Mathematische Grundlagen

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1 Mathematische Grundlagen Katharina Renner-Martin Vorwort Dieser Lehrbehelf entstand im Rahmen der Lehrveranstaltung Mathematik für AW im Wintersemsester 207/8. Das Skriptum beinhaltet Fragen aus der Sprechstunde zur LV sowie 2 Musterprüfungen mit Lösungen und soll Studierenden des Studiengangs Agrarwissenschaften und Önologie als Unterstützung bei der Erarbeitung der Lehrinhalte dienen. Der Lehrbehelf richtet sich speziell an Studierende, die mathematische Grundlagen wiederholen oder auffrischen möchten, um mögliche Defizite oder Wissenslücken ausgleichen zu können. Die Musterprüfungen sollen Orientierung bieten und geben einen Einblick in Art und Umfang der möglichen Fragen in den Prüfungen. Die Autorin dankt der Universität für Bodenkultur für die finanzielle Unterstützung zur Erstellung dieses Lehrbehelfs. Besonderer Dank gilt allen Personen, die die Erarbeitung dieser Unterlagen unterstützt und möglich gemacht haben, besonders der Vizerektorin für Lehre Frau Univ. Prof. Mag. Dr. Barbara Hinterstoisser, dem Institutsvorstand Univ. Prof. Dr. phil. Werner Georg Nowak sowie dem Lehrveranstaltungsleiter Univ. Prof. Mag. Dr. Manfred Kühleitner.

2 Inhalt Vorwort... Zehnerpotenzen... 3 Umrechnen von Einheiten... 4 Prozentrechnung... 5 Linearisieren... 6 Der Unterschied zwischen rekursiv und explizit... 7 Halbwertszeit und mittlere Verweildauer... 9 Der Solver... 0 Die Methode der kleinsten Quadrate... 3 Musterprüfung... 6 Lösungen zu Musterprüfung... 8 Musterprüfung Lösungen zu Musterprüfung

3 Zehnerpotenzen Für unsere Zwecke reicht das Kennen folgender Zehnerpotenzen mit zugehörigen Vorsilben Vorsilbe Abkürzung Zahl in Exponentialschreibweise Zahl in Dezimalschreibweise Tera T Giga G Mega M Kilo K Hekto H Deka Da 0 0 Dezi D 0-0, Zenti C 0-2 0,0 Milli M 0-3 0,00 Mikro Μ 0-6 0, Nano N 0-9 0, Piko P 0-2 0, Aus Gründen der besseren Lesbarkeit der Zahlen in der Spalte Zahlen in Dezimalschreibweise sind jeweils Blöcke von 3 Ziffern zusammengefasst. Wir verwenden die Exponentialschreibweise und zugehörige Abkürzungen, um ungeeignete Dezimalschreibweisen zu vermeiden. Beispiele 0, m = 8 * 0-6 m = 8 μm 0,7 cm = 7 * 0 - cm = 7 mm 0,042 m = 4,2 * 0-2 m = 4,2 cm 9300 m = 9,3 * 0 3 m = 9,3 km 3

4 Umrechnen von Einheiten In der Praxis wird jede Zahl zusammen mit einer Maßeinheit angegeben. Erst durch die jeweilige Einheit kann ein Wert eindeutig eingeordnet werden. Auf die Frage Wann kommst Du uns besuchen? erwarten wir mehr als nur die Antwort 5. Die 5 wird erst mit einer Zeiteinheit zu einer aussagekräftigen Antwort, also in 5 Stunden, 5 Tagen, 5 Wochen oder gar in 5 Monaten. Dies gilt auch für Ergebnisse von Berechnungen: fehlt die Einheit gänzlich oder ist sie falsch, ist das Ergebnis nicht brauchbar. Für Berechnungen müssen wir Einheiten jedoch häufig zuerst umrechnen. Dies kann zum einen der Fall sein, wenn wir Größen addieren oder subtrahieren wollen und diese verschiedene Vorsätze einer Einheit haben. Um beispielsweise 5 cm und 3 mm zu addieren, rechnen wir also zunächst die 5 cm in mm um oder die 3 mm in cm. Für die Multiplikation und Division gilt ebenso, dass wenn in Zähler und Nenner verschiedene Vorsätze derselben Einheit vorkommen, man auch hier in die gleichen Vorsätze umrechnen muss, bevor man die Einheiten kürzen kann. Darüber hinaus ist die Multiplikation oder Division verschiedener Einheiten möglich, wir erhalten dann zusammengesetzte Einheiten wie beispielsweise km/h. Zum anderen müssen wir gegebenenfalls Einheiten umrechnen, wenn wir eine Formel verwenden, in die wir Größen mit einer ganz bestimmten Einheit einsetzen müssen (vgl. Aufgabe 6, Aufgaben Aufbaukurs Woche 2). In dieser Aufgabe zur Berechnung der Sinkgeschwindigkeit muss beispielsweise der Dichteunterschied in die gegebene Formel in kg/m 3 eingesetzt werden, wir kennen den Dichteunterschied zunächst jedoch nur in g/cm 3. Eine solche zusammengesetzte Größe rechnen wir mithilfe eines Bruches um. Beispiele 60 km/h in m/s 60 km h 60 km = h = m = 3600 s 60 m 3,6 s = 6,67 m s 80 g/cm 2 in kg/m 2 80 g 80 g = cm2 cm 2 = kg (0 2 m) 2 = kg 0 4 m 2 = 800 kg m 2 4

