Aufgaben und Lösungen

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1 Aufgaben und Lösungen c Michael Bender, Manfred Brill Oktober 2005

2 Sie finden in diesem Dokument alle Aufgaben und die zugehörigen Lösungen aus Michael Bender, Manfred Brill: Computergrafik 2. Auflage, Hanser Verlag, München, Diese Unterlagen wurden mit LATEX erstellt.

3 Inhaltsverzeichnis 2 Grundlegende Verfahren und Techniken Transformationen und Koordinatensysteme Projektionen und Kameramodelle Clipping und Rasterung Sichtbarkeit Fallstudien Transformationen und Hierarchien in OpenGL Hierarchien in VRML und Alias MAYA Die virtuelle Kamera in OpenGL Clipping in OpenGL Geometrisches Modellieren mit Kurven und Flächen Parameterkurven Polynomiale Kurven Bézier-Kurven und -Kurvensegmente Interpolation und Splines B-Spline-Kurven Parametrische Flächendarstellungen Fallstudien Freiformgeometrie in OpenGL Polygonale Netze Polygone und Polyeder Datenstrukturen für polygonale Netze Dreiecksnetze

4 Inhaltsverzeichnis iii 4.4 Modellieren mit Netzen Level-of-Detail und Vereinfachen von Netzen Fallstudien Polygonale Netze in OpenGL Fallstudie Platonische und archimedische Körper Fallstudie Polygonale Netze in Alias MAYA Bildsynthese (Anti-)Aliasing Fallstudien Beleuchtung, Materialien und Schattierungen in OpenGL Cg Vertex-Shader in OpenGL GLSL Vertex- und Fragment-Shader Mapping in OpenGL Visualisierung Datenstrukturen Algorithmen für skalare Attribute Direkte Volumen-Visualisierung Visualisierung von Vektorfeldern Fallstudien Die Visualisierungs-Pipeline in VTK Volumen-Visualisierung mit VTK Visualisierung von Vektorfeldern mit VTK Computer-Animation Basistechnologien und Interpolation Animation hierarchischer Objekte Prozedurale Animationstechniken Fallstudien Key-Framing und Pfad-Animation in Alias MAYA Expressions in Alias MAYA Partikelsysteme in Alias MAYA

5 Inhaltsverzeichnis iv Literaturverzeichnis 117

6 Kapitel 2 Grundlegende Verfahren und Techniken 2.1 Transformationen und Koordinatensysteme 1. Gegeben ist eine beliebige Kombination von Punkten in einem affinen Raum: P = n i=1 λ ix i. Weisen Sie nach, dass P ein Punkt ist im Fall λ i = 1 und ein Vektor im Fall λ i = 0! Hat die Kombination einen Sinn für andere Werte der Summe λ i? Es gilt n ( n λ i X i = i=1 x i n i=1 i=1 λ i falls die Punkte durch X i = (x i, 1) T gegeben sind. Für λ i = 1 erhält man einen Punkt für die affine Kombination. Ist die Summe λ i = 0, dann ist das Ergebnis ein Vektor. Hat die Summe einen Wert λ i = 0, dann kann durch diesen Wert dividiert werden; das Ergebnis ist ein Punkt. 2. Die Polygonzüge A und B sind gegeben durch die Ecken A = {(1, 1), ( 1, 1), ( 1, 1), (1, 1), B = {(5, 2), (4, 3), (4, 0), (3, 2). Skizzieren Sie die Polygonzüge ta + (1 t)b für t = 1, 0.5, 0.5, 1.5. Die Polygonzüge A und B und die gesuchten Lösungen finden Sie in Abbildung 2.1 auf Seite Eine Reflexion an der x-achse ist gegeben durch die 4 4-Matrix Re f x = Stellen Sie die Matrix-Darstellung der Reflexion an einer beliebigen im Raum liegenden Linie, die durch den Ursprung geht, auf! ).

7 2 Grundlegende Verfahren und Techniken 2 t = 1 A B t = 1, 5 t = 0, 5 t = 0, 5 Abbildung 2.1: Die Polygonzüge A, B und ta + (1 t)b für Aufgabe 2 Durch eine Koordinatentransformation wird die Gerade durch den Ursprung auf die x-achse abgebildet; dann die Reflexion durchgeführt und anschließend wieder die Koordinatentransformation rückgängig gemacht. Die Koordinatentransformation beschreiben wir durch die beiden Winkel ϕ und θ. ϕ beschreibt den Winkel zwischen der x-achse und der Achse in der xy-ebene, θ den Winkel zwischen x-achse und der Achse in der xz-ebene. Dann ist die allgemeine Reflexion an einer Achse gegeben durch R y ( θ)r z (ϕ)re f x R z ( ϕ)r y ( θ): Re f = cosθ2 cos 2ϕ sinθ 2 cosθ sin 2ϕ sin 2θ sinϕ 2 cosθ sin 2ϕ cos 2ϕ sinθ sin 2ϕ sin 2θ sinϕ 2 sinθ sin 2ϕ cosθ 2 + sinθ 2 cos 2ϕ Setzen Sie θ = ϕ = 0, dann erhalten Sie Re f x zurück. Interessant ist der Fall θ = 0, einer Reflexion an einer Achse in der xz-ebene: cos 2ϕ sin 2ϕ 0 Re f θ=0 = sin 2ϕ cos 2ϕ Leiten Sie die Matrix-Darstellung der Rotation um eine beliebige Achse im Raum mit Hilfe von Kugelkoordinaten und Matrix-Algebra her! Analog zu Aufgabe 3 wird wieder die Drehachse durch die beiden Winkel ϕ, θ beschrieben. Dann ist die allgemeine Rotation mit Winkel β gegeben durch R y ( θ)r z (ϕ)r x (β)r z ( ϕ)r y ( θ). Im Buch auf Seite 19 unten müssen Sie noch die Koordinaten der Drehachsen durch den Vektor (cosθ cosϕ, sinϕ, cosϕ sinθ) T ersetzen. Haben Sie sich dazu entschieden, die Drehachse auf die y oder z-achse zu drehen, ergibt sich ein anderen Ausdruck, aber das gleiche Endergebnis. 5. Erstellen Sie einen Baum und einen gerichteten azyklischen Graphen für ein einfaches Modell der Hierarchie eines Autos und eines Propellerflugzeugs! Das Auto unterscheidet sich vom Fahrrad auf Seite 24 im Buch vor allem durch die Anzahl

8 2 Grundlegende Verfahren und Techniken 3 Rahmen Rahmen Vorderrad links Vorderrad rechts Hinterrad links Hinterrad rechts Rad Rahmen Rahmen Vorderrad links Vorderrad rechts Hinterrad Propeller Rad Propeller Abbildung 2.2: Ein Auto (links) und ein Propellerflugzeug (rechts) als Baum und als gerichteter azyklischer Graph der Räder. Beim Propellerflugzeug kommen zu den beiden Vorderrädern ein Hinterrad und der Propeller hinzu. Die Szenengraphen finden Sie in Abbildung 2.2 auf Seite Projektionen und Kameramodelle 1. Skizzieren Sie das Ergebnis der Parallelprojektion des Würfels mit linker unterer Ecke im Ursprung und Seitenlänge 1 für n = (1, 1, 1) T, vup=(0, 1, 0) T. Es ist n = , 3 1 u = , 2 1 v = Wendet man die daraus entstehende Projektionsmatrix K T = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 n 1 n 2 n 3 auf die acht Ecken des Würfels an, erhält man das Ergebnis wie in Abbildung 2.3 auf Seite 4. Es sollte Sie nicht überraschen, dass das visuelle Ergebnis das gleiche wie in Abbildung 2.24 auf Seite 29 im Buch ist. 2. Skizzieren Sie das Ergebnis einer Kavalier- und einer Kabinettprojektion mit α = 60 für einen Würfel! Die Kavaliers- und Kabinettprojektion mit α = 60 finden Sie in Abbildung 2.4 auf Seite 4.

