Pkt. Aufg.1: Aufg.2: Aufg.3: Aufg.4: Aufg.5:

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1 Klausurbeispiel zu den Vorlesungen Statistik für Ingenieure/Stochastik sowie Datenanalyse und Statistik (Herbstsemester 00/003) Die Lösungen der Aufgaben sind jeweils in dieser grünen Farbe dargestellt! Erläuterungen erfolgen in einer blauen Schrift! Pkt. Aufg.1: Aufg.: Aufg.3: Aufg.4: Aufg.: Gesamtpunktzahl: (von 0) = %: Note: 1. Aufgabe: (10 Pkt.) Eine erste, alle Werte berücksichtigende Variante eines Stamm-und- Blatt-Planes wird nachfolgend dargestellt: Stamm-und-Blatt-Plan der Teilchenmassen n= entspricht 10,1 g Low: 9, 1, Diese beiden Werte sind u.u. keine Ausreißer, sondern stehen extra, um Leerzeilen zu vermeiden. Sie werden in der Dezimaldarstellung der Daten angegeben! (4) Die Daten stellen die Masse von 30 Klinkerzementteilchen dar. (a) Tragen Sie die Zählhilfe der Tiefen in den obigen Stamm-und-Blatt-Plan ein! Diese Aufgabe wurde oben erledigt! (1 Pkt.) (b) Alle Daten lagen in gleicher Genauigkeit vor. Wieviel Dezimalstellen waren angegeben? Eine Dezimalstelle nach dem Komma! (1 Pkt.)

2 (c) Berechnen Sie Median x, Mittelwert x, Viertelwerte V o und V u sowie die Streuung s! (Für jeden richtigen Wert 1 Punkt, also Pkt.) n gerade t M = 1, x = 1 (0, 0 + 0, 3) = 0, 1 x = 1 n n i=1 x i = 1 30 (9, + 1, , 4) = 0, , = 7, (nicht ganzzahlig) t V = 8 V o = 18, 9 V u =, 7 s = 1 n 1 n i=1 (x i x ) = 17, 3 (d) Fertigen Sie mit veränderter Klasseneinteilung einen Stamm-und-Blatt-Plan an, der die Gesetzmäßigkeit der Masseverteilung noch etwas deutlicher zeigt! Die Klassenbreite muss vergrößert werden! (1 Pkt.) a) Klassenbreite = oder b) Klassenbreite = Es wird der Fall a) dargestellt: ( Pkt.) n = entspricht 11 g (7) *. 1 t 1 f. 1 s * t 3 3 f 4 s Aufgabe: (6 Pkt.) Bei einem Analysegerät dient die Standardabweichung der Messwerte der Fehlereinschätzung des Gerätes. In den Unterlagen zum Gerät steht der Wert σ = 0,. Die Annahme der Normalverteilung des Fehlers sei gerechtfertigt. Die Schätzungen aus 0 Messungen an einer Probe ergaben x = 11, 68 und s = 0, 6. Würden Sie den Schätzwert des Mittelwertes als so signifikant (α = 0, 01) verschieden vom bekannten Probewert 1 ansehen, dass eine Justierung des Gerätes erfolgen sollte? Begründen Sie Ihren Test und die Testschritte! Verwendung des Gauß-Tests! (1 Pkt.) Begründung: Die Lösung des Problems liefert ein Mittelwerttest bei Normalverteilung. Die Wahl fällt auf den Gauß-Test und nicht auf den Studentschen t-test, weil der bekannte Wert σ = 0, genauer als s = 0, 6 ist. Die Abweichung der beiden Werte ist zu gering für eine andere Argumentation! (1 Pkt.)

