4.) Lineare Schaltungen mit passiven Bauelementen. 4.1 Die Schaltelemente Widerstand, KapazitÄt, InduktivitÄt

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1 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Medientechnik Seite 4-4.) Lineare Schaltungen mit passiven Bauelementen 4. Die Schaltelemente Widerstand, KapazitÄt, InduktivitÄt 4.. Betrieb mit allgemein zeitlich veränderlichen StrÅmen und Spannungen Wirkwiderstand R: u(t) = RÇi(t) ( Das Ohmsche Gesetz gilt fér jeden Zeitpunkt.) KapazitÄt C: du i(t) = CÇ bzw. u(t) = C i( ) d + u(t 0 ) dt t t0 InduktivitÄt L: di u(t) = LÇ bzw. i(t) = L u( ) d + i(t 0 ) dt t t0

2 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Medientechnik Seite Betrieb mit sinusfårmigen StrÅmen und Spannungen Wirkwiderstand R: Ñ = RÇÖ Impedanz Z = R KapazitÄt C: Ö = j CÇÑ bzw. Ñ = ÇÖ j C Impedanz Z = j C InduktivitÄt L: Ñ = j LÇÖ bzw. Ö = ÇÑ j L Impedanz Z = j L

3 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Medientechnik Seite Zuammenschaltung von Widerstand R mit Kondensator C 4.. TiefpaÜ mit Widerstand und KapazitÄt (A) Betrieb mit sinusfårmigen StrÅmen und Spannungen; Betrachtung im Frequenzbereich Gegeben: u (t) = Ñ sin( t + ) R, C Gesucht: i und u Komplexe Darstellung: Bild 4- RC-TiefpaÜ Ñ = Ñ e j, Z R = R, Z C = -j Eingangsimpedanz: Z ein = Ñ / Ö = R -j Ñ j C Ö = = Ñ R j j CR C C C C Betrag: Ö = Ñ Phase: i = + - arctan( CR) ( CR) also i (t) = Ñ C ( CR) sin( t arctan( CR)) und Ñ = Ö (-j ) = Ñ C j CR Betrag: Ñ = Ñ Phase: u = - arctan( CR) ( CR) also u (t) = Ñ ( CR) sin( t + - arctan( CR))

4 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Medientechnik Seite 4-4 Zeitliche VerlÄufe von Ein- und Ausgangsspannung im Vergleich (a) Betrieb bei sehr tiefer Frequenz im DurchlaÜbereich (b) Betrieb bei der Grenzfrequenz zwischen DurchlaÜ- und Sperrbereich (c) Betrieb bei håheren Frequenzen im Sperrbereich Bilder 4-a-c RC-TiefpaÜ, Anregung mit sinusfårmiger Spannung

5 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Medientechnik Seite 4-5 ábertragungsfaktor H(f): H(f) = Ñ / Ñ = j CR Betrag: H(f) = ( CR) Phase: (f) = - arctan( CR) Bild 4-3 ábertragungsfaktor H fér einen RC-Tiefpass mit R = 600 und C = 0pF Die Grenzfrequenz f g ist definiert fér den Punkt, in dem H gegenéber dem Maximalwert auf 70,7% (entspr. -3dB) abgefallen ist. Im Beispiel Bild 4-3 ist dies ca. f g = 00Hz. Bild 4-4 zeigt den Betrag und den Phasenwinkel des ábertragungsfaktors in der Darstellung des Bode-Diagramms; der Betrag ist im logarithmischen MaÜ mit der Einheit db abgebildet, siehe Bild 4-4a. Die Grenzfrequenz ( blaue vertikale Linie) liegt hier bei H log = -3dB, der Phasenwinkel hat bei der Grenzfrequenz den Wert -45à, siehe Bild 4-4b.

