Hydromechanik WS 2013/201. /2014 Studienbegleitende Prüfung (Bachelor, Bau- und Umweltingenieurwesen) 14. März 2014, 10:00 12:00 Uhr.

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1 Bauingenieur- und Umweltingenieurwesen wesen Universität Kassel- D Kassel Institut für Geotechnik und Geohydraulik Prof. Dr. rer. nat. Manfred Koch Universität Kassel Kurt-Wolters-Str Kassel kochm@uni-kassel.de fon fax WS 2013/201 /2014 Studienbegleitende Prüfung (Bachelor, Bau- und Umweltingenieurwesen) Hydromechanik 14. März 2014, 10:00 12:00 Uhr. Prüfungsteilnehmer Korrekturbemerkungen Name, Vorname Matrikelnummer Unterschrift Punktebilanz und Note Aufgabe Summe Note Max. Punkte Punkte

2 Aufgabe 1 / 4 Punkte In einem vertikalen Glaszylinder stehen 800mL Wasser bei 20 C 70 cm hoch. Dann werden der Zylinder und das Wasser auf 80 C erhitzt. Wie hoch steht dann das Wasser im Zylinder? Gegeben: thermische (lineare) Ausdehnungskoeffizienten von Glas: α=3,5 * 10-6 / C; von Wasser: γ=0.21 * 10-3 / C Aufgabe 2 / 3 Punkte In einer Gasflasche mit einem Volumen von 150L findet sich Luft unter einem Druck von 5 MPa bei einer Temperatur von 20 C. Wieviel kg Luft befindet sich in der Gasflasche? Gegeben: Allgemeine Gaskonstante R= 8,31 kj/ ( o K kmol). Molekulargewicht der Luft: 29kg/kmol Aufgabe 3 / 6 Punkte Die Skiläuferin Maria Höfl-Riesch hat kürzlich bei den Olympischen Winterspielen mehrere Medaillen gewonnen. a)erklären Sie fluiddynamisch das Prinzip des Gleitens eines Skis auf einer Schneepiste. b)wenn sie den Körperbau (Größe und Gewicht) von Frau Höfl-Riesch mit denen ihren Konkurrentinnen vergleichen, was fällt Ihnen da auf? Ist dieser Körperbau (insbesondere natürlich ihr Gewicht) von Frau Höfl-Riesch ein Vor- oder Nachteil, gegenüber den anderen Damen des Skizirkus, zumindest was ihre Grundschnelligkeit angeht? c)was sind weitere Faktoren, die für die Schnelligkeit der Abfahrt noch eine Rolle spielen könnten? d)es gibt weiche und harte (vereiste Pisten). Wie wirkt sich das auf die Abfahrtgeschwindigkeit auf und wie käme das Frau Höfl-Riesch zugute? Hinweis: Machen Sie eine quantitative (formelmäßige) Analyse des Gleitens eines belasteten Skis auf einer schiefen Piste, um ihre Erklärungen zu untermauern Aufgabe 4 / 5 Punkte Der bekannte Bergsteiger Reinhold Messner befindet sich mal wieder auf Himalaya Tour und möchte einen weiteren 8000-er Berg bezwingen. In einem Basiscamp in einer Höhe von etwa 7000m will er vor dem endgültigen Aufstieg seine Thermosflasche mit einem Volumen von 0.75L noch mal mit heißem Tee auffüllen. Dazu haut er sich bei einer Außentemperatur von -30 o C aus einem Eisblock einen Brocken heraus, schmilzt ihn auf seinem Gaskocher und bringt das Wasser schließlich zum Kochen. Da Messner keine Energie verschwenden will, soll der Eisbrocken gerade die Menge Wasser liefert, die in seine Thermosflasche reingehen. a) Wie groß muss das Volumen des Eisbrockens sein? b) Wie viel kg Gas verbraucht Messner bei diesem Teekochen, wenn er zudem genau aufpasst, dass ihm das Wasser nicht verkocht, d.h. den Kocher beim ersten Auftreten von Siedeblasen abstellt?

