Numerik Grundpraktikum: Numerische Verfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen

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1 Numerik Grundpraktikum: Numerische Verfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen Roland Pulch Vorlesung im Wintersemester 205/6 Institut für Mathematik und Informatik Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald Inhalt:. Problemstellung und Beispiele 2. Einschrittverfahren 3. Mehrschrittverfahren 4. Methoden für steife Differentialgleichungen Literatur: J. Stoer, R. Bulirsch: Numerische Mathematik 2. (5. Aufl.) Springer, (Kapitel 7) P. Deuflhard, F. Bornemann: Numerische Mathematik 2. Gewöhnliche Differentialgleichungen. (3. Aufl.) de Gruyter, K. Strehmel, R. Weiner, H. Podhaisky: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen. (2. Aufl.) Springer Spektrum, 202. H.R. Schwarz, N. Köckler: Numerische Mathematik. (8. Aufl.) Vieweg+Teubner, 20. (Kapitel 8)

2 Inhaltsverzeichnis Problemstellung und Beispiele. Existenz und Eindeutigkeit Chemische Reaktionskinetik Elektrische Schaltungen Mehrkörpersysteme Einschrittverfahren 2. Vorbereitungen Elementare Integrationsverfahren Konsistenz und Konvergenz Runge-Kutta-Verfahren Schrittweitensteuerung Mehrschrittverfahren Methoden über numerischer Quadratur Methoden über numerische Differentiation Konsistenz, Stabilität und Konvergenz Prädiktor-Korrektor-Verfahren Ordnungssteuerung ii

3 4 Methoden für steife Differentialgleichungen Beispiele Testgleichungen A-Stabilität für Einschrittverfahren A-Stabilität für Mehrschrittverfahren Vergleich der Verfahrensklassen Literaturverzeichnis 85 iii

4 Kapitel Problemstellung und Beispiele Diese Veranstaltung behandelt die numerische Lösung von Anfangswertproblemen zu gewöhnlichen Differentialgleichungen. Systeme aus gewöhnlichen Differentialgleichungen (gew. Dgln.) erster Ordnung besitzen die Gestalt oder komponentenweise geschrieben y (x) = f(x, y(x)), y (x) = f (x, y (x),..., y n (x)) y 2(x) = f 2 (x, y (x),..., y n (x)). y n(x) = f n (x, y (x),..., y n (x)). Ein solches System besitzt im allgemeinen unendlich viele Lösungen. Daher sind zusätzliche Bedingungen notwendig, um eine eindeutige Lösung zu identifizieren. Ein Anfangswertproblem (AWP) ergibt sich durch Vorgabe eines Anfangswerts y(x 0 ) = y 0 zu einem bestimmten Anfangspunkt x 0 R zusammen mit einem vorgegebenem Wert y 0 R n. Abb. verdeutlicht diese Problemstellung. Demgegenüber liegt bei einem Randwertproblem (RWP) eine Bedingung vor, die sowohl einen Anfangszustand als auch einen Endzustand einbezieht,

5 y y 0 x 0 x d.h. Abbildung : Anfangswertproblem einer gewöhnlichen Differentialgleichung. r(y(a), y(b)) = 0 mit gegebener Funktion r : R n R n R n zu einem Intervall [a, b]. Beispielsweise ergibt sich ein periodisches RWP durch die Forderung y(a) y(b) = 0. Eine gew. Dgl. n-ter Ordnung lautet z (n) (x) = g(x, z(x), z (x), z (x),..., z (n ) (x)). Wir erhalten ein äquivalentes System erster Ordnung durch die Definition Es folgt das System y := z, y 2 := z, y 3 := z,..., y n := z (n ). y = y 2, y 2 = y 3,..., y n = y n, y n = g(x, y,..., y n ). Daher betrachten wir in dieser Veranstaltung o.e.d.a. nur Systeme erster Ordnung. Desweiteren gibt es die Klasse der partiellen Differentialgleichungen (part. Dgln.), wobei die Lösung nicht mehr nur von einer unabhängigen Veränderlichen sondern mehreren unabhängigen Veränderlichen abhängt. Hier können AWPe, RWPe oder Kombinationen aus beiden vorliegen. In den meisten Fällen können AWPe oder RWPe von Dgln. nicht analytisch gelöst werden, d.h. es existiert keine geschlossene Formel für die Lösung. 2

6 Auch wenn ein analytischer Lösungsweg möglich ist, so möchte man diesen meist vermeiden wegen des hohen Aufwands. Daher sind numerische Verfahren für diese Probleme erforderlich. Wir präsentieren später Beispiele von Modellen aus gew. Dgln., die in verschiedenen Anwendungsgebieten auftreten: in der Chemie (Reaktionskinetik), in der Elektrotechnik (elektrische Schaltung) und in der Mechanik (Mehrkörperproblem). In allen Fällen werden diese mathematischen Modelle zur (näherungsweisen) Beschreibung von realen Prozessen eingesetzt. Wegen vereinfachender Modellannahmen stellt die Lösung der Dgln. eine Approximation der realen Zustände dar.. Existenz und Eindeutigkeit Gegeben sei das AWP y (x) = f(x, y(x)), y(x 0 ) = y 0 (.) mit der rechten Seite f : G R n auf einer offenen Menge G R R n. Es gilt (x 0, y 0 ) G für den Anfangswert. Wir benötigen als Voraussetzung die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung y. Der Satz von Peano liefert eine Existenzaussage für eine stetige rechte Seite, jedoch keine Eindeutigkeitsaussage. Für die Eindeutigkeit wird eine stärkere Eigenschaft benötigt. Definition. Die rechte Seite f genügt auf der offenen Menge G einer globalen Lipschitz-Bedingung, wenn eine Konstante L > 0 existiert mit f(x, y) f(x, z) L y z (.2) für alle (x, y), (x, z) G. Die rechte Seite f erfüllt eine lokale Lipschitz- Bedingung, wenn zu jedem (ˆx, ŷ) G eine Umgebung U G exisitert, so dass f auf U eine Lipschitz-Bedingung mit einer von U abhängigen Konstanten L > 0 erfüllt. In dieser Definition wird eine beliebige Vektornorm auf dem R n verwendet. Hinreichend für die lokale Lipschitz-Bedingung ist, dass f auf G 3

7 bezüglich der Variablen y stetig differenzierbar ist. Der Satz von Picard- Lindelöf gibt nun eine Existenz- und Eindeutigkeitsaussage. Satz. (Picard-Lindelöf) Sei G R R n offen und f : G R n eine stetige Funktion, die eine lokale Lipschitz-Bedingung erfüllt. Dann gibt es zu jedem Anfangswert (x 0, y 0 ) G ein ε > 0 und eine eindeutige Lösung y : [x 0 ε, x 0 + ε] R n des AWPs (.). Beweis: siehe Satz 4 in Kapitel 2 aus [3]..2 Chemische Reaktionskinetik Chemische Prozesse enthalten typischerweise bimolekulare Reaktionen der Gestalt A + B C + D. Sei c S die Konzentration der Substanz S, welche von der Zeit t abhängt. Das zugehörige System gew. Dgln. lautet c A (t) = k c A(t)c B (t) c B (t) = k c A(t)c B (t) c C (t) = +k c A(t)c B (t) c D (t) = +k c A(t)c B (t). (.3) Die Reaktionsrate k > 0 charakterisiert die Wahrscheinlichkeit der chemischen Reaktion im Fall einer Kollision der Moleküle A und B. Der Koeffizient k kann daher Geschwindigkeit der Reaktion interpretiert werden. Die physikalische Einheit des Parameters k ist liter/(s mol). Anfangswerte sind für das System (.3) vorzugeben. Nun betrachten wir eine Menge aus m allgemeinen chemischen Reaktionen zwischen n verschiedenen Stoffen A,..., A n (Moleküle/Atome), d.h. α j A + α 2j A α nj A n k j γj A + γ 2j A γ nj A n 4

