7. Aufgabe (Pumping-Eigenschaft, kontextfreie Grammatik) Es seien = {a,b,c}. und L = { a b a c i,

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1 7. Aufgabe (Pumpng-Egenschaft, kontextfree Grammatk) Es seen = {a,b,c}. und L = { a b a c, j 0, k 1}. j k a) Geben Se en 3- und en 5-aufpumpbares Wort n L an, und begründen Se Ihre Wahl. b) Geben Se en Wort aus L an, das n L ncht 4-aufpumpbar st, und begründen Se Ihre Wahl. c) Geben Se ene kontextfree Grammatk für L an. Lösungsbespele a) Für 3: cccc, für 5: cccccc, da das Pumpen (Strechen oder Vervelfachen) der Schlefe v m Wort, zerlegt n uvw mt uv 3 bzw. 5 ncht-leere c-folgen erzeugt, welche auch zur Sprache gehören (=j=0). b) aaaabaaaac, da 4-Pumpen (Vervelfachen oder Strechen enes nchtleeren Telworts nnerhalb der ersten 4 Zechen) de erste Gruppe von a s auch länger oder kürzer als de zwete Gruppe macht, also ken j k a b a c ergbt. c) S DC C, Zerlegung n a b j a und c k D ada aa B, Zwebelschalentechnk für de a s rund um de evtl. b s B b Bb, b s, mndestens ens; Fall ken b st oben schon erledgt C c cc c s, mndestens ens

2 8. Aufgabe (Chomsky-Normalform und CYK) a) Transformeren Se de Grammatk G = [, V, S, R] mt { a, b}, V { A, B, C} und den unten folgenden Regeln n ene Grammatk n Chomsky-Normalform mt glecher Sprache: S aa bb, A Baa ba C, B bcc ab, C A b) Prüfen Se nach, ob das Wort bbbaba zur Sprache von G gehört. Lösungsbespel a) S aa S bb A Baa A ba A C B bcc B ab C A 4. Lange rechte Seten n Zweerschrtte zerlegen: 1. Zyklen und X>X raus: S aa S bb A Baa A ba B baa B ab 2. X Y übersprngen: unnötg, erledgt b CYK) 3. Varablen vor Konstanten schalten: S DA S EB A BDD A ED B EAA B DE D a E b JA! S DA EB A FD ED B GA DE D a E b F BD G EA S - B G - S,F - - A B A E E E D E D b b b a b a gelb unterlegt: Parsngbaum, sehe zwete b-lösung unten (b) entweder geometrsch, CYK mt der Technk der zwe Pyramdenkletterer mt dem Sel über der Pyramde (oben) oder durch sonst we gefundene explzte Abletung aus der Grammatk (unten). b Abletung aus Grammatk) S (2) EB (8) bb (8) bga (10) beaa (10) bbaa (10) bbeda (10) bbeda (8) bbbda (7) bbbaa (4) bbbaed (8) bbbabd (7) bbbaba De Regeln snd 1-10 nummerert. De angewendete Regel st jewels angegeben. Gezegt wrd ene Lnksabletung, deren Parsngbaum n (b-cyk) steckt.

3 9. Aufgabe (Kellerautomaten) n 2n Gegeben se de Sprache L {0 1 n IN } a) Leten Se aus ener kontextfreen Grammatk für L enen Kellerautomaten K 1 mt Kelleralphabet ={S,0,1} ab, der L beschrebt und ncht determnstsch st. b) Geben Se de Übergangsfunkton enes determnstschen Kellerautomaten K 2 mt Kelleralphabet ={a} an, der de Sprache L beschrebt. c) Demonstreren Se de Berechnung n K 2 für de Engabe 10 und 01 bs zur Ablehnung und für de Engabe bs zum Akzepteren (n z e ). Lösungsbespel Anfangszustand z0, akzepterender Zustand ze (a) Grammatkregeln: S 011 0S11 (Zwebelschalentechnk) (z0,, $, z1, S) Grammatk m Keller, zunächst S hnenstecken, (z1,, S, z1, 011) dann de Abletungsschrtte oben auf dem Stapel vollzehen (z1,, S, z1, 0S11) dto (z1, 0, 0, z1, ) Erzeugte Termnalzechen mt Engabewort verrechnen (z1, 1, 1, z1, ) dto (z1,, $, ze, ) Ende wenn Keller weder leer (b) Her z.b. folgende Methode: Pro 0 en a n den Keller, pro a m Keller zwemal 1 verrechnen, genauer: umfasst folgende Transtonen: (z0, 0, $, z0, a) pro 0 en a n den Keller, erstmals (z0, 0, a, z0, aa) pro 0 en a n den Keller, wetere (z0, 1, a, z1, a) verbraucht de erste 1, lässt a noch legen (z1, 1, a, z2, ) verbraucht de zwete (also ene gerade ) 1 und das a (z2, 1, a, z1, a) verbraucht ene wetere ungerade 1, lässt a noch legen (z2,, $, ze, $) Es kamen doppelt so vele Ensen we a s, also we Nullen Alternatv könnte man das a mt der ungeraden 1 löschen, dann aber noch ene gerade 1 ohne en a verbrauchen. Noch anders: Pro 0 zwe a s n den Keller, dann ene 1 pro a verbrauchen: (z0, 0, $, z0, aa) pro 0 zwe a n den Keller, erstmals (z0, 0, a, z0, aaa) pro 0 zwe a n den Keller, wetere (z0, 1, a, z1, ) verbraucht de erste (ene ungerade ) 1 und das oberste a (z1, 1, a, z2, ) verbraucht de nächste (also ene gerade ) 1 und en a (z2, 1, a, z1, a) verbraucht ene wetere ungerade 1 und en a (z3,, $, ze, $) Es kamen so vele 1 we a, also doppelt so vele we Nullen (c) (z0, 10, $) stoppt mangels (z0, , $) passendem Übergang (z0, 01111, a$) (z0, 1111, aa$) (z0, 01, $) (z1, 111, aa$) (z0, 1, a) (z2, 11, a$) (z1,, a) stoppt mangels (z1, 1, a$) passendem Übergang (z2,, $) (ze,, $) akzeptert und stoppt Berechnung mt dem oberen Programm von (b) (mt unterem ähnlch)