3 Gegeben: 1) Formel für die Sättigungsdampfdruckkurve T e w ( t) = e0 exp C + T (e 0 = hpa, T in o C) 2) Heizwert von Propangas: H Propan=46,3 MJ/kg Hinweis: Berechnen Sie erst den isothermen (bei 15 C ) Standardluftdruck im Basiscamp mittels der barometrischen Höhenformel. Vergessen??? Herleiten!!!! Aufgabe 5 /5 Punkte Wie groß ist die mit dem Differentialmanometer (s. Abbildung) gemessene Druckdifferenz zwischen den Punkten A und B, wenn sich die angezeigte Spiegeldifferenz im Manometer von 8 cm einstellt? Gegeben: Dichte von Quecksilber ρ Hg=13600kg/m³, Dichte von Wasser ρ H20=1000kg/m³ Differenzdruckrohrmanometer Aufgabe 6 /6 Punkte Gegeben ist eine rechteckige Platte mit einer Drehangel am oberen Ende. Um Wasser vom linken ins rechte Becken einleiten zu können, muss die Platte über einen Motor gegen den Wasserdruck gehoben werden. Die Betreiber der Anlage haben von einem Motorhersteller Kräfteangaben in kn für verschiedene Motortypen erhalten, mit denen die Platte entgegen des Wasserdrucks gehoben werden kann. Fmotor Ihre Aufgabe ist es die nötige Motorkraft (F motor motor) zu berechnen, die am Ende der Platte überschritten werden muss, damit sich die Platte entgegen des Wasserdrucks heben lässt. h1 4m Motor Gegeben: Fläche der Platte = Breite x Länge= 3m x 4m; α=50 ; h 1=8m, Das Gewicht der Platte ist zu vernachlässigen.

4 Aufgabe 7 / 6 Punkte Ein Schiff befindet sich auf hoher See, wobei die Dichte des Meerwassers ρ salz= 1030 kg/m 3 beträgt. Das Schiff fährt dann in den Hafen ein. Die Dichte des Hafenwassers (Süßwasser) beträgt lediglich ρ süß= 1000 kg/m 3. Nachdem das Schiff 600 Tonnen Last abgeladen hat, liegt es genauso tief im Wasser, wie auf hoher See. Welche Masse hat das Schiff ohne die Ladung? Aufgabe 8 / 5 Punkte Die Abbildung rechts zeigt das Prinzip des Hebers. a) Berechnen Sie den Druck im Scheitelpunkt 2 des Hebers als Funktion der Höhe h s = z 2. Wie groß ist der Druck für h s = 7m? b) Was geschieht mit der Strömung, wenn der Scheitelpunkt h s noch immer mehr erhöht wird? Kann man ihn beliebig erhöhen und den Fluss noch aufrecht erhalten? Gegeben: Werte wie in der Abbildung. Temperatur des Wassers = 15 C Aufgabe 9/5 Punkte In den kreisförmigen Tank (Durchmesser = 0,6m) fließt Wasser mit den gegebenen Geschwindigkeiten über das Rohr links (1) ein und über die 2 Rohre unten (2) und rechts (3) wieder aus. Ausgang (4) oben lässt die Luft entweichen /einströmen. 0.6m a) Berechnen Sie die zeitliche Änderung dh/dt des Wasserspiegels im Tank b) Wie groß ist die Geschwindigkeit der Luft (ein oder aus?) über die Öffnung (4)? Ein- und Auslauf des Tanks Gegeben: Geschwindigkeiten: v 1 = 7,5 m/s, v 2= 3 m/s, v 3=3,6 m/s. Durchmesser der Ein/Auslaufrohre: d 1 = 7,8 cm; d 2=5cm, d 3= 6,3 cm; d 4=5cm Aufgabe 10 / 5 Punkte a) Berechnen Sie den Abfluss Q aus dem Reservoir A zum Reservoir B, der sich am Ausgang der dargestellten Rohrkonstruktion aus einem schon leicht angerosteten Eisenrohr mit 2 Krümmern ergibt. b) Zeichnen Sie ebenfalls die Energie- und Drucklinie ein

