Vorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2017, 3/2 SWS. Prof. Dr. M. Voigt

Transkript

1 Vorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2017, 3/2 SWS Prof. Dr. M. Voigt 21. März 2017

2 II

3 Inhaltsverzeichnis 5 Grundlagen Funktionen einer Variablen Grundlagen Inverse Abbildung Bildungsvorschriften: Eigenschaften und Operationen spezielle Funktionen Potenz- und Wurzelfunktionen Eponential- und Logarithmusfunktionen Komplee Zahlen Einführung Algebraische Form kompleer Zahlen Arithmetische Operationen Gaußsche Zahlenebene, Betrag, konjugiert komplee Zahl Trigonometrische und eponentielle Form kompleer Zahlen Potenzen und Wurzeln Polynome Polynome über R Hornerform Nullstellen und Faktorzerlegung Polynome über C Rationale Funktionen Funktionen in der Wirtschaftsmathematik Angebots-Funktion Preis-Absatz-Funktion Erlös- bzw. Umsatz-Funktion Kostenfunktion Stückkostenfunktion variable Stückkosten Gewinnfunktion, Deckungsbeitrag Stückgewinnfunktion Produktionsfunktion III

4 IV INHALTSVERZEICHNIS Materialverbrauchsfunktion

5 Kapitel 5 Grundlagen 5.1 Funktionen einer Variablen Grundlagen (a) Begriffe: Eine Funktion f ist eindeutig bestimmt durch die Angabe der folgenden drei Größen A = D(f): Menge, Definitionsbereich von f B: Menge f(a) = b: Bildungsvorschrift, die jedem Element a A eindeutig ein Element b B zuordnet (b) Bezeichnungen/ Schreibweisen: a A Argument von f b = f(a) Bildvona, Funktionswertvon f an der Stelle a. W(f) = {f(a) a A} Wertebereich von f G f := {(,y) D(f) W(f) y = f()} Graph der Funktion f. f() wird nach f() abgebildet f : A B f bildet ab von A nach B f : D(f) C B f ist eine Abbildung aus C nach B Beispiele: Funktionen, Bezeichnungen f : R R,f() = 2 f : D(f) R R +,f() = f : D(f) R R : f() = ± 1 2 1

6 (c) Weitere Definitionen Bezeichnung Bedeutung: symbolisch Injektion zu jedem b B gibt es höchstens ein a A mit f(a) = b, d.h. a 1 a 2 f(a 1 ) f(a 2 ) Bijektion zu jedem b B gibt es genau ein a A mit f(a) = b Erklärung f ist eine eineindeutige Abbildung, d.h. zu verschiedenen Argumenten gehören verschiedene Bilder f ist eine eineindeutige Abbildung auf B Beispiele: Eigenschaften von Funktionen f : R R,f() = 2 f : D(f) R R +,f() = Inverse Abbildung Falls f : A B bijektiv ist, so eistiert die inverse Abbildung g = f 1 : B A mit g(b) = a f(a) = b a A (f 1 (f(a)) = a (a) Ermittlung der inversen Abbildung: Umstellen der Zuordnung nach, eventuell Variablentausch (b) Beispiele: inverse Abbildung f : D(f) R R +,y = f() = f : R (0, ) : y = f() = e (c) Bemerkung: Der Definitionsbereich D(f) ist gleich dem Wertebereich W(g) der inversen Funktion und der Wertebereich W(f) ist gleich dem Definitionsbereich D(g) der inversen Funktion Bildungsvorschriften: implizit gegebene Funktion eplizit gegebene Funktion zusammengesetzte Funktion F(,y) = 0 y = f() Funktion ist abschnittsweise definiert die Bildungsvorschrift ist in Form einer Gleichung gegeben, die nicht nach der abhängigen Variablen aufgelöst ist die Bildungsvorschrift ist in Form einer Gleichung gegeben, die nach der abhängigen Variablen aufgelöst ist z.b. f() = < < <