8 für j =,..., m oder äquivalent n k j n α ij A i γ ij A i für j =,..., m. (.4) i= i= Die Parameter α ij, γ ij N 0 stellen die stoichiometrischen Konstanten dar. Die j-te Reaktion besitzt die Geschwindigkeit k j R +. Es entsteht als mathematisches Modell dc Ai m n α = (γ ij α ij )k j c lj Al für i =,..., n, dt j= l= welches ein System aus n gew. Dgln. für die unbekannten Konzentrationen darstellt. Die Auswertung der rechten Seite kann automatisch erfolgen, wenn die Reaktionsgleichungen (.4) spezifiziert sind. Die Hydrolyse von Harnstoff ist ein Beispiel für ein chemisches Reaktionssystem. Dabei reagiert Harnstoff (Urea) zusammen mit Wasser zu Ammoniumcarbonat. Für eine genügende Schnelligkeit der Reaktion ist die Hilfe des Enzyms Urease erforderlich, da es die Aktivierungsenergie verringert, d.h. das Enzym fungiert als Katalysator. Das gesamte Reaktion lautet (NH 2 ) 2 CO + 2 H 2 O + Urease (NH 4 ) 2 CO 3 + Urease. (.5) Dieser Prozess ergibt sich aus drei einfacheren Reaktionen. Mit den Abkürzungen U: Urea, E: Urease, UE: Kombination aus Urea and Urease, A: Ammoniumcarbonat besteht die Reaktion (.5) aus den drei Anteilen U + E UE UE + 2 H 2 O k k 2 UE U + E (.6) k 3 A + E. Die Parameter k, k 2, k 3 spezifizieren die Reaktionsgeschwindigkeiten. Wir konstruieren ein mathematisches Modell für dieses Reaktionssystem. Sei wieder c S die Konzentration der Substanz S in der Einheit mol/liter (mol/l). Die zeitliche Änderung der Konzentrationen soll bestimmt werden. Da alle Reaktionen in Wasser stattfinden und die anderen Konzentrationen 5

9 Konzentrationen [mol/l] [U] [E] [UE] [A] Zeit [s] Abbildung 2: Simulation der Hydrolyse von Harnstoff. demgegenüber relativ klein sind, nehmen wir eine konstante Wasserkonzentration (55.56 mol/l) an. Die Reaktionsgeschwindigkeiten sind k = 3.0 l mol s, k 2 = 0.02 s, k 3 = 0. s. (.7) Es folgt ein System aus vier gew. Dgln. für die unbekannten Konzentrationen c U = k c U c E + k 2 c UE c E = k c U c E + k 2 c UE + k 3 c UE c UE = k c U c E k 2 c UE k 3 c UE c A = k 3 c UE. (.8) Dieses System besitzt eine eindeutige Lösung für vorgegebene Anfangswerte. Wir verwenden die Anfangsbedingungen c U = 0. mol l, c E = 0.02 mol, c l UE = c A = 0. (.9) Wie bei vielen anderen Anwendungen ist eine analytische Lösung des Systems aus gew. Dgln. nicht möglich, d.h. wir können keine explizite Formel 6

10 für die unbekannte Lösung erhalten. Daher verwenden wir eine numerisches Verfahren um eine Näherungslösung zu erhalten. Abb. 2 zeigt das Ergebnis. Zum einen verringert sich die Konzentration von Harnstoff mit der Zeit bis auf null, da die Substanz in der Hydrolyse abgebaut wird. Zum anderen erhöht sich die Konzentration des Reaktionsprodukts Ammoniumcarbonat bis kein Harnstoff mehr vorhanden ist. Die Konzentration des Enzyms verringert sich zwar anfangs, jedoch liegt am Ende wieder genau soviel Enzym vor wie zu Beginn..3 Elektrische Schaltungen Als ein einfaches Beispiel einer elektrischen Schaltung betrachten wir den elektromagnetischen Schwingkreis. Dieser besteht aus einer Kapazität C, einer Induktivität L und einem Widerstand R, siehe Abb. 3 (links). Die Kirchhoffsche Knotenregel liefert die Gleichung I C + I L + I R = 0. Die Kirchhoffsche Maschenregel impliziert U := U C = U L = U R. Jedes Element der Schaltung ist durch eine Strom-Spannungs-Relation gekennzeichnet, nämlich CU C = I C, LI L = U L, R = U R I R. Es folgt ein lineares System aus zwei gew. Dgln. U = C I L RC U I L = L U (.0) für die unbekannten Funktionen U und I L. Weitere Umformungen liefern eine gew. Dgl. zweiter Ordnung für die unbekannte Spannung U + RC U + LC U = 0. Wenn der Widerstand hinreichend klein ist, dann entsteht als Lösung eine gedämpfte Schwingung U(t) = e 2RC t [A sin (ωt) + B cos (ωt)] mit ω = LC 4R 2 C. 2 7

11 U U I I I R L C I I I R L C I S Abbildung 3: Elektromagnetischer Schwingkreis ohne (links) und mit (rechts) Stromquelle. Die Konstanten A und B bestimmen sich aus Anfangsbedingungen. Das System (.0) aus gew. Dgln. ist autonom. Wir erhalten eine zeitabhängiges System durch Hinzufügen einer unabhängigen Stromquelle, siehe Abb. 3 (rechts). Als Eingabe verwenden wir Es folgen dann die Dgln. I in (t) = I 0 sin (ω 0 t). U = C I L RC U C I in(t) I L = L U. (.) In diesem Fall entstehen als Spannungen und Ströme dann erzwungene Schwingungen. Abb. 4 zeigt Beispiele zu Lösungen von Anfangswertproblemen der Systeme (.0) und (.)..4 Mehrkörpersysteme Wir betrachten ein Zwei-Körper-Problem bestehend aus Partikeln mit den Massen m, m 2. Sei Xi = (x i, y i, z i ) die Position der i-ten Masse. Die Positionen und die Geschwindigkeiten der Körper hängen von der Zeit ab. Die Gravitation bewirkt Kräfte zwischen den Massen. Das Newtonsche Bewegungsgesetz liefert ein System aus gew. Dgln. zweiter Ordnung m X (t) = G m m 2 X (t) X 2 (t) 3( X 2 (t) X (t)) m 2 X 2 (t) = G m m 2 X (t) X 2 (t) 3( X (t) X 2 (t)) 8

12 Spannung [V] Spannung [V] Zeit [ms] Zeit [ms] Abbildung 4: Lösung U der Dgl. (.0) (links) und der Dgl. (.) (rechts). mit der Gravitationskonstanten G > 0. Setzen wir V i := X i für die Geschwindigkeiten, so folgt ein System erster Ordnung X = V V = G m 2 X X 2 3( X 2 X ) X 2 = V 2 V 2 = G m X X 2 3( X X 2 ) bestehend aus zwölf Gleichungen. Dieses System ist autonom. Anfangsbedingungen X i (0), V i (0) müssen vorgegeben werden. Abb. 5 zeigt die Trajektorien eines Zwei-Körper-Problems mit unterschiedlichen Massen m > m 2. Die Bewegung erfolgt hier typischerweise ungefähr entlang von Ellipsen. Wir leiten nun das N-Körper-Problem für Massen m,..., m N her. Sei F ij die Gravitationskraft auf die i-te Masse verursacht von der j-ten Masse. Das Newtonsche Bewegungsgesetz impliziert m i X i = N j=,j i N F ij = j=,j i G m im j X j X i 3( X j X i ) 9

13 z z y x y x Abbildung 5: Trajektorien (Positionen) eines Zwei-Körper-Problems mit Massen m > m 2 aus zwei unterschiedlichen Blickwinkeln (Linie: erster Körper, Punkte: zweiter Körper). für i =,..., N. Es folgt ein System erster Ordnung aus 6N gew. Dgln. X i = V i V i = G N j=,j i m j X j X i 3( X j X i ) für i =,..., N. Das Zwei-Körper-Problem kann noch analytisch gelöst werden, während dies nicht mehr für das N-Körper-Problem mit N > 2 gilt. Daher benötigen wir numerische Verfahren für diese Aufgabenstellung. Weitere Modelle In den vorangehenden Abschnitten wurden Probleme aus dem Bereich der Chemie, der Elektrotechnik und der Mechanik besprochen. Systeme aus gew. Dgln. treten ebenfalls in den folgenden Anwendungen auf: Biologie (z.b. Räuber-Beute-Modelle, Epidemie-Modelle), Simulation von Kriegsgefechten (Lanchester Modelle), Diskretisierung von partiellen Differentialgleichungen, und andere. Weitere Literatur zu Modellen mit gew. Dgln. ist beispielsweise [, 2]. 0

