Forschungsstatistik I

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1 Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Taubertsberg R (Persike) R (Meinhardt) Sprechstunde jedereit nach Vereinbarung Forschungsstatistik I Dr. Malte Persike persike@uni-main.de WS 008/009 Fachbereich Soialwissenschaften Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Main

2 Der 1-Stichproben t-test Test eines Mittelwerts gegen einen Populationskennwert

3 Problem Vergleichsgröße (Kennwert) Messgröße (metrisch) Beispiel c J Anahl der gefundenen Zielelemente in einem Konentrationsleistungstest Frage Sind die Jungen eines Mathematikleistungskurses besser als der typische mittlere Wert für Gymnasiasten?

4 Stichprobe Wir untersuchen 45 Jungen Beispieldaten J J 17. s J 106 Alle c 15.3 Frage Gibt es einen Leistungsunterschied wischen den Jungen im Mathematikleistungskurs und dem Mittel aller Gymnasiasten?

5 Strategie Annahme Ermittle die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines mittleren Wertes c unter der Annahme, dass die Stichprobe aus einer gegebenen Population stammt. Die Jungen kommen aus einer besseren Population. Null-Hypothese Alternativ- H : 0 c μ (geschätt aus ) H : Hypothese 1 c< μ (geschätt aus ) Urteil Ist der beobachtete Mittelwertsunterschied unter der H 0 sehr unwahrscheinlich (höchstens 5%), so lehnen wir die H 0 ab, und sehen die H 1 als die bessere Alternative an.

6 Sampling Population der Jungen Stichprobe des Umfangs N J J Tue dies k - mal: Mittelwertsdifferen 1 = 1 N = 1 N 3 1 N 1 N k = = ( ) 1 i k Verteilung der Mittelwerte

7 Central Limit Theorem Die Verteilung von Differenen von Mittelwerten nähert sich mit wachsendem Umfang der Sample Stichproben einer Normalverteilung. Für N > 30 ist die Approimation gut. Inferenstat. Schluss f Wahrscheinlichkeitsdichte ( ) σ Es gilt: μ = σ (werden geschätt) 0.00 σ σ μ σ σ c In der theoretischen Verteilung der Mittelwerte wird die Wahrscheinlichkeitsbestimmung vorgenommen. Sie liegt dem inferenstatistischen Schluss ugrunde.

8 Schätung aus Stichprobe Für die Populationsvarian verwendet man eine Schätung aus den Daten der Stichprobe: ˆ σ = N N J J s J 1 wobei und die Stichprobenvarianen sind s M s J Dann gilt für die Varian der Mittelwerte bw. deren Standardfehler Schätformel ˆ σ ˆ σ = = N sj N 1 J bw. ˆ σ ˆ σ = = N s N J J 1 (Beste Schätung des Standardfehlers aus Stichprobendaten)

9 f () f () Wahrscheinlichkeitsdichte σ Wahrscheinlichkeitsdichte σ = _ Normalverteilung c = μ s _ Standard Normalverteilung Die _ Transformation übersett die Rohdatenskala in die Standardskala ( = 0, σ = 1)

10 c μ c - Skala der Differenen von = = Mittelwerten σ s N 1 J Unter der H0 gilt c μ Prüfgrösse Dann ist normalverteilt für N > 30 und man bestimmt Transformation σ σ 0 σ ] c σ 1 ] 0 1

11 f () t 95% Prüfgrösse = c μ σ % α / Annahmebereich 1 α Ablehnungsbereich > t 1 α Signifikanniveau α = 0.05 ( ) P > α = α 1 Testen um Signifikanniveau α: Ist > 1-α?