6 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Medientechnik Seite 4-6 Bild 4-4a RC-Tiefpass zu Bild 5-, ábertragungsfaktor im logarithmischen MaÜ Bild 4-4b RC-Tiefpass zu Bild 5-, Phasenwinkel

7 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Medientechnik Seite 4-7 (B) Anregung mit Sprungfunktion; Betrachtung im Zeitbereich Der RC-TiefpaÜ werde durch eine Spannungsquelle mit sprunghaftem Verlauf der Quellenspannung betrieben, siehe nebenstehende Abbildung. Die Quellenspannung soll im Zeitpunkt t = 0 von 0V auf den Wert U springen, siehe Bild 4-6a. Bild 4-5 RC-TiefpaÜ, Anregung mit Sprungfunktion Bild 4-6a Quellenspannung nach der Sprungfunktion. Bild 4-6b Sprungantwort des RC-Tiefpasses Bestimmung der Sprungantwort mit Hilfe der Differentialgleichung fçr u :.) Die Kirchhoffsche Maschen-Regel ergibt u = u R + u.) Es gilt an R: u R = RÇi und an C: i = C du /dt 3.) Einsetzen in die Maschengleichung ergibt: u = RCÇdu /dt + u Da fér t > 0 gilt u = U, wird U = RCÇdu /dt + u Differentialgleichung fér u

8 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Medientechnik Seite ) Die Differentialgleichung hat grundsätzlich zwei LÅsungsanteile, die homogene LÅsung, die durch die Eigenschaften der Schaltung bestimmt ist, und die inhomogene LÅsung, die durch die Anregung ( Quellen ) vorgegeben ist: u (t) = u,hom (t) + u,inh (t) 5.) Die homogene LÅsung erhält man, wenn die Anregung zu null gesetzt wird, hier: U = 0. Die homogene Differentialgleichung 0 = RCÇdu /dt + u hat eine LÅsung der Form u,hom (t) = U,hom e t Mit du /dt = U,hom e t erhält man: 0 = RC U,hom e t + U,hom e t Nach Division durch U,hom e t : 0 = RC + Charakteristische Gleichung Die Charakteristische Gleichung hat die LÅsung wird 'Zeitkonstante' genannt. = - / mit = RC Die homogene LÅsung ist damit: u,hom (t) = U,hom e -t/ U,hom ist zunächst eine Unbekannte, die aus Randbedingungen festzulegen ist. 6.) Die inhomogene LÅsung ist wie die Anregung u = U eine Gleichspannung: u,inh (t) = U,inh 7.) Die vollständige LÅsung u (t) = U,hom e -t/ + U,inh enthält noch die beiden Unbekannten U,hom und U,inh. Sie werden aus den Randbedingungen bei t = 0 und bei t = bestimmt: u (t=0) = 0 = U,hom e -0/ + U,inh ( Anfangswert ) Daraus folgt: U,hom = - U,inh und u (t= = U = U,hom e - / + U,inh Wegen e - / = 0 folgt: U,inh = U 8.) Die vollständige LÅsung wird nun: u (t) = - U e -t/ + U u (t) = UÇ( - e -t/ )