4 10. Aufgabe (Kellerautomaten) Gegeben se de Sprache L = {a m b n m > n 1 }. a) Geben Se de Übergangsfunkton enes determnstschen Kellerautomaten K mt Kelleralphabet = {A,a} an, der de Sprache L beschrebt. Tpps: Der Kellerautomat kann m akzepterenden Zustand bs zu ener gewssen Zahl wetere b akzepteren, wll des aber bem untersten a m Keller ncht tun, damt er nur wenger b s als a s akzeptert. We können wr deses unterste a markeren, damt der Kellerautomat es erkennt? b) Und we gnge das Ganze mt Kelleralphabet = {a}? Lösungsbespele a) besondere Zustände: Start z0, akzepterend: z akz, Fehler: z err (z0, a, $, z0, A) erstes a als A engekellert (z0, a, A, z0, aa) zwetes a (z0, a, a, z0, aa) und wetere a enkellern (z0, b, a, z akz, ) noch OK: nach a s mndestens en b (z0, b, A, z err, ) UPPS: Das war ab, das st ncht n L, Fehler (z akz, b, a, z akz, ) OK solange wenger b s als a s (z akz, b, A, z err, ) UPPS: Das war en a n b n, das st ncht n L, Fehler b) besondere Zustände: Start z0, akzepterend: z akz, Fehler: z err (z0, a, $, z1, ) erstes a wrd nur (per Zustand) gemerkt, ncht engekellert (z1, a, $, z1, a) zwetes a (z1, a, a, z1, aa) und wetere a enkellern (z1, b, a, z akz, ) noch OK: nach a s mndestens en b (z1, b, $, z err, ) UPPS: Das war ab, das st ncht n L, Fehler (z akz, b, a, z akz, ) OK solange wenger b s als a s (z akz, b, $, z err, ) UPPS: Das war en a n b n, das st ncht n L, Fehler

5 11. Aufgabe (Turng-Maschnen) Ene Turng-Maschne mt En-/Ausgabe-Alphabet = Bandalphabet = {a,b,c}, Startzustand z s und Endzustand z e soll folgendes lesten: Be jedem engegebenen Wort w der Sprache (a+b)(a+b)* (also aus a s und b s und mt mndestens enem Zechen) soll se zwar jedes Zechen mt a überschreben, aber jedes drtte Zechen stattdessen mt c. Das so entstandene Wort soll se als Ergebns lefern. Bespel: abababb aacaaca. a) Schreben Se ene passende Zustandsüberführungsfunkton mt möglchst wengen Zuwesungen für dese Turng-Maschne. b) Geben Se de Folge der Konfguratonen Ihrer Turng-Maschne aus (a) an, wenn se mt der Engabe abb rechnet. Lösungsbespel (a) (z s,a) = (z s,b) = (z 1,a,R), 1. Zechen a, (B nakzeptabel) (z 1,a) = (z 1,b)=(z 2,a,R) 2. Zechen a (z 1,B)=(z zur,b,l) B zurück nach L (z 2,a) = (z 2,b)=(z 0,c,R) 3. Zechen c (z 2,B)=(z zur,b,l) B zurück nach L (z 0,a) = (z 0,b)=(z 1,c,R) we zs, erlaubt aber auch B (z 0,B)=(z zur,b,l) B zurück nach L (z zur,a)=(z zur,a,l) ganz nach lnks (z zur,c)=(z zur,c,l) dto (z zur,b)=(z e,b,r) zurück auf Anfang vom Output, erledgt b) Achtung: Konfguraton = (Zustand, was steht lnks von her, was begnnt her)! (z s,,aba), Wegen (z s,a) = (z 1,a,R) blebt das a stehen, und der SL-Kopf geht nach rechts auf das b, und z 1 wrd aktueller Zustand (usw.) (z 1,a,ba), (z 2,aa,a), (z 0,aac,B), (z zur,aa,cb), (z zur,a,acb), (z zur,,aacb), (z 3,,BaacB), (z e,b,aacb)

6 12. Aufgabe (Turng-Maschnen) Es se M ene Turng-Maschne mt der Zustandsmenge Z, dem Anfangszustand z 0, dem Endzustand z e, dem Bandalphabet und der Zustandsüberführungsfunkton. Ferner se bekannt, dass M de folgende Funkton f über den natürlchen Zahlen (n Bnärdarstellung) n gutem Stl (nchts außer Output auf dem Band) berechnet: 1, wenn x durch 187 telbar st, f (x) 0 sonst. Geben Se ene 1-Band Turng-Maschne M 0 an, de de folgende Funkton f 0 über den natürlchen Zahlen (n Bnärdarstellung) berechnet: 1, wenn x ncht durch 187 telbar st, f (x) 0 sonst. Hnwes: Verwenden Se de Komponenten von M. Lösungsbespel Neue Zustandsmenge Z { z f }, mt z f Z, Anfangszustand z 0, Endzustand z f, Bandalphabet (muss ja mndestens 0, 1 enthalten) Zustandsüberführungsfunkton : we, und zusätzlch ( z e,0) = ( z f,1,n) ( z e,1) = ( z,0,n) f