Angewandte Geometrie

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1 Technische Universität München SS 217 Zentrum Mathematik Blatt 6 Prof. Dr. J. Hartl Angewandte Geometrie 1. Die Kugel Σ mit dem Mittelpunkt M(m,, ) (m > ) auf der positiven x-achse und dem Radius r wird um die (gerichtete) z-achse verschraubt (Schraubparameter p ). Sei Φ die Hüllschraubfläche der Schraublagen von Σ. Man bestimme die Kurve q, längs der sich Φ und die Kugel Σ (in ihrer Anfangslage) berühren ( Eingriffslinie ). Kugel Σ: Mittelpunkt M(m,, ) (m > ) Radius r wird verschraubt mit Schraubachse a: z-achse (gerichtet) Schraubparameter p ( ) Hüllschraubfläche Φ Ges.: Eingriffslinie q Die Bezeichnungen sind anders als in der Vorlesung. Formeln der Vorlesung sind also anzupassen. Σ ist Drehfläche; was ist die Drehachse b? Beliebig durch M, z.b. die x-achse, aber dann können wir die Formeln der Vorlesung nicht verwenden. Dort war die x-achse Gemeinlot von a und b. Daher b y-achse oder b z-achse (der Einfachheit halber). Parameterdarstellung von b: b : x() = m = q= }{{} c + = r= 1 }{{} cos ρ sin ρ (Unser m ist das c der Vorlesung, das ρ der Vorlesung ist.) Breitenkreisradius R(): 2 + R() 2 = r 2 (Tafelskizze) R() = r 2 2 ( r r) Parameterdarstellung von Σ analog zur Vorlesung: c + R cos α Σ : z(, α) = (V orl.) = cos ρ + R sin = sin ρ R cos m + R cos α R sin α

2 mit [ r, r], α [, 2π[, R = r 2 2 Eingriffsbedingung aus der Vorlesung: = sin α(p cos ρ c sin ρ) + cos α cos ρ( + RṘ) + Ṙ(c cos ρ + p sin ρ) = Nebenrechnung: Ṙ = Eingriffsbedingung: sin α p + cos α( + RṘ) + Ṙ m 2 2 = r 2 2 r, RṘ = 2 2 = sin α p + cos α( ) m r2 = sin α p m 2 r2 2 Damit ist sin α = m p r 2 2 cos α = ± 1 sin 2 p2 (r α = ± 2 2 ) 2 m 2 p r 2 2 Eingriffslinie l durch Einsetzen in die Parameterdarstellug von Σ: m + R() cos α() l : z(, α()) = R() sin α() = m ± r 2 2 p 2 (r 2 2 ) 2 m 2 p r 2 2 r 2 2 m m ± p r 2 2 p 2 (r 2 2 ) 2 m 2 m p p = Die Eingriffslinie liegt in der Ebene my + pz =. Diese Ebene enthält die x-achse, ist also ein Großkreis von Σ und senkrecht zur Bahnschraubtangente des Mittelpunktes von Σ. 2. Der Drehzylinder Ω mit dem Breitenkreisradius ρ > und der x-achse als Drehachse wird um die (gerichtete) z-achse verschraubt (Schraubparameter p ). Sei Φ die Hüllschraubfläche der Schraublagen von Ω. Man bestimme die Kurve q, längs der sich Φ und der Drehzylinder Ω (in ihrer Anfangslage) berühren ( Eingriffslinie ). Die Formeln aus der Vorlesung sind nicht unmittelbar anwendbar, da in der Vorlesung die x-achse als Gemeinlot von a und b gewählt war.

3 Eingriffsbedingung: Wann ist die Bahnschraubtangente eines Zylinderpunkts auch Zylindertangente? Parameterdarstellung des Zylinders: Ω : z(, α) = + = Das ρ ist nicht das ρ der Vorlesung sondern der konstante Breitenkreisradius von Ω. Bahnschraublinie eines Zylinderpunktes: cos ϕ sin ϕ y(ϕ) = sin ϕ + cos ϕ + Tangentenvektor der Bahnschraublinie für ϕ = : y() = p Wann ist die Bahnschraubtangente auch Tangente an Ω, also Das liefert die Eingriffsbedingung: + p = oder kürzer: cos α + p sin α = : tan α = p oder = p tan α Eingriffslinie q: q : z((α), α) = Tafelskizze: Normalprojektion in die xz-ebene Gefräste Hüllschraubfläche Φ: Φ : y(ϕ, α) = p tan α p tan α cos ϕ sin ϕ p tan α sin ϕ + cos ϕ + Dabei wurde das Problem eines möglichen Unterschnitts nicht betrachtet. 3. Sei Φ die Wendelfläche mit der Parameterdarstellung x v sin u x(u, v) = ȳ (u, v) = z v cos u pu ; u, v R (p o) und sei b die Parallele zur z-achse durch den Punkt (c,, ) (c > ). Man bestimme die Drehfläche Ψ mit der Drehachse b, deren Hüllschraubfläche ˆΦ

4 bei Verschraubung von Ψ um die z-achse mit dem Schraubparameter p Teil der Wendelfläche Φ ist. Welche Eingriffslinie q ergibt sich? Welchen Teil ˆΦ der Wendelfläche Φ erhält man? Geg.: Zu fräsende Wendelfläche, Schraubachse a = z-achse Drehachse b eines Fräsers... Parallele zur z-achse durch (c,, ), (c > ) Lage zum KS wie in der Vorlesung: x-achse ist Gemeinlot von a, b. Bezeichnungen anders als in der Vorlesung. Schlüsselgleichung aus der Vorlesung: Dabei ist = det y 1 c Normalenvektor der Schraubfläche {}}{ A 1 cos ϕ A 2 sin ϕ y 2 A 1 sin ϕ + A 2 cos ϕ cos ρ y 3 A 3 sin ρ y(ϕ, t) = t sin ϕ t cos ϕ x 1 (t) =, x 2 (t) = t, x 3 (t) =... Erzeugende der Schraubfläche A 1 = x 1 ẋ 3 pẋ 2 = p A 2 = x 2 ẋ 3 pẋ 1 = A 3 = x 1 ẋ 1 x 2 ẋ 2 = t Also Schlüsselgleichung: t sin ϕ c p cos ϕ ( = det t cos ϕ p sin ϕ t sin ϕ c cos ϕ = p det t cos ϕ sin ϕ t 1 ) = = p( t(sin 2 ϕ + cos 2 ϕ) c sin ϕ) = p(t + c sin ϕ) t = c sin ϕ Eingriffslinie q durch Einsetzen in die PD von Φ: c sin 2 ϕ q : y(ϕ, t(ϕ)) = c cos ϕ sin ϕ oder q : y(ϕ(t), t) = t 2 c ±t c 2 t 2 c Die Punkte der Eingriffslinie haben von der Drehachse b einen Abstand von (c sin 2 ϕ c) 2 + c 2 cos 2 ϕ sin 2 ϕ = c cos 4 ϕ + cos 2 ϕ sin 2 ϕ = c cos 2 ϕ =

5 c cos ϕ = c cos z p Der Meridian der Drehfläche ist eine Kosinus-Kurve. Als Teil ˆΦ der Wendelfläche Φ erhält man nur das Stück innerhalb des Drehzylinders x 2 + y 2 c 2. In politics, nothing happens by accident. If it happens, you can bet it was planned that way. Franklin D. Roosevelt