Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen. Prof. Dr. Guido Kanschat

Transkript

1 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Prof. Dr. Guido Kanschat 7. Juni 03

2 Vorbemerkungen Bei diesen Blattern handelt es sich zur Zeit nur um eine begleitende Erganzung des Vorlesungsskriptes von Herrn Prof. Dr. Rannacher. Sie sind unvollstandig und viele Teile fehlen noch. Ich habe mich dennoch entschlossen, sie schon ins Netz zu stellen, damit hoffentlich einige Inkonsistenzen in der Notation aufgeklart werden konnen. Fur Hinweise auf Fehler bin ich immer dankbar. Bitte achten Sie aber immer darauf, dass das Datum Ihrer Ausgabe mit dem Im Internet ubereinstimmt. Mein Dank gilt auch Herrn David Stronczek fur seine Hilfe bei der Verfassung dieser Seiten.

3 Verzeichnis der Abkürzungen AWA Anfangswertaufgabe, s. Denition?? auf Seite?? BDF Backward dierencing formula, s. Beispiel.3 auf Seite 3 DGL Dierentialgleichung LMM Lineare Mehrschrittmethode, s. Denition.4 auf Seite 4 RKV Runge-Kutta-Verfahren

4 Inhaltsverzeichnis Explizite Einschrittmethoden und Konvergenz 4. Fehleranalyse Runge-Kutta-Verfahren Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren Stetige Runge-Kutta-Verfahren Lineare Mehrschrittmethoden 3. Denition und Konsistenz Eigenschaften von Dierenzengleichungen Stabilitat und Konvergenz LMM fur steife Probleme

5 Kapitel Explizite Einschrittmethoden und Konvergenz Beispiel.. Gegeben sei die AWA u = u u(0) = Oensichtlich gilt u(t) = e t, jedoch erhalten wir fur h = mit der Eulerschen Polygonzugmethode folgendes Losung: y 0 = u 0 = y = y 0 + h 0 f(t 0, y 0 ) = y = 4 y 3 = 8... Man erkennt, dass der Fehler zunehmend anwachst. Diese Approximation der Losung lasst sich verbessern, indem man h verkleinert. Es stellt sicht jedoch die Frage, in welcher Art der (maximale) Fehler von der Schrittweite h abhangt. 4

6 . Fehleranalyse Bemerkung.. Bei Einschrittmethoden ist per denitionem jeder Schritt gleichartig. Daher ist es bei der Betrachtung von lokalen Eigenschaften grunds atzlich hinreichend, den ersten Schritt zu betrachten. Im folgenden werden also in der Regel Aussagen fur den Wert y abhangig von y 0 getroen, die sich dann auf den generellen Schritt von y n auf y n+ ubertragen. Definition.3. Sei u eine Losung der Dierentialgleichung u = f(t, u) zumindest auf dem Intervall [t n, t n+ ] der Lange h n = t n t n. Dann ist der Abschneidefehler deniert als τ n = u(t n) u(t n ) h n F ( h n ; t n, u(t n ), u(t n ) ). (.) Definition.4 (Konsistenzordnung). Die Einschrittmethode F(h; t, y) ist konsistent von Ordnung p mit der AWA, wenn fur den Abschneidefehler gilt: max n τ n ch p (.) Beispiel.5 (Euler-Verfahren). Um herauszunden, welche Konsistenzordnung das Euler-Verfahren hat, betrachten die wir die Tailor-Entwicklung der Losung am Punkt t n : u(t n ) = u(t n ) + h n u (t n ) + h nu (ξ) Daher reduziert sich der Abschneidefehler auf: τ n = u(t n) u(t n ) h n F(h; t n, u(t n )) = u(t n ) + h n f(t n, u n ) + h nu (ξ) u(t n ) h n f(t n ; u n ) = h nu (ξ) Fur u (ξ) gilt aber: u (ξ) = d dξ f(ξ, u(ξ)) = f(ξ, u(ξ)) + f(ξ, u(ξ)) ξ u u (ξ) }{{} =f(ξ,u(ξ)) Unter der Voraussetzung, dass f C auf einer kompakten Menge um den Graphen von u, ist dieser Term beschrankt. τ n ch n Das Eulerverfahren ist also konsistent von Ordnung. 5