9 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Medientechnik Seite 4-9 Filterwirkung des RC-Tiefpasses Der Frequenzgang des ábertragungsfaktors ( siehe Bild 5-4 ) läüt erkennen, daü zwei unterschiedliche Frequenzbereiche existieren: (A) der DurchlaÜbereich ab f = 0 bis zu einer Grenzfrequenz f g mit f g = g = / = der Bereich tiefer Frequenzen mit dem Wert H (d.h. 0dB) Der Phasenwinkel von H verändert sich von 0à auf -45à. Die Grenzfrequenz f g ist dadurch gekennzeichnet, daü der reelle Widerstand R und der kapazitive Widerstand X c gleich groü sind. Damit ergibt sich eine Spannungsteilung zwischen R und X c im VerhÄltnis : und zwischen der Eingangsspannung und der Ausgangsspannung im VerhÄltnis Ñ /Ñ = / (entspr. 3dB). (B) Der Sperrbereich ab der Grenzfrequenz f g bis f = der Bereich hoher Frequenzen mit abnehmenden Werten von H (d.h. mit zunehmender DÄmpfung), umgekehrt proportional zur Frequenz: H ~ /f, im logarithmischen MaÜstab nimmt H um 6dB pro Frequenzoktave ab. Eine Oktave ist das FrequenzverhÄltnis von :. Eine vereinfachte Darstellung von H(f) zeigt das folgende Bild: Bild 4-7 RC-TiefpaÜ, H(f) vereinfacht Die Filterwirkung eines einfachen RC-Tiefpasses ist eher mäüig. Eine deutliche DÄmpfung a im Sperrbereich ergibt sich erst weit oberhalb der Grenzfrequenz: f = 0Çf g a = 0dB Anwendungen des RC-Tiefpasses Filterung eines Empfangssignals durch UnterdrÉcken von Anteilen eines StÅrsignals oberhalb der Signalbandbreite. UnterdrÉcken von unerwénschten Oberwellen, um die Bandbreite eines zu Ébertragenden Signals zu beschränken. Anwendung als Vorfilter (Anti-Aliasing) fér die A/D-Wandlung. UnterdrÉcken von StÅrungen auf einer Versorgungsspannung fér elektronische Schaltungen (ICs).

10 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Medientechnik Seite HochpaÜ mit Widerstand und KapazitÄt (A) Betrieb mit sinusfårmigen StrÅmen und Spannungen; Betrachtung im Frequenzbereich Gegeben: u (t) = Ñ sin( t + ) R, C Gesucht: i und u Komplexe Darstellung: Bild 4-8 RC-HochpaÜ Ñ = Ñ e j, Z R = R, Z C = -j Eingangsimpedanz: Z ein = Ñ / Ö = R -j Ñ j C Ö = = Ñ R j j CR C C C C Betrag: Ö = Ñ Phase: i = + - arctan( CR) ( CR) also i (t) = Ñ C ( CR) cos( t + - arctan( CR)) und Ñ = Ö R = Ñ j CR j CR CR Betrag: Ñ = Ñ Phase: u = + - arctan( CR) ( CR) also u (t) = Ñ CR ( CR) cos( t + - arctan( CR))

11 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Medientechnik Seite 4- Zeitliche VerlÄufe von Ein- und Ausgangsspannung im Vergleich (a) Betrieb bei tiefer Frequenz im Sperrbereich (b) Betrieb bei der Grenzfrequenz zwischen DurchlaÜ- und Sperrbereich (c) Betrieb bei håheren Frequenzen im DurchlaÜbereich Bilder 4-9a-c RC-HochpaÜ, Anregung mit sinusfårmiger Spannung

12 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Medientechnik Seite 4- ábertragungsfaktor H(f): H(f) = Ñ / Ñ = j CR j CR Betrag: H(f) = CR ( CR) Phase: (f) = - arctan( CR) Bild 4-0 ábertragungsfaktor H fér einen RC-Hochpass mit R = 600 und C = 0pF Die Grenzfrequenz f g ist definiert fér den Punkt, in dem H gegenéber dem Maximalwert auf 70,7% (entspr. -3dB) abgefallen ist. Im Beispiel Bild 4-0 ist dies ca. f g = 00Hz, markiert durch die vertikale blaue Linie. Bild 4- zeigt den Betrag und den Phasenwinkel des ábertragungsfaktors in der Darstellung des Bode-Diagramms; der Betrag ist im logarithmischen MaÜ mit der Einheit db abgebildet, siehe Bild 4-a. Die Grenzfrequenz ( blaue vertikale Linie) liegt hier bei H log = -3dB, der Phasenwinkel hat bei der Grenzfrequenz den Wert +45à, siehe Bild 4-b.