9 2 Grundlegende Verfahren und Techniken 4 Abbildung 2.3: Die Lösung für Aufgabe 1 Abbildung 2.4: Die Kabinett- (links) und Kavalierprojektion mit α = Berechnen Sie die Projektionsmatrix für die Parallel- und Zentralprojektion für Z = (3, 3, 3), H = (0, 1, 0), vup = (0, 1, 0) T! Skizzieren Sie das Bild des Einheitswürfels durch diese Projektionen! Das grafische Ergebnis sehen sie in Abbildung 2.5. Die Matrizen sind 0, , P parallel = 0, , , und 3, , P persp = 1, , , , , , , , Abbildung 2.5: Die Parallel- (links) und Zentralprojektion für Aufgabe Die Linie L soll im Kamera-Koordinatensystem durch den Punkt A = (a u, a v, a n ) und den Richtungsvektor c gegeben sein als A + λc. Berechnen Sie das Ergebnis einer Zentralprojekti-

10 2 Grundlegende Verfahren und Techniken 5 on dieser Linie! Betrachten Sie den Fall c n = 0, dass die Linie also parallel zur Projektionsebene verläuft, und interpretieren Sie Ihr Ergebnis! Berechnen Sie den Fluchtpunkt der Geraden für den Fall c n = 0! Die Projektion der Geraden ist gegeben durch X u(λ) = d A u + λc u A n λc n, X v(λ) = d A v + λc v A n λc n. Für den Fall c n = 0 ergibt dies die parametrische Form einer Geraden in der Bildebene mit Steigung c v c u : d (A u + λc u, A v + λc v ). A n Dieses Bild ist unabhängig von der Position der Geraden, es kommt immer die gleiche Steigung heraus. Für den Fall c n = 0 müssen wir den Grenzwert λ betrachten. Es ist lim = d( c u, c v ). λ c n c u Der Fluchtpunkt hängt nur vom Richtungsvektor ab! Also haben parallele Geraden alle den gleichen Fluchtpunkt. 2.3 Clipping und Rasterung 1. Drücken Sie die auf Seite 42 erläuterte Window-Viewport-Transformation, die dreidimensionale Bildkoordinaten in zweidimensionale (kontinuierliche) Gerätekoordinaten umwandelt, als eine homogene 3 3-Matrix aus! Um die gesuchte 3 3 Matrix zu erhalten werden nacheinander die folgenden Transformationen ausgeführt: Translation des Fensters in den Koordinatenursprung des Bild-Koordinatensystems durch T( u min, v min ); Skalierung der Fensters auf die Größe des Viewports mit S( x max x min u max u min, y max y min v max v min ); Skalierung der zweiten Koordinate mit S(1, 1); Translation des Viewports an die Position im Geräte-Koordinatensystem durch T(x min, y max ). Die Hintereinanderausführung der Transformationen ergibt T(x min, y max )S(1, 1)S( x max x min u max u min, y max y min v max v min )T( u min, v min ) = x max x min u max u 0 min u min(x max x min ) u max u min + x min 0 y max y min v min (y max y min ) v max v min v max v min + y max Leiten Sie die Projektionsmatrix M auf Seite 54 her, die den normalisierten Pyramidenstumpf der Zentralprojektion in den normalisierten Quader der Parallelprojektion transformiert!

11 2 Grundlegende Verfahren und Techniken 6 Wir müssen einen Pyramidenstumpf auf einen Quader abbilden. Diese Abbildung wird durch die Projektionsmatrix der Zentralprojektion geliefert. Linien parallel zur Projektionsrichtung, hier die negative n-achse, werden auf Linien abgebildet, die sich im Zentralpunkt, hier dem Ursprung, schneiden. Analog werden Linien, die sich im Zentralpunkt schneiden durch die gleiche Projektionsmatrix auf Linien abgebildet, die parallel zur Projektionsrichtung liegen. Und Linien, die orthogonal auf der Projektionsrichtung stehen bleiben orthogonal. Also genau das, was wir suchen. Wir setzen die Projektionsmatrix an als P = a b Dies entspricht einer Zentralprojektion mit Zentralpunkt im Ursprung und Projektionsrichtung n. Die Zahlen a und b bestimmen wir jetzt so, dass Punkte in der Ebene n = 1 in dieser Ebene bleiben. Und die Punkte in der Ebene n = n min sollen auf n = 1 abgebildet werden. Wendet man die Matrix P auf einen Punkt in homogenen Koordinaten an, dann gilt u u P v n = v 0 0 a b n = u v a n + b n = u n v n a n+b n Die beiden Bedingungen an die Ebenen n = 1 und n = m min ergeben ein lineares 2 2- Gleichungssystem für a und b: Daraus ergibt sich für n min = 1 die Lösung a( 1) + b = 1, a n min + b = n min. a = 1 n min 1 + n min, b = 2n min 1 + n min. 3. Führen Sie nach den angegebenen Regeln eine vollständige Rasterung des in Abbildung 2.61 gezeichneten Polygons durch! Die Lösung finden Sie in Abbildung 2.6 auf Seite Sichtbarkeit 1. Lösen Sie für eine Szene mit nur einem, als konvexem Polyeder beschriebenem Objekt das Sichtbarkeitsproblem möglichst einfach!

12 2 Grundlegende Verfahren und Techniken 7 y B A P D O C E F Abbildung 2.6: Die Lösung zu Aufgabe 3 N M G L H K I J x Besteht die Szene aus einem einzigen konvexen Polyeder können bei beliebiger Sicht (Augpunkt außerhalb des Polyeders) in Sichtrichtung weder Fremdverdeckungen noch Eigenverdeckungen entstehen. Deshalb ist das Sichtbarkeitsproblem bereits durch die Anwendung des Backface-Cullings vollständig gelöst. Es wird hierbei vorausgesetzt, dass der Polyeder vollständig opak ist. 2. Untersuchen Sie beim z-buffer-verfahren die Abhängigkeit der Qualität der Bilddarstellung von der z-auflösung. Definieren Sie dazu in OpenGL eine einfache Szene und experimentieren Sie mit den Einstellungen der Front- und Back-Clipping-Plane! Ein Programm zum Experimentieren finden Sie als Quellcode unter ZBuffer zu diesem Kapitel. Die Genauigkeit des z-buffers hängt stark vom Verhältnis der Abstände von Near- und Far- Clipping-Plane ab. Je größer r = zfar znear wird, desto mehr Genauigkeit geht verloren. Probieren Sie ein winziges znear zusammen mit einem großen zfar aus, und Sie werden bemerken, dass der z-buffer selbst bei der gegebenen einfachen Szene die Tiefen der Primitive aus numerischen Gründen nicht mehr unterscheiden kann. Die dabei auftretenden Streifenmuster sind die typischen Anzeichen für fehlende Tiefengenauigkeit! 2.6 Fallstudien Transformationen und Hierarchien in OpenGL 1. Schreiben Sie ein Programm in C++, das mit Hilfe der Funktionen gltranslatef und glrotatef eine Rotationsmatrix um eine beliebige Rotationsachse im Raum bildet. Fragen Sie diese Matrix mit glgetfloatv ab und geben Sie sie auf der Konsole aus! Berechnen Sie zur Kontrolle mit Hilfe der Matrix auf Seite 19 die Werte und vergleichen Sie diese mit den ausgegebenen!