7 Hilfssatz.6 (Diskrete Gronwallsche Ungleichung). Seien (w n ), (a n ) und (b n ) nicht negative, reele Zahlenfolgen mit w 0 b 0 und w n n a k w k + b n fur n. Falls b n monoton steigend ist, so gilt: ( n ) w n exp a k b n (.3) k= Beweis. Bitte uber die kontinuierliche Ungleichung Definition.7 (Diskrete Lipschitzbedingung). Eine Funktion F erfullt die diskrete Lipschitzbedingung, wenn es ein L > 0 gibt mit k=0 F(h; t, y) F(h; t, x) L x y (.4) Satz.8 (Diskrete Stabilitat). Wenn F(...) die Lipschitzbedingung erfullt, dann ist das Verfahren diskret stabil, d.h. fur beliebige Folgen (y n ) und (z n ) gilt y n z n e L(t t 0) ( y 0 z 0 + n h k (Ly) k (Lz) k ) Satz.9 (Konvergenz). Das Verfahren F(...) sei konsistent von Ordnung p und diskret stabil, ferner y 0 = u 0. Dann gilt: k= Das Verfahren konvergiert mit Ordnung p in der Form u(t n ) y n ce L(t n t 0 ) h p h = max h n n. Runge-Kutta-Verfahren Wir wollen nun Verfahren nden, mit denen wir Dierentialgleichungen numerisch losen konnen. Dazu bringen wir diese zunachst in eine andere Form: u (t) = f(t) u(t 0 ) = u 0 t u(t) = u 0 + f(s)ds t 0 Wir konnen das Losen von Dierentialgleichungen also als Quadraturaufgabe betrachten. Diese Uberlegung fuhrt zu einer Klasse von Verfahren zum Losen von Dierentialgleichungen, den Runge-Kutta-Verfahren. 6

8 Definition.0 (Explizites Runge-Kutta-Verfahren). i g i = y 0 + h b ij g j i =,..., r (.5a) j= k i = f(t 0 + ha i, g i ) i =,..., r (.5b) r y = y 0 + h c j k j (.5c) j= Anmerkung.. Die Zwischenwerte g i werden in typischen Implementationen nicht gesondert abgescpeichert, da man das Verfahren allein mit den Werten k i durchfuhren kann. Wir werden aber spater sehen, dass zur Diskussion die Werte g i durchaus nutzlich sein konnen. Aus den obigen Gleichungen lesen wir ab, dass g i eine approximation der Losung im Punkt t 0 +ha i darstellt. Definition. (Butcher-Tableau). Bei der Notation von Runge-Kutta-Verfahren ist es der Ubersichtlichkeit halber ublich, die Koezienten der Gleichungen (.5) in der folgenden Matrixform zu schreiben: 0 a b a 3 b 3 b a r b r b r b r,r c c c r c r (.6) Beispiel.3 (Die Eulersche Polygonzugmethode). Die Eulersche Polygonzugmethode besitzt folgendes Butcher-Schema: 0 Dieses fuhrt zur bereits bekannten Formel: y n+ = y n + h n f(t n, y n ) Beispiel.4 (Das modizierte Eulerverfahren). Das modizierte Eulerverfahren ist eine Abwandlung der Eulerschen Polygonzugmethode und besitzt folgendes Butcher-Schema: 0 0 7

9 Dieses fuhrt zur Formel: k = f(t n, y n ) k = f(t n + h n, y n + h n k ) y n+ = y n + h n k Beispiel.5 (Zweistuges Runge-Kutta-Verfahren). Das Heunsche Verfahren,.Ordnung: 0 k = f(t n, y n ) k = f(t n + h n, y n + h n k ) y n+ = y n + h n ( k + k ) Beispiel.6 (Dreistuges Runge-Kutta-Verfahren). 3.Ordnung: k = f(t n, y n ) k = f(t n + h n, y n + h nk ) k 3 = f(t n + h n, y n h n k + h n k ) y n+ = y n + h n ( 6 k k + 6 k 3) Beispiel.7 (Das klassische Runge-Kutta-Verfahren). 4.Ordnung:

