Mathematik für Biologen und Biotechnologen

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1 L EHRSTUHL A FÜR MATHEMATIK Prof. Dr. S. Walcher Dil.-Gyml. W. Hermanns Aachen, den 4. November 2006 Mathematik für Biologen und Biotechnologen Testaufgaben zu den ersten drei Übungen Multile-Choice Aufgabe Für einen biochemischen Versuch benötigen Sie einen 20%igen Alkohol. Ihnen steht aber nur ein 75%iger Alkohol zur Verfügung. Wie viel müssen Sie von dem 75%igen Alkohol mit destilliertem Wasser mischen, um die gewünschte Alkoholkonzentration zu erhalten? Wir legen folgende Bezeichnungen fest: q : Menge des Endrodukts in ml Menge der Mischung in ml x : Menge der 75%igen Alkohollösung in der Mischung in ml y : Menge von destilliertem Wasser in der Mischung in ml Als erste Gleichung erhält man damit (i) x + y q. Um eine zweite Gleichung zu finden, berechnet man mit der Grundgleichung der Prozentrechnung P G die Prozentwerte der beiden Komoneneten: x 75 : Prozentsatz des Alkohols in der Alkohollösung y 0 : Prozentsatz des Alkohols in destilliertem Wasser Damit erhält man für P x : Menge des Alkohols in x ml Alkohollösung, P y : Menge des Alkohols in y ml destilliertem Wasser, P x x 75 und P y y 0 0. Weiterhin sei : Prozentsatz des Alkohols in q ml Mischung 20. Der absolute Alkoholgehalt in der Mischung ist daher P q q 20.

2 Wir erhalten daraus eine zweite Gleichung (ii) P P x + P y q 20 x 75 Setzen wir dies in die Gleuchung (i) ein ergibt sich x q 4 5 q. Als Ergebnis können wir daher festhalten: y ( 4 5 ) q 5 q. Mische 4 Teile der 75%igen mit Teilen destilliertem Wasser. Aufgabe 2 Bestimmen Sie alle x R, die die folgende Gleichung erfüllen: (2x) 2 8x 48 3 x Wir machen wegen des Betrages eine Fallunterscheidung. (Beachte: x x darf nicht gelten, da im Nenner sonst Null steht. Daher machen wir die Fallunterscheidungen x 2 9 > 0 und x 2 9 < 0.). Fall: Sei x 2 9 > 0 x 2 > 9 x > 3 x < 3 x > 3. In diesem Fall gilt dann x 2 9 x 2 9.

3 Für die Gleichung erhalten wir dann (2x) 2 8x 48 3 x 2 9 (2x) 2 8x 48 3(x 2 9) 6 6 4x 2 8x (x 2 9) x 2 2x 2 2(x 2 9) x 2 2x 2 2x 2 08 x 2 + 2x 96 0 x x q-formel x x x + x + x ( 057) }{{} fällt weg, da > 3 und < x 057 x x In diesem Fall ergibt sich insgesamt die smenge ( + 057). }{{} < 3 2. Fall: Sei L { ( 057)}. x 2 9 < 0 x 2 < 9 x < 3 x > 3 x < 3. In diesem Fall gilt dann x 2 9 (x 2 9) 9 x 2.

4 Für die Gleichung erhalten wir dann (2x) 2 8x 48 3 x 2 9 (2x) 2 8x 48 3(x 2 9) 6 6 4x 2 8x (x 2 9) x 2 2x 2 2(x 2 9) x 2 2x 2 2x x 2 2x 20 0 x x q-formel x x x x x x x 3 ( + 56) }{{} fällt weg, da >3 In diesem Fall ergibt sich insgesamt die smenge Wir halten daher als gesamte smenge L 2 { 3 ( 56)}. x 3 ( 56). }{{} > 3 und <3 L ges. L L 2 { 3 ( 56); ( 057)}. Aufgabe 3 5ml einer Substanz sollen in Wasser gelöst werden, so dass 3l entstehen. Wie viel Prozent der Substanz enthält die? Wir legen folgende Bezeichnungen fest: G : Menge des Endrodukts in ml Menge der in ml 3000 ml P : Menge der Substanz in der in ml : Prozentsatz der Substanz in der (Ist gesucht!!!)

