Physik für Bauingenieure

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1 Fachbereich Physik Prof. Dr. Rudolf Feile Dipl. Phys. Markus Domschke Sommersemster Mai 2010 Physik für Bauingenieure Übungsblatt 5 Gruppenübungen 1. Wärmepumpe Eine Wärmepumpe hat eine Leistungszahl c L = 3, 0 und arbeitet bei 1500 J. a) Wie viel Wärme bringt die Wärmepumpe pro Sekunde in einen Raum ein? b) Angenommen die Wärmepumpe arbeitet im Sommer anders herum als Klimaanlage. Wie würde sich die Leistungszahl verändern, wenn Arbeit und Wärme aus a) gleich bleiben? a) Für die Leistungzahl einer Wärmepumpe gilt: c p = Q H W Hieraus folgt: Somit ist die Leistung 4500 W. Q H = c p W =3,0 1500J=4500J b) Wenn die Wärmepumpe umgedreht wird, nimmt sie Q N an Wärme aus dem Raum, verbraucht dabei 1500J und gibt Q H an die äußere Umgebung ab. Q N = Q H W =3000J Somit folgt die Leistungszahl c p = Q N W = 2,0 2. Carnot-Maschine Stellen Sie sich eine Carnot-Maschine vor, die zwischen den Temperaturen T H = 850 K und T N = 300 K arbeitet. Die Maschine vollbringt pro Zyklus von 0, 25 s eine Arbeit von 1200 J. a) Welchen Wirkungsgrad hat die Maschine? b) Wie groß ist die mittlere Leistung der Maschine? c) Wie viel Wärmeenergie Q H wird dem heißeren Reservoir bei jedem Kreisprozess entzogen? d) Wie viel Wärmeenergie Q N wird an das kältere Reservoir bei jedem Kreisprozess abgegeben? e) Wie groß ist die Entropieänderung der Arbeitssubstanz bei der Wärmeaufnahme aus dem heißeren Wärmereservoir? Wie groß ist sie bei der Wärmeabgabe in das kühlere Reservoir?

2 a) Der Wirkungsgradη einer Carnot-Maschine hängt von den Temperaturen der Wärmereservoirs ab. η= T H T N T H = 550K 850K = 0,647 b) Die mittlere Leistung ist die pro Arbeitszyklus aufgewandte Arbeit im Verhältnis zur verbrauchten Zeit P= W t = 1200J 0,25s = 4800W c) Daη= W ist, folgt: Q H Q H = W η = 1200J 0,647 = 1855J d) In einem Carnot-Prozess ist die geleistete Arbeit gleich der Differenz der beiden übertragenen Wärmeenergien, Q H Q N : Q N = Q H W =655J e) Für die Entropieänderung gilt: S= Q T Somit gilt für den positiven Energieübertrag: S H = Q H= 2,18 J T H K Und für den negativen Energieübertrag: S N = Q N T N = 2,18 J K Beachte: Die resultierende Entropieänderung im Kreisprozess ist Null! 3. Kritisches Volumen und der Binnendruck Wie groß ist das kritische Volumen und der Binnendruck eines Mol CO 2? Hinweis: Im Vorlesungsskript sind einige kritische Daten dieses Gases angegeben. Es gilt die van der Waals Gleichung für reale Gase p eff V eff = p+ a V Vm 2 m b = R T Betrachtet man die kritische Isotherme (siehe Skript) so ist nur eine Lösung für V k zulässig, wenn das dreifache des Kovolumens verwendet wird. 5 m3 m3 cm3 V k = 3 b= 3 4, = 1, = 128,46 mol mol mol Der Binnendruck ist der Zusatzterm in der van der Waals Gleichung: N m 4 P binnen = a = a 0,366 V 2 9b 2= mol 2 k 9 4, m 3 mol 2 = 2, Pa=221,5bar 4. Dampfdruck von Wasser a) Der Dampfdruck von Wasser bei T w = 60 C ist p 60 C = 199, 17 hpa. Bei welcher Temperatur siedet das Wasser bei Atmosphärendruck, wenn Sie die Clausius-Clapeyron-Gleichung benutzen? b) Was beobachten Sie, wenn Sie sich den 60 C heißen Topf mit dem Wasser in Inneren bei Zimmertemperatur anschauen? Die Verdampfungswärme von Wasser ist h v = 2257 kj kg.