10 k = f(t n, y n ) k = f(t n + h n, y n + h nk ) k 3 = f(t n + h n, y n + h nk ) k 4 = f(t n + h n, y n + h n k 3 ) y n+ = y n + h n ( 6 k + 6 k + 6 k k 4) Bemerkung.8 (Maximale Ordnungen fur explizite RKV). Die maximale Ordnung eines expliziten RKVs wird u.a. begrenzt durch die Anzahl der Stufen. Fur ein explizites RKV der Ordnung p benotigt man r Stufen, wobei p und r wie folgt zusammenhangen: p 4 5, r p p + p + p ? Fur p = 0 ist bisher nur ein Verfahren mit r = 7 bekannt. Moglicherweise gibt es ein Verfahren, dass mit weniger Stufen auskommt, ein Beweis fur die minimale Stufenanzahl ist zur Zeit noch nicht vorhanden. Da wir die exakte Losung einer DGL (i.a.) nicht kennen, konnen wir den Abschneidefehler i.d.r. nicht direkt berechnen. Deshalb suchen wir nach einer Moglichkeit, diesen zu schatzen. τ n+ = u(t n+ u(t n )) h n+ F(t, u(t n )) τ = u(t ) u(t 0 ) h F(t 0, u(t 0 )) = h (u(t ) y ) Unser Ziel ist es den Fehler u(t ) y durch ^y y zu approximieren. Dieses ^y konnen beispielsweise erhalten, indem wir das selbe Verfahren mit halber Schrittweite durchfuhren. Satz.9. Sei ^y das Ergebnis eines RKV der Ordnung p nach Schritten der Schrittweite h und y das Ergebnis nach einem Schritt der Schrittweite h. Dann gilt fur den Fehler: 9

11 u(t ) ^y = ^y y p + O(hp+ ) Ferner bekommt man eine Approximation ~y = y + y^ y mit p u(t ) ~y = O(h p+ ). Fur τ^ n bekommen wir damit eine Abschatzung der Form: ^ τ n = h ^y y p + O(hp+ ) Das heit fur h 0 konvergiert die Abschatzung gegen den Fehler. Beweis. Siehe Skript S. 6.. Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren Alternativ zur Schatzung des Abschneidefehlers in Abschnitt.3. im Skript durch Verkleinerung der Schrittweite kann man auch Verfahren verschiedener Ordnung benutzen und deren Dierenz zur Schatzung des Abschneidefehlers zu benutzen. Ein besonders ezienter Weg, sich zwei Losungen mit verschiedener Ordnung zu verschaen sind die eingebetteten Runge-Kutta-Verfahren. Hier werden beide Losungen mit denselben Funktionsauswertungen berechnet, aber verschieden aufsummiert. Definition.0 (Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren). Ein eingebettetes Runge- Kutta-Verfahren der Stufe r mit Konsistenzordnungen p und ^p berechnet zwei Losungen y und ^y mit denselben Funktionsauswertungen. Dazu werden zunachst Beitrage k i fur i =,..., r wie im normalen ERK der Stufe r berechnet. Die Funktionswerte am Ende des Zeitschritts ergeben sich dann als y n+ = y n + h c i k i ^y n+ = y n + h ^c i k i. (.7) Das Verfahren fur y habe im folgenden Konsistenzordnung p und das fur ^y die Konsistenzordnung ^p > p, zum Beispiel ^p = p +. 0

12 Definition.. Das Butcher-Tableau fur eingebettete Verfahren hat die Form 0 a b a 3 b 3 b a s b r b r b r,r c c c r c r ^c ^c ^c r ^c r Anmerkung.. Ein paar kurze Erlauterungen dazu: oberhalb der ersten Linie werden die Beitrage k i fur i =,..., r wie gewohnt berechnet. Dann berechnet man daraus die Losungen y n+ und^y n+ mit zwei verschiedenen Quadraturformeln. Anmerkung.3. Naturlich stellt sich die Frage, warum man nicht die Losung ^y n+ benutzt, wenn sie schon eine Ordnung besser ist. Bei der Anwendung des Verfahrens macht man das in der Tat so. Es bleibt aber zu beachten, dass die Abschatzung fur den Abbruchfehler nur fur die schlechtere Losung y n+ gilt. Anmerkung.4 (Adaptive Schrittweitensteuerung). Aufbauend auf den eingebetteten RKV lasst sich ein Verfahren mit adaptiver Schrittweitensteuerung ableiten, dass ^y y als Abschatzung fur den Fehler nutzt. Man geht dabei wie folgt vor: Vorgabe: ^y y TOL Berechne: ^y y = err = hτ. Falls err TOL, akzeptiere Zeitschritt.. Berechne h opt durch h opt = h ( ) TOL p+ err 3. Falls h opt < h: Wiederhole Zeitschritt mit h = h opt Benutze h = h opt im nachsten Zeitschritt... Stetige Runge-Kutta-Verfahren Die bisher vorgestellten RKV generieren Stutzpunkte zwischen denen wir dann linear interpolieren konnen. Wir wollen nun die Ordnung der Interpolation

