Raketenphysik. anschaulich

Transkript

1 Rakeenhysik In diese Kaiel diskuieren wir den nrieb unserer Rakee. Die Rakeengleichung, die wir zu Ende des zweien bschnis herleien, gil dabei für jeden Rakeenanrieb, unabhängig daon ob wir Schwarzuler erbrennen, ein Sauersoff-Wassersoff Geisch erwende wird oder, wie hier, die Geschwindigkei des ausreenden Medius nur o zuor eingebrachen Druck abhängig is. Die drei bschnie behandeln das gleiche Thea uner oraussezung erschiedener aheaischer orkennnisse. I ersen bschni erzichen wir ganz auf eine aheaische erachung. Der zweie bschni bau auf de in der Obersufe behandelen Soff auf. Dabei erzichen wir auf den Einfluss des ufwidersandes sowie auf die Druckinderung während der ussoßhase. Da beide Effeke nur relai kleine eiräge liefern, die sich in der Wirkung auch zu Teil gegenseiig aufheben, sien die heoreischen Ergebnisse ersaunlich gu i de Exerien überein. Der leze bschni liefer eine ausführliche erachung der nriebshase unserer Wasserrakee. Die resulierenden Differenialgleichungen können nur i nuerischen Mehoden gelös werden. erwende an jedoch diese Ergebnisse als Sarwer für den gesaen Flugerlauf bis zu Einsezen der ergung, so kann an ein Progra schreiben, dass exak die benöige Wasserenge, den Geschwindigkeiserlauf und die Gifelhöhe berechne. Die hier erwendee Physik lernen Naurwissenschafler und Ingenieure während der ersen Seeser. Da wir jeden Schri erklären, solle jedoch auch ein ineressierer Obersufenschüler in der age sein die Erklärungen nachzuollziehen. anschaulich Der erbreiese Irru über das Funkionsrinzi einer konenionellen Rakee is die orsellung, dass die eschleunigung aus eine bsoßen a Widersand der uf resulier. Säesens i der Frage, wie dieses bsoßen i Welall - also i lufleeren Rau - funkionieren soll, seh diese uffassung jedoch or eine größeren Dilea. Dennoch is diese orsellung nich ganz unbegründe - sie resulier aus der Erfahrung des ufwidersandes, die wir beisielsweise achen, wenn wir eine Plae durch die uf schwenken. Diesen Effek nuz auch jeder Proeller. Wo is aber nun der Fehler? Den Fehler endecken wir, wenn wir ein einzelnes ausgesoßenes Teilchen ien i Düsensro berachen. eor sich dieses nälich an eine erhälnisäßig ruhenden ufolekül absoßen und dai seine Energie erlieren kann, ha es längs den Wirkungsbereich, in de es die Rakee "anschieben" könne erlassen. Tasächlich finde bei Rakeenooren auch ein bsoßen gegenüber de ufwidersand sa, jedoch is dieser Effek ernachlässigbar gegenüber eine zweien. Diesen können wir uns ebenfalls leich eranschaulichen, inde wir uns orsellen, dass eine Person auf Eis seh und ersuch einen schweren Sein wegzusoßen. Das Ergebnis wird sein, dass unsere Teserson und der Sein sich in engegen geseze Richungen auseinander bewegen. Das hysikalische Prinzi, welches dahiner seck is die Iulserhalung. Diese besag nichs anderes als, dass sich der Schwerunk aller beeiligen Massen or und nach eine Ereignis in der gleichen Weise wie zuor beweg. Dies is naürlich nur dann exak gülig, wenn keine zusäzlichen Energien, wie unerschiedliche Reibungserluse, zu Tragen koen. Mi dieser Grundlage werden wir nun - zunächs sark ereinfach - aheaisch beschreiben, wie sich unsere Wasserrakee erhalen wird. 3 / 37

2 Obersufenleel Wir berachen zunächs das erhalen der Flüssigkei in der Rakee. Ein Flüssigkeiseilchen bewege sich enlang der Rakeenachse. Wenn wir zu eine besien Zeiunk, den wir nennen, seine exake Posiion x und seine Geschwindigkei kennen und wissen, welche gleichäßige eschleunigung a es erfähr, dann können wir i Hilfe der ewegungsgleichung seinen Sandor zu jede Zeiunk erieln. x a x Wenn wir nun den Zeiunk so wählen, dass sich das Flüssigkeiseilchen gerade i Sillsand befinde, so resulier die Orseränderung ausschließlich aus der eschleunigung. x a Gleiches gil für die Geschwindigkei als bleiung der Orseränderung nach der Zei: x & a 3 ös an Gleichung nach auf und sez sie in Gleichung 3 ein so erhäl an: ax 4 Nun können wir die eschleunigung für einen diskreen Zeiunk Masse konsan geäß F a durch die in diese ugenblick auf die Masse wirkende Kraf F ersezen: F x 5 Der Überdruck Druck i Druckbehäler inus Ugebungsdruck erzeug in unsere Druckbehäler die Kraf F auf die Wassersäule i de Querschni der Düse geäß: F 6 Einsezen in Gleichung 5 ergib: x 7 Die Masse, die wir berachen, is die Wassersäule zwischen Düsenöffnung und Pegelhöhe. Da es sich hier u ein flüssiges Mediu handel führen wir die Diche ein: ; Wasser kg / l 8 x Mi dieser Ersezung reduzier sich Gleichung 7 auf einen usdruck, der die Geschwindigkei des aussröenden Wassers nur noch als Funkion der Druckdifferenz darsell. Das reale Sröungserhalen is hier ernachlässigbar: 9 ls ussoßrae wird der Quoien aus Masse ro Zei bezeichne. µ a ösen wir den usdruck 8 nach auf, so erhalen wir aus de lezen usdruck die Gleichung: x µ b 3 / 37