14 Kapitel 2 Einschrittverfahren 2 Wir besprechen jetzt numerische Methoden für die Anfangswertprobleme, die im vorhergehenden Kapitel eingeführt wurden. Dabei wird mit Einschrittverfahren begonnen, während Mehrschrittverfahren im nächsten Kapitel behandelt werden. 2. Vorbereitungen Wir möchten ein AWP (.) eines Systems gew. Dgln. in einem Intervall [x 0, x end ] (x 0 < x end ) numerisch lösen. Alle Verfahren für AWPe, die in dieser Veranstaltung betrachtet werden, verwenden eine endliche Anzahl von Gitterpunkten x 0 < x < x 2 < x 3 < < x N < x N = x end. Eine mögliche Wahl sind äquidistante Gitterpunkte x i := x 0 + ih mit h := x end x 0 N für i = 0,,..., N. Numerische Lösungen y i y(x i ) werden sukzessive berechnet. In einem Einschrittverfahren ist die Abhängigkeit der Werte einfach y 0 y y 2 y N y N.

15 Im Gegensatz dazu liegt bei einem Mehrschrittverfahren mit k Schritten eine Abhängigkeit vor der Gestalt y i k, y i k+,..., y i 2, y i y i für i = k, k +,..., N. Dabei müssen die ersten Werte y,..., y k durch eine andere Methode bestimmt werden im Fall k >. Ein Einschrittverfahren liegt auch in einer Mehrschrittmethode im Spezialfall k = vor. Ein allgemeines Einschrittverfahren kann in der Form y i+ = y i + h i Φ(x i, y i, h i ), (2.) geschrieben werden mit einer Inkrementfunktion Φ, die von sowohl dem Verfahren als auch der rechten Seite f abhängt. 2.2 Elementare Integrationsverfahren Die meisten Methoden für AWP (.) basieren auf einer Approximation der äquivalenten Integralgleichung y(x) = y(x 0 ) + Im Intervall [x 0, x 0 + h] erhalten wir y(x 0 + h) = y 0 + = y 0 + h x0 +h x 0 0 x x 0 f(s, y(s)) ds. (2.2) f(s, y(s)) ds f(x 0 + sh, y(x 0 + sh)) ds. (2.3) Nun wird das Integral auf der rechten Seite durch eine Quadraturformel ersetzt. Die Schwierigkeit besteht darin, dass die Funktion y, welche im Integranden auftritt, a priori unbekannt ist. Da die Schrittweite h klein ist, verwenden wir einfache Quadraturformeln und keine zusammengesetzten Quadraturformeln. Wir diskutieren die folgenden Beispiele, siehe Abb. 6: 2

16 (a) (b) (c) (d) Abbildung 6: Elementare Quadraturregeln: (a) Rechteck (linksseitig), (b) Rechteck (rechtsseitig), (c) Trapezregel, (d) Mittelpunktregel. (a) Rechteckregel (linksseitig): Als Näherung ergibt sich y = y 0 + hf(x 0, y 0 ). Diese Methode wird (explizites) Euler-Verfahren genannt. Es ist die einfachste Methode, die durchführbar ist. Ist der Anfangswert y(x 0 ) = y 0 gegeben, dann kann die Näherung y direkt über eine Funktionsauswertung von f berechnet werden. (b) Rechteckregel (rechtsseitig): Nun folgt als Methode y = y 0 + hf(x 0 + h, y ). (2.4) Diese Technik wird implizites Euler-Verfahren genannt. Der unbekannte Wert y tritt auf beiden Seiten der Gleichung auf. Im allgemeinen kann hier keine explizite Formel für y bestimmt werden. Die Vorschrift (2.4) stellt ein nichtlineares Gleichungssystem (aus algebraischen Gleichungen) für die Unbekannte y dar, d.h. der Wert y ist implizit definiert. Beispielsweise kann mit einer Newton-Iteration eine Näherungslösung erhalten werden. Der Rechenaufwand für einen Integrationsschritt ist somit aber deutlich höher als im expliziten Euler-Verfahren. 3

17 (c) Trapezregel: Wird das Integral mit der Trapezregel approximiert, dann folgt die Vorschrift y = y 0 + h 2 (f(x 0, y 0 ) + f(x 0 + h, y )). Dieser Ansatz führt daher wieder auf eine implizite Methode. Der Rechenaufwand für einen Integrationsschritt ist ungefähr so hoch wir im impliziten Euler-Verfahren. Jedoch kann man eine deutlich besser Näherung erwarten, da die Trapeze besser approximieren als die Rechtecke in der Quadratur. (d) Mittelpunktregel: Die Mittelpunktregel verwendet ein bestimmtes Rechteck. Es folgt y = y 0 + hf(x h, y(x 0 + 2h)). (2.5) Diese Vorschrift ist noch nicht durchführbar, denn Unbekannte sind sowohl y als auch y(x 0 + 2h). Daher benötigen wir eine weitere Gleichung, um den Zwischenwert y(x 0 + 2h) zu bestimmen. Beispielsweise kann das explizite Euler-Verfahren diesen Wert liefern, wodurch folgt { y/2 = y 0 + h 2 f(x 0, y 0 ) oder äquivalent y = y 0 + hf(x h, y /2) y = y 0 + hf(x 0 + h 2, y 0 + h 2 f(x 0, y 0 )). (2.6) Diese Methode ist explizit, denn man kann sukzessive y /2 und y berechnen ohne nichtlineare Gleichungssysteme zu lösen. Es werden nur zwei Funktionsauswertungen von f benötigt. Die Vorschrift (2.6) wird modifiziertes Euler-Verfahren oder Collatz-Verfahren genannt. Alternativ entsteht eine implizite Methode, wenn der Zwischenwert linear durch y 0 und y interpoliert wird, d.h. y = y 0 + hf(x 0 + h 2, 2 (y 0 + y )) ergibt sich als Verfahrensvorschrift. Man nennt dies auch die implizite Mittelpunktregel. 4

18 Die Genauigkeit dieser Methoden wird später untersucht. Explizites Euler-Verfahren Wir betrachten das explizite Euler-Verfahren jetzt genauer. Diese Formel kann auch durch zwei andere Ansätze erhalten werden. Zum einen ersetzen wir die Ableitung in der Dgl. y = f(x, y) durch den Differenzenquotienten (erster Ordnung), wodurch folgt y(x 0 + h) y(x 0 ) h. = f(x 0, y(x 0 )) y = y 0 + hf(x 0, y 0 ). Zum anderen verwenden wir die Tangente zu y(x) im Anfangspunkt (x 0, y 0 ) zur Approximation der Lösung. Die Tangentengleichung lautet Es folgt t(x) = y(x 0 ) + (x x 0 )y (x 0 ) = y(x 0 ) + (x x 0 )f(x 0, y(x 0 )). y := t(x 0 + h) = y 0 + hf(x 0, y 0 ), d.h. wir erhalten das explizite Euler-Verfahren. Die sukzessive Anwendung dieser Methode liefert daher Tangentenstücke, wodurch diese Technik auch Polygonzugverfahren genannt wird. Als Beispiel lösen wir das AWP y = 2y, y( 4 ) = 2, x [ 4, 2]. Die exakte Lösung ist y(x) = x. Abb. 7 zeigt die Näherungslösungen aus dem expliziten Euler-Verfahren. Wir erkennen, dass die Näherungen mit steigender Schrittzahl N bzw. kleinerer Schrittweite h genauer werden. 5

19 .6 N = y(x) x.6 N = y(x) x.6 N = y(x) x Abbildung 7: Lösung von y =, y( ) = (Linie) und Näherungslösung (Punkte) aus 2y 4 2 dem expliziten Euler-Verfahren mit N Schritten. 6