12 c μ 1. Prüfgrösse Berechne = σ. Kritischer - Wert 3. Entscheide Ermittle kritischen Wert 1-α für ein α Fehlerniveau A. Gilt > 1-α Ablehnung von H 0 (die Mittelwerte der J. und M. sind signifikant verschieden) B. Gilt < _ 1-α Beibehalten von H 0 (die Mittelwerte der J. und M. unterscheiden sich ufällig)

13 Differen der Mittelwerte J s J 106 c c J = -.1 Standardfehler 106 ˆ σ = = Teste die Unterschreitungswahrscheinlichkeit Prüfgrösse und Kritischer Wert.1 = = α = 0.95 = Entscheidung > d.h. > 1-α H 1 ablehnen Der Mittelwert der Jungen derselben Population entstammen (unterscheidet sich nicht signifikant)

14 Prinip der Testung Testung der Gültigkeit der Nullhypothese über die Bestimmung der Auftretenswahrscheinlichkeit von c in der theoretischen Verteilung der Mittelwerte mit dem Erwartungswert μ = Fall 1: N J > 30 = c μ σ (standardnormalverteilt) Fall : N J < 30 t = c μ σ (t verteilt mit N J -1 Freiheitsgraden (df))

15 Die t-verteilung 0.4 t- Verteilung mit df = Normalverteilung Kritische Werte sind bei der t- Verteilung im Vergleich ur Normalverteilung größer t1 α =.3 1 α = 1.65 Ablehnung der H 0 erst bei größeren Werten der Prüfgröße

16 Differen der Mittelwerte J c s J c J = N = 11 Standardfehler 106 ˆ σ = = Teste die Unterschreitungswahrscheinlichkeit Prüfgrösse und Kritischer Wert t.1 = = 1.35 t α = t 0.95; df=10 = -.3 Entscheidung > -.3 d.h. t > t 1-α H 1 ablehnen Der Mittelwert c kann derselben Population entstammen (unterscheidet sich nicht signifikant)

17 Der -Stichproben t-test für unabhängige Stichproben Vergleich weier Mittelwerte

18 Problem Gruppierungsvariable Messgröße (metrisch) Beispiel Geschlecht Anahl der gefundenen Zielelemente in einem Konentrationsleistungstest M J Frage Unterscheidet sich die Leistung von Mädchen und Jungen im statistischen Mittelwert?

19 Stichprobe Wir untersuchen 40 Mädchen und 45 Jungen Beispieldaten Geschlecht M J M 4.1 s M 173 J 17. s J 106 =Δ M J = 6.9 Frage Gibt es wirkliche Leistungsunterschiede wischen Jungen und Mädchen, oder ist der gefundene Unterschied rein ufällig?

20 Strategie Annahme Ermittle die Wahrscheinlichkeit für den beobachteten Mittelwertsunterschied unter der Annahme, dass beide Gruppen in der Population denselben Mittelwert besiten Die Populationsmittelwerte von Jungen und Mädchen sind gleich Null-Hypothese H : 0 μj = μm Alternativ- H Hypothese : 1 μj μm Urteil Ist der beobachtete Mittelwertsunterschied unter der H 0 sehr unwahrscheinlich (höchstens 5%), so lehnen wir die H 0 ab, und sehen die H 1 als die bessere Alternative an.

21 Sampling Population der Jungen Stichprobe des Umfangs N J J Tue dies k - mal: Population der Mädchen Mittelwertsdifferen Δ = M Δ = J 1 M 1 J 1 Δ = M J Δ = k Mk Jk M Stichprobe des Umfangs N M ( Δ Δ Δ Δ ) 1 i k Verteilung der Differenen von Mittelwerten

22 Central Limit Theorem Die Verteilung von Differenen von Mittelwerten nähert sich mit wachsendem Umfang der Sample Stichproben einer Normalverteilung. Für N > 30 ist die Approimation gut. Inferenstat. Schluss f ( Δ ) Wahrscheinlichkeitsdichte σ Δ Es gilt: μ Δ = 0 σ Δ (wird geschätt) 0.00 σ Δ σ Δ 0 σ σ Δ Δ Δ In der theoretischen Verteilung der Differenen von Mittelwerten wird die Wahrscheinlichkeitsbestimmung vorgenommen. Sie liegt dem inferenstatistischen Schluss ugrunde.

