5 Zentraler Grenzwertsatz von Lindeberg-Lévy

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1 5 Zetraler Grezwertsatz vo Lideberg-Lévy 5. Charakteristische Fuktioe Defiitio Es sei X Zufallsvariable auf eiem Wahrscheilichkeitsraum (Ω, A, P ). Da heißt die charakteristische Fuktio zu X. φ X (t) := Ee itx = E cos(tx) + ie si(tx) Bemerkug Ist X diskret mit Werte x, x 2,..., so gilt: φ X (t) = e itxk P (X = x k ) Ist X absolutstetig mit Dichte f, so gilt: φ X (t) = e itx f(x)dx (Fourier-Trasformatio) Beispiel 5. a) X B(, p) = k= φ X (t) = ( ) e itk p k ( p) k k k= ( ) (pe it ) k ( p) k = ( p + pe it ) k b) X U(, ) φ X () = ud für t : φ X (t) = e itx dx = cos(tx)dx + i = t si(t) i t cos(t) + i t = it (eit ) si(tx)dx 4

2 42 KAPITEL 5. ZENTRALER GRENZWERTSATZ VON LINDEBERG-LÉVY c) X N(, ) φ X (t) = e t2 2 vgl. Stochastik Satz 5. Sid X, Y uabhägige Zufallsvariable mit charakteristische Fuktioe φ X ud φ Y, so gilt für die charakteristische Fuktio φ X+Y der Faltug: φ X+Y (t) = φ X (t) φ Y (t) t R Beweis vgl. Stochastik, Satz 2.2. Lemma 5. Für alle m N, t R gilt: eit m k= (it) k { t m k! mi m!, 2 t m (m )! } Beweis vgl. Stochastik, Satz Umkehrsätze Wir werde sehe, dass eie Verteilug eideutig durch ihre charakteristische Fuktio festgelegt ist. Hat ma z.b. gezeigt, dass X die charakteristische Fuktio ( p + pe it ) hat, so ist X B(, p). Aus der Aalysis ist die Itegralsiusfuktio bekat: Es gilt: x (Si(x)) = π 2 Si : R + R +, Si(x) := x si(y) dy x > y Satz 5.2 Es sei X Zufallsvariable mit charakteristischer Fuktio φ X. Da gilt für alle < a < b < : 2 P (X = a) + P (a < X < b) + ( T P (X = b) = 2 T 2π T Beweis Sei I(T ) := T 2π T e ita e itb e ita e itb it φ X (t)dt. Defiiere ψ : R [ T, T ] C durch { e it(a x) e it(b x) ψ(t, x) := it, t b a, t = Mit Lemma 5. folgt, dass ψ stetig ist ud wege e ita e itb b it = e ity dy b a a it ) φ X (t)dt

3 5.2. UMKEHRSÄTZE 43 ist ψ b a, also ist ψ P X λ [ T,T ] -itegrierbar. Mit Satz 3. (Fubii I) folgt: Ieres Itegral: Da t cos(t(x a)) it ψ a,b,t (x) = 2 Es gilt weiterhi: T c I(T ) = T 2π T = T 2π it T e ita e itb ( it ) e itx P X (dx) dt ( e it(a x) e it(b x)) dt P X (dx) } {{ } =:ψ a,b,t (x) puktsymmetrisch ist, gilt: T T si ((x a) t) dt 2 t si(ct)dt = sg(c) Si(T c ) mit sg(c) = c t si ((x b) t) dt t, c >, c =, c < = ψ a,b,t (x) = 2 sg(x a)si(t x a ) 2 sg(x b)si(t x b ), x < a oder x > b = ψ a,b (x) := (ψ a,b,t (x)) = π, x = a oder x = b T 2π, a < x < b = (ψ a,b,t ) T besitzt eie (kostate) itegrierbare Majorate. Mit dem Satz über die majorisierte Kovergez gilt: I(T ) = ψ a,b (x)p X (dx) T 2π = 2 P (X = a) + 2 P (X = b) + P (a < X < b) Korollar 5. Sid X ud Y Zufallsvariable mit derselbe charakteristische Fuktio, so habe X ud Y dieselbe Verteilug. Beweis Sei D = A(X) A(Y ) mit A(X) = {x R P (X = x) > }, aalog A(Y ). A(X) ist abzählbar, da A(X) = = {x R P (X = x) } ud {x R P (X = x) } = D abzählbar D := {(a, b) < a b <, a, b / D} Sa5.2 === P X ud P Y stim- ist ei durchschittstabiles Erzeugedesystem vo B(R). me auf D überei Eideutigkeitssatz ========== Behauptug.