13 erhohen, indem wir die g i benutzen um die Werte zwischen den Stutzpunkten zu berechnen. Wir mussen dabei beachten, dass die Fehler der g i i.d.r. von niedrigerer Ordnung sind. Es ist daher im Allgemeinen nicht hinreichend, diese Werte zu interpolieren. Stattdessen deniert man sich mit Hilfe der k i ein neues RKV, das in jedem Punkt ϑ [0, ] eine Approximation liefert. Definition.5. Ein stetiges RKV ist ein Verfahren vom Typ wie in Denition.0, bei dem die Koezienten c i durch stetige Funktionen c i (ϑ) auf dem Intervall [0, ] ersetzt werden. Damit wird Gleichung (.5c) ersetzt durch y(t 0 + ϑh) = y 0 + r i= c i (ϑ)k i. (.8) Hier darf die Stufenzahl r auch groer als r sein. Dann mussen zusatzliche Zwischenwerte k i generiert werden. Anmerkung.6. Falls r > r wahle k r+ = k = f(t n, y ) des nachsten Zeitschritts. Beispiel.7. Fur das klassische RKV mit 4 Stufen kann man eine stetige Interpolation mit r = r durch die Koezienten c (ϑ) = ϑ 3 ϑ + 3 ϑ3 c (ϑ) = c 3 (ϑ) = ϑ 3 ϑ3 c 4 (ϑ) = ϑ + 3 ϑ3 denieren. Fur dieses Verfahren ist der Fehler y(ϑ) u(ϑ) = O(h 3 ).

14 Kapitel Lineare Mehrschrittmethoden. Definition und Konsistenz Beispiel. (Adams-Bashforth-Formeln). Beispiel. (Adams-Moulton-Formeln). Beispiel.3. Backward dierencing formulas (BDF) oder Ruckwartsdierenzenformeln basieren zwar ebenfalls auf Lagrange-Interpolation in den Punkten t n R bis t n, benutzen aber keine Quadratur fur die rechte Seite, sondern die Ableitung des Interpolationspolynoms im Punkt t n. Seien L i (t) die Lagrange-Polynome fur die obigen Punkte. Wir machen den Ansatz y(t) = y n r L n r (t), wobei y n noch zu bestimmen ist. Nun fordern wir, dass y im Punkt t n die DGL lost, also y (t) = f(t n, y n ) = y n r L n r(t). Daraus ergeben sich die folgenden Schemata: R = y n y n = hf n (.) R = y n 4 3 y n + 3 y n = 3 hf n (.) R = 3 y n 8 y n + 9 y n y n 3 = 6 hf n (.3) R = 4 y n 48 5 y n y n 6 5 y n y n 4 = 5 hf n (.4) 3

15 Definition.4. Eine lineare Mehrschrittmethode (LMM) mit R Schritten ist ein Verfahren der Form α R r y n r = h β R r f n r, (.5) wobei f k = f(t k, y k ) und t k = t 0 + hk. Wir unterscheiden explizite (β R = 0) und implizite (β R 0) Methoden. Fur dieses Verfahren denieren wir das erste und das zweite charakteristische Polynom ρ(x) = α r x r σ(x) = β r x r. (.6) Anmerkung.5. Die LMM wurde oben fur konstante Schrittweite h deniert. Prinzipiell ist es auch moglich, die Methode mit variabler Schrittweite zu implementieren, doch beschranken wir uns fur die Analyse auf den konstanten Fall. Bemerkungen zur Schrittweitensteuerung nden sich spater in diesem Kapitel. Definition.6. Mit der LMM verbinden wir den linearen Dierenzenoperator (L h u)(t n ) = ( α R r u(t n k ) hβ R r f ( t n k, u(t n k ) )) (.7) und denieren fur eine stetige Funktion u den Abschneidefehler Hilfssatz.7. τ h (n) = h L hu(t n ). (.8) Definition.8. Eine LMM ist konsistent von Ordnung p, wenn fur all hinreichend regularen Funktionen u und alle relevanten n gilt: τ h (n) = O(h p ) (.9) Satz.9. Eine LMM ist konsistent von Ordnung p genau dann, wenn eine der folgenden aquivalenten Bedingungen erfullt ist: α r = 0 and ( αr r q qβ r r q ) = 0, q =,..., p (.0a) ρ(e h ) hσ(e h ) = O(h p+ ) h 0 (.0b) Beweis. 4

