Darstellungsformen Ebene im. x y z. y = 0,z = 0,x = a. y b. x a. z c a + + = 1. p 1, p 2, p 3=, a p 1. u = p 2 p 1 v = p 3 p 1

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1 Zurück Version Vektorrechnung im IR 3 IR 3 Darstellungsformen Ebene im Beeichnungen:. Normalform /Skalarform/impliite Form ist hier irgendein Normalenvektor (steht senkrecht auf der Ebene). 2. Speiell: Hessesche Normalform ist hier Normaleneinheitsvektor mit Länge, d ist dann sofort auch der Abstand der Ebene um Nullpunkt. 3. Achsenabschnittsform a,b,c : Achsenabschnitte, also Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen. 4. Ebene ist durch einen Aufpunkt und Richtungsvektoren gegeben (Punkt Richtungsform, parametrische Form) usw. Umwandlung in die anderen Darstellungen siehe Beispiel unten. x y x = = n2, n n3 Skalarprodukt x = nx + n2y + n3 x = nx + n2y + n3 = r = und x = nx + n2y + n3 = d x a y = 0, = 0,x = a + + = u, v y b c E : x (t,s) = a + s u + t v, t,s IR a. Die Ebene ist durch drei Punkte auf der Ebene mit den drei Ortsvektoren einen davon als Aufpunkt,.B. Richtungsvektoren p, p 2, p 3=, a p u = p 2 p v = p 3 p Dann hat man die Darstellung Typ 4. gegeben. Nehme sete als

2 Beispiel : Ebene in Normalform /Skalarform/impliiter Form gegeben Dieselbe Ebene in Hessescher Normalform : Normiere den Normalenvektor auf Länge. Länge von : Division der Normalform durch rechte Seite (hier ) ergibt Darstellung in Achsenabschnittsform, Achsenabschnitte a,b,c : Wir wandeln die Normalform in eine Aufpunkt Richtungsform um. Z.B. so: Das dann alles komponentenweise eintragen/abgleichen: Geschickter wäre es hier gewesen, nach x aufulösen (andere Darstellung derselben Ebene, anderer Aufpunkt, andere Richtungsvektoren ), man hätte so einige Brüche vermieden. x + 2y + 3 = = = 4 (x + 2y + 3) = = d (= Abstand Ebene-Nullpunkt ) 4 4 x y = (x + 2y + 3) = + + a =, b =,c = /2 /3 2 x + 2y + 3 = = /3 (/3)x (2/3)y, sete x = s, y = t 0 0 (s,t) = + s 0 + t = + s + t /3 /3 0 a u v 2/3 x + 2y + 3 = x = 2y 3, sete y = s, = t, x = 2s 3t Es gibt natürlich noch unendlich viele weitere Möglichkeiten, diese Ebene darustellen. Möchte man erreichen, dass die Richtungsvektoren senkrecht stehen, kann man diese Orthogonalerlegung benuten. (s,t) = + s + t

3 Wie kommt man von einer Punkt Richtungsform u einer Darstellung in Normalenform?. Schritt: Bilde einen Normalenvektor aus Vektorprodukt der Richtungsvektoren. 2. Schritt: Multipliiere (=Skalarprodukt bilden!) dann die Punkt Richtungsgleichung mit diesem Normalenvektor und nute aus, dass der Normalenvektor auf den Richtungsvektoren senkrecht steht. Also An der weiten Punkt Richtungsdastellung der Ebene durchgeführt: Hessesche Normalform wie oben durch Nomierung auf, Achsenabschnittsform durch Division durch, siehe oben. Abstände Formeln Abstand Punkt Ebene w sei der Richtungsvektor eines Punktes. Die Ebene E sei in Punkt Richtungsform E : a + s u + tv gegeben. Distan( w,e) =, mit Normalenvektor Ist der Nomaleneinheitsvektor (Länge, Hessesche Normalform) so kann man die Distan etwas einfacher hinschreiben: Hat man also schon die Hessesche Normalform vorliegen, kann man deren rechte Seite d nehmen, anstatt extra ausurechnen. Man erhält hier aber nur den Abstand Punkt Ebene, nicht die Projektion und diese Methode funktioniert auch nur im IR 3. Eine allgemeine Methode finden Sie hier. Projektion Vektor auf affinen Teilraum /Hyperebene = u v, v = u = 0 x = ( a + s u + t v ) = a ( w a ) Distan( w,e) = w a ), d = a a nx + x2y + n3 = a u v = = = 0 3 x = x + 2y + 3 = = a Schnittmenge Ebene Ebene Schnittmengenberechnung Ebene Ebene ist hier ausführlich erläutert Darstellungsformen einer Geraden im IR 3 Darstellung in Punkt Richtungsform oder durch 2 Punkte

4 Die Gerade ist durch einen Aufpunkt einen Richtungsvektoren und gegeben (Punkt Richtungsform, parametrische Form) Umwandlung in die anderen Darstellungen siehe Beispiel 2 unten. u, E : x (s) = a + s u, s IR a Die Gerade ist durch wei Punkte mit den drei Ortsvektoren davon als Aufpunkt,.B. Richtungsvektor gegeben. Nehme einen sete als Dann hat man die Darstellung mit Aufpunkt und Richtungsvektor p, p 2, a = p u = p 2 p Gerade als Schnitt von 2 Ebenen Die Ebenen dürfen nicht parallel sein! Die Lösung der beiden Gleichungen enthält dann genau einen frei wählbaren Parameter. E : nx + n2y + n3 = r E2 : mx + m2y + m3 = r2 Genaueres siehe hier: Schnittmengenberechnung Ebene Ebene ist hier ausführlich erläutert Beispiel 2 Parallele Ebenen: E : x + 2y + 3 =, E2 : x + 2y + 3 = 3. Beide Ebenen haben denselben Normalenvektor, aber die Ebenen sind ueinander verschoben, rechte Seite verschieden. E : x + 2y + 3 = : x + 2y + 2 = 3 Nichtparallele Ebenen:, E2

5 = 2, x + 2y =, x = 2y. y = s x = 2s. Subtraktion der Gleichungen ergibt einseten in erste oder weite Gleichung dann.b. also.b. Nehmen wir nun als frei wählbaren Parameter, also dann und tragen alles in die Aufpunkt Richtungsform ein, so erhalten wir: (s) = s 2 0