4 44 KAPITEL 5. ZENTRALER GRENZWERTSATZ VON LINDEBERG-LÉVY Satz 5.3 Sei X eie Zufallsvariable mit charakteristischer Fuktio φ. Gilt φ(t) dt <, so hat X eie stetige Dichte f, die gegebe ist durch f(x) = 2π e itx φ(x)dt x R Beweis Wie i Beweis vo Satz 5.2 gilt: e ita e itb it b a ( ) Da φ λ-itegrierbar ist, ist b a φ eie itegrierbare Majorate für diese Ausdruck i Satz 5.2. Es folgt: 2 P (X = a) + P (a < X < b) + P (X = b) = 2 2π = P (a < X < b) 2π b a φ(t) dt } {{ } < e ita e itb φ(t)dt it = P (X = x) = < X < x + ) = Ist F die Verteilugsfuktio vo X, so gilt: F (b) F (a) = 2π e ita e itb φ(t)dt it a < b Wege ( ) ka ma de Satz vo der majorisierte Kovergez awede ud bekommt: F (x + h) F (x) = e itx e ith φ(t)dt h h 2π h ith = e itx φ(t)dt 2π =: f(x) Außerdem folgt x f(x) ist stetig. 5.3 Verteilugskovergez Defiitio

5 5.3. VERTEILUNGSKONVERGENZ 45 a) Gegebe sei der messbare Raum (R, B) mit Wahrscheilichkeitsmaße P, P, P 2,... ud zugehörige Verteilugsfuktioe F, F, F 2,... P kovergiert schwach gege P (P w P ), we F (x) = F (x) x R a dee F stetig ist. b) Seie X, X, X 2,... Zufallsvariable auf (uter Umstäde verschiedee) Wahrscheilichkeitsräume (Ω, A, P ), (Ω, A, P ),... X kovergiert i Verteilug gege X (X d X), we P X w P X. Beispiel 5.2 Kovergez i Verteilug bzw. schwache Kovergez ist schwächer als f.s.-kovergez. Sei z.b. X N(, ) ud X 2 = X, X 2+ = X N. = P X P X = N(, ) ud (X ) kovergiert i Verteilug (gege X) jedoch X f.s. X Jedoch gilt folgeder ützlicher Satz: Satz 5.4 (Darstellugssatz vo Skorohod) d Es seie X, X, X 2,... Zufallsvariable mit X X. Da existiert ei Wahrscheilichkeitsraum (Ω, A, P ) ud hierauf Zufallsvariable X, X, X 2,... mit X d = X, X d = X N derart, dass X f.s. X. Beweis ( Es seie F, ) F, F 2,... die Verteilugsfuktioe zu X, X, X 2,... ud (Ω, A, P ) = (, ), B(,), λ (,). Weiter sei F : (, ) R, F (y) := if{x R F (x) y} die Quatilsfuktio zu F, aalog (Quatilsfuktio) F, N. Setze X := F, X := F. Satz 5.7 (Stoch ) = X d = X, X d = X, N (P (X x) = P (F (ω) x) = P (ω F (x)) = F (x) ) }{{} =λ(,) Es bleibt also zu zeige, dass für P -fast alle ω Ω : X (ω) = X (ω). Sei ω (, ). Da X ur abzählbar viele Atome hat (vgl. Beweis vo Korollar 5.) existiert zu ε > ei x R mit X (ω) ε < x < X (ω) ud P (X = x) =. Es gilt (Lemma 5.6, Stoch ): y (, ), x R : y F (x) F (y) x Hier: ω F (x) F (ω) = X (ω) x. Wege X (ω) > x folgt F (x) < ω. Da F (x) F (x) für ach Voraussetzug, N, so dass : F (x) < ω. Also X > x. Mit ε folgt: if X (ω) X (ω) ω Ω. Ist ω > ω ud ε >, so ei x mit X (ω ) < x < X (ω ) + ε ud P (X = x) =. Da F rechtsseitig stetig, folgt F (F (y)) y y (, ), also mit der Mootoie vo F : ω < ω F (X (ω )) F (x).

