Symbolverzeichnis. Abkürzungsverzeichnis. 1 Einleitung Historischer Überblick zur Optimierung in der Mathematik 2

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1 Inhaltsverzeichnis Symbolverzeichnis Abkürzungsverzeichnis XV XXV 1 Einleitung Historischer Überblick zur Optimierung in der Mathematik Historischer Überblick zur Entwicklung der Strukturoptimierung 3 2 Theoretische Grundlagen zur Optimierung Mathematische Grundlagen restringierter, kontinuierlicher Optimierungsprobleme Beschreibung eines Optimierungsproblems Konvexität Klassifikation kontinuierlicher Optimierungsprobleme Optimalitätskriterien Tangentialkegel Die Lagrange-Funktion und KKT-Punkte Weitere Regularitätsbedingungen Die Fritz John-Bedingungen Bedingungen zweiter Ordnung Lineare Programme/Optimierung Das Simplex-Verfahren Innere-Punkte-Methoden Dualität bei linearen Programmen Der zentrale Pfad und die Grundidee der Inneren-Punkte-Methoden Nichtlineare Programme/Optimierung Quadratische Programme Strafverfahren (Äußere Strafverfahren) Barriere-Methoden (Innere Strafverfahren) SQI'-Verfahren Lagrange-Newton-Verfahren Lokales SQP-Verfahren Methoden der zulässigen Richtungen Antwortflächenverfahren (Response Surface Methods) Diskrete Optimierung Gomorys Schnittebenenverfahren Branch-and-Bound-Methode 30

2 X O-l-Optimierungsverfahren Sequentielle lineare diskrete Programmierung Diskrete Optimierung mit Hilfe von Antwortflächenverfahren 33 3 Verfahren der Strukturoptimierung Parameteroptimierung Gestaltoptimierung Parameterbasierte Gestaltoptimierungsverfahren Parameterfreie Gestaltoptimierungsverfahren Parameterfreie Gestaltoptimierung mit Hilfe der Mathematischen Programmierung Parameterfreie Gestahoptimierung durch Optimalitätskriterienverfahren Vergleich einer Gestaltoptimierung mit Hilfe von Optimalitätskriterien mit der analytischen Optimallösung anhand eines Kragbalkens Topologieoptimierung Sensitivitätsbasierte Topologieoptimierungsverfahren Modellparametrisierung bei der Topologieoptimierung SIMP-Methode Homogenisierungsmethode Spannungsnebenbedingungen e-relaxations-ansatz qp-ansatz Optimierungsalgorithmen für Strukturoptimierungsprobleme Der MMA-Algorithmus Beispiel für die Arbeitsweise des MMA- bzw. CONLIN-Algorithmus Optimalitätskriterienverfahren Das Checkerboard-Problem Topographieoptimierung Free-Size-Optimierung 62 4 Faser-Kunststoff-Verbunde als Werkstoff Historisches zu Werkstoffverbunden Die Fasern Faserarten Faserherstellung und -eigenschaften Herstellung von Kohlenstofffasern Herstellung von Glasfasern Herstellung von Aramidfasem Die Matrix 67

3 XI Duroplaste Thermoplaste Elastomere Die Glasübergangstemperatur Recycling-Möglichkeiten von Faser-Kunststoff-Verbunden 69 5 Beschreibung des mechanischen Verhaltens geschichteter Faser-Kunststoff- Verbunde Die klassische Laminattheorie (CLT) Spannungs-Verzerrungsbeziehungen einer Einzelschicht Bestimmung der Steifigkeitsparameter einer Einzelschicht Transformation der Steifigkeiten der Einzelschichten in ein gemeinsames Koordinatensystem Verschiebungs-Verzerrungsbeziehungen des Schichtverbundes Scheiben- und Plattenschnittlasten als Spannungsresultierende Schnittlasten-Verzerrungsbeziehungen des Gesamtverbundes Zusammenfassung des Vorgehens bei der klassischen Laminattheorie Die Schubdeformationstheorie 1. Ordnung (FSDT) Hygrothermale Einflüsse auf das Steifigkeitsverhalten von Faser-Kunststoff- Verbunden 88 6 Festigkeitsbeurteilung von Faser-Kunststoff-Verbunden Bruchmodi von Faser-Kunststoff-Verbunden Versagenskriterien für faserverstärkte Kunststoffe Interaktionslose Bruchkriterien Das Kriterium der maximalen Spannungen Das Kriterium der maximalen Verzerrungen Bruchkriterien mit teilweiser Interaktion Bruchkriterien mit vollständiger Interaktion Wirkebenenbasierte Bruchkriterien Pucks wirkebenenbasiertes Bruchkriterium Faserbruchbedingungen Zwischenfaserbruchbedingungen Vereinfachungen für den ebenen Spannungszustand Erweiterungen zu den Puck'schen Zwischenfaserbruchbedingungen Das LaRC04-Bruchkriterium Faserbruchbedingung bei Zugbelastung Bruchbedingung für Zugversagen quer zur Faserrichtung (Matrix- Zugversagen) 110