20 2.3 Konsistenz und Konvergenz Wir betrachten ein allgemeines Einschrittverfahren der Gestalt (2.) mit der Inkrementfunktion Φ. Es existieren unterschiedliche Notationen, um die Genauigkeit der Näherung y i+ mit der exakten Lösung y(x i+ ) zu vergleichen. Zu einem lokalen Bereich formulieren wir die folgende Definition. Definition 2. (lokaler Diskretisierungsfehler) Sei y(x) die exakte Lösung des AWPs y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0 und y = y 0 + hφ(x 0, y 0, h) die Näherung aus einem Einschrittverfahren mit Schrittweite h > 0. Dann lautet der lokale Diskretisierungsfehler τ(h) := y(x 0 + h) y. (2.7) h Der lokale Diskretisierungsfehler hängt auch von der Wahl des Anfangswerts (x 0, y 0 ) ab, welches in der Notation jedoch nicht extra aufgezeigt wird. Die Definition (2.7) des lokalen Diskretisierungsfehlers kann auf drei Arten interpretiert werden: die Differenz zwischen der exakten Lösung und der Näherungslösung (Diskretisierungsfehler nach einem Schritt ausgehend von der exakten Lösung) skaliert mit der Schrittweite h. die Differenz zwischen den Steigungen der entsprechenden Sekanten τ(h) = y(x 0 + h) y 0 h } {{ } exakte Lösung y y 0. }{{ h } Näherungslösung Die Sekanten sind in Abb. 8 dargestellt. Für τ(h) 0 werden beide Sekanten zur Tangente t(x) = y(x 0 ) + (x x 0 )y (x 0 ) im Grenzfall. der Defekt τ(h) = y(x 0 + h) y 0 h 7 Φ(x 0, y 0, h), (2.8)

21 y y Sekante an exakter Lösung Sekante an Näherung y(x) y 0 x 0 x 0+h x Abbildung 8: Sekanten an die exakte Lösung und an die Näherungslösung. welcher sich durch Einsetzen der exakten Lösung in die Formel der Näherung ergibt. Mit Definition der stetigen Funktion (x 0, y 0, h) := { y(x0 +h) y 0 h für h > 0 f(x 0, y 0 ) für h = 0 (2.9) kann man genauer schreiben τ(x 0, y 0, h) = (x 0, y 0, h) Φ(x 0, y 0, h) für h 0. Beispiel : Lokaler Diskretisierungsfehler im expliziten Euler-Verfahren Taylor-Entwicklung liefert unter der Annahme y C 2 y(x 0 + h) = y(x 0 ) + hy (x 0 ) + 2 h2 y (x 0 + ϑ(h)h) = y 0 + hf(x 0, y 0 ) + 2 h2 y (x 0 + ϑ(h)h) mit 0 < ϑ(h) <. Der lokale Diskretisierungsfehler ergibt sich zu τ(h) = h (y(x 0 + h) y ) = h (y(x 0 + h) y 0 hf(x 0, y 0 )) = 2 hy (x 0 + ϑ(h)h). Es folgt τ(h) = O(h). 8

22 Beispiel 2: Lokaler Diskretisierungsfehler im impliziten Euler-Verfahren Zur Vereinfachung setzen wir eine beschränkte rechte Seite voraus, d.h. f M. Zum einen liefert das implizite Euler-Verfahren y = y 0 + hf(x 0 + h, y ) = y 0 + hf(x 0 + h, y 0 + hf(x 0 + h, y )). Mehrdimensionale Taylor-Entwicklung der Funktion f C 2 zeigt uns [ ] y = y 0 + h f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )h + f y (x 0, y 0 )hf(x 0 + h, y ) + O(h 2 ) = y 0 + hf(x 0, y 0 ) + O(h 2 ). Zum anderen liefert eine Taylor-Entwicklung der exakten Lösung τ(h) = h (y(x 0 + h) y ) = h (y 0 + hf(x 0, y 0 ) + O(h 2 ) (y 0 + hf(x 0, y 0 ) + O(h 2 ))) = O(h). Wieder folgt τ(h) = O(h). Aufbauend auf den Eigenschaften des lokalen Diskretisierungsfehlers definieren wir die Konsistenz. Definition 2.2 (Konsistenz) Ein Einschrittverfahren (oder dessen Inkrementfunktion Φ) heißt konsistent, wenn der lokale Diskretisierungsfehler bei allen Anfangswerten (x 0, y 0 ) G (G: Definitionsbereich von f) gegen null konvergiert für kleine Schrittweiten: τ(h) σ(h) mit lim h 0 σ(h) = 0. Das Verfahren heißt konsistent von (mindestens) Ordnung p, wenn τ(h) = O(h p ). Die Konsistenz eines Einschrittverfahrens kann leicht mit der folgenden Eigenschaft charakterisiert werden. Lemma 2. Sei die rechte Seite f der Dgl. y = f(x, y) stetig in x und erfülle die Lipschitz-Bedingung (.2) bezüglich y. Dann gilt die Äquivalenz Φ ist konsistent lim h 0 Φ(x, y, h) = f(x, y). 9

23 Beweis: Sei z die Lösung des AWPs z (x) = f(x, z(x)), z(x 0 ) = y 0 mit (x 0, y 0 ) G. Wegen der Definition von τ und dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gilt komponentenweise τ j (x 0, y 0, h) = z j(x 0 + h) y 0 h Φ j (x 0, y 0, h) = z j(x 0 + θ j h) Φ j (x 0, y 0, h) mit Zwischenwerten θ j (0, ) für j =,..., n. Mit der Stetigkeit von z folgt lim h 0 z j(x 0 + θ j h) = z j(x 0 ) = f j (x 0, y 0 ) für j =,..., n. Somit gilt lim τ(x 0, y 0, h) = f(x 0, y 0 ) lim Φ(x 0, y 0, h) h 0 h 0 falls die Grenzwerte existieren. Diese Gleichung liefert die Behauptung. Die Konsistenzordnung beschreibt die Qualität der Näherung nach einem einzelnen Schritt. Jedoch sind wir an der Qualität der Approximation nach N Schritten interessiert, wo der Endpunkt x end erreicht wird. Dies motiviert die nächste Definition. Definition 2.3 (globaler Diskretisierungsfehler und Konvergenz) Der globale Diskretisierungsfehler einer Methode auf einem Gitter x 0 < x < < x N ist definiert durch die Differenz e N := y(x N ) y N. (2.0) Für N nehmen wir h max 0 mit h max := max x i+ x i an. Das i=0,...,n Verfahren heißt konvergent, wenn für festes x end = x N gilt lim e N = 0. N Das Verfahren ist konvergent von (mindestens) Ordnung p, falls e N = O(h p max). 20

24 Bezüglich des Zusammenhangs zwischen Konsistenz und Konvergenz beweisen wir einen Satz. O.E.d.A. verwenden wir dabei die Maximumnorm als Vektornorm. Desweiteren benötigen wir noch eine Hilfsaussage. Lemma 2.2 Erfüllt eine Folge (r i ) i N R n die Abschätzung r i+ ( + δ) r i + β für i = 0,, 2,... mit Konstanten β 0 und δ > 0, dann gilt für k N 0 wobei die Vektornorm beliebig ist. r k e kδ r 0 + ekδ δ β, Beweis: Verwendet wird Induktion über k. Der Induktionsanfang mit k = lautet r ( + δ) r 0 + β e δ r 0 + eδ δ wegen + δ e δ und somit auch (e δ )/δ. Zum Induktionsschluss sei die Aussage für ein k erfüllt. Es folgt wieder mit + δ e δ β r k+ ( + δ) r k + β ( + δ)e kδ r 0 + ( + δ) ekδ δ e δ e kδ r 0 + (+δ)ekδ (+δ)+δ δ e (k+)δ r 0 + e(k+)δ δ und damit ist die Aussage für k + gezeigt. β β β + β Nun ergibt sich das Hauptresultat dieses Unterabschnitts. Satz 2. (Konvergenz von Einschrittverfahren) Gegeben sei ein AWP y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0 mit der exakten Lösung y(x) für x [x 0, x end ]. Die Inkrementfunktion Φ sei stetig auf G := { (x, y, h) : x [x 0, x end ], y y(x) γ, 0 < h h } 2