23 Unabhängigkeit Ist die Messvariable eine in beiden Populationen unabhängige ZV: σ σ Δ = + N M J M σ N J Gleichheit der Populationsvarian Jungen und Mädchen kommen aus derselben Population σ = σ = σ M J Standardfehler σ Δ 1 1 = σ + NM N J

24 Schätung aus Stichproben Für die Populationsvarian verwendet man eine Schätung aus den Daten beider Stichproben: Pooling ˆ σ N s + N s SAQ + SAQ = = N + N df + df M M J J M J M J M J wobei und die Stichprobenvarianen sind s M s J Dann gilt Schätformel 1 1 ˆ σ NM sm NJ sj = + + Δ N + N N N M J M J (Beste Schätung des Standardfehlers aus Stichprobendaten)

25 f () f () Wahrscheinlichkeitsdichte σ Wahrscheinlichkeitsdichte σ = _ Normalverteilung = s _ Standard Normalverteilung Die _ Transformation übersett die Rohdatenskala in die Standardskala ( = 0, σ = 1)

26 - Skala der Differenen von Mittelwerten = Δ μ σ Δ Δ Unter der H0 gilt μ Δ = 0 Prüfgrösse Dann gilt: Δ = ist standardnormalverteilt σ Δ Transformation [ ] Δ σ Δ σ Δ 0 σ Δ σ Δ [ ] 1 0 1

27 f () t 95% Prüfgrösse = Δ σ Δ.5% % α / 1 α / Ablehnungsbereich < 1 α / Annahmebereich 1 α / Ablehnungsbereich > t 1 α / Signifikanniveau α = 0.05 ( ) P > α = α 1 / Testen um Signifikanniveau α: Ist > 1-α/?

28 1. Prüfgrösse Berechne = Δ σ Δ. Kritischer - Wert Ermittle kritischen Wert 1-α/ für ein α Fehlerniveau 3. Entscheide A. Gilt > 1-α/ Ablehnung von H 0 (die Mittelwerte der J. und M. sind signifikant verschieden) B. Gilt < _ 1-α/ Beibehalten von H 0 (die Mittelwerte der J. und M. unterscheiden sich ufällig)

29 Differen der Mittelwerte M 4.1 s M 173 J M J 17. s J 106 =Δ = 6.9 Standardfehler Prüfgrösse und Kritischer Wert Entscheidung ˆ σ Δ = + = = = α/ = = > 1.96 d.h. > 1-α/ H 0 ablehnen Die Mittelwerte entstammen nicht derselben Population (unterscheiden sich signifikant)

30 Prinip der Testung Testung der Gültigkeit der Nullhypothese über die Bestimmung der Auftretenswahrscheinlichkeit von Δ in der theoretischen Verteilung der Differenen von Mittelwerten mit dem Erwartungswert μ Δ = 0 Fall 1: N M + N J 50 = Δ μ σ Δ Δ (standardnormalverteilt) Fall : N M + N J < 50 t = Δ μ σ Δ Δ (t verteilt mit N M + N J - Freiheitsgraden)

31 Differen der Mittelwerte M 4.1 s M 173 J M J 17. s J 106 =Δ = 6.5 Standardfehler Prüfgrösse und Kritischer Wert Entscheidung ˆ σ Δ = + = t = = 1.99 t α/ = t 0.975; df=43 = <.63 d.h. t > t 1-α/ H 1 ablehnen Die Mittelwerte entstammen nicht verschiedenen Populationen (unterscheiden sich nicht signifikant)

32 Varianhomogenität a. Die Populationsvarianen die beiden Stichproben u Grunde liegen, müssen gleich (homogen) sein. (Prüfung mit geignetem Verfahren) Unabhängigkeit Verletungen b. Die Messeinheiten innerhalb jeder Stichprobe müssen unabhängig sein. c. Die Messeinheiten beider Stichproben dürfen nicht teilweise paarweise uuordnen sein. Der Test ist relativ robust gegen Verletungen der Varianhomogenität. Verletungen der Unabhängigkeit (b.) führen ur Ungültigkeit der Prüfgrösse, der Unabhängigkeit (c.) je nach Höhe der Korrelationen u progressiven (kleine Korr.) oder u konservativen Entscheidungen (hohe Korr.).