13 2 Grundlegende Verfahren und Techniken 8 Der folgende Quelltext löst die Aufgabe: GLfloat c[16]; glmatrixmode(gl_modelview); // Zuerst die Rotation mit Hilfe von glrotatef glloadidentity(); gltranslatef(3.0, 5.0, 7.0); glrotatef(45.0, 1.0, 1.0, 2.0); gltranslatef(-3.0, -5.0, -7.0); // Die CTM kann abgefragt werden: glgetfloatv(gl_modelview_matrix, c); // Ausgeben dieser Matrix cout << "Die Rotationsmatrix" << endl; cout << c[0] << "," << c[4] << "," << c[8] << "," << c[12] << endl; cout << c[1] << "," << c[5] << "," << c[9] << "," << c[13] << endl; cout << c[2] << "," << c[6] << "," << c[10] << "," << c[14] << endl; cout << c[3] << "," << c[7] << "," << c[11] << "," << c[15] << endl Bei den Downloads zu diesem Kapitel finden Sie den kompletten Quellcode! 2. Schreiben Sie ein C++-Programm, das das beschriebene Sonnensystem mit OpenGL realisiert. Fügen Sie dem Planeten im Sonnensystem einen Mond und weitere Planeten und Monde hinzu. Implementieren Sie in GLUT eine Interaktion, die es Ihnen erlaubt, die einzelnen Transformationen anzusteuern. GLUT bietet eine Idle-Funktion, die aufgerufen wird, wenn keine Benutzer-Interaktionen stattfinden. Implementieren Sie eine Autorun-Funktion, die in diesem Fall aufgerufen wird und die das Sonnensystem als Ganzes animiert. Hier ein Auszug aus dem Quelltext der Lösung. Bei den Downloads zu diesem Kapitel finden Sie die komplette Lösung! void drawsun(void) { glcolor3fv(suncolor); glutwiresphere(sunradius, 20, 16); void drawearth(void) { glcolor3fv(earthcolor); glutwiresphere(earthradius, 10, 8); void drawmoon(void) { glcolor3fv(mooncolor); glutwiresphere(moonradius, 10, 8); void drawmars(void) { glcolor3fv(marscolor); glutwiresphere(marsradius, 10, 8);

14 2 Grundlegende Verfahren und Techniken 9 // Die Funktion für glutidlefunc void autorun(void) { /* Animation abspielen im Fall von autoplay = true */ if (autoplay) { day = (day + incday) % 360; year = (year + incyear) %360; month = (month + incmonth) % 360; marsyear = (marsyear + incmarsyear) % 360; marsday = (marsday + incmarsday) % 360; Mmonth1 = (Mmonth1 + incmonth) % 360; Mmonth2 = (Mmonth2 + incmonth) % 360; glutpostredisplay(); void display(void) { glclear(gl_color_buffer_bit); glmatrixmode(gl_modelview); drawstars(); drawsun(); /* Erde und Mond */ glpushmatrix(); glrotatef((glfloat) year, 0.0, 1.0, 0.0); gltranslatef(orbit, 0.0, 0.0); glpushmatrix(); glrotatef((glfloat) day, 0.0, 1.0, 0.0); drawearth(); glpopmatrix(); glpushmatrix(); glrotatef(-(glfloat) month, 0.0, 1.0, 0.0); gltranslatef(moonorbit, 0.0, 0.0); drawmoon(); glpopmatrix(); glpopmatrix(); /* Erde und Mond */ /* Mars */ glpushmatrix(); glrotatef((glfloat) marsyear, 0.0, 1.0, 0.0); gltranslatef(marsorbit, 0.0, 0.0); glpushmatrix(); glrotatef((glfloat) marsday, 0.0, 1.0, 0.0); drawmars(); glpopmatrix(); glpushmatrix(); glrotatef(-(glfloat) Mmonth1, 0.0, 1.0, 0.0); gltranslatef(moonorbit, 0.0, 0.0); drawmoon(); glpopmatrix(); glpushmatrix(); glrotatef(45.0, 0.0, 0.0, 1.0);

15 2 Grundlegende Verfahren und Techniken 10 glrotatef((glfloat) Mmonth2, 0.0, 1.0, 0.0); gltranslatef(moonorbit*2.0, 0.0, 0.0); drawmoon(); glpopmatrix(); glpopmatrix(); glutswapbuffers(); 3. Implementieren Sie wie im Text beschrieben eine Datenstruktur für einen Knoten eines Szenengraphen und ein Pre-Order Traversal für OpenGL. Besetzen Sie entsprechende Knoten für den im Text dargestellten Roboter aus und rufen das Traversal in der display Funktion von GLUT auf. Bauen Sie entsprechende Callbacks ein, um den Roboter interaktiv zu verändern! Hier ein Auszug aus dem Quelltext der Lösung. Bei den Downloads zu diesem Kapitel finden Sie die komplette Lösung! void robby(void) { torso.draw = drawtorso; torso.sibling = 0; torso.child = &bein; movetorso(wx, Wy, Wz, Tx, Ty, Tz); bein.draw = drawbein; bein.sibling = &kopf; bein.child = &fuss; movebein(0.0); fuss.draw = drawfuss; fuss.sibling = 0; fuss.child = 0; movefuss(0.0); kopf.draw = drawkopf; kopf.sibling = &larm; kopf.child = 0; movekopf(kopfwinkel); larm.draw = drawarm; larm.sibling = &rarm; larm.child = &ldaumen; movelarm(larmwinkel); ldaumen.draw = drawdaumen; ldaumen.sibling = 0; ldaumen.child = 0; moveldaumen(0.0); rarm.draw = drawarm; rarm.sibling = 0; rarm.child = &rdaumen; moverarm(rarmwinkel); rdaumen.draw = drawdaumen; rdaumen.sibling = 0; rdaumen.child = 0; moverdaumen(0.0); void drawtorso() { glmatrixmode(gl_modelview); glmaterialfv(gl_front_and_back, GL_AMBIENT, plasticambientcolor);

16 2 Grundlegende Verfahren und Techniken 11 glmaterialfv(gl_front_and_back, GL_DIFFUSE, plasticcolor); glmaterialfv(gl_front_and_back, GL_SPECULAR, plastichighlight); glmaterialf(gl_front_and_back, GL_SHININESS, plasticexponent); glpushmatrix(); glscalef(torsowidth, torsoheight, torsowidth); glutsolidcube(1.0); glpopmatrix(); void movetorso(float Wx, float Wy, float Wz, float Tx, float Ty, float Tz) { glmatrixmode(gl_modelview); glpushmatrix(); glloadidentity(); glrotatef(wx, 1.0, 0.0, 0.0); glrotatef(wy, 0.0, 1.0, 0.0); glrotatef(wz, 0.0, 0.0, 1.0); gltranslatef(tx, torsoheight+ty, Tz); glgetfloatv(gl_modelview_matrix, torso.m); glpopmatrix(); void drawbein() { float beinheight = 0.6, beinradius = 0.2; glmatrixmode(gl_modelview); glmaterialfv(gl_front_and_back, GL_AMBIENT, plasticambientcolor); glmaterialfv(gl_front_and_back, GL_DIFFUSE, plasticcolor); glmaterialfv(gl_front_and_back, GL_SPECULAR, plastichighlight); glmaterialf(gl_front_and_back, GL_SHININESS, plasticexponent); glpushmatrix(); glscalef(beinwidth, beinheight, beinwidth); glutsolidcube(1.0); glpopmatrix(); void movebein(float trans) { glmatrixmode(gl_modelview); glpushmatrix(); glloadidentity(); gltranslatef(0.0, -beinheight + trans, 0.0); glgetfloatv(gl_modelview_matrix, bein.m); glpopmatrix(); void drawfuss() { glmatrixmode(gl_modelview); glmaterialfv(gl_front_and_back, GL_AMBIENT, plasticambientcolor); glmaterialfv(gl_front_and_back, GL_DIFFUSE, plasticcolor); glmaterialfv(gl_front_and_back, GL_SPECULAR, plastichighlight); glmaterialf(gl_front_and_back, GL_SHININESS, plasticexponent); glpushmatrix();