13 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Medientechnik Seite 4-3 Bild 4-a RC-Hochpass zu Bild 5-4, ábertragungsfaktor im logarithmischen MaÜ Bild 4-b RC-Hochpass zu Bild 4-4, Phasenwinkel

14 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Medientechnik Seite 4-4 (B) RC-HochpaÉ / Anregung mit Sprungfunktion; Betrachtung im Zeitbereich Der RC-HochpaÜ werde durch eine Spannungsquelle mit sprunghaftem Verlauf der Quellenspannung betrieben, siehe nebenstehende Abbildung. Die Quellenspannung soll im Zeitpunkt t = 0 von 0V auf den Wert U springen, siehe Bild 4-3a. Bild 4- RC-HochpaÜ, Anregung mit Spannungssprung Bild 4-3a Quellenspannung nach der Sprungfunktion. Bild 4-3b Sprungantwort des RC-Hochpasses Bestimmung der Sprungantwort mit Hilfe der Differentialgleichung fçr u :.) Die Kirchhoffsche Maschen-Regel ergibt u = u C + u.) Es gilt an R: u = RÇi und an C: i = C du C /dt 3.) Einsetzen in die Maschengleichung ergibt: du /dt = du /dt + u /RC 4.) FÉr t > 0 gilt u = U = konst. 0 = RCÇdu /dt + u Differentialgleichung fér u

15 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Medientechnik Seite ) Die Differentialgleichung hat grundsätzlich zwei LÅsungsanteile, die homogene LÅsung, die durch die Eigenschaften der Schaltung bestimmt ist, und die inhomogene LÅsung, die durch die Anregung ( Quellen ) vorgegeben ist: u (t) = u,hom (t) + u,inh (t) 5.) Die Differentialgleichung ist eine homogene Differentialgleichung ( 0 =...) 0 = RCÇdu /dt + u hat eine LÅsung der Form u,hom (t) = U,hom e t Mit du /dt = U,hom e t erhält man: 0 = RC U,hom e t + U,hom e t Nach Division durch U,hom e t : 0 = RC + Charakteristische Gleichung Die Charakteristische Gleichung hat die LÅsung wird 'Zeitkonstante' genannt. = - / mit = RC Die homogene LÅsung ist damit: u,hom (t) = U,hom e -t/ U,hom ist zunächst eine Unbekannte, die aus Randbedingungen festzulegen ist. 6.) Die inhomogene LÅsung ist wie die Anregung u = U eine Gleichspannung: u,inh (t) = U,inh 7.) Die vollständige LÅsung u (t) = U,hom e -t/ + U,inh enthält noch die beiden Unbekannten U,hom und U,inh. Sie werden aus den Randbedingungen bei t = 0 und bei t = bestimmt: u (t=0) = U = U,hom e -0/ + U,inh ( Anfangswert fér C ungeladen ) Daraus folgt: U = U,hom + U,inh und u (t= = 0 = U,hom e - / + U,inh ( kein Strom mehr ) Wegen e - / = 0 folgt: U,inh = 0 8.) Die vollständige LÅsung wird nun: u (t) = U e -t/

16 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Medientechnik Seite 4-6 Filterwirkung des RC-Hochpasses Der Frequenzgang des ábertragungsfaktors ( siehe Bild 4- ) läüt erkennen, daü zwei unterschiedliche Frequenzbereiche existieren: (A) der Sperrbereich ab f = 0 bis zu einer Grenzfrequenz f g mit f g = g = / = der Bereich tiefer Frequenzen mit dem H(f) ansteigend proportional zu f Der Phasenwinkel von H verändert sich von +90à auf +45à. Die Grenzfrequenz f g ist dadurch gekennzeichnet, daü der reelle Widerstand R und der kapazitive Widerstand X c gleich groü sind. Damit ergibt sich eine Spannungsteilung zwischen R und X c im VerhÄltnis : und zwischen der Eingangsspannung und der Ausgangsspannung im VerhÄltnis Ñ /Ñ = / (entspr. 3dB). (B) Der DurchlaÜbereich von der Grenzfrequenz f g bis f = der Bereich hoher Frequenzen mit H(f) (d.h. 0dB, geringe DÄmpfung). Eine vereinfachte Darstellung von H(f) zeigt das folgende Bild: Bild 4-4 RC-HochpaÜ, H(f) vereinfacht Die Filterwirkung eines einfachen RC-Hochpasses ist eher mäüig. Eine deutliche DÄmpfung a im Sperrbereich ergibt sich erst weit unterhalb der Grenzfrequenz: f = 0,Çf g a = 0dB Anwendungen des RC-Hochpasses Anwendung als Vorfilter beim Empfang von BandpaÜ-Signalen zur UnterdrÉckung von niederfrequenten Fremdsignalen und von StÅrungen (z.b. Netzfrequenz). In elektronischen Schaltungen und zwischen Baugruppen: Abtrennen einer Gleichspannung (Versorgungsspannung) von einem Nachrichtensignal.