5 Prozentrechnung Mit Prozentangaben drückt man Mengen- oder Größenverhältnisse aus. Um das zu bewerkstelligen, benötigt man einen Grundwert, einen Prozentwert und einen Prozentsatz. Jede Prozentrechnung verwendet diese drei Begriffe, wobei Grundwert und Prozentwert dieselbe Einheit haben und der Prozentsatz eine Zahl ist. Die allgemeine Formel der Prozentrechnung ist Prozentsatz = Prozentwert Grundwert Diese Formel lässt sich natürlich je nach gefragter Größe beliebig umformen. Das Prozentzeichen % kann auch als verstanden werden und so ist % = = 0,0. Eine Prozentangabe lässt sich also auch als Bruch oder Dezimalzahl schreiben. Beispiele Prozentsatz = Prozentwert Grundwert = 2,5 = 2,5 % (WievielProzent sind 5 von 200?) 00 Prozentwert = 400 kg Grundwert 2% = Prozentsatz 400 kg 2 00 = 8 kg(wieviel kg sind 2 % von 400 kg?) Grundwert = Prozentwert 4 m 5 % Prozentsatz = 4 m 5 00 = 400 m 5 = 80 m (Von welcher Länge sind 4 m 5%?) 5

6 Linearisieren Unter Linearisieren verstehen wir das Umformen eines Ausdrucks, so dass wir eine lineare Funktion der Form y = k x + d erhalten. Beispiel y = a b x soll linearisiert werden. Um x aus dem Exponenten zu bekommen, logarithmieren wir und erhalten ln(y) = ln(a) + x ln (b). Zur Verdeutlichung ändern wir noch die Reihenfolge und erkennen ln(y) y = ln(b) k x + ln (a). Beim Umformen sind natürlich die Rechenregeln des Logarithmus zu beachten, in diesem speziellen Fall benötigen wir ln(a b) = ln(a) + ln (b)und ln(b x ) = x ln (b). d 6

7 Der Unterschied zwischen rekursiv und explizit Berechnet man einen Wert Xn explizit, so verwendet man eine Formel, aus der dieser Wert sofort berechnet werden kann. Die explizite Formel gibt also an, wie der Wert der schrittweise wachsenden oder kleiner werdenden Größe abhängig von der Anzahl n der Schritte berechnet wird. Bei einer rekursiven Berechnung gibt man den ersten Wert X an, sowie eine Formel, mit der man aus einem beliebigen Wert Xn den nachfolgenden Wert Xn+ berechnen kann. Es wird also angegeben, wie der Wert einer schrittweise wachsenden oder kleiner werdenden Größe in jedem Schritt aus dem Wert der Größe im vorherigen Schritt berechnet werden kann. Beispiel Wirnehmen an, dass ein Motorrad etwa 20% pro Jahr an Wert verliert. Nun betrachten wir ein Motorrad mit Neuwert und fragen uns wieviel es nach 6 Jahren noch Wert ist. Wirhaben hier einerseits die Möglichkeit mit Hilfe der expliziten Formel Restwertn = Neuwert *0,80 n den Wert des Motorrads nach 6 Jahren direkt zu berechnen: Restwert6= * 0,80 6 Restwert6= 3932,6 Die explizite Formel Restwertn = Neuwert *0,80 n ergibt sich aus folgender Überlegung: Das Motorrad ist bei einem Wertverlust von 20% pro Jahr nach einem Jahr noch 80% des Neuwertes wert, also Restwert = ,8. Ein weiteres Jahr später ist es wiederum 80% von Restwert wert, also Restwert 2 = Restwert 0,8 = ,8 0,8 = ,8 2. Restwert Analog berechnen wir den Wert nach dem 3. Jahr Restwert 3 = Restwert 2 0,8 = ,8 0,8 0,8 = ,8 3. Restwert 2 Dies könnten wir nun beliebig weiterführen, wir erkennen aber bereits die Formel Restwertn = Neuwert * 0,80 n. Andererseits lässt sich derwert des Motorrads nach 6 Jahren auch rekursiv berechnen. Hierzu verwenden wir die Überlegung von oben, dass bei einem jährlichen Wertverlust von 7