17 2 Grundlegende Verfahren und Techniken 12 glscalef(fusswidth, fussheight, fusswidth); glutsolidcube(1.0); glpopmatrix(); void movefuss(float trans) { glmatrixmode(gl_modelview); glpushmatrix(); glloadidentity(); gltranslatef(0, -fussheight/2.0-beinheight/2.0+trans, 0); glgetfloatv(gl_modelview_matrix, fuss.m); glpopmatrix(); void drawkopf() { glmatrixmode(gl_modelview); glmaterialfv(gl_front_and_back, GL_AMBIENT, chromeambientcolor); glmaterialfv(gl_front_and_back, GL_DIFFUSE, chromecolor); glmaterialfv(gl_front_and_back, GL_SPECULAR, chromehighlight); glmaterialf(gl_front_and_back, GL_SHININESS, chromeexponent); glpushmatrix(); glscalef(kopfwidth, kopfwidth, kopfwidth); glcolor3f(0.4, 0.0, 0.0); glutsolidcube(1.0); glpopmatrix(); void movekopf(float rot) { glmatrixmode(gl_modelview); glpushmatrix(); glloadidentity(); gltranslatef(0, (torsoheight+kopfwidth)/2.0, 0); glrotatef(rot, 0.0, 1.0, 0.0); glgetfloatv(gl_modelview_matrix, kopf.m); glpopmatrix(); void drawarm() { glmatrixmode(gl_modelview); glmaterialfv(gl_front_and_back, GL_AMBIENT, chromeambientcolor); glmaterialfv(gl_front_and_back, GL_DIFFUSE, chromecolor); glmaterialfv(gl_front_and_back, GL_SPECULAR, chromehighlight); glmaterialf(gl_front_and_back, GL_SHININESS, chromeexponent); glpushmatrix(); glscalef(armwidth, armlength, armwidth); glcolor3f(0.4, 0.0, 0.0); glutsolidcube(1.0); glpopmatrix(); void movelarm(float rot) { glmatrixmode(gl_modelview);

18 2 Grundlegende Verfahren und Techniken 13 glpushmatrix(); glloadidentity(); // Zuerst den Schwerpunkt des Arms an die Schulter, dann // drehen und dann Arm richtig positionieren! gltranslatef(-(torsowidth+armwidth)/2.0,torsoheight/2.0,0.0); glrotatef(-rot, 1.0, 0.0, 0.0); gltranslatef(0.0, -armlength/2.0, 0.0); glgetfloatv(gl_modelview_matrix, larm.m); glpopmatrix(); void moverarm(float rot) { glmatrixmode(gl_modelview); glpushmatrix(); glloadidentity(); // Zuerst den Schwerpunkt des Arms an die Schulter, dann // drehen und dann Arm richtig positionieren! gltranslatef((torsowidth+armwidth)/2.0, torsoheight/2.0,0.0); glrotatef(rot, 1.0, 0.0, 0.0); gltranslatef(0.0, -armlength/2.0, 0.0); glgetfloatv(gl_modelview_matrix, rarm.m); glpopmatrix(); void drawdaumen() { glmatrixmode(gl_modelview); glmaterialfv(gl_front_and_back, GL_AMBIENT, plasticambientcolor); glmaterialfv(gl_front_and_back, GL_DIFFUSE, plasticcolor); glmaterialfv(gl_front_and_back, GL_SPECULAR, plastichighlight); glmaterialf(gl_front_and_back, GL_SHININESS, plasticexponent); glpushmatrix(); glscalef(daumenwidth, daumenlength, daumenwidth); glcolor3f(0.0, 0.8, 0.0); glutsolidcube(1.0); glpopmatrix(); void moveldaumen(float trans) { glmatrixmode(gl_modelview); glpushmatrix(); glloadidentity(); gltranslatef(-(armwidth-daumenwidth)/2.0, -(armlength+daumenlength)/2.0, 0.0); glgetfloatv(gl_modelview_matrix, ldaumen.m); glpopmatrix(); void moverdaumen(float trans) { glmatrixmode(gl_modelview); glpushmatrix(); glloadidentity(); gltranslatef((armwidth-daumenwidth)/2.0, -(armlength+daumenlength)/2.0, 0.0);

19 2 Grundlegende Verfahren und Techniken 14 glgetfloatv(gl_modelview_matrix, rdaumen.m); glpopmatrix(); 4. Verändern Sie Ihren Code für das Sonnensystem so, dass Sie einen Szenengraphen und Pre- Order Traversal verwenden, um die Hierarchie zu implementieren! Hier ein Auszug aus dem Quelltext der Lösung. Bei den Downloads zu diesem Kapitel finden Sie die komplette Lösung! // Den Szenengraphen anlegen void solarsystem(void) { sun.draw = drawsun; sun.sibling = 0; sun.child = &earth; movesun(); earth.draw = drawearth; earth.sibling = 0; earth.child = &moon; moveearth(); moon.draw = drawmoon; moon.sibling = 0; moon.child = 0; movemoon(); void drawsun() { glmatrixmode(gl_modelview); glcolor3fv(suncolor); glpushmatrix(); glutwiresphere(sunradius, 20, 16); glpopmatrix(); void movesun() { glmatrixmode(gl_modelview); glpushmatrix(); glloadidentity(); glgetfloatv(gl_modelview_matrix, sun.m); glpopmatrix(); void drawearth() { glcolor3fv(earthcolor); glmatrixmode(gl_modelview); glpushmatrix(); glutwiresphere(earthradius, 20, 16); glpopmatrix(); void moveearth(void) { glmatrixmode(gl_modelview);

20 2 Grundlegende Verfahren und Techniken 15 glcolor3fv(earthcolor); glpushmatrix(); glloadidentity(); glrotatef( (GLfloat) year, 0.0, 1.0, 0.0); gltranslatef( orbit, 0.0, 0.0); glrotatef( (GLfloat) day, 0.0, 1.0, 0.0); glgetfloatv(gl_modelview_matrix, earth.m); glpopmatrix(); void drawmoon() { glmatrixmode(gl_modelview); glcolor3fv(mooncolor); glpushmatrix(); glutwiresphere(moonradius, 20, 16); glpopmatrix(); void movemoon(void) { glmatrixmode(gl_modelview); glpushmatrix(); glloadidentity(); // Die Transformation für die Tagesdrehung der Erde // aus der Transformationsmatrix für den Mond wieder herausnehmen! glrotatef(-(glfloat) day, 0.0, 1.0, 0.0); // Jetzt die Transformationen für den Mond glrotatef(-(glfloat) month, 0.0, 1.0, 0.0); gltranslatef(moonorbit, 0.0, 0.0); glgetfloatv(gl_modelview_matrix, moon.m); glpopmatrix(); void init(void) { /* Hintergrundfarb-Anteile in RGBA, Default ist weisser Hintergrund */ glclearcolor(0.0, 0.0, 0.0, 1.0); // OpenGL initialisieren: z-buffer; glenable(gl_depth_test); glcullface(gl_back); glenable(gl_cull_face); glclear(gl_color_buffer_bit GL_DEPTH_BUFFER_BIT); about(); // Den Graphen aufbauen solarsystem(); /* display-callback für GLUT */ void display(void) { glclear(gl_color_buffer_bit GL_DEPTH_BUFFER_BIT);

