Farbige Stochastische Petri-Netze und ihr Einsatz in der Wirtschaft

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1 Farbige Stochastische Petri-Netze und ihr Einsatz in der Wirtschaft Sascha Bosse 7. November

2 Inhaltsverzeichnis 1. Zusammenfassung 2. Einleitung 3. Grundlagen i) Graphentheorie ii) Stochastik 4. Petri-Netze i) Woher und Warum ii) Beschreibung iii) Mathematische Definition iv) Begriffe v) Die Netze werden komplexer 5. Stochastische Petri-Netze 6. Farbige Stochastische Petri-Netze 7. Petri-Netze in der Wirtschaft i) Kommunikationsprotokoll ii) Hardwarechip iii) Elektronischer Geldtransfer iv) Erkenntnisse 8. Schlussfolgerungen 9. Quellen 2

3 1 Zusammenfassung Aufgrund ökonomischer Erwägungen ist es heute unumgänglich, wirtschaftliche Prozesse zu simulieren, um so Rückschlüsse auf das tatsächliche Verhalten eines Systems zu ziehen. So wurden Sprachen wie zum Beispiel die Unified Modelling Language (UML), Ereignisgesteuerte Prozessketten (EPK) und Petri-Netze entwickelt. Diese Arbeit empfiehlt Petri-Netze, aufgrund ihrer einfachen Notation und Analysierbarkeit, für diese Aufgaben. Dazu werden zunächst Petri-Netze beschrieben. Danach werden die heute in der Wirtschaft angewandten Ausprägungen, die Stochastischen Petri-Netze (SPN) und die Farbigen Stochastischen Petri- Netze (CSPN), beleuchtet. Um die Vorteile dieser Netze herauszustellen, werden Beispiele aus der Wirtschaft analysiert. 2 Einleitung In den 60er Jahren des vergangenen Jahrhunderts wurde die zunächst überschwängliche Euphorie der Softwarepioniere abrupt ins Gegenteil verkehrt. Erstmals wurde Softwareentwicklung teurer als die Entwicklung der Hardware. Große Softwareprojekte verfehlten die Erwartungen bei weitem und scheiterten. Für diese Krise gab es mehrere Gründe. Ein wichtiger Punkt war und ist dabei die Komplexität und Korrektheit der Software, eher Probleme der theoretischen Informatik. Ein weiterer Aspekt der Krise war die fehlende Qualität und die schwierige bis unmögliche Wartung der Systeme. Man erkannte nun, dass es notwendig ist, Software systematisch zu entwerfen und zu entwickeln. Als dieselben Probleme in allen Bereichen der Wirtschaft auftraten, wurde das Modellieren von Prozessen unentbehrlich für ambitionierte Firmen. So entstanden unter anderem Petri-Netze. Diese Netze, bei denen Bedingungen (Stellen) Ereignisse (Transitionen) provozieren, wurden besonders bedeutsam, weil ihr mathematisches Fundament erlaubte, sie auch mit mathematischen Algorithmen zu untersuchen. Aufgrund ihrer relativen Einfachheit wurden Petri-Netze jedoch bald weiterentwickelt; so entstanden zahlreiche Ausprägungen, die noch komplexere Abläufe darstellen konnten. Diese Arbeit konzentriert sich dabei auf die farbigen stochastischen Petri-Netze, eine Weiterentwicklung der einfachen Petri-Netze, wo mehrere ähnliche Prozesse in einem Modell vereint werden (farbig) und Transitionen nicht immer sofort und unbedingt schalten (stochastisch). Diese speziellen Netze haben vor allem in der Wirtschaft Anwendung gefunden, wo sie komplexe Vorgänge erfolgreich beschreiben. So konnte dieser Aspekt der Softwarekrise erfolgreich gelöst werden. 3 Grundlagen Um dieses Teilgebiet der Modellierung besser zu verstehen, ist es hilfreich, vorher einige Grundlagen einzuführen. Hierbei handelt es sich um kurze Einblicke in 3