6 46 KAPITEL 5. ZENTRALER GRENZWERTSATZ VON LINDEBERG-LÉVY Wege F (x) F (x) ( ), N sodass ω F (x) (d.h. X (ω) x) gilt mit ε ergibt das sup X (ω) X (ω ) ω > ω. Satz 5.5 Es sei C b (R) die Mege aller stetige ud beschräkte Fuktioe, h : R R. Da gilt: X d X Eh(X ) Eh(X) h C b (R) Beweis : Nach Satz 5.4 existiere ei Wahrscheilichkeitsraum (Ω, A, P ) ud Zufallsvariable X d = X, X d = X N mit X f.s. X. Es folgt: (Eh (X ( ( )) )) = Eh X h stetig,x f.s. X = Eh ( X ) = Eh (X). : Für a, b R, a < b sei h a,b : R R defiiert durch, x a h a,b (x) := b x b a, a < x < b, x b h a,b ist stetig ud beschräkt. Seie F, F die Verteilugsfuktioe zu X, X N. Da gilt y > x: F (x) = E [ (,x) (X ) ] E [h x,y (X )] E [h x,y (X)], E [h x,y (X)] E [ (,y) (X) ] = F (y). Also folgt da F rechtsseitig stetig ist mit y x: Aalog erhält ma für y < x: sup (F (x)) F (x) x R F (x) E [h y,x (X )] E [h y,x (X)] F (y) Mit y x: if (F (x)) F (x ) x R. Ist F i x stetig, so gilt F (x ) = F (x) ud somit F (X) F (x). Satz 5.6 ( Cotiuous Mappig Theorem ) d Es seie X, X, X 2,... Zufallsvariable mit X X. Weiter sei f : R R eie Borel-messbare Fuktio mit P (X {x R f icht stetig i x}) =. Da gilt auch f(x ) d f(x) für. Beweis Übug.

7 5.3. VERTEILUNGSKONVERGENZ 47 Satz 5.7 (Satz vo Helly ) Zu jeder Folge (F ) N vo Verteilugsfuktioe existiere eie Teilfolge (F k ) k N ud eie schwach mooto wachsede, rechtsseitig stetige Fuktio G : R [, ], sodass k (F k (x)) = G(x) x R, a dee G stetig ist. Beweis (Skizze) Bolzao-Weierstraß Für x R ist (F (x)) N [, ] =========== Häufugspukt. Sei (r k ) k N j eie Abzählug vo Q. Wähle Teilfolge (F k,j ) j N mit F k,j G (r k ), wobei ( k+,j ) j N eie Teilfolge vo ( k,j ) j N ist. (Defiitio der Fuktio f auf Q) Für die Diagoalfolge ( j,j ) j N gil da: F j,j G auf Q. Sei G auf gaz R durch G(x) := if{g (r) r Q, r > x} fortgesetzt. Rest: ɛ δ-argumete. Bemerkug G aus Satz 5.7 muß keie Verteilugsfuktio sei. Beispiel: F := [, ] = G Defiitio Eie Familie P vo Wahrscheilichkeitsmaße auf (R, B) heißt straff, we ɛ > kompaktes Itervall [a, b] R mit: P ([a, b]) ɛ P P Bemerkug (i) Ist P straff, so auch jedes P P. (ii) Sid alle P i mit i {,...,, } straff, so auch i= P i. (iii) Ist P =, so ist P straff. Satz 5.8 Ist {P N} eie straffe Familie vo Wahrscheilichkeitsmaße auf (R, B), so existiere eie Teilfolge (P k ) k N vo (P ) N ud ei Wahrscheilichkeitsmaß P derart, dass P k w P für k. Beweis Sei F die Verteilugsfuktio zu P N. Satz 5.7 ==== Folge ( k ) k N mit F k (x) G(x) für k x R mit G stetig i x; G ist wachsed ud rechtsseitig stetig. Bleibt zu zeige: G ist Verteilugsfuktio, also x (G(x)) = ud x (G(x)) = w. Ist da P das Wahrscheilichkeitsmaß zu G, so folgt P k P. Sei also ɛ >. Da {P N} straff ist = a, b R mit P ([a, b]) ɛ N. = F (a) ɛ N. G hat höchstes abzählbar viele Ustetigkeitsstelle. = c < a, i dem G stetig. = G(c) = k (F k (c)) ɛ = G(x) ɛ x c. Also: ɛ > c R : x c gilt G(x) ɛ = x (G(x)) = ud x (G(x)) =.