3 a) Die Clausius-Clapeyron-Gleichung lautet dp dt = h v V v T. Damit kann man den Gleichgewichtspartialdruck von Wasserdampf neu berechnen. p 60 C = p partial e hv m mol RT w p partial = 4, hpa (Temperatur in Kelvin umrechnen; m mol = 18 g mol ) Jetzt kann die Gleichung umgestellt werden um die Siedetemperatur des Wassers bei Atmosphärendruck (p 0 = 1013 hpa) zu errechnen. T siede = h v m mol = 374,7K=101,55 C p R ln siede p partial b) Man beobachtet Wasserdampf über dem Topf. Dieser entsteht, da die Luftschicht oberhalb der Wasseroberfläche das verdampfende Wasser des Topfes aufnehmen kann. Steigt diese Luftschicht nach oben, so kühlt sie sich wieder ab. Das Wasser kondensiert und ist als Dampf sichtbar. 5. Wasser verdampft Ein Topf mit V= 1 dm 3 Wasser von T= 10 C wird auf einer Kochplatte mit einer Heizleistung von P= 2 kw erhitzt. Wann ist alles Wasser verdampft? Hinweis: Vernachlässigen Sie das Verdampfen des Wassers in der Zeit des Aufheizens bis zum Siedepunkt. Die Wärmekapazität des Wassers finden Sie im Skript. Um die Zeit zu berechnen, bis das vorhandene Wasser vollständig verdampft ist, muss die Verdampfungsenergie durch die Heizleistung geteilt werden. Die Heizenergie ist t= Q P = Q Heiz+ Q Verdampf P Q Heiz = m H2 O c H2 O T= 1kg 4, mit der Masse m H2 O=ρ H2 O V H2 O= 1000 kg m 3 0,001m 3 = 1kg. Die Verdampfungsenergie ist Damit ergibt sich eine Zeit von J kg K 90K=3, J Q HVerdampf = m H2 O h V = 1kg 2257 kj kg = 2, J t= Q P = Q Heiz+ Q Verdampf P = 1316,4s= 21,94min.

4 A. Isotherme Volumenänderung durch Wärmezufuhr Hausübungen Sie führen einem Mol eines idealen Gases die Wärmemenge Q=1kJ zu. Das Gas wird vor Beginn der Wärmezufuhr von einem beweglichen Kolben in einem Zylinder mit einer Querschnittsfläche A Z = 100 cm 2 und der Länge l Z = 100 mm eingeschlossen. Die Temperatur des Gases ist T Gas = 500 C. Da das Gas auf konstanter Temperatur gehalten wird, dehnt es sich aus. a) Welche Arbeit verrichtet das Gas dabei? b) Um wieviel bewegt sich der Kolben während der Wärmezufuhr? a) Bei isothermen Prozessen ändert sich die innere Energie eines Gases nicht, die zugeführte Wärme plus zugeführte Arbeit sind Null. W Gas = Q= 1kJ (negativ: Gas verrichtet Arbeit) b) In isothermen Prozessen wird die zugeführte Wärme beschrieben durch W ex p (T, V 1, V 2 )= N Gas k B T ln V2 man diese Gleichung um, so erhält man die Kolbenstellung nach der Wärmezufuhr. V Gas,n V Gas,v = exp W ex p = 1,168 N A k B T = V Gas,n = 1,168 V Gas,v A Z l Zn = 1,168 A Z l Z l Zn = 1,168 l Z = 116,8mm V 1. Stellt Der Kolben bewegt sich also um 16,8mm heraus. B. Erfindung einer Wundermaschine? Ein Kollege von Daniel Düsentrieb behauptet, eine Maschine entwickelt zu haben, die zwischen Zimmertemperatur (20 C) und dem Siedepunkt von Wasser arbeitet und einen thermischen Wirkungsgrad von 75% hat. Glaubt Daniel Düsentrieb seinem Freund? Daniel Düsentrieb weiß, dass eine Maschine höchstens dien Wirkungsgrad einer Canot-Maschine haben kann. Daher überprüft er die Angaben seines Kollegen am canotschen Wirkungsgrad. Allgemein gilt für den Wirkungsgradη= W Kreis. In einem Carnot-Prozess kann der Wirkungsgrad aber leichter ausgerechnet Q werden durch: η= T H T N 373,15K 293,15K = = 0,214 T H 373,15K Die von Daniel Düsentriebs Kollegen angepriesene Maschine ist also unmöglich! Achtung: Wenn man das Ganze fälschlicherweise in C rechnet, bestätigt man den Kollegen! Thermodynamik immer in Kelvin rechnen!