25 mit Konstanten γ, h > 0 und es gelte die Lipschitz-Bedingung Φ(x, y, h) Φ(x, y 2, h) K y y 2 (2.) für alle (x, y i, h) G, i =, 2 mit einer Konstanten K > 0. Das Einschrittverfahren sei konsistent von Ordnung p im Sinne von τ(x, y(x), h) = (x, y(x), h) Φ(x, y(x), h) C h p (2.2) für alle x [x 0, x end ] und 0 < h h mit einer Konstanten C > 0. Verwendet wird konstante Schrittweite h N := x end x 0 N, d.h. Gitterpunkte sind x i := x 0 + ih N für i = 0,,..., N. Dann gibt es ein ĥ (0, h], so dass die globalen Diskretisierungsfehler beschränkt sind durch e i h p N C exp(k(x end x 0 )) K und für alle h N ĥ. für i =,..., N (2.3) Beweis: Zu y, z R n definieren wir für γ > 0 die Hilfsgröße ỹ(y, z) R n komponentenweise für j =,..., n (ỹ = (ỹ,..., ỹ n ) ) durch z j + γ falls y j z j + γ, ỹ j := z j γ falls y j z j γ, y j sonst. Damit konstruieren wir die Hilfsfunktion Offensichtlich ist Φ stetig auf Φ(x, y, h) := Φ(x, ỹ(y, y(x)), h). G := { (x, y, h) : x [x 0, x end ], y R n, h h } und erfüllt wegen (2.) die Bedingung Φ(x, y, h) Φ(x, y 2, h) K y y 2 (2.4) 22

26 für alle (x, y i, h) G, i =, 2. Wegen Φ(x, y(x), h) = Φ(x, y(x), h) für alle x [x 0, x end ] sowie 0 < h h und (2.2) gilt auch (x, y(x), h) Φ(x, y(x), h) C h p (2.5) für x [x 0, x end ] und 0 < h h. Das zu Φ gehörige Einschrittverfahren liefert die Näherungslösungen ũ i über die Formel ũ i+ = ũ i + h N Φ(xi, ũ i, h N ) mit Anfangswert ũ 0 = y 0. Mit der Funktion (2.9) folgt direkt y i+ = y i + h N (x i, y i, h N ) für die exakten Lösungswerte y i = y(x i ). Durch Subtraktion erhalten wir für die Fehler ẽ i := ũ i y i die Rekursionsformel ] ẽ i+ = ẽ i + h N [ Φ(xi, ũ i, h N ) (x i, y i, h N ) = ẽ i + h N [ Φ(xi, ũ i, h N ) Φ(x ] i, y i, h N ) ] + h N [ Φ(xi, y i, h N ) (x i, y i, h N ). Es ergibt sich aus (2.4) und (2.5) Φ(x i, ũ i, h N ) Φ(x i, y i, h N ) K ũ i y i = K ẽ i, (x i, y i, h N ) Φ(x i, y i, h N ) C h p N. Wir erhalten die Abschätzung ẽ i+ ( + h N K) ẽ i + C h p+ N für i = 0,,..., N. Lemma 2.2 liefert nun mit ẽ 0 = ũ 0 y 0 = 0 die Abschätzung ẽ i C h p N exp(kih N) K für alle i = 0,,..., N. 23

27 Damit folgt auch ẽ i C h p N exp(k(x end x 0 )) für alle i = 0,,..., N K wegen ih N x end x 0. Wir erkennen, dass ein ĥ h existiert, so dass ẽ i γ für alle i = 0,,..., N gilt, falls h N ĥ. Damit erhalten wir Φ i (x i, ũ i, h N ) = Φ(x i, ũ i, h N ) für h N ĥ aus der Definition der Hilfsfunktion Φ. In diesem Fall sind die Näherungen ũ i aus dem von Φ erzeugten Einschrittverfahren identisch mit den Näherungen u i aus dem von Φ festgelegten Einschrittverfahren. Somit gilt ẽ i = e i für i = 0,,..., N mit e i := u i y i. Dadurch folgt die Abschätzung (2.3). Bemerkungen: Die Lipschitz-Bedingung (2.) ist bei den üblichen Verfahren erfüllt, falls die rechte Seite f der Dgl. lokal Lipschitz-stetig in y auf G ist. Die Konsistenzbedingung (2.2) stellt eine leichte Verschärfung der Bedingung aus Def. 2.2 dar und ist bei allen gängigen Verfahren gegeben. Die Konvergenzaussage (2.3) in Satz 2. betrifft nicht nur den Endwert bei x = x end sondern alle Gitterpunkte x,..., x N. Die Konvergenzaussage gilt auch bei nichtkonstanten Schrittweiten, d.h. einem Gitter x 0 < x < x 2 < < x N < x N = x end und h i := x i+ x i. Im Grenzfall muss dann h max 0 gelten mit der maximalen Schrittweite h max := max{h 0, h,..., h N }. In die Konvergenzanalyse können auch Fehler e 0 = u 0 y 0 0 in den Anfangswerten sowie Rundungsfehler einbezogen werden. Satz 2. zeigt, dass die Konsistenz hinreichend für die Konvergenz ist. Zudem stimmt die Konsistenzordnung mit der Konvergenzordnung überein. Die Konsistenz kann durch eine Untersuchung der Inkrementfunktion Φ des Einschrittverfahrens nachgewiesen werden. Umgekehrt gibt es konvergente Methoden, die nicht konsistent sind. Konsistenz ist somit nicht notwendig für Konvergenz. Jedoch werden inkonsistente Verfahren nicht in der Praxis eingesetzt. 24

28 2.4 Runge-Kutta-Verfahren Der wichtigste Typ von Einschrittverfahren sind die Runge-Kutta-Verfahren. Die Idee besteht darin, das Integral in (2.3) durch eine Quadraturformel mit den Knoten c,..., c s [0, ] und (äußeren) Gewichten b,..., b s R zu ersetzen. O.E.d.A. sei c c 2 c s. Es folgt eine endliche Summe s y = y 0 + h b i f(x 0 + c i h, y(x 0 + c i h)). i= Das Problem dabei ist, dass die Zwischenwerte y(x 0 + c i h) a priori unbekannt sind. Wir erhalten Näherungen für die Zwischenwerte wieder aus der Integralgleichung (2.2), d.h. y(x 0 + c i h) = y 0 + h ci 0 f(x 0 + sh, y(x 0 + sh)) ds. Die beteiligten Integrale werden durch Quadraturformeln ersetzt. Um die Einführung neuer Unbekannten zu vermeiden, dürfen nur die gleichen Knoten c,..., c s wie zuvor verwendet werden. Jedoch entstehen neue (innere) Gewichte. Es folgen die Näherungen s z i = y 0 + h a ij f(x 0 + c j h, z j ) (2.6) für i =,..., s. Die letztlich gesuchte Näherung wird zu s y = y 0 + h b i f(x 0 + c i h, z i ). j= i= Die Gleichungen (2.6) stellen ein nichtlineares Gleichungssystem (aus algebraischen Gleichungen) für die Unbekannten z,..., z s dar. Wenn die Zwischenwerte bestimmt wurden, dann können wir die Näherung y direkt aus s Auswertungen der Funktion f erhalten. Man nennt s auch die Stufenzahl des Verfahrens. Betreffend (2.6) ist eine natürliche Forderung, dass eine konstante Funktion f (y(x 0 + c i h) = y 0 + c i h) exakt reproduziert. Wir erhalten die 25

29 Bedingungen c i = s a ij für jedes i =,..., s. (2.7) j= Diese Gleichung bedeutet, dass die Summe der Gewichte gleich der (relativen) Länge des Teilintervalls sein muss. Eine Runge-Kutta-Methode ist eindeutig durch seine Koeffizienten festgelegt. Die Koeffizienten können in einem sogenannten Butcher-Tableau angeordnet werden: c a a 2 a s c 2 a 2 a 22 a 2s c s a s a s2 a ss b b 2 b s oder kurz c A b mit c R s, b R s, A R s s. Beispiele: Verfahren aus Abschnitt 2.2 (a): expl. Euler-Verfahren, (b): impl. Euler-Verfahren, (c): Trapezregel, (d): Collatz-Verfahren: (a) 0 0 (b) (c) (d)