17 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Medientechnik Seite Beispiele fér die Beeinflussung von Signalen durch RC-Filter (A) RC-TiefpaÉ mit R = 600, C = 0nF Zeitkonstante = 3äs, Grenzfrequenz f g = 06Hz Bild 4-5 t 0,5ms Eingangssignal u (t) = rect ms und Ausgangssignal u (t) Bild 4-6 t Eingangssignal u (t) = rect und Ausgangssignal u (t) Bild 4-7 t 5äs Eingangssignal u (t) = rect 0äs und Ausgangssignal u (t)

18 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Medientechnik Seite 4-8 Bild 4-8 Eingangssignal u ( t) = Vsin( 00HzÇt) + 0,5Vsin( 0kHzÇt) und Ausgangssignal u ( t) (B) RC-HochpaÉ mit R = 600, C = 0nF Zeitkonstante = 3äs, Grenzfrequenz f g = 06Hz Bild 4-9 Eingangssignal t u (t) = V rect und Ausgangssignal u (t) 0,ms 0, 4ms Bild 4-0 Eingangssignal u (t) = 5V + V sin( 0kHz t) und Ausgangssignal u (t)

19 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Medientechnik Seite RLC-Schwingkreise a) Parallelschwingkreis b) Serienschwingkreis Bild 4- Schaltbilder von Parallel- und Serienschwingkreis 4.3. Komplexer Widerstand Z und Leitwert Y Parallelschwingkreis Serienschwingkreis Y = G + j( C - ) ; G = /R Z = R + j( L - ) L C Z = Y = G j( C ) L R j( L ) C a) Parallelschwingkreis b) Serienschwingkreis Bild 4- Frequenzgang (a) des Scheinwiderstandes und (b) des Scheinleitwertes. fres: Resonanzfrequnez, fu: untere Bandgrenze, fo: obere Bandgrenze

20 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Medientechnik Seite 4-0 Parallelschwingkreis Serienschwingkreis BetrÄge und Phasenwinkel der WiderstÄnde und Leitwerte: Z = Y = G ( C ) R ( L ) L C C Z = - arctan L G L Y = - arctan C R 4.3. Selektives Verhalten der Schwingkreise und Resonanz Es gilt: U par = Z ÇI par mit U par, I par : I ser = Y ÇU ser mit U ser, I ser : Spannung, Strom am Parallelschwingkreis Parallelschwingkreis mit einem konstanten Strom Speist man den Spannung, Strom am Serienschwingkreis Serienschwingkreis mit einer konstanten Spannung und variiert die Frequenz,so verändert sich U par genau wie Z (f) in Bild 4-a I ser genau wie Y (f) in Bild 4-b Die Kurven in Bild 4- lassen erkennen, daü die Spannung U par am Parallelschwingkreis der Strom I ser durch den Serienschwingkreis bei konstantem Strom I par bei bei konstanter Spannung U ser ein ausgeprägtes Maximum aufweist. Das Maximum tritt bei der Resonanzfrequenz auf: f res = Bei Resonanz heben sich LC im Parallelschwingkreis i L und i C im Serienschwingkreis u L und u C gegenseitig auf Der Widerstand des Schwingkreises ist dann gleich dem Wirkwiderstand R.