5 Gegeben: Verlustbeiwerte ζ am Einlauf = 0.5; der beiden Krümmer = 0.9 (jeweils); am Ausgang = 1. Durchmesser des Rohres = 200mm; Rauhigkeit des Eisenrohrs k = 0.26mm; weitere Maße sind der Abbildung zu entnehmen. Verwenden Sie ansonsten die Standardwerte für Wasser. Moody-Nikuradse Diagramm unten 10m A Q 3m 15m B 30m 50m Ausfluss von einem in ein anderes Becken Moody-Nikuradse Diagramm

6 Lösungen Aufgabe 1 Grundfläche des Zylinders bei 20 C: A 20= V 20/h = 800*10-6 m³/ 0.7m = m² Radius des Zylinders bei 20 C: r 20 = sqrt(a/pi) = m Radius des Zylinders bei 80 C: r 80= r 20*(1+ α T) r 80 = m *(1+3.5*10-6 * 60) r 80 = 0, m Flache des Zylinders bei 80 C: A 80 = pi*r 80² A 80 = pi * 0, ² A 80 = 0, m² Volumen des Wassers bei 80 C: V 80 = V 20*(1+ γ * T) V 80 = 900*10-6 *(1+0.21*10-3 * 60) V 80 = m³ Standhöhe bei 80 C: h 80 = V 80 /A 80 h 80 = m³/0, m² 80 = 0,70852 m h 80 Aufgabe 2 ρ = p/(r it) oder direkt: pv=nrt (Thermische Zustandsgleichung) ρ = m/v n=m/m m/v = p/((r/m)*t) pv=rtm/m m = pv/((r/m)*t) m = 5000kPa * 0,15 m³ / ((8,31kJ/( K kmol)/29kg/kmol)*(273,15 K+20 K)) m=8,93 kg Aufgabe 3 a) NEWTONsche Schubspannung: τ=*dv/dh

7 Durch die Reibung der Skier auf dem Schnee entsteht Wärme, die die obere Schneeschicht schmelzen lässt. So entsteht ein hauchdünner Wasserfilm, der sich zwischen Belag und Schnee bildet. Darauf gleitet der Ski. b) s. Skript τ = F H / A F H = F G * sin(alpha) F G=m * g F H =m * g * sin(alpha) τ = F H / A F H= τ*a τ = m * g * sin(alpha)/a τ = * dv/dh * dv/dh = m * g * sin(alpha)/a dv m * dh / (A * ) Masse steigt Gravitationskraft F G steigt Normalkraft F N steigt Hangabtriebskraft, aber die Reibungskraft ist die Gleiche (im Gegensatz zur Coulomb- Reibung zwischen Festkörpern) höhere Geschwindigkeit. Achtung: Fläche A der Skier darf auch nicht zu klein sein, sonst Versinken (siehe d)) c) - Luftwiderstand F Luft (Körper klein machen) - Skibelagsoberfläche/Gleitreibungskoeffizient dv/dh 1/ - Fläche der Skier (Reibungsfläche A) dv/dh 1/A - Temperatur der Schneeoberfläche: mehr schmelzen dickere Wasserschicht h => Newtonsche Reibung wird kleiner, aber auch versinken möglich (siehe d)) d) dv = m * g * sin(alpha) *dh /A / Man ist schneller auf vereister Piste, da nur eine dünne Wasserschicht mit geringer Haftung zwischen Belag und Schnee liegt. Auf weichen Pisten sinkt man im Schnee etwas ein und es gibt einen zusätzlichen Widerstand. Schwere Menschen sind auf harten Pisten schnell, da der Schnee durch die größere Reibungskraft anschmilzt und man auf dem Wasserfilm schneller gleitet. Auf weichem Schnee haben schwere Skifahrer allerdings Nachteile, da sie die ohnehin schon dicke Wasserschicht vergrößern und sie am Schnee haften bzw. 'versinken'. Aufgabe 4 a) m Wasser = m Eis m Wasser = ρ Wasser * V Wasser m Eis = ρ Eis * V Eis ρ Wasser*V Wasser=ρ Eis*V Eis V Eis = ρ Wasser*V Wasser/ρ Eis V Eis = 1 kg/l*0,75l /0,917 kg/l V Eis = 0,818 L Gegeben V Wasser = 0,75 L ρ Wasser = 1000 kg/m³=1 kg/l ρ Eis = 917 kg/m³=0,917kg/l V Eis gesucht