3 Die Schubkraf ergib sich aus der ro Zei ausgesoßenen Masse ulilizier i ihrer Geschwindigkei, dai erhalen wir aus b den ersen Teil der Gleichung. Der zweie Teil der Gleichung ergib sich aus 9, in de wir diesen usdruck quadrieren und nach auflösen und in die Gleichung einsezen: F µ Die erikale eschleunigung der Rakee ergib sich bei ernachlässige ufwidersand und uner nnahe eines konsanen Überdruckes während der renndauer aus: F a g ; Erdbeschleunigung: g 9,8 /s wir können diesen usdruck auch schreiben als: d R d g b d d Diesen können wir i d ulilizieren und inegrieren: leer dr d g d c über den Zeirau, den das Wasser zu ussröen benöig also: W ergib das Inegral die rennschlussgeschwindigkei der Rakee: ln g i: leer Wasser 3 leer Gleichung 3 wird auch als Rakeengleichung bezeichne. us diesen Weren können wir eine bschäzung der erreichen Höhe bis zu rennschluss ornehen: h 4 Dai erhalen wir die Höhe des Parabelfluges zu: hp 5 g und dai eine Gifelhöhe on: h h h P 6 Die erwendee nnahe cons is bei einer yischen Füllenge on /3 Wasser keine überriebene Näherung. Wir können Pressluf in diese Fall noch als ideales Gas ansehen für welches die reziroke eziehung zwischen Druck und oluen gil: 7 Dai erringer sich der Druck i Druckbehäler während der rennhase nur u den Quoienen,5. ei bar usgangsdruck erbleib nach blauf der rennzei ier noch ein Überdruck on 6,67 bar. Nun wollen wir einige der hier erwendeen Näherungen über ord werfen und uns direk über die Iulserhalung an das Phänoen heranwagen. 3 / 37

4 Hochschulnieau Wir berachen das Proble auch in der folgenden Herleiung nur in einer Diension. Dieses orgehen sell keine eeinrächigung der Genauigkei dar, da alle angreifenden Kräfe nur neile in dieser Richung besizen. erachen wir zunächs die diskre gelende Iulserhalung für Rakee und Wasser: R W 8 Der Krafsoß F ensrich der Iulsdifferenz des aussröenden Wassers zu zwei Zeien: d d F d d 9 d d Diision durch und die Subrakion der Inegrale ergib: d d d F Die oenane Schubkraf erhalen wir durch ildung des ies. d d d F li li d d d d F d d d d d us de drien Newonschen xio kion Reakion folg sofor der Schub der Rakee: d FS F z 3 d Die Graiaion geh i folgende Krafer ein: Fg g z 4 Der ufwidersand liefer den folgenden eirag: F c q ds 5 w Hierbei is q der Saudruck, der aus der or unserer Rakee koriieren uf enseh: q R 6 Das Inegral erläuf über die ild- oder Projekionsfläche unseres Flugkörers in Flugrichung, da die Geschwindigkeiskoonene on q senkrech auf dieser Ebene seh, können wir q or das Inegral ziehen: F c q n d r, ϕ 7 w Da die resulierende Kraf engegen der ewegungsrichung unserer Rakee wirk erhalen wir schließlich den folgenden Ter i negaie orzeichen: F cw R 8 z 33 / 37