21 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Medientechnik Seite 4- StrÅme und Spannungen bei Resonanz Bild 4-3a Parallelkreis: Gesamtstrom Iges und ZweigstrÅme bei Resonanz Werte fér R, L, C wie in Bild 4-a Bild 4-3a Serienkreis: Gesamtspannung u ges und Teilspannungen bei Resonanz Werte fér R, L, C wie in Bild 4-b

22 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Medientechnik Seite 4- Kennleitwert Y K und Kennwiderstand Z K, GÇte Q, DÄmpfung d Die Schaltelemente L und C haben bei der Resonanzfrequenz den Widerstand Z K = f res L = und den Leitwert Y K = f res C = f C res f L res Das VerhÄltnis Q = Y K /G beim Parallelkreis gibt an, um welchen Faktor die StrÅme I L und I C grå- Üer als der Strom I R sind bzw. das VerhÄltnis Q = Z K /R beim Serienkreis gibt an, um welchen Faktor die Spannungen U L und U C gråüer als die Spannung U R sind. Die sog. GÉte Q kann Werte von 0 oder 0 oder sogar einige 00 erreichen. Damit kånnen im Parallelkreis die ZweigstrÅme durch L und C wesentlich gråüer als der Gesamtstrom sein bzw. kånnen im Serienkreis die Spannungen an L und C wesentlich gråüer als die Gesamtspannung sein. Der Kehrwert der GÉte ist die DÄmpfung d, also d = /Q. Grenzfrequenzen und Bandbreite Der Bereich um die Resonanzfrquenz wird durch die untere Grenzfrequenz f u und die obere Grenzfrequenz f o begrenzt. Der Frequenzbereich zwischen f u und f o wird Bandbreite B genannt: FÉr die Grenzfrequenzen gilt, daü B = f o - f u a) im Parallelschwingkreis die Summe der Blindleitwerte B C + B L = C-/ L gerade so groü wie der Wirkleitwert G ist. Der Gesamtleitwert Y ist damit um den Faktor gråüer als bei Resonanz und hat den Phasenwinkel Y = - /4 bei f u bzw. + /4 bei f o. b) im Serienschwingkreis die Summe der BlindwiderstÄnde X L + X C = L-/ C gerade so groü wie der Wirkwiderstand R ist. Der Gesamtwiderstand Z ist damit um den Faktor gråüer als bei Resonanz und hat den Phasenwinkel Z = - /4 bei f u bzw. + /4 bei f o. Beziehung zwischen Bandbreite, Resonanzfrequenz und GÉte: Q = f res B

23 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Medientechnik Seite 4-3 Die VerhÄltnisse lassen sich gut mittels der Ortskurven von Z darstellen, siehe Bild 4-4 und 4-5. Bild 4-4 Impedanz Z(f) des Serienkreises Bei den Grenzfrequenzen f u und f o ist der ImaginÄrteil genauso groü wie der Realteil. Daher wird der Winkel -45à oder +45à. Bei tiefen Frequenzen ist Z kapazitiv, bei hohen Frequenzen ist Z induktiv. Bei sehr tiefen und bei sehr hohen Frequenzen geht der Betrag von Z gegen unendlich. Bild 4-5 Impedanz Z(f) des Parallelkreises Bei den Grenzfrequenzen f u und f o ist der ImaginÄrteil genauso groü wie der Realteil. Daher wird der Winkel +45à oder -45à. Bei tiefen Frequenzen ist Z induktiv, bei hohen Frequenzen ist Z kapazitiv. Bei sehr tiefen und bei sehr hohen Frequenzen geht der Betrag von Z gegen null.

