Bestimme: (2x - x)dx. (x + 2) dx. (u - u + 2)du. ( 7 Ò x[ + π Ò x )dx. Berechne händisch: a) x dx

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1 Integrieren 1 1. Bestimme: 2 a) (2x - x)dx c) (u - u + 2)du -1 5 b) (x + 2) dx 0 d) ( 7 Ò x[ + π Ò x )dx 2. 1 Berechne händisch: a) x dx -1 2 b) (x - 1)dx -2 4 c) (-x + 5x -4)dx -4. Berechne von Hand (Dokumentation!) : a) ( x - 2x) dx b) ( x - ) dx 4. Berechne vollständig von Hand (ausfühliche Dokumentation!) : a) x dx b) ( 1 t ) dt c) ( u 2) du Gib eine Stammfunktion von g(t) = π 7(4n 2-25)Òt 2n+4 6. Gib eine Polynomfunktion, die Integralfunktion von h(u) = u+1 ist. 7. Gib eine Stammfunktion an: 1 a) y = x[ - 2x b) y = 2πt - c) f (u) = - 1 u Gib eine Stammfunktion von f(x) = 0,25x an, die keine Integralfunktion von f ist. 9. Gib eine Stammfunktion an: 1 a) y = x - 2x + 5 b) f(t) = 2t ( - π ) + e c) h(i) = i Josef Hölzli, Aufgabensammlung : INTEGRIEREN 1 1

2 10. Schreibe einen Ausdruck auf für die Masszahl der schraffierten Fläche (ohne Betragstriche!) 11. f(x) = x - 6x + 40 a) Bestimme die Funktion F(t), die für jedes t > a die Masszahl der schraffierten Fläche angibt. b) Was sagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung über F(t) aus? 12. Gib einen Ausdruck, der gleich der Masszahl der schraffierten Fläche ist (ohne Betragsstriche!) 1. Gegeben: Kurve mit der Gleichung k k: y = x + cx + e a) Gib die Gleichung der Funktion F(t) an, die für jedes t > a die Masszahl der schraffierten Fläche angibt (a, c, e sind konstant). b) Was sagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung über F(t) aus? Josef Hölzli, Aufgabensammlung : INTEGRIEREN 1 2

3 14. Schreibe einen Ausdruck auf für die Masszahl der schraffierten Fläche (ohne Betragsstriche!) 15. Beststimme die Fläche zwischen den Kurven y = - x + 4 x und y = x. 16. Berechne die Fläche zwischen den Kurven y = -x - 2x + 8 und y = -x Bestimme die Fläche zwischen den Kurven kë: y = -x + 10 und k : y = -0,5x + 4x y c =? x 19. Bestimme die Gleichung jener Ursprungsgeraden, welche die Fläche zwischen positiver x-achse und der Kurve y = -x + 2x halbiert. 20. a) Bestimme Extrema und Wendepunkte des Graphen von f(x) = 0.05x - 1.2x + 4. Skizziere den Graphen für -5 x 5. b) Bestimme die Gleichung jener Parabel 2-ten Grades, welche den Graphen in den Wendepunkten berührt. c) Bestimme die von beiden Kurven eingeschlossene Fläche. Josef Hölzli, Aufgabensammlung : INTEGRIEREN 1

4 21. Wie lautet die Gleichung einer nach unten geöffneten, bezüglich der y- Achse symmetrischen Parabel 4-ten Grades, welche die x-achse in P(2...) berührt und mit der x-achse eine Fläche vom Inhalt 1 einschliesst? 22. Die Fläche zwischen pos. x-achse und der Kurve y = 2x - x wird durch eine Ursprungsgerade geteilt. Der oberhalb der Geraden liegende Teil ist 1/4 der ganzen Fläche. Wie gross ist die Steigung der Geraden? 2. Wie gross sind Grundkante und Oberfläche einer geraden quadratischen Pyramide mit Seitenkante s = 1m und maximalem Volumen? 24. Wie gross ist der Grundkreisradius des Kegels mit der Mantellinie 1m und maximalem Volumen und wie gross der Mittelpunktswinkel å des abgewickelten Kegelmantels? 25. Ein Versuchsfeld soll die nebenstehende Form und eine möglichst grosse Fläche haben. Ausserdem soll es mit einem 120m langen Zaun eingefasst werden können. 5a 5a Wie sind a und b zu wählen? b b 6a 26. Wie lautet die Gleichung einer Parabel -ten Grades, die die x-achse im Ursprung berührt und in P(6 0) schneidet und mit der x-achse eine Fläche vom Inhalt 6 einschliesst? 27. Die Fläche zwischen den Kurven y = -0.5x, x = -7, x = -1 und y = 0 wird durch die Gerade x = k so zerschnitten, dass die linke Teilfläche doppelt so gross ist wie die rechte. Bestimme k. 28. Ein gerader Kreiszylinder soll die Oberfläche 12 und maximales Volumen haben. Bestimme den Grundkreisradius r und die Höhe h. 29. Die Parabel y = 2-ax geht durch P(2 0). Der Punkt S liegt auf dem Parabelbogen zwischen dem Scheitel und P, F ist der Fusspunkt des Lotes von S auf die x-achse. Bestimme die Koordinaten von S so, dass das Dreieck OSF maximale Fläche hat. 0. Bestimme die Fläche zwischen den Kurven y = -x + 6 und y = -x - 2x + 8. Josef Hölzli, Aufgabensammlung : INTEGRIEREN 1 4