8 20%, das Motorrad nur mehr 80% des Wertes des Vorjahres wert ist, also Restwert neu=restwert alt*0,80. Berechnetman Schritt für Schritt jedes Jahr den Restwert des Motorrads, so kommt man nach 6 Jahren ebenso auf 3932,6. Restwert =Neuwert*0,80 = * 0,8 = Restwert 2=Restwert *0,80 = * 0,8 = Restwert 3=Restwert 2*0,80 = * 0,8 = Restwert 4=Restwert 3*0,80 = * 0,8 = 6.44 Restwert 5=Restwert 4*0,80 = 6.44 * 0,8 = 4.95,2 Restwert 6=Restwert 5*0,80 = 4.95,2 * 0,8 = 3.932,6 Rechnet man rekursiv, so muss man also jeden Schritt berechnen und kann nicht sofort vom Neuwert auf denrestwert nach 6 Jahren schließen. Im Gegensatz dazu berechnet man bei expliziter Berechnung sofort denrestwert nach 6 Jahren ohne denrestwert der Jahre bis 5 kennen zu müssen. 8

9 Halbwertszeit und mittlere Verweildauer Die mittlere Verweildauer ist der reziproke Wert der Zerfallskonstanten μ des exponentiellen Zerfalls (also μ = mittlere Verweildauer). Bei gegebener Formel des exponentiellen Zerfalls N t = N 0 exp ( μ t) ist μ die Zerfallskonstante und es gilt μ = ln (2) HWZ (HWZ = Halbwertszeit). Kennt man nur die mittlere Verweildauer, so kann man aufgrund dieses Zusammenhangs die Halbwertszeit berechnen. Beispiel Die mittlere Verweildauer einer chemischen Substanz in einer Pflanze sei 3 Wochen. Die Halbwertszeit lässt sich aus dieser Information folgendermaßen berechnen: μ ln (2) = 2 Tage, was wir umformen zu μ =. Nun wissen wir, dass μ = und 2 Tage HWZ können daher festhalten, dass ln(2) =. Wir müssen diese Gleichung nur noch nach HWZ 2 Tage der HWZ auflösen und erhalten HWZ = ln(2) 2 Tage = 4,56 Tage. Allgemein können wir uns merken, dass die Halbwertszeit etwa 70% der mittleren Verweildauer beträgt, da ln(2) = 0,69 ist. Die Halbwertszeit gibt an nach welcher Zeit eine abnehmende Größe nur noch die Hälfte des ursprünglichen Wertes hat. Wenn wir von 00% zu Beginn ausgehen und einer Halbwertszeit von 5 Tagen, dann sind nach Ablauf der 5 Tage nur noch 50% vorhanden und nach weiteren 5 Tagen nur noch 25% des Ausgangswertes. Gehen wir wieder von 00% zu Beginn aus, dann sind nach Verstreichen der mittleren Verweildauer noch exp(-) = 0,37, also 37% vorhanden. Vergeht eine weitere mittlere Verweildauer, so beträgt der vorhandene Rest exp(-2) = 0,35 und somit 3,5% des anfänglichen Wertes. Wir können uns diese Gegebenheit anhand der Formel des exponentiellen ZerfallsN t = N 0 exp ( μ t) deutlich machen. Wie wir bereits wissen, ist μ = mv (mv = mittlere Verweildauer) und eingesetzt in die Formel des exponentiellen Zerfalls erhalten wir N t = N 0 exp ( mv N t = N 0 exp ( ) stehen. t). Ist die Zeit t gleich der mittleren Verweildauer, so bleibt nur noch 9

10 Der Solver Der Solver ist ein Add-In-Programm für Excel, mithilfe dessen wir verschiedenste Aufgaben numerisch lösen können. Beispiel Eine Anzahl von Touristen unternimmt eine Ferienreise und bezahlt dafür dem Veranstalter Es sind kurzfristig 3 Personen erkrankt. Dadurch erhöht sich der Reisepreis für jeden einzelnen um 50. Wie viele Touristen wollten ursprünglich an der Reise teilnehmen? (Aufgabe, Quadratische Gleichung, Kapitel 2 im Skriptum Mathematik für Agrarwissenschaften ) Wir wollen diese Aufgabe in Excel lösen und verwenden dafür den Solver. Zunächst erstellen wir ein Tabellenblatt mit den uns gegebenen Informationen. Wir wissen nicht, wie viele Touristen ursprünglich die Reise buchten und wir kennen auch den Preis pro Tourist nicht, daher setzen wir in die Zellen A4 und B4 irgendwelche Zahlen ein. Wir wissen aber, dass sich der Gesamtpreis aus Anzahl Touristen und Preis pro Tourist zusammensetzt. Wir wissen auch, dass 3 Personen erkrankt sind und sich der Preis pro Person daher um 50 erhöht. Wir tragen in einer weiteren Zeile diese Information ein, also Anzahl der Touristen, die die Reise antreten ist A4-3. Entsprechend ist der Preis pro Tourist 0