30 Beispiel: Gauß-Runge-Kutta-Verfahren Wir verwenden die Gauß-Legendre-Quadratur für die Knoten c i und die Gewichte b i. Diese Quadraturformel besitzt die Ordnung 2s, d.h. es gilt s b i p(c i ) = i= 0 p(x) dx für alle p P 2s (P m : Polynome bis Grad m). Die Gewichte a ij bestimmen wir für jedes i =,..., s derart, dass s a ij p(c j ) = j= ci 0 p(x) dx für alle p P s. Im einfachen Fall s = folgt direkt c = 2, b = und a = 2. Es entsteht das Runge-Kutta-Verfahren z = y 0 + h 2 f(x 0 + h 2, z ), y = y 0 + hf(x 0 + h 2, z ). (2.8) Dieser Ansatz entspricht der Mittelpunktregel (2.5), wobei die Näherung. z = y(x0 + 2h) durch das implizite Euler-Verfahren bestimmt wird. Das Butcher-Tableau schreibt sich im Fall s = 2: Wenn die Matrix A = (a ij ) vollbesetzt ist, dann ist das Runge-Kutta- Verfahren implizit. Ein nichtlineares Gleichungssystem (2.6) aus s n algebraischen Gleichungen muss dann gelöst werden. Im Gegensatz dazu möchten wir nun explizite Methoden erhalten. Die entsprechende Bedingung lautet a ij = 0 für i j. Dadurch wir A zu einer strikten unteren Dreiecksmatrix. Das Butcher-Tableau besitz dann die Gestalt: 27

31 c 2 a c s a s a s,s 0 b b 2 b s b s Insbesondere folgt c = 0 aus der Bedingung (2.7) und damit z = y 0. Nun ergeben sich die Zwischenwerte sukzessive aus i z i = y 0 + h a ij f(x 0 + c j h, z j ) für i =,..., s. j= Der Rechenaufwand einer expliziten Runge-Kutta-Methode besteht somit nur in s Auswertungen der rechten Seite f. Man kann ein explizites Verfahren daher als eine sukzessive Extrapolation mit den gegebenen Zwischenwerten interpretieren. Implizite Verfahren entsprechen dann einer Interpolation mit den Zwischenwerten. Beispiele: Einige bekannte explizite Runge-Kutta-Verfahren Heun-Verfahren (links), Kutta-Simpson-Verfahren (mitte) und klassisches Runge-Kutta-Verfahren (rechts): Eine äquivalente Notation für Runge-Kutta-Schemata entsteht durch die Definition von Inkrementen k i mittels ( ) s k i = f(x 0 + c i h, z i ) = f x 0 + c i h, y 0 + h a ij k j (2.9) 28 j=

32 für i =,..., s. Ein Runge-Kutta-Verfahren besitzt dann die Gestalt ( ) s = f x 0 + c i h, y 0 + h a ij k j, i =,..., s, k i y = y 0 + h s b i k i. i= j= Die Inkremente k i sind nun a priori unbekannt. Ordnungsbedingungen (2.20) Ein Runge-Kutta-Methode ist durch ihre Koeffizienten c i, b i, a ij eindeutig bestimmt. Wir leiten Bedingungen an diese Koeffizienten her, welche die Konsistenz des Einschrittverfahrens mit Ordnung p liefern. Wir betrachten eine autonome skalare Dgl. y = f(y). Es folgt y = f y = f f, y = f y f + f f y = f f 2 + (f ) 2 f. Taylor-Entwicklung der exakten Lösung führt auf y(x 0 + h) = y(x 0 ) + hy (x 0 ) + h2 2 y (x 0 ) + h3 6 y (x 0 ) + O(h 4 ) = y 0 + hf(y 0 ) + h2 2 f (y 0 )f(y 0 ) [ f (y 0 )f(y 0 ) 2 + f (y 0 ) 2 f(y 0 ) ] + O(h 4 ). + h3 6 Im folgenden benutzen wir die Abkürzungen f = f(y 0 ), f = f (y 0 ), etc. Die Inkremente k i aus (2.20) hängen von der Wahl der Schrittweite h ab. Wir nehmen an, dass diese Inkremente beschränkt sind in einer Umgebung von h = 0. Dies ist beispielsweise gesichert, wenn eine beschränkte rechte Seite f auftritt. Die Runge-Kutta-Methode erfülle die fundamentale Bedingung (2.7). Eine Taylor-Entwicklung der Funktion f bezüglich der Inkremente (2.9) liefert 29

33 für i =,..., s ( s ) ( s ) 2 = f + f h a ij k j + 2 f h 2 ij k j + O(h j=a 3 ) k i ( j= s ( s ) )) = f + f h a ij (f + f h a jl k l + O(h 2 ) j= l= ( s f h 2 ij (f + O(h))) + O(h j=a 3 ) ( s ( s ) )) = f + f h a ij (f + f h a jl (f + O(h)) + O(h 2 ) j= l= + 2 f h 2 (fc i + O(h)) 2 + O(h 3 ) ( s ( = f + f h a ij f + f fhc j + O(h 2 ) )) + 2 f f 2 h 2 c 2 i + O(h3 ) j= ( s ) = f + hf fc i + h 2 (f ) 2 f a ij c j + 2 h2 f f 2 c 2 i + O(h3 ). Die Näherung aus dem Runge-Kutta-Verfahren resultiert zu y s = y 0 + h b i k i i= j= ( s ) ( s ) ( s ) = y 0 + hf b i + h 2 f f b i c i + h 3 (f ) 2 f b i a ij c j i= ) ( s + 2 h3 f f 2 b i c 2 i + O(h 4 ). i= i= i,j= Ein Vergleich mit der Taylor-Entwicklung der exakten Lösung zeigt die Bedingungen für Konsistenz bis Ordnung p = 3. Die Konsistenzbedingungen bis Ordnung p = 4 sind ebenfalls dargestellt: 30

34 p = : p = 2 : p = 3 : s b i = i= s b i c i = 2 i= s b i c 2 i = 3 i= s b i a ij c j = 6 i,j= p = 4 : s b i c 3 i = 4 i= s b i a ij c i c j = 8 i,j= s b i a ij c 2 j = i,j= 2 s b i a ij a jl c l = i,j,l= 24 Die Konsistenzbedingungen können mit dem Ansatz über Taylor-Entwicklungen bis zu einer beliebigen Ordnung p hergeleitet werden. Im Fall von expliziten Runge-Kutta-Verfahren brauchen in den Summen nur die Koeffizienten ungleich null aufgeführt zu werden. Zu einer gewünschten Konsistenzordnung p möchten wir ein Runge-Kutta-Verfahren mit möglichst kleiner Stufenzahl s erhalten. Bei impliziten Methoden kann mit s Stufen die maximale Ordnung p = 2s erreicht werden, welche dann bei den Gauß- Runge-Kutta-Schemata auftritt. Bei den explizten Methoden gibt Tabelle eine Information. Stufenzahl s maximale Ordnung p Ordnung p minimale Stufenzahl s Anzahl Ordnungsbedingungen Tabelle : Ordnung und Stufenzahl bei expliziten Runge-Kutta-Verfahren. 2.5 Schrittweitensteuerung. In einer numerischen Integration werden die Näherungen y k = y(xk ) sukzessive durch eine numerische Methode berechnet. Wir möchten, dass die 3