5 Wir benutzen die Grundgleichung der Prozentrechnung P G Die enthält 0, 5% der Substanz. Aufgabe 4 P G , 5. Wie viel destilliertes Wasser muss man zu 0ml einer Substanz hinzufügen, um eine 4%ige dieser Substanz zu erhalten? : Wir legen folgende Bezeichnungen fest: G : Menge des Endrodukts in ml Menge der in ml P : Menge der Substanz in der in ml 0 ml : Prozentsatz der Substanz in der 4 Gesucht ist: W : Menge des destillierten Wassers in der in ml G 0 in ml Wir benutzen die Grundgleichung der Prozentrechnung P G Damit ergibt sich P G 4 0 G 0 G W G , um G zu bestimmen: Man muss 0 ml einer Substanz 240 ml destilliertes Wasser hinzufügen, um eine 4%ige dieser Substanz zu erhalten. Schriftliche Aufgaben Aufgabe 5 Seien a, b, c,, q R,, q > 0, a ±b. Berechnen bzw. vereinfachen Sie folgende Terme. a) a 4 c 2a 2 b 2 c+b 4 c c 2 (a b)(a 2 +2ab+b 2 ), b) (2 6 q 3 ) 3 (2 5 q 2 ) 4.

6 a) Es gilt b) Es gilt a 4 c 2a 2 b 2 c + b 4 c c 2 (a b)(a 2 + 2ab + b 2 ). binom. F. 2. binom. F. 3. binom. F. kürzen c(a 4 2a 2 b 2 + b 4 ) c 2 (a b)(a + b) 2 c(a 2 b 2 ) 2 c 2 (a b)(a + b) 2 c((a b)(a + b)) 2 c 2 (a b)(a + b) 2 c(a b) 2 (a + b) 2 c 2 (a b)(a + b) 2 a b. c (2 6 q 3 ) 3 (2 5 q 2 ) q q q q. Aufgabe 6 Für welche x R gelten folgende Ungleichungen? Geben Sie die gesamte smenge an! (i) 2 x + 2x +, (ii) x 2 + x + 3 5, (iii) x 8 + x 7. (i) Es gilt 2 x + 2x + 2 x + 2x + 2 x + x +. Wegen des Betrages machen wir eine Fallunerscheidung.. Fall: Sei x + 0 x und daher auch x + x +. Es gilt daher x + x + x + x + 0 0, wahre Aussage, d. h. alle x erfüllen die Ungleichung, also L [ ; ) {x R x }. 2. Fall: Sei x + < 0. In diesem Fall gilt immer x + x +,

7 da x + 0 immer gilt, d. h. L 2 ( ; ). Insgesamt erhalten wir daher als smenge L ges. L L 2 [ ; ) ( ; ) R. (ii) Wir machen eine Fallunterscheidung wegen des Betrages.. Fall: Sei x 2 0 x 2, also x 2 x 2 und zudem auch Damit ergibt sich Schneller: Da für x 2 folgt Somit erhalten wir in diesem Fall x , also x + 3 x + 3. x 2 + x x 2 + x x + 5 2x 4 x 2. x + 3 x , x 2 + x }{{} 0 L [2; ) {x R x 2}. 2. Fall: Sei x 2 < 0 x < 2, also x 2 (x 2) 2 x. 2. Fall: Sei x x 3, also x + 3 x + 3. dann gilt x 2 + x x + x , ist immer erfüllt. Da gleichzeitig x < 2 gilt, erhalten wir L 2 [ 3; 2). 2.2 Fall: Sei x + 3 < 0 x < 3, also x + 3 (x + 3) x 3. dann gilt x 2 + x x x 3 5 2x 5 2x 6 x 3.

8 Damit ergibt sich L 3 ( ; 3] {x R x 3}. Als gesamte smenge ergibt sich daher L ges. L L 2 L 3 R. (iii) Wir machen eine Fallunterscheidung wegen des Betrages.. Fall: Sei x 8 0 x 8, also x 8 x 8. Dann gilt x 8 + x 7 x 8 + x 7 2x 5 x 7, 5. Da in diesem Fall aber x 8 gelten soll, existiert in diesem Fall keine der Ungleichung. 2. Fall: Sei x 8 < 0 x < 8, also x 8 (x 8) 8 x. Dann gilt x 8 + x 7 8 x + x 7 8 7, falsche Aussage. Daher existiert in diesem Fall keine der Ungleichung. Somit folgt insgesamt (Schneller: Es gilt L ges.. x 8 + x 7 x 8 7 x. Es muss also 0 x 8 7 x und daher x 7 auf jeden Fall gelten. Für x 7 gilt aber x 8 8 x, also x 8 + x 7 8 7, falsche Aussage.) Aufgabe 7 Die emfohlene Tagesdosis an Vitamin C beträgt 60mg. Es stehen zwei Fruchtsäfte A und B zur Verfügung. In 200ml von A sind 60mg, in 50ml von B sind 6mg Vitamin C enthalten. a) Wie müssen die Säfte A und B gemischt werden, wenn in 800ml der Mischung genau 90mg Vitamin C enthalten sein sollen? b) Wie viel mg Vitamin C müssen 750ml Saft enthalten, damit der Prozentsatz an Vitamin C 0, 02% beträgt? Gehen davon aus, dass mg gleichzusetzen ist mit 0 ml!