21 2 Grundlegende Verfahren und Techniken 16 glmatrixmode(gl_modelview); glloadidentity(); glulookat(0.0, 10.0, 15.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0); scenegraphtraversal(&sun); glutswapbuffers(); Hierarchien in VRML und Alias MAYA 1. Vervollständigen Sie den VRML97-Quelltext für das Robotermodell und testen Sie die Datei. Verändern Sie dabei insbesondere manuell die Winkel des Schultergelenks, und überprüfen Sie die Korrektheit der Hierarchie! Die WRL-Datei zum Ansehen finden Sie bei den Downloads zu diesem Kapitel. #VRML V2.0 utf8 WorldInfo { title "Ein Roboter in VRML97" info ["Copyright (c) 2005 Manfred Brill", "Visualisierungslabor der FH Kaiserslautern", "Computergrafik - Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch, 2. Auflage", "Published by Hanser" "All rights reserved" ] # Examine NavigationInfo { type "EXAMINE" DEF Kamera1 Viewpoint { fieldofview 0.4 position orientation DEF Kamera2 Viewpoint { fieldofview 0.4 position orientation # Boden DEF Boden Transform { translation children Shape { geometry Box { size appearance Appearance {material Material {diffusecolor # Der Roboter DEF Roboter Transform { # Die globalen Positionsparameter des Roboters translation 0 0 0

22 2 Grundlegende Verfahren und Techniken 17 rotation children [ # Torso DEF Torso Transform { translation children Shape { geometry Box { size appearance Appearance { material Material {diffusecolor # Bein DEF Bein Transform { translation # Freiheitsgrad Translation in y-richtung; # Ruhestellung y=0.3 children [ # Der Schenkel DEF Schenkel Transform { children Shape { geometry Cylinder { height 0.6 radius 0.1 appearance Appearance { material Material {diffusecolor # Fuss ] DEF Fuss Transform { translation # Kopf DEF Kopf Transform { translation rotation # Kein Freiheitsgrad, # Modellierparameter children Shape {geometry Box {size appearance Appearance { material Material {diffusecolor # Freiheitsgrad der Rotations des Kopfes # um die y-achse children Shape {geometry Box { size appearance Appearance { material Material {diffusecolor # Linker Arm DEF ArmLinks Transform { center translation rotation # Freiheitsgrad: Rotation um die x-achse. children [ # Der Arm DEF UnterArmLinks Transform { children Shape {geometry Box

23 2 Grundlegende Verfahren und Techniken 18 ] {size appearance Appearance {material Material {diffusecolor # Der Daumen DEF DaumenLinks Transform { translation children Shape { geometry Box {size appearance Appearance {material Material {diffusecolor # Der linke bewegliche Finger DEF FingerLinks Transform { translation # Freiheitsgrad: # Verschiebung in x children Shape { geometry Box {size appearance Appearance {material Material { diffusecolor # Rechter Arm DEF ArmRechts Transform { center translation rotation # Freiheitsgrad: # Rotation um die x-achse. children [ # Der Arm DEF UnterArmRechts Transform { children Shape {geometry Box {size appearance Appearance {material Material {diffusecolor # Der rechte bewegliche Finger DEF FingerRechts Transform { translation # Freiheitsgrad: # Verschiebung in x # Der rechte Daumen children Shape { geometry Box {size appearance Appearance {material Material {diffusecolor

24 2 Grundlegende Verfahren und Techniken 19 ] ] DEF DaumenRechts Transform { translation # children Shape { geometry Box {size appearance Appearance {material Material {diffusecolor Erstellen Sie ein Modell des Roboters in der Alias MAYA PLE! Testen Sie insbesondere die Korrektheit der Hierarchie, indem Sie verschiedene Körperteile auswählen und transformieren! Die PLE-Datei finden Sie bei den Downloads zu diesem Kapitel! Die virtuelle Kamera in OpenGL 1. Erstellen Sie ein Programm, das mit der Funktion glutwirecube einen Würfel ausgibt. Stellen Sie die Kamera so ein, dass die Abbildungen mit Orthogonal- und Zentralprojektionen aus Abschnitt 2.2 reproduziert werden! Die Orthogonalprojektionen erhält man durch glortho und einer entsprechenden Positionierung des Objekts, entweder durch gltranslatef, glrotatef oder durch glulookat. Die Abbildung 2.23 wird reproduziert durch void view(void) { // Kameratransformation glmatrixmode(gl_modelview); glloadidentity(); glulookat(4.0, 4.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0); und glmatrixmode(gl_projection); glortho(-2.0, 2.0, -2.0, 2.0, 0.5, 20.0); In Abbildung 2.7 sehen Sie eine entsprechende Ausgabe, die den Abbildungen 2.23 und 2.24 im Buch entsprechen. Auch die Bilder zur Zentralperspektive können analog mit gluperspective und entsprechenden Drehungen (für Zwei- und Dreipunktperspektive) erzeugt werden. In Abbildung 2.8 sehen Sie die Ein- und die Zweipunktperspektive aus dem Buch. Bei den Downloads zu diesem Kapitel finden Sie alle Quelltexte. 2. Erstellen Sie ein Programm, das mit der Funktion glutwirecube einen Würfel ausgibt. Stellen Sie die Kamera so ein, dass die schiefwinkligen Projektionen aus Abschnitt 2.2 reproduziert werden!

25 2 Grundlegende Verfahren und Techniken 20 Abbildung 2.7: OpenGL-Ausgabe analog zu den Abbildungen 2.23 und 2.24 Abbildung 2.8: OpenGL-Ausgabe analog zu den Abbildungen 2.31 und 2.33 Schiefwinklige Projektionen können in OpenGL nicht direkt erzeugt werden. Der Scherungsanteil in der dritten Spalte 1 0 cos(α) 0 tan(β) 0 1 sin(α) 0 tan(β) sin(β) muss manuell in die PROJECTION-Matrix geladen werden. Das kann man mit dem folgenden Quelltext durchführen: int i; float m[16]; glmatrixmode(gl_projection); glortho(-2.0, 2.0, -2.0, 2.0, 0.1, 20.0); // Scherung laden! for (i=0; i<16; i++) m[i] = (i%5 ==0)? 1.0 : 0.0; // Einheitsmatrix // Scherungsanteil manuell setzen

26 2 Grundlegende Verfahren und Techniken 21 float alpha = 0.785; //float alpha = ; m[8] = -0.5 * cos(alpha); m[9] = -0.5 * sin(alpha); glmultmatrixf(m); Für die verschiedenen Winkelwerte für alpha und beta können dann beliebige Kavalier- und Kabinettprojektionen reproduziert werden. In Abbildung 2.9 sehen Sie zwei Kavalier- und Kabinett-Projektionen aus Abbildung 2.26 und 2.27 in OpenGL. Abbildung 2.9: Kavalier- und Kabinettprojektionen in OpenGL 3. Erstellen Sie eine Funktion pilotview in OpenGL, die eine Sicht eines Piloten oder Fahrers in einem Simulator unterstützen soll. Die Funktion soll folgende Eingaben besitzen: die Position des Piloten und die drei Winkel Gierungs-, Neigungs- und Rollwinkel. Der Rollwinkel entspricht der Rotation um die z-achse, falls das Flugzeug wie in Abbildung 2.10 orientiert ist; der Neigungswinkel ist die Rotation um die x-achse. Testen Sie Ihre Funktion, indem Sie die Winkel interaktiv verändern! Abbildung 2.10: Ein Flugzeugmodell und seine Orientierung Die in der Aufgabenstellung beschriebenen Größen müssen im lokalen Koordinatensystem des Flugzeugs interpretiert werden, das auch in Abbildung 2.10 dargestellt wurde. Die Sichtrichtung des Piloten ist zu Beginn des Programms identisch mit der Default-Sichtrichtung in OpenGL wenn die Defaultanordnung des Flugzeugs so ist, dass der Pilot entlang der negativen z-achse schaut. Dadurch ergeben sich die Vorzeichen in den im Quelltext angegebenen Rotationen das sollten Sie sich unbedingt klar machen.