35 Schrittweiten h k := x k+ x k automatisch bestimmt werden, so dass der entstehende Fehler in der Methode hinreichend klein bleibt. Seien y = (y,..., y n ) die Komponenten der Lösung. Wir nehmen an, dass das numerische Verfahren die Konsistenzordnung p besitzt, d.h. die Näherung y h. = y(x0 + h) erfüllt die Bedingung y h i y i (x 0 + h) = O(h p+ ) = C i h p+ + O(h p+2 ) (2.2) mit Konstanten C i 0 für jede Komponente. Ein ähnliches numerisches Verfahren wird zur Berechnung der Näherung ŷ h mit einer Ordnung höher eingesetzt, d.h. ŷ h i y i (x 0 + h) = O(h p+2 ). (2.22) Bei Runge-Kutta-Methoden werden typischerweise eingebettete Verfahren eingesetzt. Bei Mehrschrittverfahren existieren verschiedene Möglichkeiten. Desweiteren kann Richardson-Extrapolation sowohl bei Einschritt- als auch Mehrschrittverfahren eingesetzt werden. Wir möchten den Fehler y h y(x 0 +h) im Verfahren der niedrigeren Ordnung schätzen. Die Bedingungen (2.2) und (2.22) liefern y h i y i (x 0 + h) = y h i ŷ h i (y i (x 0 + h) ŷ h i ) = y h i ŷ h i + O(h p+2 ). (2.23) Daher stellt ŷ h y h einen Schätzer für den lokalen Fehler, welcher Größenordnung p + hat, dar. Aus (2.2) und (2.23) folgt y h i ŷ h i = C i h p+ + O(h p+2 ). (2.24) Wir nehmen an, dass wir bereits einen Integrationsschritt mit der Schrittweite h used durchgeführt haben. Nun möchten wir eine geeignete Schrittweite h opt schätzen, um den Integrationsschritt zu wiederholen. Die Eigenschaften (2.2) und (2.24) implizieren ungefähr y h used i ŷ h used i y h opt i y i (x 0 + h opt ) Elimination der Konstanten C i liefert y h opt i y i (x 0 + h opt ) y h used i ŷ h used i 32 =. = C i h p+ used,. = C i h p+ opt. ( hopt h used ) p+. (2.25)

36 Der Fehlerschätzer zum durchgeführten Schritt lautet η i := y h used i für i =,..., n. Der Fehler zum neuen Schritt soll ŷ h used i (2.26) y h opt i y i (x 0 + h opt ) = TOL (2.27) erfüllen mit einer absoluten Toleranz TOL > 0 in allen Komponenten. Wir möchten nicht, dass der Fehler kleiner als TOL ist, denn ein kleinerer Fehler bedeutet eine kleinere Schrittweite und dadurch einen höheren Rechenaufwand aufgrund eine größeren Schrittanzahl. Einsetzen von (2.26),(2.27) in Gleichung (2.25) führt auf TOL h opt,i = h used p+, η i wobei jede Kompomente eine eigene Schrittweite erzeugt. Die Länge des nächsten Schritts wird daher gewählt als h new = δ min i=,...,n h opt,i mit einem Sicherheitsfaktor δ, z.b. δ = 0.9. Um oszillierende Schrittweiten zu verhindern, wird desweiteren gefordert mit 0 < σ < < θ, z.b. σ = 5, θ = 5. σ h used h new θ h used Falls h new < h used gilt, dann wurde unsere Genauigkeitsforderung (2.27) verfehlt, da der Fehler größer ist. Somit wiederholen wir den Schritt mit h new anstelle von h used. Daraufhin wird jedoch wieder der Fehler geschätzt. Falls h new h used erfüllt ist, dann akzeptieren wir den Schritt, da der Fehler kleiner oder gleich der Genauigkeitsforderung (2.27) ist. Der nächste Schritt wird dann mit h new als vorgeschlagene Schrittweite durchgeführt. Oft wird die Toleranz relativ bezüglich der Größenordnung der Lösung vorgegeben. Sei RTOL > 0 eine relative Toleranz und ATOL > 0 eine absolute Toleranz, dann definieren wir TOL = ATOL + RTOL y h used i. 33

37 Der absolute Teil ATOL wird benötigt für den Fall y h used i 0. Typische Werte sind z.b. RTOL = 0 3 und ATOL = 0 6. Die obige Verwendung des Betrags entspricht der Maximumnorm als Vektornorm. Jedoch besitzt die Maximumnorm ein Defizit an Glattheit und verursacht dadurch manchmal Probleme in der Integration. Daher wir in der Praxis häufig die skalierte Norm ERR = n ( n i= ŷ h used i y h used i ATOL + RTOL y h used i ) 2 (2.28) eingesetzt, die man als gewichtete Euklidische Norm interpretieren kann. Man beachte, dass der Nenner in (2.28) immer positiv ist. Die Bedingung (2.27) entspricht nun ERR =. Die neue Schrittweite wird definiert als mit einem Sicherheitsfaktor δ. h new = δ h used p+ ERR Die Schätzung des lokalen Fehlers erfolgt für das Verfahren mit Ordnung p, während das Ergebnis aus dem Verfahren der Ordnung p + nur zur Berechnung des Fehlerschätzers eingesetzt wird. Jedoch ist die Näherung aus der Methode mit Ordnung p + in den meisten Fällen genauer. Daher wird häufig die Näherung höherer Ordnung als Ausgabe des Integrationsschritts festgesetzt. Der obige Ansatz kontrolliert den lokalen Fehler in jedem Integrationsschritt. Jedoch hätten wir gerne eine Schrittweitenbestimmung derart, dass der globale Fehler (2.0) eine Genauigkeitsschranke erfüllt. Leider existieren keine erfolgreichen Strategien zur Kontrolle des globalen Fehlers. Daher verwenden numerische Integrationsverfahren aus üblichen Softwarepaketen (z.b. MATLAB) nur Schrittweitensteuerungen auf Basis der lokalen Fehler. Eingebettete Verfahren Es verbleibt zwei numerische Verfahren zur Schätzung des lokalen Fehlers festzulegen. Im Fall von Runge-Kutta-Methoden werden eingebettete Ver- 34

38 fahren angewendet, da der zusätzliche Rechenaufwand für die zweite Näherung relativ klein ausfällt. Das Butcher-Tableau eines eingebetteten Verfahrens lautet c a a 2 a s c 2 a 2 a 22 a 2s c s a s a s2 a ss b b 2 b s ˆb ˆb2 ˆbs mit zwei Mengen b i und ˆb i von Gewichten. Die entstehenden Näherungen sind y h = y 0 + h(b k + + b s k s ), ŷ h = y 0 + h(ˆb k + + ˆb s k s ). Wenn die Inkremente k,..., k s zur Berechnung der Näherung y h verfügbar sind, dann kann die zweite Näherung ŷ h ohne wesentlichen Mehraufwand bestimmt werden. Im Fall von expliziten Runge-Kutta-Verfahren stellen die Runge-Kutta- Fehlberg Methoden eine Klasse eingebetteter Verfahren dar. Beispiel: Runge-Kutta-Fehlberg 2(3)

39 Kapitel 3 Mehrschrittverfahren 3 In diesem Kapitel untersuchen wir Mehrschrittmethoden, d.h. mehrere alte Näherungen werden eingesetzt um eine neue Näherung zu konstruieren. Betrachtet wird wieder ein AWP y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0, siehe (.). Sind die Approximationen (x i k+, y i k+ ), (x i k+2, y i k+2 ),..., (x i, y i ), (x i, y i ) (3.) für ein k gegeben, dann wird daraus eine neue Näherung (x i+, y i+ ) bestimmt. Im Gegensatz zu Einschrittverfahren reicht hier die Konsistenz alleine für die Konvergenz der Methoden nicht aus. 3. Methoden über numerischer Quadratur Wir führen eine wichtige Klasse von Mehrschrittverfahren ein, deren Konstruktionsprinzip auf der Integralgleichung (2.2) beruht. Eine Polynominterpolation wird aufgestellt und das exakte Integral wird mit dem Integral des Polynoms approximiert. Wir wählen eine ganze Zahl l und erhalten für die exakte Lösung des AWPs (.) die Integralgleichung y(x i+ ) = y(x i l+ ) + = y(x i l+ ) + xi+ x i l+ y (s) ds xi+ x i l+ f(s, y(s)) ds. (3.2) 36