7 y 3 2 y = f( ) = e y 3 2 y = f( ) = e 1-1 = f ( y) = ln y y = f ( ) = ln -3-3 Abbildung 5.1: Die Eponentialfunktion y = f() = e und ihre Umkehrfunktion = f 1 (y) = ln(y) und rechts deren Bild y = ln() nach Vertauschen der Variablen Beispiel: Darstellung von Funktionen f : D(f) R + R + : y = f() mit 2 +y 2 1 = Eigenschaften und Operationen (a) Monotonie von Funktionen: I D(f) f monoton wachsend auf I, f streng monoton wachsend auf I, f monoton fallend auf I, f streng monoton fallend auf I, 1, 2 I gilt: aus 1 < 2 folgt f( 1 ) f( 2 ) f( 1 ) < f( 2 ) f( 1 ) f( 2 ) f( 1 ) > f( 2 ) (b) Krümmung von Funktionen: 1 < 2, I = [ 1, 2 ] D(f) f konve, f streng konve, f konkav, f streng konkav, s [0,1] und = s 1 +(1 s) 2, gilt: (c) Progressiv und degressiv steigende bzw. fallende Funktionen: f() sf( 1 )+(1 s)f( 2 ) f() < sf( 1 )+(1 s)f( 2 ) f() sf( 1 )+(1 s)f( 2 ) f() > sf( 1 )+(1 s)f( 2 ) f progressiv steigend f monoton steigend und konve f degressiv steigend f monoton steigend und konkav f progressiv fallend f monoton fallend und konkav f degressiv fallend f monoton fallend und konve

8 y y f konve f konkav Abbildung 5.2: Konvee und konkave Funktionen y y f progressiv wachsend f degressiv wachsend f progressiv fallend f degressiv fallend Abbildung 5.3: Wachstumseigenschaften von Funktionen

9 (d) Operationen: Gleichheit f = g D(f) = D(g) f() = g() D(f)) f ist Einschränkung D(f) D(g) f() = g() D(f)) von g auf D(f), g ist Erweiterung von f auf D(g) verkettete, mittelbare Funktion h = g f h() = g(f()), wobei W(f) D(g) D(h) = D(f) f heißt innere Funktion, g heißt äußere Funktion; Nullstellenvonf i Lösungen der Gleichung f() = 0, ( i D(f)) Translation, Verschiebung y = f( a)+b Verschiebung des Graphen von y = f() um den Vektor (a,b) T Streckung y = b f( a ) Streckung des Graphen von y = f() um den Faktor a parallel zur -Achse und den Faktor b parallel zur y-achse Stauchung Streckung mit a < 1 und/oder b < 1 Spiegelung Streckung mit a < 0 und/oder b < 0 Beispiele: Operationen g : R R,g() = 2 f : R + R,f() = 2 f : R (0, ),f() = e, g : R R,g() = spezielle Funktionen Potenz- und Wurzelfunktionen Potenzfunktionen f() = n, n {2,3,...} Wurzelfunktionen f() = n, n {2,3,...} D f = R, W f = { R + n gerade R n ungerade D f = R +, W f = R + sind die Umkehrfunktionen zu den Potenzfunktionen, wenn bei diesen der Definitionsbereich auf R + eingeschränkt wird! (Es ist nicht zwingend notwendig, die Wurzelfunktionen f() = n mit ungeradem n nur für nichtnegative zu definieren, man kann diese Funktionen auch

10 für beliebige R definieren. Die Einschränkung auf nichtnegative Argumente bringt aber eine Reihe von wünschenswerten Eigenschaften.) Es gilt damit: Definition: y = f 1 () = 1 3, y = f2 () = 2 6 = 6 2, y = f 3 () = 2 6 = ( 6 ) 2 f : D(f) R R heißt gerade Funktion, sofern f() = f( ) für alle D(f) gilt. f : D(f) R R heißt ungerade Funktion, sofern f() = f( ) für alle D(f) gilt Eponential- und Logarithmusfunktionen Eponentialfunktion f() = a (a > 0) D f = R, W f = (0, ) Logarithmusfunktion f() = log a () D f = (0, ), W f = R Umkehrfunktion zur Eponentialfkt. y = e -2 y 9 7 y = e 3 y 2 y = ln 5 1 y = 1_ 3 ln 3 y = e y = - 1_ 2 ln -2 Abbildung 5.4: Eponential- und Logarithmusfunktion e Funktion f() = e, e = natürlicher Logarithmus f() = ln() Umkehrfunktion zur e Funktion. Es gilt y = e = ln(y).