11 dann B Der Gesamtpreis berechnet sich in dem Fall auch wie in der Zeile darüber aus Anzahl der Touristen und Preis pro Person. Nun öffnen wir den Solver. Zielzelle ist der Gesamtpreis in Zelle C4, dieser soll 9000 betragen.verändert werden sollen die Zellen A4 und B4, also die Anzahl der Touristen und der Preis pro Person. Und wir legen als Nebenbedingung fest, dass auch der Gesamtpreis der Reise mit veränderter Situation (3 erkrankte Personen) 9000 sein soll. Nach klicken auf Lösen im Dialogfeld des Solver erscheint die Lösung.

12 Der Solver bietet uns eine Menge von Vorteilen, so können wir im Gegensatz zur Zielwertsuche mehr als nur eine Zelle verändern lassen. Darüber hinaus können Nebenbedingungen verschiedenster Art hinzugefügt werden. 2

13 Die Methode der kleinsten Quadrate Die Methode der kleinsten Quadrate wenden wir an, wenn wir einen formelmäßigen Zusammenhang zwischen zwei Messgrößen beschreiben möchten und dazu die Parameter einer geeigneten Funktion bestimmt werden müssen. Beispiel Wir messen jede Woche das Gewicht eines Hundewelpen. Wir vermuten, dass der Zusammenhang der beiden Messgrößen (Alter und Gewicht des Welpen) linear ist, was wir anhand der graphischen Darstellung der Datenpunkte erkennen. Hierzu haben wir in Excel ein Tabellenblatt erstellt und in Spalte A das Alter des Hundes eingetragen und in Spalte B die jeweils zugehörigen Gewichte. 3

14 Um die Parameter der linearen Funktion mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate zu bestimmen, wird für jeden Parameter eine eigene Zelle vergeben und geeignete Startwerte gewählt. In einer weiteren Spalte wird nun die Modellfunktion berechnet, in unserem Fall y = k x + d. In einer weiteren Spalte berechnen wir die Abweichungsquadrate und summieren diese auf. Nun lassen wir mithilfe des Solvers die Abweichungsquadratsumme minimieren durch verändern der beiden Parameter k und d, die in den Zellen B4 und B5 stehen. 4

15 Lösen liefert die optimalen Werte k = 66,786 und d = 49,07. Zu diesem Ergebnis hätten wir in einem solch einfachen Fall auch durch die lineare Trendlinie kommen können. In Excel haben wir dabei die Möglichkeit, die Formel zur Trendlinie im Diagramm anzeigen zu lassen und so die Werte der Parameter zu bestimmen. Bei komplizierteren Modellen, bei denen wir die Parameter nicht mehr durch eine Trendlinie bestimmen können, ist die eben beschriebene Methode der kleinsten Quadrate anzuwenden. 5

16 Musterprüfung Aufgabe. Ein Auto verliert erfahrungsgemäß etwa 5% pro Jahr an Wert. a) Wie viel ist ein Auto mit Neuwert , nach 5 Jahren noch wert? b) Geben Sie eine Formel zur rekursiven Berechnung des Restwertes an. Verwenden Sie dazu die Begriffe Restwert neuund Restwert alt. c) Geben Sie die explizite Formel zur Berechnung des Restwertes an. d) In welchem Jahr tritt der größte Wertverlust (in ) auf? Aufgabe 2.Gewichtszunahme von Masthühnern. Im Alter von 3 Wochen kauft ein Bauer Küken welche durchschnittlich 0,2kg wiegen. Nach 2 Wochen Mast wogen die Hühner,2kg. a) Berechnen Sie die durchschnittliche wöchentliche Gewichtszunahme (in Kilogramm) während der Mastdauer. b) Geben Sie eine Formel an, mit der man die Mastdauer abhängig vom Gewicht berechnen kann. c) Berechnen Sie damit, wie viele Wochen man mästen muss, bis das Huhn 0,5kg schwer ist? Aufgabe 3. Linearisieren und Datenanpassung. a) Linearisieren Sie folgende Ausdrücke und geben Sie jeweils den Zusammenhang zwischen Achsenabschnitt und Steigung und den Parametern a und b an: i) y = ab x ii) y = ax b iii) y = ax b+x b) Zwischen zwei Größen besteht der Zusammenhang y = kx. Messungen liefern die Werte (x i, y i). Welchen Wert muss man für k wählen, damit alle Messpunkte möglichst nahe an der optimalen Gerade liegen? Leiten Sie die Formel für k nach der Methode der kleinsten Quadrate her. 6