4 die Graphentheorie und die Stochastik. 3.1 Graphentheorie Ein Graph ist ein Gebilde aus Knoten und Kanten, die miteinander verbunden sind (Bild 1). Obwohl sie grafisch dargestellt werden, sind Graphen eigentlich nur mathematische Paare, bei denen eine Menge die Knoten und eine die Kanten repräsentiert. Letztere Menge besteht aus ungeordneten Paaren von Knoten. Die hier wichtigen Ausprägungen der Graphentheorie sind die gerichteten und die bipartiten Graphen. Ein gerichteter Graph bezeichnet dabei einen Graphen, bei dem die Menge der Kanten nur geordnete Paare enthält (Bild 2). Bipartit heißt ein Graph, wenn die Menge der Knoten aus 2 verschiedenen Knotenarten besteht, bei denen gleiche Knoten nicht verbunden werden dürfen (Bild 3). Abbildung 1: ein Graph Abbildung 2: ein gerichteter Graph 4

5 Abbildung 3: ein bipartiter Graph Abbildung 4: Exponentialverteilte Dichtefunktion 3.2 Stochastik Die Stochastik, (griech. Kunst des Mutmaßens) ist eine Teildisziplin der Mathematik, die sich mit Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit beschäftigt. Hierbei werden alle Vorgänge untersucht, deren Ausgang nicht deterministisch ist, dass heißt ihr Ergebnis kann nicht sicher vorausgesagt werden. Für uns wichtig sind hierbei folgende Aspekte: - Die Wahrscheinlichkeit aller Ausgänge zusammen ist 1 - Das unmögliche Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0 alle Ereignisse haben eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 - Die Wahrscheinlichkeiten, dass ein Ereignis eintritt, und, dass es nicht 5

6 eintritt, sind zusammen 1 - Ein Zufallsereignis heißt exponentialverteilt, wenn die Dichtefunktion eine exponentiale Kurve ist (siehe Bild 4, abhängig vom Parameter λ. Dabeiist interessant, dass die Wahrscheinlichkeit hier zeitlos ist. Zum Beispiel ist die Dauer eines Telefongespräches so verteilt. So ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein schon vierminütiges Gespräch noch zwei Minuten dauert, genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gespräch überhaupt zwei Minuten dauert. 4 Petri-Netze 4.1 Woher und Warum 1961 veröffentlichte Carl-Adam Petri seine Dissertation Kommunikation mit Automaten. In ihm entwickelt und empfiehlt er die Petri-Netze als Sprache zur Simulation nebenläufiger Prozesse. Diese Sprache wurde in den Folgejahren von zahlreichen Theoretikern erweitert und von Praktikern angewandt. Petri-Netze sind aufgrund ihrer einfachen grafischen Notation sehr einfach zu verstehen. Trotzdem werden sie komplett von einer mathematischen Definition beschrieben. Dieser vermeintliche Gegensatz ist der größte Vorteil dieser Netze: Der Modellierer kann einfach ein Netz grafisch zusammenstellen, welches der Kunde trotz fehlender Vorkenntnisse sich einfach aneignen kann. Ist das Modell fertig, können komplizierte mathematische Algorithmen über das Netz angewandt werden, um so wichtige Eigenschaften zu ermitteln. Abbildung 5: einfaches Petri-Netz 6

7 4.2 Beschreibung Ein Petri-Netz ist ein gerichteter bipartiter Graph, bestehend aus Stellen und Transitionen. Stellen können markiert oder unmarkiert sein. Eine Transition schaltet (feuert), wenn alle Stellen in ihrem Vorbereich markiert und alle Stellen im Nachbereich unmarkiert sind. Dabei werden alle Marken im Vorbereich verbraucht und alle Stellen im Nachbereich markiert. Bild 5 stellt ein einfaches Petri-Netz dar. Sind Bestellungen vorhanden, werden diese bearbeitet und der entsprechende Artikel zugeschickt. Die Transitionen an Anfang und Ende wirken hierbei als Erzeuger und Vernichter. 4.3 Mathematische Definition Ein Petri-Netz ist ein 6-Tupel (S, T, F, K, M 0,W) S ist die Menge der Stellen {s 0,s 1,s 2,..., s n } T ist die Menge der Transitionen {t 0,t 1,t 2,..., t m } F (S T ) (T S) ist die Menge der Verbindungen K : S N ist die Kapazitätsfunktion M 0 : S N 0 ist die Anfangsmarkierung W : F N ist die Gewichtsfunktion S und T sind disjunkt. S,T und F endliche und nicht-leere Mengen. K, M 0 und W sind totale Funktionen. Nun können wir den Schaltvorgang genauer beschreiben. Eine Transition schaltet genau dann, wenn alle Stellen aus ihrem Vorbereich( t) entsprechend der Gewichtsfunktion ihrer ausgehenden Kante markiert sind, und im Nachbereich(t ) alle Stellen noch genug Kapazität haben, um entsprechend der Gewichtsfunktion ihrer eingehenden Kante Markierungen aufzunehmen. s t gilt : W (s, t) M(s) s t gilt : W (t, s) K(s) M(s) 4.4 Begriffe i) Kontakt Eine Kontaktsituation liegt vor, wenn eine Transition trotz erfüllter Vorbedingungen nicht schalten kann, weil im Nachbereich die Kapazitäten erschöpft sind (Bild 6). ii) Konflikt Ein Konflikt entsteht, wenn 2 Transitionen gemeinsame Vorbedingungen haben und nur alternativ schalten können. Dieser wird gleichverteilt aufgelöst (Bild 7). iii) Konfusion Entscheidet die Reihenfolge der Schaltungen darüber, ob ein Konflikt entsteht oder nicht, liegt eine Konfusion vor. 7