4 XII Bruchbedingung für Druckversagen quer zur Faserrichtung (Matrix- Druckversagen) Faserbruchbedingung bei Druckbelastung Vergleich der Bruchkurven ausgewählter Bruchkriterien Degradationsmodelle Praktischer Vergleich von optimalitätskriterienbasierten und sensitivitätsbasierten Strukturoptimierungsverfahren Praktischer Vergleich der Topologieoptimierungsverfahren Vorstellung eines einfachen optimalitätskriterienbasierten T opologieoptimierungsalgorithmus Anwendung der sensitivitäts- und optimalitätskriterienbasierten Topologieoptimierung auf ein einfaches Beispiel Anwendung der sensitivitätsbasierten Topologieoptimierung auf ein reales Triebwerksbauteil Praktischer Vergleich der Gestaltoptimierungsverfahren Einfaches Beispiel für eine Gestaltoptimierung Optimierung mit sensitivitätsbasierten Verfahren Kerboptimierung mittels Basisformen Kerboptimierung mittels Verschiebung der Oberflächenknotenkoordinaten Kerboptimierung mit optimalitätskriterienbasiertem Verfahren Gestaltoptimierung eines realen Triebwerksbauteils Ergebnis der Gestaltoptimierung mit sensitivitätsbasiertem Algorithmus Ergebnis der Gestaltoptimierung mit optimalitätskriterienbasiertem Algorithmus Praktischer Vergleich der Topographieoptimierungsverfahren Einfaches Beispiel für eine Topographieoptimierung Topographieoptimierungsergebnis mit sensitivitätsbasiertem Verfahren Topographieoptimierungsergebnis mit optimalitätskriterienbasiertem Verfahren Topographieoptimierung eines realen Triebwerksbauteils Topographieoptimierungsergebnis mit sensitivitätsbasiertem Verfahren Topographieoptimierungsergebnis mit optimalitätskriterienbasiertem Verfahren Zusammenfassender Vergleich der Strukturoptimierungsergebnisse Strukturoptimierung faserverstärkter Kunststoffbauteile Das Singularitätsproblem 157

5 XIII 8.2 Verfahren zur Optimierung faserverstärkter Kunststoffe Verhalten verschiedener Optimierungsalgorithmen Optimierung ungestörter Bereiche Probabilistische Betrachtungen Optimierung gestörter Bereiche Überprüfung der Optimierungsergebnisse mit verfeinertem Modell Detaillierte Betrachtung des Unterlegscheiben-Problems" Zusammenfassung/Ausblick 191 Anhang 193 A Beispiel für Ungültigkeit der Abadie-Regularitätsbedingung 193 B Transformationsbeziehungen 194 B.l Transformation der Schichtsteifigkeiten aus lokalem Schichtkoordinatensystem in globales Verbundkoordinatensystem 194 B.2 Transformation der globalen Einzelschichtverzerrungen in lokales Schichtkoordinatensystem 196 B.3 Transformation der Spannungskoordinaten in wirkebenenbasierte Spannungen 197 C Herleitung der Beziehung zwischen Anisotropie-Parametern der Hill'schen Fließbedingung und Basisfestigkeiten 198 D Ergänzungen zum Puck'schen Bruchkriterium 198 D. 1 Herleitung der Zwischenfaserbruchbedingungen des Puck' sehen Bruchkriteriums für den ebenen Spannungszustand 198 D.2 Zusammenstellung der Gleichungen für das Puck'sche Bruchkriterium 202 E Ergänzungen zum LaRC04-Bruchkriterium 203 E. 1 Bestimmung der In-situ-Festigkeiten für das LaRC04-Bruchkriterium 203 E.2 Bestimmung des Fehlstellungswinkels cp c für das Kinking-Modell des LaRC04- Kriteriums 205 E.3 Bestimmung der Kinking-Ebene 206 E.4 Zusammenstellung der Gleichungen für das LaRC04-Bruchkriterium 207 F Auswahl eines geeigneten Elementtyps für Vergleich zwischen optimalitätskriterienund sensitivitätsbasiertem Topologieoptimierungsalgorithmus 208 Literaturverzeichnis 211