5 1. Die Fläche zwischen den Kurven y = 0.2x, x = 1, x = 4 und y = 0 wird durch die Gerade x = k so zerschnitten, dass die linke Teilfläche halb so gross ist wie die rechte. Bestimme k. 2. F(x) und G(x) sind zwei Stammfunktionen von f(x). Was lässt sich über die Funktion D(x) = F(x) - G(x) sagen?. f(u) = 2u -4u + π; f(u)du =? 4. a) Gib eine Stammfunktion von g(t) = π 7(4n 2-25)Òt 2n+4 b) f(u) = 2u -4u + π; f(u)du =? c) An welchen Stellen kann die Funktion Extrema haben? x 2 4 fx ( ) = ( t + 5t 14t) dt b b 5. Begründe mit Hilfe der Definition des Integrals: c fx () dx = c fx () dx a a Josef Hölzli, Aufgabensammlung : INTEGRIEREN 1 5

6 Integrieren 1 : Lösungen 1. a) x - x 0; 2' = 0 b) x / + 2x + 4x [apple = 5/ c) x[/5 - x / + 2x _Ë = -88/15 = d) 7x]/6 + πx / + C 2. a) x /4 _È = 0 b) x / - x _ = 2Ò) apple = 4/ c) -x[/5 + 5x / - 4x _È = 2Ò() apple = -424/15 = a) x /4 - x 0; ' = -/4 b) x / - x + 9x~[# = 8/ c) -2Ò x[/5-2x / + x' apple = -212/15 = a) (x - 2x)dx 0 5 b) (x - ) dx c) -2 (x - 2x + )dx 2 4. a) x /4' _ # = *9/4 - *9/4 = 0 b) x - x[/5' _ = (2-2/5)-(-2 -(-2/5)) = 4-64/5 = -44/5 c) x[/5-4x / + 4x' _# = 0 - (-24/5 -(-4*27/ + 4*(-)) = ( )/15 = 69/15 = 12/5 5. π 7(4n -25)Òt 2n+5 /(2n+5) = π 7(2n-5)t 2n+5 6. H(u) = 0.5u + u 7. a) y = x]/18 - x /2 + C b) y = 2πt / - Òt + C 8. I(x) = t /16 xa = x /16 - a /16 => F(x) = x /16 + c mit c > 0 9. a) x /16 - x / + 5x + C b) 2( - π) Òt / + eòt + C c) i + C 10. (f - g)dx a;d' + (g - f)dx d; g' + (f - g)dx g; h' 11. a) F(t) = (x - 6x + 40)dx a; t' = t /4-2t + 40t - a /4 + 2a - 40a b) F ist diff bar und es ist F (t) = f(t) 12. (t - s)dx a;d' + (s - t)dx d; f' + s dx f; h' = " + s d; h' - t d; f' = t - s a; d' + s - t d; g' + s - t f; g' + t f; g' + s g; h' Josef Hölzli, Aufgabensammlung : INTEGRIEREN 1 6

7 1. a) F(t) = a t f(x)dx = x /4 + còx /2 + ex' t a = t /4 + còt /2 + et - a /4 - a c/2 - ea b) F`(t) = t + ct + e 14. a b g(x)dx - b c g(x)dx - a 0 f(x)dx 15. SP: x = -x + 4x => xë = 0; x = 2 Nullst: x# = 0; xè = 4 F = 1/Òapple (-x + 4x - x )dx = 1/Ò(-2x / + 2x ) apple = 8/9 16. f(x) = -x - 2x + 8 (N:-4; 2) ; g(x) = -x + 6 SP: x + x - 2 = 0 => xë = -2; 1 F = _ (-x - x + 2)dx = 27/6 = Nullstellen Parabel: x = 4 ± 2 5 SP:... x - 10x + 16 = 0 => xë = 8; x = 2 I = {(k (x) - kë(x))dx = -x /6 + 5x /2-8x { = P(1 c); t: m = (y - c)/(x - 1) => y = mx - m + c f(x) = cx f (1) = 4c = m => t: y = 4cx - c = => x = /4 (Nullst) => apple f(x)dx - 0.5Ò0.25Òc = 0.15 => 5/5 - c/8 = /20 ==> c = y = -x + 2x = x(-x + 2) N: 0; ± 2 F = y dx 0; 2' = 1 mx = -x + 2x => xë = 0; x = m => 1/2 = (y - mx)dx xë; x ' = (2 - m) /4 => (2 - m) = 2 => m = ± m < 2 => m = 2-2 = x y = mx Josef Hölzli, Aufgabensammlung : INTEGRIEREN 1 7