3 Testschritte: (3 Pkt.) - Hypothese H 0 µ = µ 0 = 1 und Alternative H A µ µ 0 Der bekannte Probewert 1 ist der Mittelwertparameter der Normalverteilung. Veränderungen sind beidseitig nicht hinzunehmen! - Testgröße: T = x µ 0 σ n (T N(0; 1)) Ablehnungsereignis: { T > z 1 α/ } - Quantil zur Ablehnung von H 0 : z 1 α/ = z 0,99 =, 76 (Tabelle) - Kritischer Bereich: (,, 76) (, 76, ) - Realisierung von T : t = 11,68 1 0, 0 =, 7 Auswertung: Es ist { T > z 1 α/ } eingetreten! (, 7 >, 76)! H 0 wird abgelehnt! (1 Pkt.) Der Schätzwert ist als so signifikant verschieden vom bekannten Probewert 1 anzusehen, dass das Gerät justiert werden sollte. 3. Aufgabe: (10 Pkt.) Bei der Messung eines Schadstoffes liegt der Zufall im Wesentlichen beim Messfehler. Die Standardabweichung σ = 0, 1 µg quantifiziert diesen Fehler. Die Annahme der Normalverteilung ist berechtigt, wobei im eingesetzten Messbereich die Standardabweichung konstant ist. Der Schadstoffwert ist der Mittelwert µ. Es werden die zufälligen Messwerte X benutzt! ( Pkt.) Bei den Rechnungen ist der Wert von µ nicht relevant. Wird X als zufälliger Fehler bzw. Abweichung vom Schadstoffwert genommen, ist µ = 0! (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit fallen die Messwerte in ein Intervall (symmetrisch um den Schadstoffwert) der Länge 0, 8 µg? P (µ 0, 4 < X < µ + 0, 4) (Die Einheit µg wurde vereinfachend weggelassen!) = P ( 0,4 < X µ σ < 0,4 0,4 0,4 ) = Φ( ) Φ( ) = Φ(, 666) Φ(, 666) = Φ(, 666) (1 Φ(, 666)) = Φ(, 666) 1 = 0, = 0, 994 Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99, % fallen die Messwerte in ein Intervall (symmetrisch um den Schadstoffwert) der Länge 0, 8 µg. (4 Pkt.)

4 (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind Messwerte zu beobachten, die mehr als 0, 3 µg oberhalb des Schadstoffwertes liegen? P (X > µ + 0, 3) (Die Einheit µg wurde vereinfachend weggelassen!) = 1 P ( X µ σ < ( ) 0,3 0,3 ) = 1 Φ( ) = 1 Φ() = 1 0, 977 = 0, 07 Mit einer Wahrscheinlichkeit von,3 % sind Messwerte zu beobachten, die mehr als 0, 3 µg oberhalb des Schadstoffwertes liegen. (4 Pkt.) 4. Aufgabe: (1 Pkt.) Die 10 Studenten eines Laborpraktikums haben die Aufgabe mit dem Massenspektrometer Materialproben zu untersuchen. Der Analysevorgang läuft automatisch ab. Es kann im wesentlichen nur die Wiederholungsanzahl n der Messungen an einer Probe eingestellt werden. Das Gerät liefert einen Ausdruck der Werte x und s für Messgröße Masseanteil der jeweils betrachteten Elemente bzw. Verbindungen. Unter der Annahme der Normalverteiltheit der Messfehler soll die Arbeit der Studenten eingeschätzt werden. (a) Von welchem Studenten würden Sie die Schätzungen ˆµ = x und ˆσ = s zur Weiterarbeit verwenden, von demjenigen, der mit n = 0 oder jenem, der mit n = arbeitet? Begründen Sie Ihre Antwort! Zur Weiterarbeit würde ich die Schätzungen von demjenigen verwenden, der mit n = arbeitet. (1 Pkt.) Begründung: Je größer der Stichprobenumfang, desto genauer die Schätzungen! (1 Pkt.) Gesetz der Großen Zahlen. (b) Mit welchem Test würden Sie überprüfen, ob die beiden Studenten (Teilaufgabe (a)) den gleichen Masseanteil ermitteln, also eine gleichartige Probe (mit gleichen Materialparametern) untersuchen? Weil Sie die Werte der Studenten nicht kennen, sollen Sie diesen Test nur vorbereiten, also die Hypothesen und die Testgröße T mit ihren Verteilungsparametern angeben! Test: Vergleich zweier Mittelwerte (Welch-Test) (3 Pkt.) Je nach Literaturquelle sind durch unterschiedliche Bedingungen an die Streuungen die Testgrößen etwas anders gebildet! Als eine Möglichkeit wird der Test mit gleicher Streuung beider Grundgesamtheiten gewählt. - Hypothesen: H 0 : µ 1 = µ H A : µ 1 µ - Testgröße: T = x 1 x n1 n (n 1 +n ) (n1 1)s 1 +(n 1)s n 1 +n = x 1, s 1... Werte des ersten Studenten (n 1 = 0) x, s... Werte des zweiten Studenten (n = ) x 1 x 1, s 1 +4 s T gehorcht der t-verteilung mit m = n 1 + n = 43 Freiheitsgraden. Ablehnung von H 0 : T > t 43;1 α