8 48 KAPITEL 5. ZENTRALER GRENZWERTSATZ VON LINDEBERG-LÉVY Satz 5.9 (Stetigkeitssatz für charakteristische Fuktioe) Es seie X, X, X 2,... Zufallsvariable, φ, φ, φ 2,... die zugehörige charakteristische Fuktioe. Da gilt: X d X φ (t) φ(t) t R Beweis : Sei t R. x cos(tx), x si(tx) sid stetig ud beschräkt. Satz 5.5 ==== φ (t) = E cos(tx ) + ie si(tx ) E cos(tx) + ie si(tx) = φ(t). : Wir zeige zuächst: {P X, N} ist straff. C-wertige Versio vo Fubii II liefert δ >. δ ( ϕ (t))dt = ( δ ( e itx )dt)p X (dx) δ δ δ δ = 2 ( si(δx) δx ) P X (dx) }{{} 2 ( x 2 δx ) P X (dx) δ }{{} 2 P X ([ 2 δ, 2 δ ]C ) Sei ε >. Da ϕ i stetig ud ϕ() =, δ > : ϕ(t) ε 4 t δ δ δ δ ( ϕ(t))dt δ 2δ ε 4 = ε 2. Da ϕ folgt mit majorisierter Kovergez: δ δ ( ϕ (t))dt δ δ ( ϕ(t))dt N, so dass δ δ δ ( ϕ (t))dt ε. P X ([ 2 δ, 2 δ ]) ε. Außerdem: {,..., } a > mit P X ([ a, a ]) ε da P X ([ m, m]) für m. Isgesammt: Sei a := max{a,..., a, 2 δ } P X ([ a, a]) ε N {P X, N} ist straff. d Aahme: X X gilt icht. x R mit P (X = x) = ud P (X x) P (X x),. d.h. ε > ud eie Teilfolge (X k ) k N mit P (X k x) P (X x) ε k N ( ). {P X k, k N} ist ebefalls straff S.5.8 Teilfolge (X kj ) j N ud ei W maß P mit P X k j w P.