17 Aufgabe 4. Exponentialfunktion. a) Die Effizienz einer PCR sei 90,55%. Geben Sie den prozentualen Unterschied der Menge an DNA nach 25 Zyklen an, wenn die Effizienz mit 90,6% angegeben wird. b) Ein Bioreaktor wird mit 5% seines Gesamtvolumens beimpft. Wie viele Verdopplungen finden statt bis der Bioreaktor zu 80% (=Arbeitsvolumen) mit Biomasse voll ist. c) Füllen Sie folgende Tabelle mit den Restwerten in % vom Anfangswert aus. Vielfache von MMMM MMM2MMM MMM3MMM MMM4MMM MMM5MMM Halbwertszeit 00% 50% mittlere Verweildauer 00% d) Füllen Sie folgende Tabelle für die Vielfachen der Dezimalreduktionsdauer aus. Überlebende in % Überlebende in Zehnerpotenzschreibweise Gestorbene in % 0D 00% 0% D 2D 3D 4D 5D 6D e) Die mittlere Verweildauer eines Düngemittels im Boden beträgt Woche. Berechnen Sie die Halbwertszeit. 7

18 Lösungen zu Musterprüfung Aufgabe. Ein Auto verliert erfahrungsgemäß etwa 5% pro Jahr an Wert. a) Wie viel ist ein Auto mit Neuwert , nach 5 Jahren noch wert? A: * 0,85 5 = 8874 b) Geben Sie eine Formel zur rekursiven Berechnung des Restwertes an. Verwenden Sie dazu die Begriffe Restwert neuund Restwert alt. A: Restwert neu=restwert alt*0,85 c) Geben Sie die explizite Formel zur Berechnung des Restwertes an. A: Restwert n=neuwert*0,85 n d) In welchem Jahr tritt der größte Wertverlust (in ) auf? A: im. Jahr Aufgabe 2.Gewichtszunahme von Masthühnern. Im Alter von 3 Wochen kauft ein Bauer Küken welche durchschnittlich 0,2kg wiegen. Nach 2 Wochen Mast wogen die Hühner,2kg. a) Berechnen Sie die durchschnittliche wöchentliche Gewichtszunahme (in Kilogramm) während der Mastdauer. A: (,2-0,2) kg/2 Wochen = 0,09 kg/woche b) Geben Sie eine Formel an, mit der man die Mastdauer abhängig vom Gewicht berechnen kann. A: Mastdauer (Wochen) = (Mastgewicht 0,2)/0,09 c) Berechnen Sie damit, wie viele Wochen man mästen muss, bis das Huhn 0,5kg schwer ist? A: 4,2 Wochen Aufgabe 3. Linearisieren und Datenanpassung. a) Linearisieren Sie folgende Ausdrücke und geben Sie jeweils den Zusammenhang zwischen Achsenabschnitt und Steigung und den Parametern a und b an: i) y = ab x ii) y = ax b iii) y = ax b+x i) y = ab x ii) y = ax b iii) y = ax b+x ln y = ln a + x ln b ln y = ln a + b ln x y = b + x ax = b a x + a halblogarithmisch doppeltlogarithmisch doppeltreziprok b) Zwischen zwei Größen besteht der Zusammenhang y = kx. Messungen liefern die Werte (x i, y i). Welchen Wert muss man für k wählen, damit alle Messpunkte möglichst nahe an der optimalen Gerade liegen? Leiten Sie die Formel für k nach der Methode der kleinsten Quadrate her. Es muss gelten: ( 2 2 kx y )² + ( kx y )² ( kx y )² Min n n Das Minimum erhalten wir durch Nullsetzen der ersten Ableitung (differenzieren nach k). 2 2 ( kx y) x + ( kx2 y2) x ( kxn yn) xn = 0 k x + x ² x ² = x y... x ² + ( ) Daraus folgt: 2 n n n und damit die optimale Steigung x y +... xn yn k = x ² + x ² x 2 n ² y 8