8 iv) Lebendigkeit Eine Transition heißt tot, wenn sie unter keiner Folgemarkierung M schalten kann. Sie heißt lebendig, wenn sie unter jeder Folgemarkierung M nicht tot ist. Ein Petri-Netz heißt lebendig, wenn jede Transition unter der Anfangsmarkierung lebendig ist. Ein Prozess sollte immer lebendig sein. v) Deadlocks und Traps Existiert eine Stelle, die, wenn sie einmal alle ihre Marken verloren hat, unter keiner Folgemarkierung mehr markiert sein wird, so heißt sie Deadlock. Dies ist in der Prozessmodellierung zum Beispiel eine Quelle. Eine Stelle, die, einmal markiert, nie alle Marken verliert, heißt Trap. In der Prozessmodellierung ist jede Senke ein Trap. vi) Beschränktheit Ein Netz heißt n-beschränkt, wenn es ein n gibt, so dass unter jeder Folgemarkierung von M 0 M(s) n gilt. Das heißt, die Menge der Marken kann nicht unendlich groß werden. Dies ist für die Modellierung mancher realer Prozesse unerlässlich. Abbildung 6: Kontaktsituation Abbildung 7: Konfliktsituation 8

9 4.5 Die Netze werden komplexer Es stellte sich schnell heraus, dass einfache Petri-Netze (low level nets) die komplexen Vorgänge in der Wirtschaft nicht vollständig beschreiben konnten. So waren Entwicklungen gefordert, um diese Lücke zu schließen, ohne die Vorteile zu verlieren. Ganz am Anfang einer langen Entwicklung standen die Bedingungs/Ereignis- Netze. Dies sind sehr einfache Petri-Netze, bei denen eine Stelle entweder markiert ist oder nicht (Bedingung). Die Transitionen sind so Ereignisse, die bestimmte Vorbedingungen verlangten und Nachbedingungen erzeugten. Formal bilden hierbei Kapazitäts- und Gewichtsfunktion auf 1 ab. Diese Netze wurden auf die noch heute gültige Definition der Petri-Netze, die oben erklärt wurde, erweitert: die Stellen/Transitionen-Netze Diese beiden Formen der Petri-Netze werden als low-level nets beschrieben, denn ihre Marken, Stellen und Transitionen sind nicht untereinander spezifiziert. Die weiteren Netze werden aufgrund ihrer komplexeren Grundvoraussetzungen highlevel nets genannt, von denen ich einige im Folgenden nenne. Die prädikatenlogische Erweiterung der bisherigen Definition sind die Prädikat/Transitions- Netze. So können beispielsweise Geschäftsregeln im Kontext formuliert werden, die das Netz behindern. Will man ein Netz möglichst vereinfachen, sollte man hierarchische Petri-Netze nutzen. Bei diesen werden Teilnetze durch repräsentative Transitionen ersetzt. Alle diese Netze beleuchten eine Problematik jedoch unzureichend. Transitionen feuern genau dann, wenn sie schaltbereit sind und dies ohne Zeitverlust. Nun kosten aber viele Prozesse in der Realität Zeit und eventuell gibt es Prozesse, die nicht gleichverteilt ablaufen. So entstanden aus den zeitbehafteten, bei denen einer Transition eine konstante Zeit zugeordnet wird, die stochastischen Petri-Netze (SPN). 5 Stochastische Petri-Netze Ein (generalisiertes) stochastisches Petri-Netz ist ein 7-Tupel mit (S, T, F, K, W, M 0,τ) mit S, F, K, W, M 0 wie bei S/T-Netzen T unterteilt in disjunkte Teilmengen T Z (Transitionen, die zeitlos schalten) und T E (Transitionen, die Zeit verbrauchen). τ : T E τ t ist die Verzögerungszeit, τ t ist exponentialverteilt Nun können Konflikte durch Wahl von λ in τ t in ihrer natürlichen Wahrscheinlichkeitsverteilung aufgelöst werden. Solche Netze können nun ein Vielfaches der Prozesse real simulieren als es die anderen Netze konnten. Nun versuchte man, diese Netze zu vereinfachen, da viele Prozesse ähnlich ablaufen. So wurden die SPN erweitert, indem man die (schwarzen) Marken unterscheidbar, farbig, machte. 9