16 . Eigenschaften von Differenzengleichungen Definition.0. Eine Gleichung der Form α r y n+r = 0 (.) wird als homogene Dierenzengleichung bezeichnet. Eine Folge {y n } n=0,..., ist Losung der Dierenzengleichung, wenn die Gleichung fur alle n R erfullt ist. Die Folgenwerte y n konnen in R, C, R d oder C d liegen. Hilfssatz.. Die Losungen der Gleichung (.) mit y n C oder y n C bilden einen Vektorraum der Dimension R. Beweis. Da die Gleichung (.) linear und homogen ist, erf ullen fur zwei Losungsfolgen {y () } und {y () } oensichtlich auch ihre Summe und Vielfachen die Gleichung. Sobald die Startwerte y 0 bis y R gewahlt sind, sind alle weiteren Folgenglieder eindeutig bestimmt. Insbesondere gilt y 0 = y = = y R = 0 = y n = 0, n 0. Damit genugt es also, die ersten R Werte zu betrachten. Sind diese linear unabhangig, so sind es die gesamten Folgen, und umgekehrt. Es ist aber oensichtlich, dass diese Werte einen R-dimensionalen Vektorraum bilden. Definition.. Als charakteristisches Polynom der Dierenzengleichung (.) bezeichnen wir das Polynom χ(x) = α r x r. (.) Hilfssatz.3. Fur jede Nullstelle ξ des charakteristischen Polynoms χ(x) ist die Folge y n = ξ n eine Losung der Dierenzengleichung (.). Beweis. Einsetzen der Losung y n = ξ n in die Dierenzengleichung ergibt α r ξ n+r = ξ n R α r ξ r = ξ n χ(ξ) = 0. 5

17 Satz.4. Seien {ξ i } i=,...,ι die Nullstellen des charakteristischen Polynoms χ mit Vielfachheit ν i. Dann bilden die Folgen der Form y (i,k) n = n k ξ n i i =,..., ι; k =,..., ν i (.3) eine Basis fur den Raum der Losungen der Dierenzengleichung (.). Beweis. Zunachst bemerken wir, dass die Summe aus den Vielfachheiten der Nullstellen gerade den Grad des Polynoms ergibt, also R = ι ν i. i= Ferner wissen wir wegen Hilfssatz., dass R die Dimension des Losungsraums ist. Es wir zeigen, dass die Folgen {y (i,k) n } linear unabhangig sind. Dies ist zunachst klar fur die Folgen zu einem Index i. Es ist aber auch fur verschiedene Nullstellen klar, da fur n die Exponentialfunktion den Einu der Polynome immer anulliert. Es bleibt zu zeigen, dass die Folgen {y (i,k) n } tatsachlich Losungen der Dierenzengleichung sind. Fur k = 0 haben wir dies bereits im Hilfssatz.3 bewiesen. Exemplarisch fuhren wir hier den Beweis fur k = und eine doppelte Nullstelle ξ i durch. Gleichung (.) angewandt auf die Folge {nξ n i } ergibt α r (n + r)ξ n+r i = nξ n i α r ξ r i + ξ n+ i r= = nξ n i ρ(ξ i ) + ξ n+ i ρ (ξ i ) = 0. α r rξ r i Hierbei fallt gerade der Term mit α 0 weg, weil er mit r = 0 multipliziert wird. Korollar.5 (Wurzelkriterium). Alle Losungen {y n } der Dierenzengleichung (.) sind beschrankt fur n genau dann, wenn gilt: alle Nullstellen des charakteristischen Polynoms χ(x) liegen im abgeschlossenen Einheitskreis { z C z } und alle Nullstellen auf dem Rand des Einheitskreises sind einfach. Beweis. Nach Satz.4 konnen wir alle Losungen angeben. Aus ihrer Darstellung in Gleichung (.3) entnehmen wir, dass. Alle Losungen zu ξ i < fur n gegen null konvergieren 6