9 In Übung 2, Aufgabe 8 (Präsenzaufgabe) haben wir festgelegt und erhalten: Ü2,A8, a): Es gilt die Grundgleichung der Prozentrechnung P P G G. Dabei ist G der Grundwert, P der Prozentwert und der Prozentsatz. Für Saft A ergibt sich damit: P A 60 mg 60 0 ml 0, 06 ml und G A 200 ml. Damit erhalten wir für A den Prozentsatz: Für Saft B ergibt sich damit: A 0, , , 03. P B 6 mg 6 0 ml 0, 006 ml und G B 50 ml. Damit erhalten wir für A den Prozentsatz: B 0, , 06 5 Saft A enthält also 0, 03% und Saft B 0, 004% Vitamin C. a) Wir legen die Bezeichnungen fest: G : Menge der Mischung in ml 800 ml, 0, 004. P : absoluter Vitamin-C-Gehalt in der Mischung 90 mg 0, 09 ml, x : Menge von Saft A in der Mischung in ml, y : Menge von Saft B in der Mischung in ml. Somit erhalten wir als erste Gleichung (I) x + y G x + y 800 y 800 x. Die benötigten Prozentsätze sind in Ü2,A8, a) berechnet worden: Somit erhalten wir die zweite Gleichung A 0, 03 und B 0, 004 (II)P P x + P y x 0, 03 + y 0, 004 0, 09.

10 Setzen wir Gleichung (I) in Gleichung (II) ein, ergibt sich 0, 03 0, 004 x + (800 x) 0, 09 0, 03 0, 004 x ( ) 0, , 004 x 0, 026 x 0, 058 Damit ergibt sich für y in Gleichung (I) 0, ,. 0, 026 y 800 x , 576, 9. Nimmt man 223, ml von Saft A und 576, 9 ml von Saft B, erhält man 800 ml Saft, der 90 mg Vitamin C enthält. b) Wir setzen G 750 ml, 0, 02. Mit der Grundgleichung der Prozentrechnung erhält man P 0, ( ml) 5 ( ml) 50 0 ( ml) 50 ( mg). In 750 ml Saft müssen 50 mg Vitamin C enthalten sein, damit der Prozentsatz 0, 02% beträgt. Aufgabe 8 Eine 0.75l Flasche Mineralwasser enthält 88mg Calcium, 2mg Kalium, 68mg Natrium und 5mg Magnesium. a) Geben Sie die jeweiligen Anteile in Promille an. b) Wie viel Liter von diesem Mineralwasser muss ein erwachsener Mensch trinken, um seinen Tagesbedarf von 300mg Magnesium zu decken? Wir gehen davon aus, dass mg gleichzusetzen ist mit 0 ml! a) Es gilt (Promille) 0, %(Prozent). G : Menge des Mineralwassers 0, 75l 750 ml, P c : absolute Menge des Calciums im Mineralwasser 88 mg , 088 ml P k : absolute Menge des Kaliums im Mineralwasser 2 mg 0 2 0, 02 ml P n : absolute Menge des Natriums im Mineralwasser 68 mg , 068 ml

11 P m : absolute Menge des Magnesiums im Mineralwasser 5 mg 0 5 0, 05 ml Mit der Grundgleichung der Promillerechnung P P 0 0 G G erahlten wir c 0, , 2 (Promillesatz Calcium im Wasser) 0, 02 0 k 0, 06 (Promillesatz Kalium im Wasser) 750 0, n 0, 09 (Promillesatz Natrium im Wasser) 750 0, 05 0 m 0, 02 (Promillesatz Magnesium im Wasser) 750 Das Mineralwasser enthält 0, 2 Calcium, 0, 06 Kalium, 0, 09 Natrium und 0, 02 Magnesium. b) Es gilt: (I) 750 ml Mineralwasser enthalten 5 mg Magnesium. (II) 750 : 5 50 ml Mineralwasser enthalten mg Magnesium. (III) ml 5l Mineralwasser enthalten 300 mg Magnesium. Um seinen Tagesbedarf von 300 mg Magnesium zu decken, muss ein Mensch 5l des Mineralwassers trinken.