9 5.3. VERTEILUNGSKONVERGENZ 49 Sei ϕ charakteristische Fuktio zu P. Also folgt mit der Hirichtug: ϕ kj (t) ϕ (t) = ϕ(t) Kor.5. P = P X, also X kj d X ud damit P (Xkj x) P (X x). Wid zu ( ). Wir beötige och folgedes techisches Hilfslemma: Lemma 5.2 Für alle z,..., z, w,..., w {z C z } gilt: Beweis z k w k z k z k w = z w Hauptsatz des Abschitts: w k k=2 z k w k z k + w k=2 z k + z 2 w 2 w k=2 }{{} z k w w 2 k=3 z k } {{ } k=3 z k + + w... w z + + z w w k } {{ } Satz 5. (Zetraler Grezwertsatz vo Lideberg-Lévy) Für jedes N seie X k, k =,..., r uabhägige Zufallsvariable (icht otwedig idetisch verteilt) auf eiem Wahrscheilichkeitsraum (Ω, A, P ) mit Var(X k ) = σk 2 < ud EX k = µ k <. Es sei s 2 := r σk 2 >. Ist da für alle ε > die Lideberg-Bedigug (L) erfüllt, so gilt mit : r s 2 r s X k µ k >εs (X k µ k ) 2 dp = (X k µ k ) d Z, Z N(, ) Bemerkug 5.. Die Lideberg-Bedigug schließt eie domiierede Eifluss eies eizele Summade X k auf die X + +X r aus. Isbesodere gilt: max{σk 2 k r } = o(s 2 ) für 2. Der ZGWS hat eie lage Verbesserugsgeschichte hiter sich. Gelegetlich ist die Lyapuov-Bedigug eifacher zu verwede: s 2+δ r E( X k µ k 2+δ ) = für ei δ > w k

10 5 KAPITEL 5. ZENTRALER GRENZWERTSATZ VON LINDEBERG-LÉVY 3. Der Satz liefert eie Begrüdug für die Allgegewart der Normalverteilug. Ei wichtiger Spezialfall ist Satz 5. (ZGWS St. I) Es seie Y, Y 2,... u.i.v. ZV mit EY = µ < ud < Var(Y ) = σ 2 <. Da gilt: Y + Y µ σ d Z N(, ) Beweis Sei X k := Y k, r =, (Ω, A, P ) = (Ω, A, P ). Es gilt: s 2 = σ 2 ud r s 2 X k µ k >εs (X k µ k ) 2 dp = σ 2 Y µ >ε σ (Y µ ) 2 dp =: I Da z := (ε σ, ) ( Y µ )(Y µ ) 2 (Y µ ) 2 ud z = folgt mit majorisierter Kovergez, dass I =. Also ist die Lideberg-Bedigug erfüllt ud die Behauptug folgt mit Satz 5.. Beweis Beweis vo Satz 5. O.B.d.A: µ k = ud s =. Aderfalls ersetze X k durch X k µ k s. Idee: Verwede S.5.9: Sei ϕ k die charakteristische Fuktio vo X k ud ϕ s vo r = X k : ϕ s (t) = r ϕ k (t) ϕ z (t) = e t 2 2 Zu zeige: r φ k (t) φ z (t) = e t2 2 t R Mit Lemma 5. (m = 3): eitx ( + itx 2 t2 x 2 ) mi{ tx 3, tx 2 } x R 3! mi{ tx 3, tx 2 } die Itegral über x liefert (beachte: EX = ) φ k (t) ( 2 t2 σ 2 k ) E mi{ tx k 2, tx k 3 } =: M k Sei ε > beliebig. Es gilt = r M k X k ε t 3 εσ 2 k + t 2 r M k t 3 ε + t 2 tx k 3 dp + tx k 2 dp X k >ε X k >ε X k >ε X 2 k dp X 2 k dp ε t 3 + folgt mit (L)

11 5.3. VERTEILUNGSKONVERGENZ 5 Mit ε folgt: r φ k (t) ( 2 t2 σ 2 k ) = t R () Behauptug: r k φ k (t) r ( 2 t2 σ 2 k ) = t R (2) Beweis: ε > gilt: σ 2 k X 2 k dp + ε 2 X k >ε Mit ε : = sup max{σ 2 k k r } ( r ) ε 2 + X 2 k dp (L) = ε 2 + X k >ε max{σ2 k k r } = (3) = t R, N, so dass : 2 t2 σ 2 k k {,..., r } = Für läßt sich das i (2) ach Lemma 5.2 durch die Summe i () abschätze, d.h. () = (2) Es bleibt zu zeige: r exp( 2 t2 σ 2 k ) }{{} =e 2 t2 Behauptug fogt mit Lemma 5.2 falls r r ( 2 t2 σ 2 k ) = t R exp( 2 t2 σ 2 k ) + 2 t2 σ 2 k = (4) Für x R mit x 2 gilt ex x 2 j=2 x j x 2 = r exp( 2 t2 σ 2 k ) + }{{} 2 t2 σ 2 k r 4 t4 =x σ 4 k Wege r σ 4 k max{σ 2 k k r } Also (3) = (4) r σ 2 k }{{} =,(3)