24 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Medientechnik Seite Zeitverhalten der Schwingkreise Die folgenden Bilder zeigen das Verhalten des Serienschwingkreises bei Anregung mit einer Spannungsquelle, die einen Spannungssprung oder eine eingeschaltete Sinus-Spannung erzeugen kann. Bild 4-6 Serienschwingkreis an einer Spannungsquelle mit variabler Quellenspannung L = 8,4mH, C = 0nF Bild 4-7 Reaktion des Serienschwingkreises auf einen Spannungssprung u 0 (t) = V (t) a) bei geringer DÄmpfung R = 0 b) mit sehr stark gedämpfter Eigenschwingung R = 500

25 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Medientechnik Seite 4-5 Bild 4-8 Reaktion des Serienschwingkreises auf eine eingeschaltete Sinus-Spannung mit u 0 (t) = V (t) sin(,5khz t). a) bei geringer DÄmpfung b) bei mäüiger DÄmpfung c) bei hoher DÄmpfung

26 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Medientechnik Seite 4-6 Herleitung des Zeitverhaltens mittels der Differentialgleichung Grundlage ist das Schaltbild nach Bild 4-6. Die Herleitung erfolgt entsprechend der Darstellung zum RC-TiefpaÜ, siehe 4... ZunÄchst wird die Differentialgleichung fér den Strom i(t) aufgestellt: Maschenregel u 0 = u L + u R + u C Mit den Gleichungen fér den Zusammenhang zwischen Strom und Spannung an den Schaltelementen erhält man t di u 0 = L + R i + C i(t) dt + u C (0) dt 0 d i di nach Differenzieren: 0 = L + R + i Differentialgl. fér i(t) dt dt C Mit dem Ansatz i(t) = I h e t folgt 0 = LC + RC + bzw. 0 = R + + Charakteristische Gleichung L LC mit den LÅsungen:, = - d ç d - 0 R Darin bedeuten: d = die DÄmpfung L 0 = die Resonanzkreisfrequenz LC Fall : d - 0 < 0 Verwendet wird auch die GrÅÜe Eigenkreisfrequenz e und Eigenfrequenz f e : e = d - 0 die Eigenkreisfrequenz Mit f e schwingt der Serienkreis, wenn er angeregt wurde, vorausgesetzt d - 0 < 0 Die LÅsungen fér sind dann konjugiert komplexe Werte, = - d ç j e und i(t) folgt der Gleichung i(t) = ( I h e j et + I h e -j et ) e -dt Die Unbekannten GrÅÜen I h und I h ergeben sich aus Randbedingungen bei t = 0 und t =.

27 FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Medientechnik Seite 4-7 Die vollständige LÅsung fér i(t) U mit u 0 (t) = U (t) ist hier: i(t) = e -dt sin( e t) L Beispiele zeigen die Bilder 3-7a und b. e Fall : d - 0 > 0 Die DÄmpfung d (d.h. R) ist so groü, daü keine Eigenschwingungen måglich sind. Die LÅsungen der Charakteristischen Gleichung sind reell:, = - d ç d - 0 Auf einen Spannungssprung u 0 (t) = U (t) reagieren Strom und Spannungen des Serienkreises in Form von zwei e-funktionen mit verschiedenen negativen Exponenten, d.h. zwei verschiedenen Zeitkonstanten: i(t) = I h e t + I h e t Aus der Randbedingung i(t ) = 0 folgt wieder: I h = - I h di U Aus der Randbedingung u L (t ) = U folgt: = = I h e 0 - e 0 ) = I h ( - ) dt L = I h d - 0 U I h = L d 0 Beispiel fér L = 8,4mH, C = 0nF, R = k U = V d = 744s - 0 = 5709s - = s - = - / = 0,ms = - 498s - = - / = 0,3äs I h =,6mA i(t) =,6mA ( e -5007s-Çt - e -498s-Çt ) Bild 4-9 Reaktion des Serienkreises mit hoher DÄmpfung auf einen Spannungssprung u 0 (t) = V (t)