19 Aufgabe 4. Exponentialfunktion. a) Die Effizienz einer PCR sei 90,55%. Geben Sie den prozentualen Unterschied der Menge an DNA nach 25 Zyklen an, wenn die Effizienz mit 90,6% angegeben wird. End DNA =,9055^25 = End DNA =,906^25 = % = ( )/ = 0,0065 = 0,6% b) Ein Bioreaktor wird mit 5% seines Gesamtvolumens beimpft. Wie viele Verdopplungen finden statt bis der Bioreaktor zu 80% (=Arbeitsvolumen) mit Biomasse voll ist. 5% -> 0% -> 20% -> 40% -> 80%, somit 4 Verdopplungen c) Füllen Sie folgende Tabelle mit den Restwerten in % vom Anfangswert aus. Vielfache von MMMM MMM2MMM MMM3MMM MMM4MMM MMM5MMM Halbwertszeit 00% 50% 25% 2,5% 6,25% mittlere Verweildauer 00% Exp(-)=37% Exp(-2)=3,5% Exp(-3)=5% Exp(-4)=2% d) Füllen Sie folgende Tabelle für die Vielfachen der Dezimalreduktionsdauer aus. Überlebende in % Überlebende in Zehnerpotenzschreibweise Gestorbene in % 0D 00% 0% D % 2D % 3D 0, ,9% 4D 0, ,99% 5D 0, ,999% 6D 0, ,9999% e) Die mittlere Verweildauer eines Düngemittels im Boden beträgt Woche. Berechnen Sie die Halbwertszeit. HWZ = ca.70% der mittleren Verweildauer = 4,9 ~ 5 Tage 9

20 Musterprüfung 2 Aufgabe. Finanzmathematik. ) a) Leiten Sie die Formel zur Berechnung des Endkapitals unter Berücksichtigung von Zinseszinsen her. b) Lösen Sie diese nach der Laufzeit auf. Geben Sie auch den excel-internen Befehl zur Berechnung der Laufzeit an. c) Wie lautet die entsprechende Formel unter Berücksichtigung von 25% KEST? 2)Prozentannuität. Bei der Vergabe eines Kredits schreiben viele Banken eine anfängliche Mindesttilgung in Prozentpunkten von der Kreditsumme vor. Kredithöhe: Zinssatz: 5,5% p.a. Anfängliche Tilgung: 0% im ersten Jahr, dann konstante Annuität. Füllen Sie die ersten beiden Zeilen der Excel Tabelle mit Zahlenwerten korrekt aus. Jahr Restschuld zu Beginn des Jahres Zinsen Tilgung Annuität 0 3) Wertminderung. Ein Auto verliert erfahrungsgemäß etwa 5% pro Jahr an Wert. a) Berechnen Sie ausgehend von 00% Neuwert, den Restwert nach 5 Jahren.Wie viel ist ein Auto mit Neuwert , nach 5 Jahren, noch wert? b) Geben Sie eine Formel zur rekursiven Berechnung des Restwertes an. Verwenden Sie dazu die Begriffe Restwert neuund Restwert alt. c) Geben Sie die explizite Formel zur Berechnung des Restwertes an. d) In welchem Jahr tritt der größte Wertverlust (in ) auf? Aufgabe 2.Lineare Funktion. ) a) Wie lautet die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion durch den Punkt (0/0)? Welche Excel Trendlinie nimmt man in diesem Fall und was muss man in diesem Fall anhaken? b) Die Werte für k und d findet man in Excel mit Hilfe zweier excel-interner Befehle. Wie lauten diese Befehle? c) Im folgenden Diagramm ist der Graf von y=kx+d dargestellt. Kennzeichnen Sie die beiden Werte k und d durch Strecken im Diagramm. 20

21 2)Gewichtszunahme von Masthühnern. Im Alter von 3 Wochen kauft ein Bauer Küken welche durchschnittlich 0,2kg wiegen. Nach 2 Wochen Mast wogen die Hühner,2kg. i) Berechnen Sie die durchschnittliche wöchentliche Gewichtszunahme (in Kilogramm) während der Mastdauer. ii) Geben Sie eine Formel an, mit der man die Mastdauer abhängig vom Gewicht berechnen kann. iii) Berechnen Sie damit, wie viele Wochen man mästen muss, bis das Huhn 0,5kg schwer ist? 3) Linearisieren und Datenanpassung.Linearisieren Sie folgende Ausdrücke und geben Sie jeweils den Zusammenhang zwischen Achsenabschnitt und Steigung und den Parametern a und b an: i) y = ab x ii) y = ax b iii) y = ax b+x 4) Zwischen zwei Größen besteht der Zusammenhang y = kx. Leiten Sie die Formel für k nach der Methode der kleinsten Quadrate her. Aufgabe 3. Exponentialfunktion. a) Die Effizienz einer PCR sei 90,5%. Geben Sie die Menge an DNS nach 25 Zyklen an, wenn ursprünglich ng DNS vorhanden war. b) Ein Bioreaktor wird mit 5% seines Gesamtvolumens beimpft. Wie viele Verdopplungen finden statt bis der Bioreaktor zu 80% (=Arbeitsvolumen) mit Biomasse voll ist. c) Füllen Sie folgende Tabelle mit den Restwerten in % vom Anfangswert aus. Vielfache von MMMM MMM2MMM MMM3MMM MMM4MMM MMM5MMM Halbwertszeit 00% 50% mittlere Verweildauer 00% d) Füllen Sie folgende Tabelle für die Vielfachen der Dezimalreduktionsdauer aus. Überlebende in % Überlebende in Zehnerpotenzschreibweise Gestorbene in % 0D 00% 0% D 2D 3D 4D 5D 6D e) Die mittlere Verweildauer eines Düngemittels im Boden beträgt Woche. Berechnen Sie die Halbwertszeit. 2