11 Wegen log a () = ln() genügt es, sich mit der e Funktion und ihrer Umkehrfunktion zu beschäftigen. ln(a) Es gelten: Potenz-Gesetze: Logarithmen-Gesetze: e +y e y e y = e e y = e e y = (e ) y ln( y) = ln()+ln(y) ( ) ln = ln() lny y ln( y ) = y ln() 5.3 Komplee Zahlen Einführung Gauß (18./19. Jahrhundert) N: +a = 0 keine Lösung (a 0) Z: +a = 0 = a a = 1 keine Lösung a 1 Q: a = 1 = 1/a (a 0) 2 = 2 keine Lösung R: 2 = a = ± a (a 0) 2 = 1 keine Lösung C: i := 1,i 2 = = 0 = 2± 9 = 2±3i Algebraische Form kompleer Zahlen Komplee Zahlen sind Zahlen der Form z = +i y mit,y R und i = 1 Bezeichnungen: = Re(z): Realteil von z y = Im(z): Imaginärteil von z i: imaginäre Einheit, i 2 = 1 C := {z = +iy,y R} Dann gilt für z C : z R Im(z) = 0 z = +i 0 =

12 Arithmetische Operationen für z = a+ib = r z e iϕz und w = c+id = r w e ϕw gilt: Gleichheit z = w d.h. a+ib = c+id a = c b = d Addition/Subtraktion z ±w = (a+ib)±(c+id) = (a±c)+i(b±d) Multiplikation z w = (a+ib) (c+id) = (ac bd)+i(ad+bc) z Division = a+ib = (a+ib)(c id) = ac+bd +i ad+bc w c+id (c+id)(c id) c 2 +d 2 c 2 +d 2 Beispiele komplee Zahlen Gaußsche Zahlenebene, Betrag, konjugiert komplee Zahl Die komplee Zahl z = +iy entspricht dem Punkt (,y) in der Ebene r = z = 2 +y 2 entspricht dem Abstand von z zum Ursprung =0 und wird Betrag von z genannt. z := iy: heisst konjugiert komplee Zahl von z. Beispiel: M = {z C z = 2} Regeln (R1) z z = (+iy)( iy) = 2 +y 2 = z 2 (R2) Re( z) = Re(z), Im( z) = Im(z) (R3) z = z, z = 0 z = 0 (R4) z w = z w z,w C

13 Trigonometrische und eponentielle Form kompleer Zahlen Die komplee Zahl z = +iy ist auch eindeutig bestimmt durch Betrag: z Länge der Strecke von z zum Ursprung und das Argument: arg(z) = ϕ Winkel zwischen positiver reeller Achse und Strahl von 0 nach z. Bemerkung: ϕ ist nicht eindeutig, der Hauptwert von arg z liegt in [ π,π) (a) algebraische Form: z = +iy (b) trigonometrische Form: z = r(cosϕ+isinϕ) (c) eponentielle Form: Mit der Formel von Euler e iϕ := cosϕ+isinϕ erhalten wir die eponentielle Form z = re iϕ (d) Umrechnungen: (e) Beispiele: trigonometrisch/eponentiell algebraisch Gegeben: z = r,arg(z) = ϕ a = Re(z) = rcosϕ b = Im(z) = rsinϕ algebraisch trigonometrisch/eponentiell Gegeben: Re(z) = a,im(z) = b r = z = a 2 +b 2 ϕ = arg(z) bestimmbar aus: cosϕ = a/r,sinϕ = b/r,ϕ ( π,π] z = 2e iπ 4 z = 2 i Potenzen und Wurzeln (a) Die Formeln von De Moivre -) e iϕ e iψ = e i(ϕ+ψ), -) (e iϕ ) n = e inϕ (n N)