40 Nun approximieren wir den Integranden f(x, y(x)). Wir stellen das Polynom p k,i P k auf, welches die Stützpunkte (x j, f(x j, y j )) für j = i k +, i k + 2,..., i, i interpoliert. Dementsprechend gilt p k,i (x j ) = f(x j, y j ) für j = i k +, i k + 2,..., i, i. Dieses Interpolationspolynom existiert und ist eindeutig. Mit der Lagrange- Basis k x x i ν+ L i,j (x) = für j =,..., k, x i j+ x i ν+ ν=,ν j und f i := f(x i, y i ) lautet das Polynom p k,i (x) = k f i j+ L i,j (x). j= Die Erwartung ist p k,i (x) f(x, y(x)) im betrachteten Gebiet. Daher ergibt sich als neue Näherung wegen (3.2) y i+ = y i l+ + k xi+ f i j+ j= x i l+ L i,j (s) ds. Da die Lagrange-Polynome gegeben sind, kann das Integral exakt ausgewertet werden. In den meisten Fällen gilt l k, d.h. das Intervall der Interpolation enthält das Intervall der Integration (zur linken Seite hin). Abb. 9 verdeutlicht diese Konstruktion. Wir erhalten ein explizites k-schritt-verfahren. Im Fall von äquidistanten Gitterpunkten x i = x 0 + ih sind die Lagrange- 37

41 f p(x) x x i k+ i l+ i i+ x x x Abbildung 9: Konstruktion von Mehrschrittverfahren mittels Quadratur. Polynome unabhängig vom Index i xi+ x i l+ L i,j (s) ds = = h Es folgt die Methode xi+ x i l+ ν j = h l l ν j ν j y i+ = y i l+ + h l ν=,ν j s x i ν+ x i j+ x i ν+ ds x 0 + (i + u)h (x 0 + (i ν + )h) x 0 + (i j + )h (x 0 + (i ν + )h) du u + ν ν j du. k β j f(x i j+, y i j+ ) mit den konstanten Koeffizienten k u + ν β j := du für j =,..., k. ν j j= Ein implizites Mehrschrittverfahren entsteht, wenn die unbekannte neue Näherung (x i+, y i+ ) in die Interpolation einbezogen wird. Sei q k,i P k das Interpolationspolynom zu den Stützpunkten (x j, f(x j, y j )) für j = i k +, i k + 2,..., i, i, i +. 38

42 Es folgt q k,i (x j ) = f(x j, y j ) fürr j = i k +, i k + 2,..., i, i, i +. Die zugehörigen Lagrange-Polynome lauten L i,j(x) = k ν=0,ν j x x i ν+ x i j+ x i ν+ für j = 0,,..., k und somit q k,i (x) = k f i j+ L i,j(x). j=0 Wir schreiben q k,i (x; y i+ ) um zu betonen, dass dieses Polynom noch von der neuen Näherung abhängt, welche a priori unbekannt ist. Es ergibt sich y i+ = y i l+ + xi+ x i l+ q k,i (s; y i+ ) ds. Diese Formel stellt ein nichtlineares Gleichungssystem für die Unbekannten y i+ dar. Daher liefert dieser Ansatz eine implizite Methode mit k Schritten. Im Fall von äquidistanten Schrittweiten lautet das Verfahren y i+ = y i l+ + h k βj f(x i j+, y i j+ ) (3.3) j=0 mit den konstanten Koeffizienten β j := k l ν=0,ν j u + ν ν j du für j = 0,,..., k. Äquivalent können wir schreiben y i+ hβ 0f(x i+, y i+ ) = y i l+ + h k βj f(x i j+, y i j+ ), j= 39

43 β β 2 β 3 β 4 k = 3 k = k = k = β0 β β2 β3 β4 k = k = k = k = Tabelle 2: Koeffizienten in Adams-Bashforth (links) und Adams-Moulton (rechts). wobei die rechte Seite die bekannten Daten und die linke Seite die unbekannte neue Näherung enthält. Adams-Methoden Eine beliebte Klasse von Mehrschrittverfahren sind die Adams-Methoden, die aus der Wahl l = in (3.2) entstehen. Daher wird die Integration nur im Teilintervall [x i, x i+ ] durchgeführt. Die expliziten Methoden heißen Adams-Bashforth-Verfahren. Das k-schritt- Verfahren lautet k y i+ = y i + h β j f(x i j+, y i j+ ) (3.4) j= im Fall von äquidistanten Schrittweiten. Die impliziten Methoden heißen Adams-Moulton-Verfahren. Das k-schritt-verfahren besitzt die Formel k y i+ = y i + h βj f(x i j+, y i j+ ). (3.5) j=0 Tabelle 2 zeigt die Koeffizienten dieser Methode für k =, 2, 3, 4. Die Einschritt-Adams-Bashforth-Methode ist gerade das explizite Euler-Verfahren, während die Einschritt-Adams-Moulton-Methode die Trapezregel ergibt. Nyström-Verfahren und Milne-Verfahren Wir erhalten eine weitere bedeutende Klasse von Mehrschrittverfahren aus der Wahl l = 2 in (3.2). Die zugehörigen expliziten Verfahren heißen dann 40

44 Nyström-Methoden. Beispielsweise führt die Wahl k = (jetzt ausnahmsweise k < l) auf die explizite Mittelpunktregel y i+ = y i + 2hf(x i, y i ), (3.6) welche ein Zweischrittverfahren darstellt. Die entsprechenden impliziten Verfahren heißen Milne-Methoden. Für äquidistante Schrittweiten liefert der Fall k = wieder die explizite Mittelpunktregel, da der Term mit f i+ herausfällt. Die Wahl k = 2 ergibt die Milne-Simpson-Regel y i+ = y i + h 3 (f(x i, y i ) + 4f(x i, y i ) + f(x i+, y i+ )), d.h. ein implizites Verfahren. Diese Methode entspricht der Simpson-Regel in der numerischen Quadratur. Die Fälle l 3 in (3.2) sind für die Praxis irrelevant. Zudem ist die Anzahl der Schritte (d.h. max{k, l}) üblicherweise kleiner 5 und häufig nicht größer als 5 in Softwarebibliotheken. 3.2 Methoden über numerische Differentiation Wir führen einen anderen Typ von impliziten Mehrschrittverfahren ein, welcher durch numerische Differentiation entsteht. Ist eine Differentialgleichung y = f(x, y) gegeben, dann können wir die Ableitung auf der linken Seite durch eine Differenzenformel ersetzen, was einer numerischen Differentiation entspricht. Der übliche Differenzenquotient lautet y (x 0 + h) = h [y(x 0 + h) y(x 0 )] + O(h). Zusammen mit y (x 0 + h) = f(x 0 + h, y(x 0 + h)) erhalten wir als numerische Methode y = y 0 + hf(x 0 + h, y ), d.h. das implizite Euler-Verfahren Dieser Ansatz kann zu einem k-schritt-verfahren verallgemeinert werden wie folgt: Mit den gegebenen Daten (x i k+l, y i k+l ) für l =,..., k stellen wir das Interpolationspolynom p P k mit p(x i k+l ) = y i k+l für l =,..., k, k + 4

45 y p(x) x i k+ i i+ x x x Abbildung 0: Konstruktion von Mehrschrittverfahren durch numerische Differentiation. auf. Darin ist der unbekannte Wert y i+ eingeschlossen, wodurch die Methode implizit ist. Die Strategie ist in Abb. 0 dargestellt. Die Ableitung p kann man als Approximation der Ableitung y interpretieren. Der unbekannte Wert wird bestimmt durch die Bedingung p (x i+ ) = f(x i+, y i+ ), (3.7) d.h. man verlangt, dass das Interpolationspolynom nur an der Stelle x i+ die Differentialgleichung erfüllt. Die entstehenden Schemata nennt man BDF- Methoden (backward differentiation formulas). Das Interpolationspolynom besitzt die Darstellung p(x) = mit den Lagrange-Polynomen k y i+ j L j (x) j=0 Wir erhalten p (x i+ ) = L j (x) = k ν=0,ν j x x i+ ν x i+ j x i+ ν. k y i+ j L j(x i+ ) = f(x i+, y i+ ). j=0 42