22 f) Sterilisation von Keimen. Bei der Sterilisation sterben die Mikroorganismen nach einer Exponentialfunktion ab. Berechnen Sie die Sterberate, die Halbwertszeit und die Keimzahl nach 50min. Zeit nach Beginn der Sterilisation (Minuten) Keimzahl Aufgabe 4. Bei der Sterilisation sterben die Keime nach der Formel N = N 0 e kt. Erklären Sie und leiten Sie die Bedeutung der Größe /k her. 22

23 Lösungen zu Musterprüfung 2 Aufgabe. Finanzmathematik. ) a) Leiten Sie die Formel zur Berechnung des Endkapitals unter Berücksichtigung von Zinseszinsen her. b) Lösen Sie diese nach der Laufzeit auf. Geben Sie auch den excel-internen Befehl zur Berechnung der Laufzeit an. c) Wie lautet die entsprechende Formel unter Berücksichtigung von 25% KEST? a) Wir starten mit einem Kapital K 0. Nach einem Jahr kommen die Zinsen in der Höhe von K 0 p% hinzu, d.h. das Kapital K nach einem Jahr beträgt K = K 0 ( + p%). Das Kapital nach dem zweiten Jahr berechnet sich analog zu K 2 = K ( + p%) = K 0 ( + p%) 2. Allgemein K n = K 0 ( + p%) n Laufzeit = ZZR b)k n = K 0 ( + p%) n K n K 0 = ( + p%) n ln ( K n K 0 ) = n ln ( + p%) n = ln ( K n K 0 ) / ln( + p%) c) Ersetze p durch 0,75p 2)Prozentannuität. Bei der Vergabe eines Kredits schreiben viele Banken eine anfängliche Mindesttilgung in Prozentpunkten von der Kreditsumme vor. Kredithöhe: Zinssatz: 5,5% p.a. Anfängliche Tilgung: 0% im ersten Jahr, dann konstante Annuität. Füllen Sie die ersten beiden Zeilen der Excel Tabelle mit Zahlenwerten korrekt aus. Jahr Restschuld zu Beginn des Jahres Zinsen Tilgung Annuität ,5 582, ) Wertminderung. Ein Auto verliert erfahrungsgemäß etwa 5% pro Jahr an Wert. a) Berechnen Sie ausgehend von 00% Neuwert, den Restwert nach 5 Jahren. 00% * 0,85 5 = 44%. Wie viel ist ein Auto mit Neuwert , nach 5 Jahren, noch wert? * 0,85 5 = 8874 b) Geben Sie eine Formel zur rekursiven Berechnung des Restwertes an. Verwenden Sie dazu die Begriffe Restwert neuund Restwert alt. Restwert neu=restwert alt*0,85 c) Geben Sie die explizite Formel zur Berechnung des Restwertes an. Restwert n=neuwert*0,85 n d) In welchem Jahr tritt der größte Wertverlust (in ) auf? Im. Jahr 23

24 Aufgabe 2.Lineare Funktion. ) a) Wie lautet die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion durch den Punkt (0/0)? y = kx Welche Excel Trendlinie nimmt man in diesem Fall und was muss man in diesem Fall anhaken? Lineare Trendlinie. Anhaken: Schnittpunkt=0 b) Die Werte für k und d findet man in Excel mit Hilfe zweier excel-interner Befehle. Wie lauten diese Befehle? Steigung, Achsenabschnitt c) Im folgenden Diagramm ist der Graf von y=kx+d dargestellt. Kennzeichnen Sie die beiden Werte k und d durch Strecken im Diagramm. 2)Gewichtszunahme von Masthühnern. Im Alter von 3 Wochen kauft ein Bauer Küken welche durchschnittlich 0,2kg wiegen. Nach 2 Wochen Mast wogen die Hühner,2kg. i) Berechnen Sie die durchschnittliche wöchentliche Gewichtszunahme (in Kilogramm) während der Mastdauer. ii) Geben Sie eine Formel an, mit der man die Mastdauer abhängig vom Gewicht berechnen kann. iii) Berechnen Sie damit, wie viele Wochen man mästen muss, bis das Huhn 0,5kg schwer ist? Alter (Wochen) Mastdauer (Wochen) Gewicht (kg) 3 0 0,2 5 2,2 i) Gewichtszuwachs =(,2-0,2)kg/2Wochen = 0,09kg/Woche, ii) Mastdauer (Wochen) = (Gewicht -0,2)/0,09, iii) Mastdauer für 0,5 kg sind 4,2 Wochen 3) Linearisieren und Datenanpassung.Linearisieren Sie folgende Ausdrücke und geben Sie jeweils den Zusammenhang zwischen Achsenabschnitt und Steigung und den Parametern a und b an: i) y = ab x ii) y = ax b iii) y = ax b+x y = ab x ln y = ln a + x ln b Zusammenhang: Steigung = lnb, Achsenabschnitt = ln a y = ax b ln y = ln a + b ln x Zusammenhang: Steigung = b, Achsenabschnitt = ln a = b+x y ax = b + a x a Zusammenhang: Steigung = b a, Achsenabschnitt = a 24