14 (b) Multiplikation und Division Für z = z e iϕ, w = w e iψ gilt: zw = z w e i(ϕ+ψ) z n = z n e inϕ z w = z w ei(ϕ ψ) Beispiele: z = i, w = i (c) n-te Wurzel Gegeben: a C Gesucht: z C mit z n = a Lösung: Darstellung von a in eponentieller Form a = a e iϕ = a e i(ϕ+2kπ) k Z n Lösungen: z k = n a e i(ϕ+2kπ) n k = 0,...,n 1 Beispiele: z 3 = 1+i, z 4 = 2 2i 5.4 Polynome Polynome über R (a) Definition: Eine Funktion p : R R heißt Polynom vom Grade n, wenn es Zahlen a 0,...,a n R, a n 0 derart gibt, daß p() = a 0 +a 1 +a a n n = n a k k für alle R gilt. (b) Bezeichnungen: k=0 a k für k = 0,...,n: Koeffizienten des Polynoms n: Grad des Polynoms (c) Regeln: -) Addition und Subtraction n a k k ± k=0 n b k k = k=0 n (a k ±b k ) k k=0

15 ) Koeffizientenvergleich n a k k = k=0 n b k k a k = b k (0 k n) k=0 (d) einfache Polynome: lineare Funktionen, quadratische Funktionen Hornerform Ziel: vereinfachte Funktionswertberechnung (a) Hornerform eines Polynoms f() = n a k k (W.G.Horner, ): k=0 f() = (...(( a }{{} n +a n 1 )+a n 2 )+ +a 1 )+a 0 n 1 Beispiel: f() = (b) Hornerschema zur Funktionswertberechnung an der Stelle = b a n a n 1 a n 2... a 1 a 0 + c n b c n 1 b... c 2 b c 1 b b ր ր ր ր ր c n = a n c n 1 c n 2 c 1 f(b) (c) weitere Anwendung: Division von f() durch b f() = ( b)(c n n 1 +c n 1 n 2 + +c 2 +c 1 )+f(b) (d) Bemerkung: Ist b Nullstelle von f(), so gilt f() = ( b) g() R wobei g() wieder ein Polynom ist Nullstellen und Faktorzerlegung (a) Definitionen: Als Nullstelle einer Funktion f : D(f) R R bezeichnet man jede Lösung der Gleichung f() = 0, D(f). Betrachten Polynom p : R R b R ist Nullstelle von p() es eistiert ein Polynom h() mit p() = ( b)h().

16 b R heißt l-fache Nullstelle von p(), sofern ein Polynom g() eistiert mit p() = ( b) l g(). l heißt dann die Vielfachheit von b. (b) reelle Faktorzerlegung: Für jedes Polynom p : R R eistiert die Faktorzerlegung p() = a n ( b 1 ) l 1...( b r ) lr ( 2 +c 1 +d 1 ) k 1...( 2 +c s +d s ) ks mit den reellen Nullstellen b i der Vielfachheit l i (i = 1,...,r) und den quadratischen Polynomen 2 + c i + d i der Vielfachheit k i (i = 1,...,s), die in R keine Nullstelle haben. (c) Bemerkung: Kennt man eine Nullstelle b des Polynoms p(), so bestimmt man h() mit p() = ( b) a h(), z.b. durch wiederholte Anwendung des Hornerschemas (erweitertes Hornerschema) und versucht dann Nullstellen von h() zu ermitteln. Beispiel reelle Faktorzerlegung: p() = Polynome über C (a) Definition: Eine Funktion p : C C heißt Polynom vom Grade n, wenn es Zahlen a 0,...,a n C, a n 0 derart gibt, daß p(z) = a 0 +a 1 z +a 2 z 2 + +a n z n = n a k z k für alle z C gilt. Die Regeln für Polynome über C sind analog den Regeln für Polynome über R. (b) Fundamentalsatz der Algebra: Jedes komplee Polynom p(z) = n k=0 k=0 p(z) = a n (z w 1 ) l 1 (z w 2 ) l 2...(z w k ) l k a k z k besitzt die Faktorisierung mit den verschiedenen Nullstellen w i C der Vielfachheit l i (i = 1,...,k) und l 1 + l l k = n. Ein Polynom vom Grade n 1 besitzt also genau n Nullstellen in C, wobei jede Nullstelle so oft gezählt wird, wie ihre Vielfachheit angibt. Beispiel komplee Faktorzerlegung: p() =