5 C. Wasser kondensiert Das in Übungsaufgabe 5 verdampfte Wasser wird so in einen weiteren Liter Wasser mit der Temperatur T= 10 C eingeleitet, dass es dort kondensieren kann. a) Als Vorübung berechnen Sie die Mischungstemperatur, wenn Sie ein Gramm Wasserdampf in einen Liter Wasser von T = 10 C einleiten. b) Wie hoch ist der Temperaturanstieg des Wassers, wenn Sie nun den gesamten Wasserdampf eines Liters Wasser einleiten? c) Welche Menge Dampf kondensiert? Diese Aufgabe ist definitiv keine, die durch stures Einsetzen von Zahlen in Formeln gelöst werden kann. Gefordert ist hier besonders das Verständnis, welche Wärme- und Stoffmengen hier im Spiel sind und wie der Wärmeausgleich stattfindet. a) Diese Teilaufgabe soll den Vorgang des Einkondensierens von Wasserdampf nahebringen: Bei der Kondensation wird die Wärmemenge (Kondensationswärme/ - enthalpie) freigesetzt, die zur Erwärmung des Wasser führt: Diese Wärmemenge heizt das Wasser zunächst um Q V = m Dampf h V = 2, J Q V T= = 0,539K m H2 O c H2 O auf. Das heißt, dass das Wasser jetzt auf einer Temperatur von T H2 O, z= 10,539 C. Jetzt liegen also vor: 1 kg Wasser der Temperatur T H2 O, z und 1 g Wasser von 100 C, die sich jetzt noch vermischen: T mix = m H 2 O c H2 O T H2 O, z+ m Dampf c H2 O T Dampf m H2 O c H2 O+ m Dampf c H2 O = 10,628 C b) Analog zur ersten Teilaufgabe: zuerst Wärmemenge berechnen, die zum Aufheizen benötigt wird. Q H = m H2 O c H2 O T= 3, J Wärmemenge, die maximal bei der Kondensation frei werden kann: Q V = m H2 O h V = 2, J Da die maximale Kondensationswärme Q V größer ist als die zum Erhitzen des Wasser nötige Q H - höher als die Siedetemperatur lässt sich das Wasser nicht erhitzen - ist der Temperaturanstieg also 90 C. c) Es kondensiert nur die zu Q H äquivalente Menge Dampf: m Kondensat = Q H h V = 0,167kg alternativ: Man kondensiert zunächst den 1 kg Wasserdampf und kühlt das Wasser auf 10 C ab. Mit der dabei frei werdenden Wärmemenge Q V + Q H erhitzt man jetzt die 2 kg Wasser von 10 C auf 100 C und verdampft mit der verbleibenden Wärme einen Teil des Wassers. Damit berechnet man die Masse des Dampfes: Q H2 = 2 Q V = 7, J m Dampf = Q V+ Q H Q H2 h V = 0,833kg das heißt im Vergleich zur Übungsaufgabe sind als Kondensat nicht verdampft: m H2 O m Dampf = 0,167kg

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