Juni 2016 Aufgabe 1: Kann die Menschheit die Ostsee mit einem Schluck leertrinken?

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1 Juni 2016 Aufgabe 1: Kann die Menschheit die Ostsee mit einem Schluck leertrinken? Annika geht mit ihrem Großvater auf die Seebrücke am Schönberger Strand und staunt über die Größe des Meeres. "Opa, wenn nun alle Menschen, also alle Menschen, die auf der ganzen Welt leben, hier her kämen und wenn jeder einen Schluck Oststeewasser trinken würde, ob dann wohl kein Wasser mehr übrig wäre? Oder ob das Wasser nur ein bisschen flacher wäre?" a) Überlege, welche Angaben bekannt sein müssen, um Annikas Frage beantworten zu können und welche vereinfachenden Annahmen für die Berechnung eines Schätzwertes sinnvoll sind. Recherchiere die relevanten Angaben und berechne einen Schätzwert, mit dem Annikas Frage beantwortet werden kann. Veranschauliche die Ergebnisse. b) Variiere die Fragestellung: Diskutiere Probleme, die einer praktischen Umsetzung von Annikas Idee im Weg stünden und veranschauliche die Ergebnisse.

2 MA-THEMA Juni Aufgabe 2: Primzahlen (2) Primzahlen sind Zahlen, die genau zwei verschiedene Zahlen als Teiler haben, nämlich sich selbst und 1. Die 1 ist laut Definition keine Primzahl. Die kleinsten Primzahl sind also 2 und 3. In dieser Aufgabe geht es um ein Verfahren, mit dem neue Primzahlen bestimmt werden können, sowie um einen berühmten Beweis von EUKLID. a) Berechne jeweils den Wert des Terms und setze die Zahlenfolge fort: ; ; ; K Untersuche, ob das Verfahren neue Primzahlen erzeugt, also solche, die in den weiter vorn stehenden Termen der Zahlenfolge nicht vorkommen. Experimentiere mit anderen Primzahlen im ersten Term der Zahlenfolge. b) EUKLID hat den Satz 'Es gibt unendlich viele Primzahlen' ausgesprochen. Er hat diesen Satz durch Widerspruch bewiesen. Dazu nimmt man an, das Gegenteil der Aussage sei wahr. Angenommen, es gäbe nur endlich viele Primzahlen. Dann könnte man sie alle aufschreiben: p 1, p 2, p 3,..., p n-1, p n. Dabei wäre p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5 usw., und p n wäre die größte existierende Primzahl. Nun betrachtet man den Term p1 p2. Dieser Term ist durch durch jede der aufgeführten Primzahlen teilbar. Anmerkung: Die nächstgrößere durch 2 teilbare Zahl wäre dann p1 p Die nächstgrößere durch 3 teilbare Zahl wäre dann p1 p Weiter im Beweis: Man betrachtet den Term p1 p Dieser Term ist durch keine der bereits aufgeführten Primzahlen teilbar. Formuliere die Schlussfolgerung, die im Widerspruch zu der Annahme steht, es gäbe nur endlich viele Primzahlen, und vollende den Beweis. c) Im letzten Beweisschritt wird häufig die Schlussfolgerung falsch formuliert. Deshalb hat LIETZMANN mit einem Augenzwinkern den folgenden falschen Satz ausgesprochen: Es gibt sogar unendlich viele Primzahlzwillinge. LIETZMANN schlägt vor, für den Beweis durch Widerspruch anzunehmen, es gäbe nur endlich viele Primzahlen, nämlich p 1, p 2, p 3,..., p n-1, p n. Nun solle man die daraus konstruierten Terme p1 p2 + 1 und p1 p2-1 betrachten. Diese Terme seien größer als jede der der im Term aufgeführten Primzahlen, seien aber durch keine dieser Primzahlen teilbar. Sie müssten also selbst Primzahlen sein und größer als die aufgeführten. Das stünde im Widerspruch zu der Annahme, es gäbe eine größe Primzahl p n. Zeige, wo der Denkfehler in diesem falschen Beweis liegt. d) Es ist K n = n! (Lies: "n-fakultät"). Begründe die folgende Aussage: Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es eine Primzahl p, die zwischen n und n! + 1 liegt, also n < p < n! + 1.