17 (c) Bemerkung: Jedes Polynom über R kann als Polynom über C aufgefaßt werden. (d) Satz: Mit jeder Nullstelle w eines Polynoms p mit reellen Koeffizienten ist auch die konjugiert komplee Zahl w eine Nullstelle von p, d.h. die nicht reellen Nullstellen von p treten stets als konjugierte Paare w und w auf. Beispiel Nullstellen reeller Polynome: p() = Rationale Funktionen (a) Definition: Seien p() und q() Polynome über R. f() = p() heißt gebrochen rationale Funktion. q() (b) Satz: Jede rationale Funktion f() = p() mit Zählergrad Nennergrad q() läßt sich darstellen als p() = h() + r() mit einem Polynom h() und q() q() einem Restpolynom r() mit Grad(r) < Grad(q) (echt gebrochen rationale Funktion). Beispiel Polynomdividion: p() = 3 1,q() = 1 y y Abbildung 5.5: Polstellen gerader (links, ohne Vorzeichenwechsel...) und ungerader Ordnung (rechts, mit Vorzeichenwechsel in den Funktionswerten) (c) Polstellen, Asymptoten und Lücken Eine Polstelle einer Funktion liegt vor, wenn die Beträge der Werte der Funktion in der Umgebung dieser Stelle beliebig groß werden, d.h. die Werte der Funktion streben gegen + oder. Der Graph der Funktion besitzt an dieser Stelle eine vertikale Asymptote.

18 Für rationale Funktionen f() = p() q() gilt Nullstellen der Funktion y = f() sind alle Nullstellen des Zähler-Polynoms p() im Definitionsbereich D(f) Polstellen und Lücken (hebbare Unstetigkeits-Stellen) der Funktion y = f() sind alle Nullstellen des Nenner-Polynoms. Wenn j eine k n -fache Nullstelle des Nenner-Polynoms q() (k n > 0) und eine k z -fache Nullstelle des Zähler-Polynoms p() ist, dann gilt: k z k n k n > k z Beispiele Polstellen/Lücken: f() = 1/( 2) f() = 1/( 2) 2 f() = ( 2)2 (+1) 2 ( 2) = j ist eine Lücke, und = j ist eine Polstelle (k n k z )-ter Ordnung.

19 Funktionen in der Wirtschaftsmathematik Angebots-Funktion Bedeutung: = (p), p D() = R + (gewinnmaimierende) Angebots-Menge in Abhängigkeit vom erzielbaren Preis (bei vollkommener Konkurrenz); Eigenschaften: positiv, monoton steigend, i.a. mit Sättigungswert; Beispiel: (p) = 10 (1 e 2 p 3 ), p D() = [2, ); s. Folie Bemerkung: ökonomisch nur sinnvoll für Preis-Absatz-Funktion Bedeutung: = (p), p D() = {p R + (p) 0} p = p(), D(p) = { R + p() 0} Absatzmenge in Abhängigkeit vom Preis bzw. erzielbarer Preis in Abhängigkeit von der abzusetzenden Menge; Eigenschaften: beide Funktionen sind monoton fallend und zueinander invers (Umkehrfunktionen); Beispiel: (p) = p p() = ; p D() = [0,100], D(p) = [0,250]; Erlös- bzw. Umsatz-Funktion Bedeutung: E() = p(), D(E()) = D(p) E(p) = p (p), D(E(p)) = D() Erlös/Umsatz in Abhängigkeit vom Absatz oder vom Preis; Eigenschaften: im monopolistischen Fall degressiv steigend bis zum Erlös- Maimum, dann progressiv fallend; im polypolistischen Fall (p konstant) linear steigend; Beispiel: Kostenfunktion E() = , D(E()) = [0,250], s. Folie E(p) = 250p 2.5p 2, p D(E(p)) = [0,100], K() = K f +K v (), D(K) = R +, K f 0 : Fikosten, K v () : variable Kosten