10 6 Farbige Stochastische Petri-Netze (CSPN) Ein CSPN ist ein SPN mit einer Menge U von geordneten Farben, wobei die Elemente aus S und T in U Teilelemente gespalten werden. Alle Funktionen des Tupels beschreiben nun diese Teilelemente. Das bedeutet, dass zum Beispiel eine Transition die Farbe x mit Kosten von 3, die Farbe y mit Kosten von 1 und die Farbe z gar nicht durchschaltet. Ein farbiges Petri-Netz lässt sich ohne semantischen Verlust in ein elementares Netz überführen. Bild 8 zeigt zwei stochastische Petri-Netze. Beide beschreiben die Zollabfertigung an einer Grenze, einmal für LKWs und einmal für PKWs. Um den Konflikt beim PKW-Netz real aufzulösen, wurden zwei Hilfstransitionen eingefügt, um die Wahrscheinlichkeit zu simulieren. Zeitlose Transitionen sind hier schwarz ausgefüllt dargestellt. In Bild 9 werden diese beiden ähnlichen Netze zu einem CSPN mit den Farben U = {LKW, P KW } zusammengefasst. Abbildung 8: 2 stochastische Petri-Netze 10

11 Abbildung 9: ein farbiges stochastisches Petri-Netz 7 Petri-Netze in der Wirtschaft Petri-Netze werden in Unternehmen hauptsächlich für zwei Aspekte genutzt. Der erste ist die Modellierung von Prozessen, das Workflowmanagement. Der zweite ist die Modellierung von Produkten und ihren Eigenschaften. Einen großen Schub erhielt die Petri-Netz-Modellierung mit der Entwicklung von Software für ebendiese in den letzten Jahren des 20.Jahrhunderts. So entstanden auch die drei Beispiele, die ich im nachfolgenden kurz beschreiben werde. Alle Projekte hatten eine Größe von Seiten. 7.1 Kommunikationsprotokoll für digitale Telefonie Das Modell wurde aufbauend auf einer vorhandenen Beschreibung in einer Standardsprache für Telekommunikationsprotokolle von einem einzelnen Modellierer in nur 16 Tagen entwickelt und debuggt. Er besaß keine Kenntnisse von dem Protokoll, war aber sehr bewandert in der Übersetzung von grafischen Sprachen in Petri-Netze. Die Ingeneure, denen das Petri-Netz vorgelegt wurde, bezeichneten es als das detaillierteste anwendbare Modell, das sie für solche Protokolle je gesehen hatten. In Grafik 10 sieht man eine Seite aus dem Papier, wie sie typisch für dieses Projekt ist. Die dick umrandeten Knoten stehen für andere Seiten in dem Projekt, es ist also auch ein hierarchisches Petri-Netz. 7.2 Hardwarechip Eine große Hardwarefirma entschied sich, für ihr neuestes Produkt ein Petri- Netz-Modell zu verwenden, um zu erfahren, wie das Design und die Testphase verbessert und beschleunigt werden kann. Vorher wurde diese Entwicklung mit Block-Diagrammen durchgeführt, die später in Simulations-Tools übersetzt wurden, die dann mit circa Testfällen den Chipentwurf validierten. Die 11

