Felder und Wellen WS 2018/2019. Innerhalb des ersten Leiters befindet sich keine Ladung, deshalb gilt. E = 0 für0 < r < a

Transkript

1 Felder und Wellen WS 08/09 Musterlösung zur 4. Üung 0. Aufgae a) Auf den Leitern efinden sich die Ladungen und. Wegen der Kugelsymmetrie folgt E = E r (r) e r Das elektrische Feld wird mit dem Satz vom Hüllenfluß erechnet εed f = dv Innerhal des ersten Leiters efindet sich keine Ladung, deshal gilt E = 0 für0 < r < a Zwischen den Leitern gilt für das Feld (nur Leiter innerhal der Integrationsfläche) r E r = E r = r für a r < Für den Bereich ausserhal des Leiter schließt die Integrationsfläche sowohl als auch ein. Für E gilt E r = + r für r < Bei der Berechnung der Potentiale, muß von einem Punkt mit ekanntem Potential ausgegangen werden, das Potential im Unendlichen ist Null (φ( ) = 0). Für r < gilt r φ(r) = φ( ) E r dr = 0 + r Auf dem Leiter gilt = + = + r r r φ = φ() = + r dr

2 Mit dem ekannten Potential φ kann das Potential für a r < erechnet werden. φ(r) = φ() r = + E r dr r = + = + r + a = φ φ(a) = r r dr Damit gilt folgendes Gleichungssystem für die Ladungen und die Potentiale auf den Leitern φ = a + φ = + Sind die Potentiale ekannt, und sollen die Ladungen erechnet werden, muß das Gleichungssystem nach und aufgelöst werden. Dieses einfache System kann natürlich durch elementare Umformungen der Gleichungen gelöst werden. Für kompliziertere Prolem und ei Einsatz eines Computers ist die formale Darstellung, wie im Skript S. 95ff sinnvoll. Die eiden Gleichungen drücken die Potentiale durch Ladungen und Potentialkoeffizienten aus (φ i = k= p ik k, in Matrixschreiweise φ φ = a ) Sollen die Ladungen ei ekannten Potentialen φ i erechnet werden muß die inverse Matrix erechnet werden. Mit erhält man: Damit gilt A B = C D = a AD BC a a a r D B C A φ = a(φ φ ) a = ( aφ +φ ) a c) Die Gesamtenergie eines statischen Systems aus Ladungen ist das Integral des elektri- φ

3 schen Feldes zum uadrat üer das gesamte Volumen. Rechnung in Kugelkoordinaten W e = ǫe dv ( ) ( ) = πε a r r + dr +πε r r dr = + ( + ) 8πε r a 8πε r ( )+ ( + ) = 8πε = 8πε a 8πε ( a + + Mit der Formel aus dem Skript S. kann die Energie als Funktion der Ladungen und Potentialkoeffizienten erechnet werden W e = p p p p ) = (p +p +p +p ) = ( 8πε a + ) + Analog mit der Influenzkoeffizientenmatrix W e = (c φ +c φ φ +c φ φ +c φ = πε ( aφ a aφ φ + φ ) d) Auf den eiden Leitern efindet sich die gleiche Ladungsmenge mit umgekehrtem Vorzeichen ( = = ). Es gilt U = φ φ und C = U φ = (p p ) φ = (p P ). Daraus folgt: U = (p p p +p ) C ges = (p p p +p ) ( = 4πǫ a ) Vergleichen Sie diese Lösung mit der Kapazität eines Kugelkondensators (Skript S. 89).

4 . Aufgae a) Elektrisches Feld : Satz von Gauss: Dd f = dv Dd f = πrld R Skalarpotential R < R a : D R = 0 E R = 0 R a R < R a : D R = E R = πrl 0 R a L R a R < 3R a : D R = 0 E R = 0 3R a R < 4R a : D R = E R = πrl πε 0 RL 4R a R : D R = 0 E R = 0 4R a R : Φ(R) = 0 3R a R 4R a : Φ(R) Φ(4R a ) = E R dr = 4R a R Φ(R) = πε 0 L lnr 4R a 4R a πε 0 R L dr = πε 0 L ln R = 4R a πε 0 L ln 4R a R R a R 3R a : Φ(R) = konst. = Φ(3R a ) = πε 0 L ln 4 3 R a R R a : Φ(R) Φ(R a ) = E R dr = R a = R R 0 R a L R a = R a 0 R a L (R a R) 0 R a L dr Φ(R) = 0 R a L (R a R)+ πε 0 L ln 4 3

5 R R a : Φ(R) = Φ(R a ) = 0 L + πε 0 L ln 4 3 = 0 L (+ln 4 3 ) Ladung U = Φ(R a ) = 0 L (+ln 4 3 ) = U 0L +ln 4 3 ) Es git keine Raumladungen sondern nur Flächenladungen: σ = D N D N c) Kapazität: R = R a : σ = πr a L R = R a : σ = R = 3R a : σ = 4πR a L 6πR a L R = 4R a : σ = 8πR a L d) Maximales E-Feld im Kondensator: C = U = 0L +ln 4 3 E max = E D = U = ( ) R a +ln 4 3 U R a = ( ) E D +ln R a L = U 0L 0 R a L ( +ln 4 3 Die Kapazität ist in diesem speziellen Fall unahängig vonr a. Es gilt: ) L = C 0 +ln 4 3 0

6 Skizze