27 2 Grundlegende Verfahren und Techniken 22 Die Position des Flugzeugs ist auf den Variablen DRIVE_X, DRIVE_Y und DRIVE_Z abgelegt. // Es wird davon ausgegangen, dass die Projektionsmatrix (Orthogonal- oder // Zentralprojektion) bereits richtig eingestellt ist! void pilot(void) { glmatrixmode(gl_modelview); glloadidentity(); glrotatef(roll, 0.0, 0.0, 1.0); glrotatef(gierung, 0.0, 1.0, 0.0); glrotatef(neigung, 1.0, 0.0, 0.0); gltranslatef(-drive_x, -DRIVE_Y, -DRIVE_Z); So weit, so gut. Diese Lösung haben Sie sicher auch im red book gefunden. Wenn Sie jetzt eine Taste mit Vorwärts-Fahren belegen und entsprechend die z-koordinate DRIVE_Z verändern, dann erwarten Sie sicher, dass wir in die Blickrichtung fliegen. Dies passiert aber, ohne dass wir den Code weiter verändern, nicht. Die z-koordinate der Flugzeugposition ist zwar richtig - aber Sie bewegen sich in Richtung der Weltkoordinatenachsen. Die Veränderung der Flugzeugposition verläuft aber entlang der lokalen Koordinaten des Flugzeugs! Die Situation eines aus der z-achse gedrehten Flugzeugs in der xz-ebene sehen Sie in den Abbildungen 2.11 und x x z Abbildung 2.11: Bewegung entlang der Weltkoordinatenachsen z Abbildung 2.12: Bewegung entlang der lokalen Achsen des Flugzeugs In Abbildung 2.11 wird das Flugzeug entlang der z-achse nach Vorne bewegt. Richtig ist die Bewegung in Abbildung 2.12; die Bewegung muss entlang der lokalen z-achse des Flugzeugs erfolgen. Fragt sich, wie man möglichst schnell bei einer Bewegung nach Vorne diese lokale z-achse berechnen kann. Ist das Flugzeug zu Beginn so aufgestellt, dass die positive Fahrtrichtung mit der OpenGL-Sichtrichtung entlang der negativen z-achse übereinstimmt, dann könnten Sie alle Rotationen protokollieren und auf den Vektor (0, 0, 1) T anwenden. Hier kommt wieder das Konzept der Current Transformation Matrix CTM ins Spiel. Das Bild der z-achse unter allen Rotationen, die durchgeführt wurden, steht auf der dritten Spalte der aktuellen CTM. Diese fragen wir ab und verwenden diese, um nach Vorne und Zurück zu fahren: void driveforward(void) { GLfloat m[16]; glmatrixmode(gl_modelview); glpushmatrix(); glloadidentity(), glrotatef(-roll, 0.0, 0.0, 1.0); glrotatef(-gierung, 0.0, 1.0, 0.0); glrotatef(-neigung, 1.0, 0.0, 0.0); // Die CTM abgefragen glgetfloatv(gl_modelview_matrix, m); glpopmatrix();

28 2 Grundlegende Verfahren und Techniken 23 // Die gesuchte Fahrtrichtung ist die negierte dritte // Spalte der Matrix m. // Faktor MOVE verwenden, um die "Geschwindigkeit" etwas abzubremsen; // dieser kann ebenfalls interaktiv verändert werden, um ein // "Gaspedal" zu realisieren. DRIVE_X -= MOVE*m[8]; DRIVE_Y -= MOVE*m[9]; DRIVE_Z -= MOVE*m[10]; void drivebackward(void) { GLfloat m[16]; glmatrixmode(gl_modelview); glpushmatrix(); glloadidentity(), glrotatef(-roll, 0.0, 0.0, 1.0); glrotatef(-gierung, 0.0, 1.0, 0.0); glrotatef(-neigung, 1.0, 0.0, 0.0); // Die CTM abgefragen glgetfloatv(gl_modelview_matrix, m); glpopmatrix(); // Die gesuchte Fahrtrichtung ist die negierte dritte Spalte // der Matrix m. DRIVE_X += MOVE*m[8]; DRIVE_Y += MOVE*m[9]; DRIVE_Z += MOVE*m[10]; Die Rechenarbeit macht also die Grafik-Pipeline. Ist diese zu langsam, was unwahrscheinlich ist, können Sie die Berechnung natürlich auch per Software mit Matrixarithmetik ausführen. Ganz wichtig ist, dass Sie die Berechnung in glpushmatrix() und glpopmatrix() einklammern Sie wollen die Bewegung ja nicht wirklich durchführen, sondern nur das Berechnungsergebnis verwenden. 4. Erstellen Sie eine Funktion examine in OpenGL, die eine Sichtdefinition für einen Betrachter realisiert, der sich immer um ein Objekt bewegt. Der Blickpunkt soll dabei immer im Objektzentrum liegen und der Augpunkt eine gegebene Distanz von diesem Zentrum haben. Testen Sie Ihre Funktion, indem Sie ein Objekt im Ursprung ausgeben und die Winkel und den Abstand des Betrachters vom Ursprung interaktiv verändern! Die Lage der Kamera für ein im Ursprung fixiertes Objekt kann durch Kugelkoordinaten beschrieben werden. Dazu werden die globalen Variablen RADIUS, AZIMUTH und ELEVATION und entsprechende Inkremente eingeführt. Als Default wird die OpenGL-Sicht entlang der negativen z-achse aus einer Distanz von 5 Einheiten eingestellt. examine realisiert alle Transformationen im MODELVIEW-Stack; der PROJECTION-Stack dient ausschließlich zur Einstellung von Parallel- bzw. Zentralprojektion. Denken Sie bei der Interpretation des folgenden Quelltexts an die Reihenfolge der Transformationen! // Es wird davon ausgegangen, dass die Projektionsmatrix (Orthogonal- oder // Zentralprojektion) bereits richtig eingestellt ist! void examine(void) { glmatrixmode(gl_modelview); glloadidentity(); gltranslatef(0.0, 0.0, -RADIUS);

29 2 Grundlegende Verfahren und Techniken 24 glrotatef(-elevation, 1.0, 0.0, 0.0); glrotatef(azimuth, 0.0, 1.0, 0.0); Clipping in OpenGL 1. Modifizieren Sie das vorgegebene Programm so, dass es möglich ist, eine Clipping-Ebene nicht nur frei im Raum zu bewegen, sondern auch an allen drei Koordinatenachsen zu drehen! Verwenden Sie hierzu Euler-Winkel. Die Verschiebung und Drehung sollen interaktiv über die Tastatur gesteuert werden können! Ein entsprechendes Beispielprogramm finden Sie in den Quellcodes zu dieser Fallstudie.

30 Kapitel 3 Geometrisches Modellieren mit Kurven und Flächen 3.2 Parameterkurven 1. Skizzieren Sie den Verlauf der Kurve (t, 0) 0 t < 1, K(t) = (1, 0) + (t 1)( 1 2, 3 2 ) 1 t < 2,. ( 2 1, 3 2 ) + (t 2)( 2 1, 3 2 ) 2 t < 3 Alle Kurvenstücke sind linear; als Bild ergibt sich Abbildung 3.1. Abbildung 3.1: Die Lösung für Aufgabe 1 2. Weisen Sie nach, dass die Kurve x(t) = a 1 t t, y(t) = 2a 1 + t 1 + t einen Teil eines Kreises realisiert, falls als Parameterintervall [0, ) verwendet wird! Wo liegt der Mittelpunkt dieses Kreises, wie groß ist der Radius? Die Punkte (x(t), y(t)) liegen alle auf einem Kreis; denn es ist x(t) 2 + y(t) 2 = a 2 (1 t)2 (1 + t) 2 + 4a2 t (1 + t) 2 = a2 2ta 2 + t 2 a 2 + 4a 2 t (1 + t) 2 = a 2.