25 4) Zwischen zwei Größen besteht der Zusammenhang y = kx. Leiten Sie die Formel für k nach der Methode der kleinsten Quadrate her. Es muss gelten: ( 2 2 kx y )² + ( kx y )² ( kx y )² Min n n Das Minimum erhalten wir durch Nullsetzen der ersten Ableitung (differenzieren nach k). 2 2 ( kx y) x + ( kx2 y2) x ( kxn yn) xn = 0 k x + x ² x ² = x y... x ² + Daraus folgt: ( 2 n ) n n y und damit die optimale Steigung k = x y +... xn yn x ² + x ² x 2 n ² Aufgabe 3. Exponentialfunktion. a) Die Effizienz einer PCR sei 90,5%. Geben Sie die Menge an DNS nach 25 Zyklen an, wenn ursprünglich ng DNS vorhanden war. Eine PCR (Polymerase-Kettenreaktion) wird verwendet um DNS in vitro zu vervielfältigen. End DNA =, =0,0g b) Ein Bioreaktor wird mit 5% seines Gesamtvolumens beimpft. Wie viele Verdopplungen finden statt bis der Bioreaktor zu 80% (=Arbeitsvolumen) mit Biomasse voll ist. 5% -> 0% -> 20% -> 40% -> 80%, somit 4 Verdopplungen c) Füllen Sie folgende Tabelle mit den Restwerten in % vom Anfangswert aus. Vielfache von MMMM MMM2MMM MMM3MMM MMM4MMM MMM5MMM Halbwertszeit 00% 50% 25% 2,5% 6,25% mittlere Verweildauer 00% Exp(-)=37% Exp(-2)=3,5% Exp(-3)=5% Exp(-4)=2% d) Füllen Sie folgende Tabelle für die Vielfachen der Dezimalreduktionsdauer aus. Überlebende in % Überlebende in Zehnerpotenzschreibweise Gestorbene in % 0D 00% 0% D % 2D % 3D 0, ,9% 4D 0, ,99% 5D 0, ,999% 6D 0, ,9999% e) Die mittlere Verweildauer eines Düngemittels im Boden beträgt Woche. Berechnen Sie die Halbwertszeit. HWZ = ca.70% der mittleren Verweildauer = 4,9 ~ 5 Tage 25

26 f) Sterilisation von Keimen. Bei der Sterilisation sterben die Mikroorganismen nach einer Exponentialfunktion ab. Berechnen Sie die Sterberate, die Halbwertszeit und die Keimzahl nach 50min. Zeit nach Beginn der Sterilisation (Minuten) Keimzahl Sterberate: µ = ln X 2 = ln = 0,0064 min- t X Halbwertszeit: HWZ = ln 2 µ = 07,7 min Keimzahl nach 50 Minuten: 2650e 0, = 925 Keime (nach weiteren 50 Minuten) Keimzahl nach 50 Minuten: 2650e 0, = Keime (50 Minuten nach Beginn der Sterilisation) Aufgabe 4. Bei der Sterilisation sterben die Keime nach der Formel N = N 0 e kt. Erklären Sie und leiten Sie die Bedeutung der Größe /k her. Die Größe /k lässt sich als mittlere Lebensdauer der einzelnen Keime interpretieren. Zum Beweis berechnen wir die Lebensdauer der einzelnen Keime: der. Keim lebt solange bis nur mehr N 0 Keime vorhanden sind, d.h. bis zum Zeitpunkt t der 2. Keim lebt solange bis nur mehr N 0 2 Keime vorhanden sind, d.h. bis zum Zeitpunkt t 2 Die Größe t i lässt sich als Rechtecksfläche (Breite t i, Höhe ) interpretieren. Somit ist die mittlere Lebensdauer der Keime t + t t K 0 K 0 = K 0 Gesamtfläche = K 0 0 e dt = t 26