8 b) Barometrische Höhenformel p=p o *exp (-gz/(ri*t)) p o=1013hpa g=9,81 m/s² z=7000m R i=r/m=8,31 J/(mol*K)/0,029kg/mol=287J/(kg*K) T 15 C=273K+15K=288K [-g/(ri*t)=-1/8400] p=1013 *exp (-9,81*7000/(287*288)) p =440,4 hpa Siedepunkt bei Temperatur T, wenn Sättigungsdampfdruck e w gleich externem Luftdruck p e w = p p = e 0* exp (17,62*T/(243,12+T)) ln(p/e 0)=17,62T/(243,12+T) ln(440,4/6,112)=17,62t/(243,12+t) 4,27743=17,62T/(243,12+T) 1039,9286+4,27743T=17,62T 1039,9286=13,34257T T=77,94 C Thermische Energie verwendet in 3 Stufen H 1= c Eis*m* T 1 = 2.0*0.75*30 = 45 kj c Eis=2.0 kj/(kg K) [von-30 bis 0 C] H 2= H Lat * m = 333.5*0.75 = 250 kj H Lat=333.5 kj/kg [von Eis zu Wasser] H 3= c Wasser*m* T 3=4.19*0.75*78=245 kj c Wasser=4.19 kj/(kg K) [von 0 C bis 78 C] H Tot Tot = H 1 + H 2 + H 3 = =540 kj=0,54mj Gasverbrauch in kg m= H Tot Tot/ H Propan = 0, = 0,0117 kg 0,540 MJ /46,3 / MJ/kg Aufgabe 5 p Links = p Rechts p A - ρ H20 * g * h Hg = p B - ρ H20 * g *(h Hg + h) + ρ Hg * g * h p A - p B = - ρ H20 * g * h + ρ Hg * g * h p = (ρ Hg - ρ H20) *g * h p = p A - p B

9 p = (13600kg/m³- 1000kg/m³) * 9,81m/s² * 0,08m p = Pa =9,89kPa Aufgabe 6 Position des Schwerpunkts z s = h 1- (a/2)* sin (α) z s = 8 (4/2)* sin(50) z s = 6,468 m (z s: vertikaler Abstand von Wasseroberfläche)) a = 4m (Länge der Platte) Geneigtes System Z S`= z s / sin(α) Z S`= 6,4679/ sin(50) Z S`= 8,4433 m Kraft F 1 auf Platte p = F 1 /A p = ρ * g * z s F 1 = ρ * g * z s * A F 1 = 1000*9.81*6,468*(3*4) F 1 = N Position des Druckmittelpunkts m geneigten System Z d`= Z S`+ I 0 /(A* Z S`) (Trägheitsmoment des Rechtecks: I 0 = a*b³/12) Z d`= Z s`+ (a*b 3 /12)/(A* Z S`) Z d`= 8, (3*4³/12)/(4*3*8,4433) Z d`= 8,6011 m Position des Motordrehpunkts im geneigten System sin(α)= h 1/ (K +a) K = h 1/sin(α)-a K = 8/sin(50)-4 K = 6,4433 m Momentengleichgewicht am Motor F 1*r 1 + F Motor*r m = 0 F 1*( Z d`-k ) + F Motor*r m = *(8,6011-6,4433) + F Motor*4 = 0 F Motor = *(8,6011-6,4433)/4 F Motor = = N F Motor Motor = = kn r 1= Z d`-k r m=a=4m

