turbulente Rohrströmung b) z1 + p1/ρg + v1 2 /2g +hp= z2 + p2/ρg + v2 2 /2g + hv Es gilt: v1=0, p1=p2= 0 z hp= z v2 2 /2g + hv hp= z2 - z1 + v2 2 /2g + hv hv= hr +hö hr= λ*l*v2 2 /(d*2*g) λ = f(re;k/d) = f(9,5*10 6 ; 0,0017/0,4) f(9,5*10 6 ; 0,00425) Moody Diagramm => λ 0,029 hr=0,029*( )* 23,87 2 /(0,4*2*9,81) hr=336,9m hö=σζ* v2 2 /(2*g) hö=(0,5+2*0,19+5+0,5)* 23,87 2 /(2*9,81) hö=185,3m hv=522,2m hp= ,87²/(2*9,81)+ 522,2 hp=576,2m Peff=PP/ɳ PP= hp*ρ*g*q Peff= hp*ρ*g*q/ ɳ Peff=576,2m * 1000kg/m³ * 9,81m/s² * 3m³/s / 0,8 Peff= W Peff=211969,57kW