8 20. a) f (x) = 0.2x - 2.4x = x/5 Ò (x - 12) f (x) = 0.6x = /5 Ò (x-2)(x+2) f``(0) = -2.4; f``(± 1 2) = 4.8 => H(0 4); TË (±2-16/5); f wechelt Zeichen bei ±2 => WË (±2 0) (N:±2; ±2 5); b) y = ax + c; W: 0 = 4a + c Berühren: 4a = 8/5-24/5 = -16/5 => c = 16/5 =>p: y = -4/5x + 16/5 c) F = 2Òapple (x /20-6x / x /5-16/5)dx = 2Ò x[/100-2x /15+4x/5'apple = 2( )/75= 128/75 = f(x) = ax + bx + c; f (x) = 4ax + 2bx P p: 16a + 4b + c = 0; P = Ber.Pkt: 2a + 4b = 0 => -16a + c = 0; c = 16a; b = -8a => f(x) = ax - 8ax + 16a => -0.5 = apple f(x)dx = 2a/5-64a/ ü 2a = 256a/15 => a = -15/512 = => f(x) = -15x / x /64-15/2 einfacher: P: y = a(x-2) (x+2) = a(x -4) = a(x -8x+16) SP: 2x - x = mx; N:0; ± 2 xë = 0; x # = ± 2 - m f(x)dx 0; 2' = 1 => 1/4 = (f(x) - mx)dx 0; 2 - m' => m - 4m + = (m-1)(m-) = 0 => m = 1 x y = mx 2. h = 1 - (x 2/2) = 1 - x /2; h = 1 - x /4 V = x / Ò h; V* = (6V) = x (1 - x /2) = x - x]/2 V* = 4x - x[ = 0 => x = 2 / = O = x + 4Òxh / = 4(1 + 2)/ = V = 1/Òπr h ; h = 1 - r ; => V(r) = π/ Ò r 1 - r V*(r) = (r 1 - r ) = r - r];v* (r) = 2r (2-r ) => rmax = 2 / = (m) besser: V(h) = πh(1-h )/;... h = 1 /... 60ò : 2π = å : 2π 2 / => å = 29.9ò Josef Hölzli, Aufgabensammlung : INTEGRIEREN 1 8

9 25. U = 16a + 2b = 120 => b = 60-8a F = 6ab + aò4a = 6a(60-8a) + 12a F(a) = 60a - 6a = 6(10a - a ); F`(a) = 6(10-2a) => a = 5 => b = y = ax + bx + cx + d; y = ax + 2bx + c ==> c = d = 0 ==> y = x (ax + b); P(6 0) => 6a + b = 0 => b = -6a => y = ax -6ax ; I = apple ] ydx = ax /4-2ax ]apple = -108a = ±6 ==> a = ±1/ ==> yë = -x / + 2x ; y = x / - 2x 27. IË = -x /8 k_\ = (7 - k )/8 ; I = -x /8 k = (k - 1)/8 IË = 2I : 7 - k = 2k - 2 => k = 801 => k = -801 = oder: -x /8 _\ = 00 => I = 100 = (k - 1)/ V = πr h; o = πr + 2πrh = 12 => h = (12 - πr )/2πr => V(r) = 6r - πr /2; V (r) = 6 - πr /2 => r = 2/ π = P: 0 = 2-4a => a = 1/2; y = 2 - x /2 = 0 => xë = ±2 F = x/2ò(2 - x /2) = x - x /4; F = 1 - x /4 = 0 => x = ± 4 / => x = 2/ = 2 / (0 2) S(x y) P F(x 0) 0. -x + 6 = -x - 2x + 8 => xë = 1; x = -2; ±F = _ (-x - x + 2)dx = -x / - x /2 + 2x _ = Ò x /5 dx 1;k' = x /5 dx k;4' => 2(k[ - 1)/25 = (4[ - k[)/25 => k[ = 42 => k = 42 [ = D(x) = c = konstant. 2/ u - 2u 2 + πu 4. a) π 7(4n -25)Òt 2n+5 /(2n+5) = π 7(2n-5)t 2n+5 b) 2u / - 2u + πu + C c) f (x) = x(x+7)(x-2) = 0 => x Ì-7, 0, 2Î Josef Hölzli, Aufgabensammlung : INTEGRIEREN 1 9

10 5. cf(x)dx = lim Û i= Ë n còf(x) x = lim c Ò Û i= Ë n f(x i ) x = c Ò lim Û i= Ë n f(x i ) x = cò f(x)dx Josef Hölzli, Aufgabensammlung : INTEGRIEREN 1 10