31 3 Geometrisches Modellieren mit Kurven und Flächen 26 Dann ist auch klar, dass der Ursprung der Mittelpunkt ist, der Radius ist a. Für t = 0 erhält man den Punkt (a, 0); die Grenzwerte für t sind gegeben als lim a 1 t t = a, lim t 1 + t 2a t 1 + t = 0. Dann stellt die gegebenen Kurve einen Halbkreis dar, beginnend bei (a, 0); asymptotisch bis ( a, 0); dieser Punkt wird allerdings nie erreicht. 3. Skizzieren Sie den Verlauf der Kurve, die durch r = 1 + cos (t), ϕ = t, t [0, 2π) gegeben ist! Bestimmen Sie die Bogenlänge! Die Lösung ist die sogenannte Kardioide in Abbildung 3.2. Die Kardioide ist der geometrische Ort, der von einem Punkt eines Kreises von Radius 2a beschrieben wird, der ohne zu gleiten auf einem anderen Kreis vom Radius 2a rollt. In der Aufgabe war a = 2 1. Als Bogenlänge ergibt das Integral den Wert Abbildung 3.2: Die Kardioide als Lösung von Aufgabe 3 4. Berechnen Sie die Tangenten an eine Ellipse für t = 0, 4 π, 2 π, π. Skizzieren Sie die Ellipse, die Tangenten und die entsprechenden Normalenvektoren! Die Tangenten für eine Ellipse mit den Radien R 1, R 2 sind gegeben durch ( 0 t 0 = R 2 ), t π 4 = 1 2 ( ) R1 2, t π R 2 2 = ( ) ( ) R1 0, t 0 π =. R 2 Die Skizze sehen Sie in Abbildung 3.3. Abbildung 3.3: Die Ellipse, Tangenten und Normalen als Lösung von Aufgabe 4 5. Skizzieren Sie den Verlauf der Kurve K(t) = (sin t, sin t cos t), t [0, 2π]. Tragen Sie für t = 0, π 2, π, 3π 2, 2π die Tangenten und Normalen auf! Bestimmen Sie die Krümmung κ 2 und die Bogenlänge!

32 3 Geometrisches Modellieren mit Kurven und Flächen 27 Die Lösung ist die sogenannte Lemniskate von Gerono; die Skizze sehen Sie in Abbildung 3.4. Die Krümmung κ 2 ist gegeben durch ( ) κ 2 (t) = 4 cos2 t sin t + sin t cos 2 t sin 2 t ). (cos 2 t + (cos 2 t sin 2 3 t) 2 2 Abbildung 3.5 zeigt den Verlauf der Krümmung. Die Bogenlänge ist durch das Integral gegeben als 6, Abbildung 3.4: Die Lemniskate von Gerono als Lösung der Aufgabe 5 Abbildung 3.5: Die Krümmung κ 2 Lemniskate von Gerono in Aufgabe 5. der Die Tangenten und Normalen finden Sie in der Abbildung 3.4 und in Tabelle 3.1. Tabelle 3.1: Die unnormalisierten Tangenten und Normalen an die Lemniskate in Aufgabe 5 Parameterwerte t ( = ) 0 t ( = 2 π ) ( t = π ) t ( = 3π ) 2 ( t = ) 2π Tangenten ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) Normalen Die Ellipse in Abbildung 3.3, der Lösung von Aufgabe 4, ist gegeben als der geometrische Ort der Punkte, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Brennpunkten F 1 und F 2 konstant ist. Die Lemniskate von Bernoulli ist gegeben als geometrischer Ort aller Punkte, für die das Produkt der Abstände zu den Brennpunkten konstant ist. Allgemein ist eine Lemniskate von Bernoulli gegeben durch die Parameterdarstellung ( ) a cos t a sin t cos t K a (t) =, 1 + sin t2 1 + sin t 2. Dabei liegen die beiden Brennpunkte dann in (±a 2, 0). 6. Bestimmen Sie das Frenet sche Bezugssystem für die logarithmische Spirale K(t) = aebt cos t ae bt sin t! ct Eine grafische Darstellung der logarithmischen Spirale (ae bt cos t, ae bt sin t) sehen Sie in Ab-

33 3 Geometrisches Modellieren mit Kurven und Flächen 28 Abbildung 3.6: Die logarithmische Spirale im Parameterintervall [0; 6π] für Aufgabe 6 Abbildung 3.7: Die Schraubenlinie für die logarithmische Spirale im Parameterintervall [0; 6π] für Aufgabe 6 bildung 3.6; die Schraubenlinie darüber ist durch (ae bt cos t, ae bt sin t, ct) gegeben; ihr Bild finden Sie in Abbildung 3.7. Für das Frenet sche Bezugssystem ergibt sich: 1 v(t) = aebt (b cos t sin t) c 2 + a 2 (1 + b 2 )e 2bt ae bt (cos t + b sin t), c c(2b cos t + (b 1 2 1) sin t) b(t) = (1 + b) c((b 2 1) cos t 2b sin t), c 2 + a 2 e 2bt a(1 + b 2 )e bt n(t) = b v. 3.3 Polynomiale Kurven 1. Welcher Kegelschnitt ist durch die implizite Darstellung x 2 + 2xy + y 2 + 3x 6y + 7 = 0 gegeben? Skizzieren Sie den Kurvenverlauf! Die Kurve ist eine Parabel, denn die Diskriminante ist Null. In Abbildung 3.8 finden Sie eine Skizze. 2. Rechnen Sie nach, dass die rationalen quadratischen Polynome wirklich eine affine Kombination der Kontrollpunkte darstellen! Die Formel kann geschrieben werden als 3 i=1 λ ip i, dabei sind die Koeffizienten gegeben durch λ 1 = λ 2 = λ 3 = Diese addieren sich offensichtlich zu 1 auf. (1 t) 2 (1 t) 2 + 2wt(1 t) + t 2, 2wt(1 t) (1 t) 2 + 2wt(1 t) + t 2, t 2 (1 t) 2 + 2wt(1 t) + t 2.

34 3 Geometrisches Modellieren mit Kurven und Flächen 29 Abbildung 3.8: Der Kegelschnitt für Aufgabe 1 3. Der Kreis kann als rationale Kurve mit den Kontrollpunkten P 0, P 1 und P 2 als Parameterkurve dargestellt werden; dabei ist das Gewicht w = cos 60, dem Innenwinkel eines gleichwinkligen Dreiecks, wie in Abbildung 3.9. Positionieren Sie die Kontrollpunkte wie in Abbildung 3.9. Insgesamt erhalten Sie drei Kreissegmente. Skizzieren Sie den Kurvenverlauf für jeweils 5 Punkte pro Segment. Vergleichen Sie diese Darstellung mit der Parameterdarstellung mit Hilfe von trigonometrischen Funktionen! P 1 P 0 P 2 Abbildung 3.9: Gleichwinkliges Dreieck und Inkreis Das Gewicht ist für alle drei Kurvenstücke immer w = cos 60 = 0, 5. Die Segmente ergeben sich durch die folgenden Kontrollpunkte: P 0, D 2 und P 2, erstreckt sich von P 0 bis P 2 ; P 2, D 1 und P 1, erstreckt sich von P 2 bis P 1 ; P 1, D 0 und P 0, erstreckt sich von P 1 bis P 0. Für das Dreieck ist jedes gleichwinklige Dreieck zu verwenden. Eine mögliche Wahl für das Dreieck ist D 0 = (0, 0), D 1 = (1, 0) und D 2 = ( 1 2, 3 2 ). Wenn Sie an den Punkten P i jeweils die Tangenten und Krümmungen bestimmen, dann erkennen Sie, dass der mit den rationalen Polynomen dargestellte Kreis nur C 1 - bzw. G 1 -stetig ist. Und er ist nicht nach seiner Bogenlänge parametrisiert! Eine grafische Darstellung der Kurve mit den Kontrollpunkten finden Sie in Abbildung 3.10 auf Seite Wie viele Multiplikationen benötigt die Auswertung eines Polynoms p(x) vom Grad m in Monom-Darstellung, d. h. p(x) = m i=0 a i M i (x), a i R, t [a, b]? Wie viele Multiplikationen benötigt man bei Anwendung des Horner-Schemas?