12 52 KAPITEL 5. ZENTRALER GRENZWERTSATZ VON LINDEBERG-LÉVY Beispiel 5.3 (Rekorde) Sei (Ω, A, P ) ei Wahrscheilichkeitsraum ud X, X 2,... eie Folge vo uabhägige idetisch verteilte Zufallsvariable darauf mit absolutstetiger Verteilugsfuktio F. Setze: {, falls X > X i, i =,..., R :=, sost R = -ter Versuch ist ei Rekord. F stetig = P (X i = X j ) = i j = A := {ω Ω i j, X i (ω) = X j (ω)} = {X i = X j } = P (A) = i,j N,i j Sei S die Mege der Permutatioe der Zahle,...,. Sei Ψ : Ω S gegebe durch Ψ = π X π() < X π(2) < < X π() Ψ ist messbar, da Ψ ({π}) = i= {X π(i) < X π(i+) }. Beispiel 3.5 = (X π(),..., X π() ) = d }{{} A (X,..., X ) π S. Ist B := {(x,..., x ) R x < < x } so gilt: P (Ψ = π) = P ((X π(),..., X π() ) B) = P ((X,..., X ) B) = P (Ψ = id) uahägig vo π = P (Ψ = π) =! π S ud P (R = ) = P (Ψ {π S π() = }) = = R B(, ) sid also icht idetisch verteilt Wege {R + = } {Ψ = π} = {Ψ + = π} mit { π(i), i π(i) = +, i = + folgt: P (Ψ = π, R + = ) = ( + )! = P (Ψ = π) P (R + = ) }{{}}{{} =! + π S = Ψ ud R + sid uabhägig = Da (R,..., R ) = G(Ψ ) sid R + ud (R,..., R ) uabhägig = P (R i = j,..., R i = j ) = P (R i = j,..., R i = j ) P (R i = j ) =... P (R i = j )... P (R i = j ) für i < i 2 <... < i, j,..., j {, }. = die Zufallsvariable (R ) N sid uabhägig

13 5.3. VERTEILUNGSKONVERGENZ 53 Wie viele Rekorde gibt es uter de erste Versuche? S := i= R i Es gilt: Isbesodere: Var(S ) = ES = ER k = Var(R k ) = k k ( k ) = ES Var(S ), log log k k 2 Mit dem zetrale Gezwertsatz (ZGWS) bekomme wir geauere Aussage: Sei X k = R k, r = = s = (Var(S )) 2 Überprüfe der Lyapuov-Bedigug (δ = ): E R k ER }{{} k 3 = P (R k = ) ( ( ) 3 }{{} k )3 + P (R k = ) 2 }{{} k k = k = k = k k = s 3 E R k ER k 3 s 3 Der Zetrale Grezwertsatz (Satz 5.) liefert S ES V ar(s ) d Z N(, ) 2 k für bzw. S log() log() d Z N(, ) Also für große : P (log(), 96 log() S log()+, 96 log()) P (, 96 Z, 96) =, 9. Beispiel 5.4 (G. Polya, 93: Eie Wahrscheilichkeitsaufgabe zur Kudewerbug, oder: Coupo Collector s Problem ) Ure mit verschiedee Kugel, Ziehe mit Zurücklege S = Azahl der Züge, bis r = [φ ], < φ < verschiedee Kugel gezoge werde. Es sei X k = Azahl der bis zum Erhalt eier eue Kugel ötige Züge, we bereits k verschiedee Kugel gezoge (ud zurückgelegt) wurde. X :=. X k Geo( k+ ), d.h. P (X k = j) = ( k )j k+, j =, 2,.... Falls Y Geo(p), p (, ] mit Y bei p =, gilt: EY = p p, Var(Y ) =, EY 4 24 p 2 p 4 Für S = X + + X r erhalte wir µ := ES = r k+ ud s2 =