5 Mi allen Kraferen können wir nun die ewegungsgleichung aufsellen, hierbei is zu berücksichigen, dass nich nur der Or, sondern auch die Masse eine Funkion der Zei darsell: d a g cw R 8 d Wir erhalen für die eschleunigung unserer Rakee die folgende Differenialgleichung: d d a g cw R 9 d d Die Sarasse unserer Rakee sez sich aus ihre Eigengewich und der Füllenge Wasser zusaen: Sar Rakee ehäler uf H O 3 Die zu eine besien Zeiunk nach de Sar ausgereene Masse erhalen wir aus: aus h h d 3 Pegel Dabei haben wir die Fläche aus der Projekionsfläche des ufwidersandes erwende, die abzüglich der ernachlässigbaren Dicke der Plasikhülle unseres Druckkörers, der Oberfläche der Wassersäule ensrich. ufgrund der Koninuiäsbedingung können wir die ausgereene Masse auch abhängig on der Geschwindigkei des Wassers in der Düse darsellen: aus d d 3 Pegel Wir erhalen für diesen Zeiunk die Gesaasse der Rakee Eigengewich Resenge Wasser zu: d 33 Sar aus Rakee ehäler und ebenso die ussoßrae, wie wir sie schon in der ereinfachen Herleiung erwende haben.: d µ Düse 34 d Die eschleunigung unserer Rakee können wir, uner erücksichigung, dass Düse hier durch den oben idenisch erwendeen usdruck ersez wird, nun wie folg ausdrücken: cw R a g 35 d d Sar 34 / 37 uf Sar Düse cw R a g 36 Sar d U die ewegungsgleichung zu lösen benöigen wir einen usdruck für die usrisgeschwindigkei unserer Wasserfüllung aus der Düse. Das Gesez on ernoulli is in diese Fall usgangsunk für unsere Herleiung. Es besag, dass die Sue aus saische, kineische und geodäische Druck an jeder Selle eines geschlossenen, fließenden Syses konsan is. Düse

6 Sreng genoen sell auch ernoulli eine Näherung dar, da Reibungserluse an den Oberflächen ernachlässig werden. erachen wir nun sowohl den Zusand a Pegelsand Druck der Pressluf als auch a Ende der Düse Ugebungsdruck: P ghpegel ug ghdüse cons 37 Das Quadra der usrisgeschwindigkei folg dai zu: g h h 38 P ug Hierbei sell der zweie Ter keine Wechselwirkung zwischen Rakee und Wasser dar und räg soi nich zu Schub der Rakee bei - es folg: 39 P Der Druck i ehäler fäll, während das Wasser herausgeress wird, so schnell ab, dass in dieser Zei nahezu kein Wäreausausch i der Ugebung safinden kann. In der Therodynaik srich an hier on einer adiabaischen Zusandsänderung. dq us de ersen Hausaz: du dq d 4 folg: cons 4 ensrechend können wir schreiben: ug Pegel Düse d 4 43 d Ersezen wir den Druck i ehäler aus Gleichung 39 durch diesen zeiabhängigen Ter, so erhalen wir: ug d Die schon zuor erwendee Koninuiäsgleichung, welche besag, dass in eine geschlossenen eiungssyse zu gleichen Zeiunk durch erschiedene eiungsabschnie eine idenische Wasserenge fließen uss:, 45 gib uns die Möglichkei, Gleichung 44 auf zwei Weisen uzuschreiben. Enweder wir berachen die Geschwindigkei des Pegels innerhalb des Druckbehälers: / 37

7 36 / 37 ug d 46 Gleichung 46 enhäl bleiungen on h nuller Ordnungen: h d 47 und erser Ordnung: d dh 48 wir können dai die Differenialgleichung auch in der For: [ ] d dh h d dh ug 49 schreiben. Oder wir berachen den erlauf der usrisgeschwindigkei des Wassers aus der Düse: d ug 5 d ug 5 Die ösung dieser DG erfolg durch Diskreisierung und Ieraion. ug 5 Den gleichen Ieraionsschri führen wir i unserer ewegungsgleichung 36 durch:

8 cw R a g 53 Sar Die oenane Geschwindigkei der Rakee erhalen wir aus: a a R R 54 ensrechend ergib sich der zurückgelege Weg aus: s s 55 Die Sarwere und a erhalen wir, inde wir in den Gleichungen 5 und 53 zu Zeiunk zunächs sezen. Daraus resulier naürlich: und a a a Die Ieraion führen wir dann i eine Wer > durch. Hier gil: je kleiner der Wer - deso exaker das Ergebnis, jedoch auch - deso ehr Ieraionsschrie sind nowendig. Die bbruchbedingungen für die Ieraion sind: Sar Rakee ehäler uf 56...also der ugenblick in de die ursrünglich orhandene Menge Wasser kole ausgesoßen wurde. Oder: ug 57...also der Moen, in de kein Überdruck i Druckbehäler ehr orhanden is u das resliche Wasser auszusoßen. Diese Herleiung enhäl als freie Paraeer die oluen on Druckbehäler, Wasserfüllung und Überdruck. us den Ergebnissen der Ieraion is es wiederu öglich den Parabelflug zu berechnen bzw. als Maxialwerberachung, die oiale Wasserenge für die axiale Flughöhe zu erieln. Ensrechende Prograe, die diese Oiierung beherrschen, exisieren. eisielsweise finde an i Inerne uner: h://olylex.org/cjh/rockes/siulaion/ ein Progra, welches diese erechnung online durchführ. 37 / 37