35 3 Geometrisches Modellieren mit Kurven und Flächen 30 D 2 P 0 P 2 D 0 P 1 D 1 Abbildung 3.10: Der Kreis als rationale Kurve in Aufgabe 3 mit den Kontrollpunkten Monom-Darstellung: m 1 Multiplikationen für die Berechnung der Potenzen und m Multiplikationen für die Berechnung der Summanden; insgesamt damit 2m 1 Multiplikationen (m > 0). Horner-Schema: m Multiplikationen. 3.4 Bézier-Kurven und -Kurvensegmente 1. Zeigen Sie, wie die Darstellung eines Bernstein-Polynoms B m i (t) über dem Intervall t [0, 1] mittels der affinen Parameter-Transformation s = a +(b a)t in die Darstellung eines Bernstein- Polynoms B m i (s) über dem Intervall s [a, b] übergeht! Es gilt s = a + (b a)t, also t = s a b a. Weiterhin ist Bm i (t) = ( m i )ti (1 t) m i. Deshalb gilt was zu zeigen war. B i m (s) = Bi m (t) = Bi m ( s a b a ) ( ) ( ) m s a i ( = 1 s a ) m i i b a b a ( ) ( ) m s a i ( ) b s m i = i b a b a ( ) m (s a) i (b s) = m i i (b a) i (b a) ( ) m i 1 m = (b a) m (s a) i (b s) m i, i 2. Zeigen Sie die Eigenschaften 2 und 6 der Bernstein-Polynome! Eigenschaft 2: Die Bernstein-Polynome bilden eine Teilung der Eins, d. h. für alle t [a, b] gilt m i=0 Bm i (t) = 1. Die binomische Reihe lautet (a + b) n = n i=0 ( ) n a i b n i. i

36 3 Geometrisches Modellieren mit Kurven und Flächen 31 Damit gilt m Bi m (t) = i=0 = m i=0 1 (b a) m 1 (b a) m m i=0 ( m i ( m i 1 = (b a)m (b a) m = 1. ) (t a) i (b t) m i ) (t a) i (b t) m i Eigenschaft 6: Ein Bernstein-Polynom vom Grad m lässt sich als Konvex-Kombination von Bernstein-Polynomen vom Grad m 1 darstellen. Für das Intervall [0, 1] ist Bi m (t) = t B m 1 i 1 (t) + (1 t) Bm 1 i (t) zu zeigen. Für den Binomialkoeffizienten gilt ( ) n + 1 = k ( ) n + k 1 Damit ist ( ) m Bi m (t) = t i (1 t) m i i {( ) ( ) m 1 m 1 = + t i (1 t) m i i i 1 ( ) ( m 1 m 1 = t i (1 t) m i + i i 1 ( ) m 1 = (t 1) t i (1 t) (m 1) i + t i = (t 1) B m 1 i (t) + t B m 1 i 1 (t). ( ) n k ) t i (1 t) m i ( ) m 1 t i 1 (1 t) (m 1) (i 1) i 1 3. Zeigen Sie die Ableitungsformel (Eigenschaft 7) der Bernstein-Polynome über dem Intervall [a, b] für j = 1, 2!

37 3 Geometrisches Modellieren mit Kurven und Flächen 32 Erste Ableitung, j = 1: Per Hand (Produktregel, Kettenregel) folgt d dt Bm i (t) = d { ( 1 m )(t dt (b a) m a) i (b t) m i i ( ) 1 m d = {(t (b a) m a) i (b t) m i i dt 1 m! = (b a) m (m i)!i! {i(t a)i 1 (b t) m i = = = = Für j = 1 folgt per Formel: d j dt j Bm i (t) = +(t a) i (m i)(b t) m i 1 ( 1) 1 m(m 1)! (b a) m (m i)!(i 1)! (t a)i 1 (b t) (m 1) (i 1) 1 m(m 1)! (b a) m (m i 1)!i! (t a)i (b t) m i 1 m (b a) m { (m 1)! (m i)!(i 1)! (t a)i 1 (b t) (m 1) (i 1) (m 1)! (m 1 i)!i! (t a)i (b t) m i 1 ( ) m (b a) { 1 m 1 (b a) m 1 (t a) i 1 (b t) (m 1) (i 1) i 1 ( ) 1 m 1 (b a) m 1 (t a) i (b t) m 1 i i m (b a) {Bm 1 i 1 1 (b a) j m! (m j)! 1 m! (b a) 1 (t) Bm 1 i (t). j l=0( 1) l( ) j B m j l i j+l (t) 1 (m 1)! l=0( 1) l( 1 l ( ) m 1 b a {( 1)0 0 m b a {Bm 1 i 1 (t) Bm 1 i (t) Zweite Ableitung, j = 2: d dt B m i (t) erneut nach t ableiten. ) B m 1 i 1+l (t) B m 1 i 1+0 (t) + ( 1)1 ( 1 1 ) B m 1 i 1+1 (t) 4. Verifizieren Sie die Umschreibung der Darstellung unseres numerischen Beispiels von Monom-Basis in Bernstein-Basis mittels der in Eigenschaft 8 der Bernstein-Polynome erläuterten Basistransformation! Wir müssen die Koeffizienten der Monombasis in die Koeffizienten der Bernstein-Basis umrechnen. Dies rechnen wir für unser numerisches Beispiel separat für die x- und die y-koordinaten. Dabei gilt (b 0, b 1, b 2, b 3 ) = (a 0, a 1, a 2, a 3 ) A 1 mit A 1 = 0 1/3 2/ /

38 3 Geometrisches Modellieren mit Kurven und Flächen 33 x-koordinaten: y-koordinaten: (b 0, b 1, b 2, b 3 ) = (0, 6, 13.5, 8.5) 0 1/3 2/ / = (0, 2, 8.5, 11) (b 0, b 1, b 2, b 3 ) = (0, 13.5, 7.5, 4) 0 1/3 2/ / = (0, 4.5, 6.5, 2) 5. Verifizieren Sie die Formel für die erste Ableitung eines Bézier-Kurvensegments auf dem Intervall [0, 1] nach dem Parameter t! Zu zeigen ist: Es ist d dt K(t) = = = d dt m i=0 m i=0 { m m 1 d dt K(t) = m (b i+1 b i ) B m 1 i (t). b i Bi m (t) i=0 b i d dt Bm i (t) mb i {B m 1 i 1 i=0 (t) Bm 1 i (t) = m{ b 0 B0 m 1 (t) + b 1 B0 m 1 (t) b 1 B1 m 1 (t) + b 2 B1 m 1 (t) b 2 B2 m 1 (t) b m 1 Bm 2 m 1(t) b m 1Bm 1 m 1(t) + b mbm 1 m 1(t) = m{(b 1 b 0 )B0 m 1 (t) + (b 2 b 1 )B1 m 1 (t) (b m b m 1 )Bm 1 m 1(t) m 1 = m i=0 (b i+1 b i ) B m 1 i (t). 6. Rechnen Sie die drei Folgerungen aus der Beziehung für die höheren Ableitungen eines Bézier- Kurvensegments nach! Folgerung 1: Die p-ten Ableitungen in den Endpunkten K(a) bzw. K(b) des Bézier-Segments hängen nur von den Kontrollpunkten b 0,..., b p bzw. b m p,..., b m ab. Wir betrachten exemplarisch den Anfangspunkt K(a). Es gilt 0 b i := b i. Aus der Formel für die höheren Ableitungen ergibt sich für t = a: d p dt p K(a) = m! (m p)! = m p 1 (b a) p i=0 p b i B m p i (a) m! (m p)! 1 (b a) p p b 0 B m p 0 (a)