18 . Alle Losungen zu ξ i > fur n gegen unendlich konvergieren 3. Alle Losungen zu ξ i = fur n genau dann beschrankt bleiben, wenn ξ i einfach ist. Dies beweist die Aussage des Satzes..3 Stabilität und Konvergenz Bemerkung.6. Im Gegensatz zu Einschrittverfahren folgt bei linearen Mehrschrittmethoden die Konvergenz nicht unmittelbar aus der Konsistenz der Methode, wenn die rechte Seite der Dierentialgleichung der Lipschitz-Bedingung (??) genugt. Analog zur A-Stabilitat werden wir dies im folgenden anhand eines einfachen Modellproblems diskutieren und eine Stabilitatsbedingung herleiten. Bemerkung.7. Im folgenden untersuchen wir die Losung zu einem festen Zeitpunkt t mit immer kleiner werdender Schrittweite h. Dazu wahlen wir n Schritte der Schrittweite h = t/n und lassen dann n gegen unendlich gehen. Definition.8. Eine LMM ist nullstabil, wenn sie angewandt auf die triviale DGL u = 0 (.4) mit beliebigen Startwerten y 0 bis y R Losungen y n erzeugt, die zu jedem Zeitpunkt t > 0 beschrankt bleiben, wenn die Schrittweite h gegen null konvergiert. Beispiel.9.??Gegenbeispiel aus der Hausaufgabe??? Satz.0. Eine LMM ist genau dann nullstabil, wenn alle Nullstellen des ersten charakteristischen Polynoms ρ(x) aus Gleichung (.6) im Einheitskreis der komplexen Zahlenebene liegen und alle Nullstellen auf dem Rand des Einheitskreises einfach sind. Beweis. Die Anwendung der LMM auf die Gleichung (.4) ergibt die Dierenzengleichung α R r y n r = 0. Wir haben nun nachzuweisen, dass ihre Losungen fur festes t = hn beschrankt bleiben, wenn h 0. Wir sehen aber, dass obige Gleichung kein h enthalt. Daher mussen wir nun untersuchen, ob die Losungen y n fur n beschrankt bleiben. Durch Umsortieren der Summation erhalten wir eine Dierenzengleichung der Form (.). Aus Korollar.5 folgt dann die Aussage des Satzes. 7

19 Korollar.. Die Adams-Bashforth- und Adams-Moulton-Verfahren sind nullstabil. Beweis. Bei allen diesen Verfahren ist das erste Charakteristische Polynom ρ(x) = x R x R. Dieses hat die einfache Nullstelle ξ = und die R - fache Nullstelle 0. Satz.. Die BDF-Verfahren sind nullstabil fur R 6 und nicht nullstabil fur R 7..4 LMM für steife Probleme Definition.3. Das Stabilitatspolynom einer LMM ergibt sich analog zu den Einschrittverfahren aus der Anwendung der Methode auf die DGL u = λu. Wir erhalten fur die Losung die Dierenzengleichung ( αr r hλβ R r )y n r. (.5) Wir erhalten damit wie dort durch Einsetzen von z = hλ und den Ansatz y n = x n r(x, z) = ( αr r zβ R r )x R r. (.6) Anmerkung.4. Anstelle der einfachen Verstarkungsfunktion r(z) der Einschrittverfahren erhalten wir hier eine Funktion von zwei Variablen, dem Punkt z fur den wir Stabilitat zeigen wollen und der kunstlichen Variablen x aus der Verfahrensanalyse. Definition.5. Das Stabilitatsgebiet einer LMM ist die Menge der Punkte z C, fur die alle Losungensfolgen {y n } der Gleichung (.5) fur n beschrankt bleiben. Eine LMM heit A-stabil, wenn das Stabilitatsgebiet die linke Halbebene von C enthalt. Hilfssatz.6. Ein Punkt z C liegt im Stabilitatsgebiet einer LMM, wenn fur das die Nullstellen des Stabilitatspolynoms r(x, z) als Funktion von x das Wurzelkriterium in Korollar.5 gilt. Beweis. Der Beweis ist analog zu Satz.0. 8

20 Satz.7 (. Dahlquistschranke). Es gibt keine A-stabile LMM mit Ordnung p >. Unter den A-stabilen LMM der Ordnung hat die Trapezregel?? die kleinste Fehlerkonstante. Definition.8. Eine Methode heit A(α)-stabil, wenn ihr Stabilitatsgebiet den Sektor { } z C Rz < 0 Iz Rz tan α enthalt. Sie heit A(0)-stabil, wenn die negative reelle Achse im Stabilitatsgebiet enthalten ist. Anmerkung.9. Die Einfuhrung der A(0)-Stabilitat ist motiviert durch lineare Systeme der Form u = Au mit symmetrisch, positiv deniter Matrix A. In der Tat benotigt man dort, da alle Eigenwerte reell sind, nur Stabilitat auf der reellen Achse. Ebenso sind A(α)-stabile LMM geeignet fur lineare Probleme, bei denen hochfrequente Schwingungen (Iλ gro) schnell abklingen ( Rλ gro). In beiden Fallen sind fur die Anwendung auf nichtlineare Probleme entsprechende Eigenschaften der Jacobimatrix u f zu betrachten. 9