10 Aufgabe 7 Verdrängungsvolumen Vv des Schiffes im Meerwasser mit Ladung muss gleich Verdrängungsvolumen Vv des Schiffes im Hafenwasser ohne Ladung sein, damit Eintauchtiefe identisch ist. Gewichtskraft des Körpers ist somit gleich dem Gewicht Gv des verdrängten Wassers 1) Im Meerwasser: G Schiff + G Ladung = Gv Salz (m Schiff + m Ladung)*g = ρ Salz *Vv*g Vv =(m Schiff + m Ladung )/ ρ Salz 2) Im Hafenwasser: G Schiff = Gv süß m Schiff *g = ρ süß *Vv Süß *g Vv= m Schiff/ρ süß aus 1) und 2) folgt (m Schiff + m Ladung )/ ρ salz = m Schiff/ρ süß *ρ salz - m Ladung - (ρ salz * m Schiff /ρ süß) m Schiff (ρ salz /ρ süß * m Schiff) = -m Ladung m Schiff (1- ρ salz /ρ sus ) = -m Ladung m Schiff = -m Ladung /(1- ρ salz /ρ süß ) m Schiff = -600/(1 1030/1000) m Schiff Schiff = Tonnen Aufgabe 8 a) Bernoulli-Gleichung für die 3 Punkte: H 1 = H 2 = H 3 H 1 = z 1 + p 1/ρg + v 2 1/2g H 2 = z 2 + p 2/ρg + v 2 2/2g H 3 = z 3 + p 3/ρg + v 2 3/2g Es gilt: v 1=0, p 1=0, p 3=0, v 2=v 3 Bernoulli-Gleichung zwischen 1 und 3 H 1 = H 3 z 1 + p 1/ρg + v 2 1/2g = z 3 + p 3/ρg + v 2 3/2g z = v 2 3/2g z 1 = v 2 3/2g v 3 = sqrt(2*g*z 1) v 3 = sqrt(2*9.81*6) v 3 = m/s v 3 = v 2 Bernoulli-Gleichung zwischen 1 und 2 H 1 = H 2 z 1 + p 1/ρg + v 2 1/2g = z 2 + p 2/ρg + v 2 2/2g z = z 2 + p 2/ρg + v 2 3/2g z 1 = z 2 + p 2/ρg + v 2 3/2g p 2 = (z 1 - z 2 - v 2 3/2g) * ρg z 1 = v 2 3/2g