20 E p 6000 E = E( ) = ( p) p = p( ) p Abbildung 5.6: Graph einer Angebotsfunktion (links) sowie einer Preis-Absatz- Funktion und der zugehörigen Erlösfunktion eines monopol. Unternehmens (rechts) Bedeutung: Produktionskosten in Abhängigkeit von der Produktionsmenge; Eigenschaften: positiv, monoton steigend; Eine Kostenfunktion heißt ertragsgesetzlich, wenn sie auf [0, S ] degressiv und auf [ S, ) progressiv steigend ist, S heißt dann Schwelle des Ertragsgesetzes; Beispiel: K() = , D(K) = R +, S = 100 3, K f = 800; K v () = ; s. Folie Stückkostenfunktion Bedeutung: k() = K(), D(k) = (0, ) Produktionskosten je Mengeneinheit in Abhängigkeit von der Produktionsmenge; Eigenschaften: positiv, monoton fallend auf (0, o ], monoton steigend auf [ o, ),dasminimumk min = k( o ) = p o derstückkosten wird beim Output o angenommen und heißt Betriebsoptimum, es stellt (langfristig) die untere Schranke p o für den Abgabepreis des Produktes dar, nur oberhalb dieser Schranke kann langfristig ohne Verlust produziert werden. Beispiel: k() = , D(k) = (0, ) o = , p o = k( o ) = istlangfr.Preisminimum.

21 K k K = K( ) K = K( ) k = k( ) E = E( ) G = G( ) Abbildung 5.7: Graph einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion und der zugehörigen Stückkostenfunktion (links) sowie Graph einer Kostenfunktion, einer Erlösfunktion und der zugehörigen Gewinnfunktion (rechts) variable Stückkosten Bedeutung: k v () = K v(), D(k) = (0, ) variabler Teil der Produktionskosten, bezogen auf eine Mengeneinheit des Outputs, in Abhängigkeit von der Produktionsmenge; Eigenschaften: positiv, monoton fallend auf (0, m ], monoton steigend auf [ m, ), das Minimum k vmin = k v ( m ) = p m der variablen Stückkosten heißt Betriebsminimum, es stellt (kurzfristig) die untere Schranke p m für den Abgabepreis des Produktes dar, nur oberhalb dieser Schranke können zumindest noch die laufenden Kosten der Produktion gedeckt werden. Beispiel: k v () = , D(k) = (0, ), m = 50, p m = k v ( m ) = 35 ist kurzfristiges Preisminimum, bei dem nur noch die laufenden Kosten gedeckt werden! Gewinnfunktion, Deckungsbeitrag Gewinnfunktion G() = E() K(), D(G) = D(p), Deckungsbeitrag D() = E() K v () = G()+K f, D(D) = D(p)

22 Bedeutung: Gewinn (Deckungsbeitrag) in Abhängigkeit vom Output Eigenschaften: monoton steigend bis zum Output Gma = Dma mit maimalem Gewinn/Deckungsbeitrag, danach progressiv fallend; die Nullstellen 1 und 2 der Gewinnfunktion heißen untere/obere Gewinnschwelle, wenn gilt G() 0 [ 1, 2 ]; Beispiel: G() = , D(G) = [0,250] Gma = , G ma = , D ma = , 1 = , 2 = , s. Folie Stückgewinnfunktion Bedeutung: g() = G() = p() k(), D(g) = D(p)\{0} Gewinn je Mengeneinheit in Abhängigkeit vom Output Eigenschaften: monotonsteigendbiszumoutput gma mitmamalemstückgewinn, danach progressiv fallend Beispiel: g() = , D(g) = (0,250] gma = , g ma = Produktionsfunktion Bedeutung: (r), D((r)) = (0, ) Output in Abhängigkeit vom Input r Eigenschaften: monoton steigend, meist bis zu einer Sättigungsgrenze ma Beispiel: (r) = 1 ( 1 2 +r 1 2) 2, r (0, ), W f = (0,4), s. Folie Materialverbrauchsfunktion Bedeutung: r(), D(r) = [0, ma ) Verbrauch des Inputfaktors r in Abhängigkeit vom Output Umkehrfunktion der Produktionsfunktion Eigenschaften: monoton steigend Beispiel: r() = 4 (2 ) 2, D(r) = (0,4)