5 (c) Alle Studenten machen für ihre Messungen die Konfidenzschätzung zum Niveau P = 1 α = 0, 90. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen Studenten der wahre Masseanteil vom Intervall überdeckt wird? Unabhängigkeit der Ereignisse Si = {Überdeckung Masseanteil (Parameter) µ durch Student i} Produktformel; Bernoullischema Die Anzahl X der Studenten, deren Konfidenzintervall den wahren Masseanteil µ nicht überdeckt, ist binomialverteilt: n = 10 und p = 0, 1. ( Pkt.) Formel der Einzelwahrscheinlichkeiten: P (X = k) = ( ) n k p k (1 p) n k P (alle Studenten) = P (X = 0) = 0, , 3487 = 34, 87% (3 Pkt.) P (alle Studenten überdecken µ) = P (S1 S S3 S4 S S6 S7 S8 S9 S10) Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen Studenten der wahre Masseanteil vom Intervall überdeckt wird, beträgt rund 34,9 %. Das Konfidenzniveau wird auf P = 1 α = 0, 99 heraufgesetzt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist nun bei mindestens zwei Studenten keine Eingrenzung des Masseanteils erreicht worden? Die Parameter der Binomialverteilung sind jetzt n = 10 und p = 0, 01. (1 Pkt.) P (Bei mind. Studenten keine Eingrenzung) = P (X ) = 1 P (X 1) (1 Pkt.) = 1 P (alle Studenten grenzen µ ein) P (Bei einem Student keine Eingrenzung) P (X = 1) = P (Bei einem Student keine Eingrenzung) = 10 (0, 01 0, 99 9 ) 0, 0913 P (X = 0) = P (alle Studenten grenzen µ ein) = 0, , (Vergleiche oben!) P (Bei mind. Studenten keine Eingrenzung) = 1 0, , 0913 = 0, 0047 (3 Pkt.) Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 0, 43% ist nun bei mindestens zwei Studenten keine Eingrenzung des Masseanteils erreicht worden.. Aufgabe: (9 Pkt. ) (a) Ein Histogramm (konstruiert aus einer großen Datenquelle) sieht sehr symmetrisch zum Wert + aus und hat erkennbare Säulen genau bei den Werten 0,1,,...9 und 10. Die theoretische Verteilung könnte eine Binomialverteilung sein. Welche Parameterwerte müssten Sie dieser Verteilung noch zuordnen, damit sie zum Histogramm passt? Die Binomialverteilung besitzt zwei Parameter: n und p. p = 0, und n = 10 ( Pkt.) p = 0, folgt aus der Symmetrie zum mittleren Wert ; der Wertebereich bestimmt n = 10.

6 (b) Bei einem Test liefert das Statistikprogramm den P -Wert 0,0001. i. Welche Aussage würde für die Nullhypothese folgen? Die Nullhypothese wird abgelehnt. (1 Pkt.) ii. Wann tritt solch ein Ergebnis auf? Der P -Wert ist wesentlich kleiner als die üblichen Werte für die Signifikanzschwelle α (α 0.01). Es handelt sich also um einen Fall, bei dem die Nullhypothesen-Annahmen sicher nicht zutreffen! ( Pkt.) (c) Welche Daten bezeichnet man als Ausreißer, und warum darf man diese nicht einfach weglassen? Warum sollte man die Ausreißer kennzeichnen und Ursachenforschung betreiben? Ausreißer sind in Relation zu den restlichen Werten extrem große oder kleine Daten, aber sie gehören zur betrachteten Stichprobe. Man darf sie nicht einfach ohne Hinterfragung weglassen, auch wenn oder gerade weil sie insbesondere die Streuung s wesentlich vergrößern. Sie werden gekennzeichnet um die Nachfrage zu ermöglichen. Sowohl einfache Tippund Übertragungsfehler, Besonderheiten bei der jeweiligen Messung als auch direkt die Zufallsgesetzmäßigkeit könnten für das Auftreten von Ausreißern verantwortlich sein. ( Pkt.) (d) Fertigen Sie ein mögliches Streudiagramm mit ca. 0 Punkten an, das dem geschätzten Wert r = 0, 91 für den empirischen Korrelationskoeffizienten entsprechen könnte! Skizzen mit 0 Punkten in der Nähe einer fallenden Geraden! ( Pkt.) Beispielskizzen: 0 1 y x

7 t s