12 Abbildung 10: entnommen aus K.Jensen neue Idee war, statt der Einbindung in Simulations-Tools die Block-Diagramme in Petri-Netze zu übersetzen. Statt Monaten wurden nun nur Wochen für die Übersetzung gebraucht. Auch konnten Verbesserungen im Petri-Netz einfach im Blockdiagramm angewandt werden. Außerdem konnten Testläufe bereits in der Entwicklung simuliert werden und nicht erst, wenn das Design schon fertig gestellt war. Dies war eines der ersten Projekte mit den damals neu entwickelten CPN-Tools, die sich zu langsam erwiesen, um die Testzeiten der vorher benutzten Tools zu unterbieten. Davon angetrieben wurden die CPN-Tools weiter entwickelt, so dass sie heute ein Vielfaches der Geschwindigkeit der früheren Versionen haben und so anderen Simulationsprogrammen ebenbürtig sind. In Abbildung 11 haben die Transitionen in Stage 1 alle dieselbe Gestalt, die im Netz nur einmal modelliert werden musste. Stage 2 modelliert eine Registeroperation. 7.3 Elektronischer Geldtransfer Es sollte eine Software entwickelt werden, die den elektronischen Geldtransfer einer Bank überwacht. Die verantwortlichen Manager entwickelten daraufhin ein Diagramm, dass die Funktionen der Software darstellten. Erfahrene Modellierer übersetzten und ergänzten dieses Diagramm und entwickelten so in enger Zusammenarbeit mit den betreffenden Stellen ein Petri-Netz. Das Modell gab es in mehreren Phasen. Die erste war aus dem Diagramm hervor gegangen und war dadurch sehr einfach aufgebaut. Im Laufe der Zeit wurde das Grundgerüst des Netzes immer komplizierter, beispielsweise durch eine hohe Anzahl an Farben 12

13 Abbildung 11: entnommen aus K.Jensen im Netz. Es dauerte fünf Wochen, dass Diagramm zu entwerfen, nur eine Woche, um das erste CPN zu erstellen und 16 Wochen, bis der Modellierungs- und Debuggvorgang abgeschlossen war. Davon ausgehend konnten nun Programmierer relativ einfach ein Überwachungssystem entwickeln, das trotz Inputsignalen am Tag alle Minuten die Handelsstrategie der Bank angepassen konnte. 13

14 7.4 Erkenntnisse Alle drei Beispiele zeigen, dass eine Übersetzung von grafischen Modellierungsprachen zu Petri-Netzen relativ einfach ist und so Modelle, die speziell auf ein Fachgebiet zugeschnitten sind, nahezu äquivalent zu Petri-Netzen sind. Außerdem ist bei allen Projekten zu erkennen, dass im Endeffekt nicht die grafische Darstellung im Vordergrund steht, sondern die effiziente Simulation dieser komplexen Modelle. Für solche Simulationen sind Petri-Netze, aufgrund ihrer Algorithmen, bestens geeignet. Diese Beispiele sind entnommen aus K.Jensen Ch. 7. Dort ist auch weiterführende Literatur zu finden. 8 Schlussfolgerungen Petri-Netze sind eine einfach zu erlernende Modellierungssprache, die aufgrund ihrer mathematischen Definition algorithmisch untersucht werden kann. So werden Testzeiten von Modellen drastisch verringert. Um die Anwendbarkeit von Petri-Netzen zu steigern, wurden unter anderem Stochastische und Farbige Petri-Netzeentworfen. Die genanntenbeispielezeigen, dassessichfür Unternehmen lohnt, ihre Projekte von ihrer Haussprache in Petri-Netze zu übersetzen, da die Modellierung zur Laufzeit des Projektes verbessert und effizient getestet werden kann. Die Verschiedenheit der Beispiele zeigt, dass Petri-Netze in allen Bereichen der Wirtschaft erfolgreich Anwendung finden können. Der größte Nachteil von Petri-Netzen ist dabei die Gefahr der ausufernden Komplexität, die durch den Ansatz der CPN verringert wurde. 9 Quellen K.Jensen: Coloured Petri Nets Basic Components, Analysis Methods and Practical Use, Volume 1 Dänemark,Springer Verlag (1992) P.J.Haas: Stochastic Petri Nets Modelling, Stability, Simulation Kalifornien (USA), Springer Verlag (2002) T.Zimmer: Petri-Netz-Konzeptefür die Simulation verteilter betrieblicher Abläufe Aachen, Shaker Verlag (2001) 14

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