14 54 KAPITEL 5. ZENTRALER GRENZWERTSATZ VON LINDEBERG-LÉVY Var(S ) = r = r. ) 2 ( k+) 2 Wir prüfe die Lyapuov-Bedigug mit δ = 2: Für Y Geo(p) gilt: k ( k+ Isbesodere ist damit r k E(Y p )4 E(max{Y, p })4 EY 4 + p 4 25 p 4. E X k µ k 4 25 Wege s 2 damit 2 r r ( (k ) 25 [φ ] )4 ( φ) 4 = O(). (k ) = 2 (r ) r 2 (φ )φ = Θ() folgt ( r s 2+2 Also folgt mit dem Zetrale Grezwertsatz: S ES Var(S ) E X k µ k 2+2 ) =. d Z N(, ) Weiter gilt: ES = r φ k = r x dx + O( ) = log( φ) + O( ). Aalog: ( Var(S2 )) = φ x dx = ( x) 2 Mit a(φ) = log( φ), b(φ) := x dx + O( ) = r φ φ + log( φ). φ φ + log( φ) folgt: x dx + O( ) = S a(φ) b(φ) d Z N(, ) Beispiel (Numerisches Beispiel) Wie groß muss ihr Bekatekreis sei, damit mit eier Wahrscheilichkeit vo midestes,95 a 8 Tage im Jahr Geburtstag gefeiert werde ka? Also: = 365, φ = 8 365, S k S a(φ) b(φ) k a(φ) (b(φ) }{{} Z Φ( k a(φ) b(φ) ), 95 k a(φ) +, 645 b(φ) = k 266. } {{ } =,645 Für φ = ka ma de Zetrale Grezwertsatz icht mehr awede: r =, Var(S ) = k ( k+) 2 = k k 2 = 2 k 2 k = 2 π2 6 + o(2 ). Var(X, ) = = 2 + o( 2 ) = bei großem steckt etwa 6, 6 der Variabilität der Summe im letzte Summade. Wir köe jetzt eie adere Skalierug 2 π 2 fide, allerdigs ist die Grezverteilug da keie Normalverteilug mehr! Sei A m,i das Ereigis, dass die Kugel i i de erste m Ziehuge icht auftaucht

15 5.3. VERTEILUNGSKONVERGENZ 55 = {S > m} = i= A m,i. (S ist die Azahl der Züge, bis alle verschiedee Kugel midestes eimal gezoge worde sid) Mit der Siebformel: P (S > m) = ( ) k+ i <i 2 < <i k k ( ) P ( A m,il ) = ( ) k+ ( k k )m Sei c ( R fest, m = [ log() + c]. Für x > gilt log( + x) x. Damit: log k) ( ( ) k m ) k log () log (k!) + log ( k ) s.o. ( log () + c ) k log () log (k!) k ( log () + c ) ck + k log (k!) ( ) ( = ( )k+ k ) m k k! exp( k ck) c R. Ählich: ( )k+ Isgesamt: ( ( S log () P )) > c l= ( ) ( k ) m = ( ) k+ k k! e ck k N. = (P (S > m )) = = maj. Kov. = = ( ( ( ) k+ k ( ( ( ) k+ k ( ( ( ) k+ k ( ) k+ ( e c ) k k! = e e c ) ( k ) ) m ) ( k ) ) m ) ( k ) m ) Das Wahrscheilichkeitsmaß auf (R, B) mit der Verteilugsfuktio F (x) = e e x x R heißt Gumbel-Verteilug. Also gilt: S log() d Z Gumbel. Beispiel (Variatio des umerische Beispiels vo obe) Der Bekatekreis soll jetzt so groß sei, dass mit eier Wahrscheilichkeit vo midestes,95 täglich gefeiert werde ka. = k 365 log(365) 365 2, , 5 (?)

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