11 p 2 = (z 1 - z 2 - z 1 )* ρg p 2 = -z 2 * ρg p 2 = -7*1000*9.81 p 2 = Pa => Dies ist die Absenkung des Drucks bezüglich des Luftdrucks p L (= Pa) p 2 (absolut) = p L + p 2 p 2 (absolut) = p 2 (absolut) = Pa b) Der Sättigungsdampfdruck p Dampf beträgt bei 15 C etwa 1700 Pa (s. Dampfdruckkurve) Wenn der Fluiddruck im Scheitel des Hebers auf diesen Wert absinkt, siedet das Wasser dort und der Flüssigkeitsstrom reist ab. p krit = p L - p Dampf p krit = p krit = 98300Pa p krit = ρg*z krit z krit = 98300/ρg z krit = 98300/(1000*9.81) z krit krit = 10.02m Aufgabe 9 a) Instationäre Kontinuitätsgleichung Q in - Q out = dv/dt dv= A Zyl*dh Q in - Q out = A Zyl*dh/dt dh/dt = (Q in - Q out) /A Zyl Q in = v 1* A 1 A = pi*(d/2)² Q in = v 1* pi *(D 1/2) 2 Q out = v 2* A 2 + v 3* A 3 Q out = v 2* pi *(D 1/2) 2 + v 3* pi *(D 3/2) 2 dh/dt = (v 1* pi *(D 1/2) 2 )-(v 2 * pi *(D 2/2) 2 + v 3* pi *(D 3/2) 2 ))/ pi *(D Zyl/2) 2 dh/dt = (v 1* (D 1/2) 2 -(v 2 *(D 2/2) 2 + v 3 *(D 3/2) 2 ))/(D Zyl/2) 2 dh/dt = (7.5*(0.078/2) 2 -(3*(0.05/2) *(0.063/2) 2 ))/(0.6/2) 2 dh/dt = 0.066m/s : pi b) Steigendes Volumen dv/dt drückt Luft durch Ausgang (4). Im stationären Gleichgewicht gilt: Q out(4) = dv/dt dv= A Zyl*dh Q out(4) = A Zyl*dh/dt Q out(4) = v 4*A 4 v 4*A 4 = A Zyl * dh/dt v 4 = A Zyl * dh/dt / A 4 v 4 = pi *(D Zyl/2) 2 *dh/dt/ pi *(D 4/2) 2 v 4 = (0.6/2) 2 *0.066/(0.05/2) 2 v 4 = 9.5 m/s A = pi*(d/2)²

12 Aufgabe 10 a) Anwendung Bernoulli-Gleichung zur Berechnung der Gescheindigkeit mit Verlusten zwischen Wasseroberfläche des Reservoirs A (1) und im Reservoir B (2) z 1 + p 1/ρg + v 2 1/2g = z 2 + p 2/ρg + v 2 2/2g + h V Summe der Verluste h V = h R + h o h R = λ *L/d *v 2 /2g (Reibungsv.) h o = Σ ζ i* v 2 /2g (Örtliche V.) z 1 + p 1/ρg + v 2 1/2g = z 2 + p 2/ρg + v 2 2/2g + (λ*l/d* v 2 /2g+Σ ζ i* v 2 /2g) z 1 + p 1/ρg + v 2 1/2g = z 2 + p 2/ρg + v 2 2/2g + v 2 /2g*(λ*L/d+Σζ i) z 1= 25m, z 2 = 18m p 1=p 2=0 (freie Oberfläche) v 1=v 2=0(großes Reservoir) L=95m (Rohrlänge) d=0.2m Σζ i=0.5+2*0.9+1=3.3 g=9.81 m/s = v 2 /2/9.81*(λ*95/ ) 7=(v 2 /(2*9.81)*(λ*95/ )) 7=v 2 *( *λ)/19.62 v = (7*19.62/( * λ)) Iteration von λ: λ 1=0.02 v = (7*19.62/ ( *0.02)) 0.5 v = m/s k/d = 0.26*10-3 /0.2 k/d = 1.3*10-3 Re = v *d/ν ν = kinematische Viskositat ~ 10-6 m 2 /s Re = * 0.2/10-6 Re = =>Strömung ist turbulent => λ = f(re,k/d) = f(655124, 1.3*10-3 ) Moody-Nikuradse Diagramm => λ => Kaum Veränderung von λ =>Keine 2.Iteration nötig => v ist korrekt. Berechnung des Abflusses Q: Q = v * A Q = v *pi*(d/2)² Q = *pi*(0.2/2)² Q = m³/s b) Blau: Gesamtenergie Grün: Verlustlinie /fällt am Ende des Rohres auf Wasserspiegelhöhe in B ab Rot: Drucklinie / fällt am Ende des Rohres auf Wasserspiegelhöhe in B ab Geschwindigkeitshöhe wird zu 0.

13 Nicht maßstabsgetreu!