3 MA-THEMA Juni Aufgabe 3: Winkelbestimmung (16) s S C g w a w s Das Dreieck ABC wird durch Drehung um 180 (bzw. Punktspiegelung) mit dem Zentrum B abgebildet, das Bild ist das Dreieck A'BC'. Im Dreieck ABC ist die Gerade a w die Winkelhalbierende des Winkels <) BAC. Im Dreieck A'BC' ist die Gerade w g ' Halbierende des Winkels <) A'C'B. In beiden Dreiecken ist Gerade w b ' Halbierende des Winkels <) C'BA' bzw. des Winkels <) CBA. Die Geraden und E A 115 W 50 wg' schneiden sich im Punkt S. Der Winkel <) BAW hat das Maß 50. Der Winkel <) SWE hat das Maß 115. a) Bestimme die Winkelmaße a', b', g, s und w durch geometrische Überlegungen. Nachmessen ist möglich, gilt aber nicht als exakte Begründung. b) Die Gerade w s ist Winkelhalbierende des Winkels <) ASC'. Untersuche, wie man die Lage der Punkte A bzw. C verändern muss, damit die Gerade w s durch den Punkt B geht. Begründe dein Ergebnis. Tipp: Verwende für die Untersuchung ein dynamisches Geometriesystem wie z.b. GeoGebra. B b' w g' w b' W' a' w A' E' C' wa

4 MA-THEMA Juni Aufgabe 4: heronische Parallelogramme Das pythagoreische Tripel beschreibt das rechtwinklige blaue Dreieck, dessen Seitenlängen ganze Zahlen sind. Das gelbe Dreieck wird durch beschrieben, das Zehnfache des bekanntesten pythagoreischen Tripels Das gelbe Dreieck ist also rechtwinklig und besitzt ebenfalls eine Kathete mit der Länge 40. Durch Zusammenfügen der beiden rechtwinkligen Dreiecke entsteht 72 mm ein heronisches Dreieck. Es besitzt die ganzzahligen Seitenlängen Weil die Höhe zur Seite mit der Länge 72 mit 40 eine ganzzahlige Länge besitzt, ist der Flächeninhalt ebenfalls eine ganze Zahl. Im allgemeinen sind die Seitenlängen, die Höhen und der Flächeninhalt eines heronischen Dreiecks rationale Zahlen (siehe auch MA-THEMA August 2013, Aufgabe 4). Im Beispiel hat die Höhe bezüglich der 58 mm langen Seite die rationale Länge mm. 58 mm 42 mm 30 mm Das Bild rechts zeigt ein Parallelogramm, das in ähnlicher Weise aus zwei rechtwinkligen Dreiecken mit ganzzahligen Seitenlängen erzeugt wurde. Gibt man die Abmessungen in mm an, haben seine Seiten und seine Höhen ganzzahlige Längen. Deshalb soll es als heronisches Parallelogramm bezeichnet werden. a) Konstruiere mit Hilfe der Liste pythagoreischer Tripel (siehe Arbeitsmaterial auf der nächsten Seite) weitere Parallelogramme, deren Seitenlängen und Höhen in mm gemessen ganze Zahlen sind. Rechtecke sind trivale Lösungen, sie sollen nicht betrachtet werden. Untersuche, ob auch Rauten möglich sind. Beschreibe mögliche Vorgehensweisen, mit denen man erreicht, dass die Höhen nicht nur rational, sondern ganzzahlig sind. Gib die Abmessungen der kleinsten möglichen Parallelogramme mit ganzzahligen Längenmaßen in mm an. b) Konstruiere mit Hilfe der Liste heronischer Tripel (siehe Arbeitsmaterial auf der nächsten Seite) weitere Parallelogramme, deren Seitenlängen und Höhen in mm gemessen ganze Zahlen sind. 50 mm c) Untersuche, ob es Parallelogramme gibt, bei denen die Längenmaße von Seiten, Höhen und Diagonalen ganze Zahlen sind. 40 mm 40 mm

5 MA-THEMA Juni Arbeitsmaterial: Liste pythagoreischer Tripel sowie heronischer Tripel Es gilt x + y = z. Suche x k = xn oder x k = yn. Setze a = zk, b = z n sowie c = y k + yn oder c = y k - yn x y z x y z a b c a b c