Messtechnik. Prof. Dr.-Ing. H. Bösche Fachbereich Maschinenbau Fachhochschule Münster University of Applied Sciences. 11.

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1 Messtechnik Prof. Dr.-Ing. H. Bösche Fachbereich Maschinenbau Fachhochschule Münster University of Applied Sciences 11. März 2009

2 Inhaltsverzeichnis 1 wichtiger Hinweis 4 2 Kreuz- und Autokorrelation Einführung Mathematische Grundlagen Aufgaben Aufgabe Aufgabe Faltung Einführung Mathematische Grundlagen Beispiele für Kerne Impuls schmales Rechteck breites Rechteck Dreieck Dreieck, abgesenkt Graben Aufgaben Aufgabe Faltung in zwei Dimensionen Aufgabe Wichtige Kerne in der Bildverarbeitung Aufgabe Signale im Zeit- und Frequenzbereich Einführung Wechsel vom Zeit- in den Frequenzbereich Wechsel vom Frequenz- in den Zeitbereich D und 3-D Transformationen Interpretation von Darstellungen im Frequenzbereich Übungsaufgaben Aufgabe

3 4.6.2 Aufgabe Aufgabe Aufgabe Morphologische Bildverarbeitung Einführung Erosion Erweiterung Öffnen Schließen

4 1 wichtiger Hinweis Fragestunde zur Klausur: Donnerstag, den , 13:00 Uhr, Raum 222, HGI 4

5 2 Kreuz- und Autokorrelation 2.1 Einführung Die Eigenschaften und den Einsatz der Kreuzkorrelation lässt sich gut am Beispiel des Radars erläutern. Ein Verkehrsradar zur Geschwindigkeitsüberwachung sendet kurze Impulse elektromagnetischer Strahlung in Richtung des zu überwachenden Fahrzeugs. Diese Strahlung wird an der metallischen Oberfläche des Fahrzeugs reflektiert und ein geringer Teil davon kommt zurück zum Überwachungsgerät. Das empfangene Signal besteht aus zwei Komponenten: zum einen aus dem zeitversetzten, verkleinerten und verzerrten Abbild des Sendesignals und zum anderen aus einem Rauschsignal. Es ist Aufgabe der Auswertesoftware, zu prüfen, ob das empfangene Signal neben dem Rauschen überhaupt Informationen enthält, und falls ja, wie hoch die Geschwindigkeit des anvisierten Fahrzeugs ist. Die Kreuzkorrelation löst diese Aufgabe, indem sie durch ein rechnerisches Verfahren aus zwei Eingangssignalen ein Ausgangssignal berechnet, dessen Amplitude ein Maß für die Wahrscheinlichkeit ist, dass das eine Eingangssignal im anderen vorhanden ist. Die Autokorrelation ist eine spezielle Kreuzkorrelation mit nur einem Eingangssignal. Bei der Autokorrelation wird das Eingangssignal mit sich selbst korreliert. 2.2 Mathematische Grundlagen Sind x und y zwei Signale mit jeweils endlicher Länge, so ist kkf(x, y)(n) = m= x(m) y(n + m) Die Grenzen der Summation sind zwar und, eine Berechnung ist aber stets möglich, da die Podukte nur dort etwas zur Summe beitragen, wo beide Signale ungleich 0 sind. Beispiel: x = ( 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2) y = (2, 1, 2) 5

6 x = y = P rodukte : Summe = 2 x = y = P rodukte : Summe = 1 x = y = P rodukte : Summe = 3 x = y = P rodukte : Summe = 3 x = y = P rodukte : Summe = 6 x = y = P rodukte : Summe = 9 x = y = P rodukte : Summe = 0 x = y = P rodukte : Summe = 6 x = y = P rodukte : Summe = 6 6

7 x = y = P rodukte : Summe = 2 x = y = P rodukte : Summe = 4 Insgesamt liefert die Kreuzkorrelation kkf(x, y) = ( 2, 1, 3, 3, 6, 9, 0, 6, 6, 2, 4) betrachtet man die einzelnen Werte von kkf(x, y) als Maß für eine Ähnlichkeit zwischen x und y, so hätte die Kreuzkorrelation festgestellt, dass der Abschnitt (2,-1,2) von x die größte Ähnlichkeit zu y hat. 2.3 Aufgaben Aufgabe 1 Entwickeln Sie in Excel ein Arbeitsblatt, das die Kreuzkorrelation zweier Signale berechnet Aufgabe 2 Bestimmen Sie die Werte der Cosinusfunktion an den Stellen 0, 45, 90, 135, 180, 225, 270, 315. Berechnen Sie die Autokorrelationsfunktion. 7

8 3 Faltung 3.1 Einführung Die Faltung ist eine rechnerische Vorgehensweise, um aus zwei Signalen ein neues zu generieren. Die Faltung ist die wichtigste Einzeloperation in der digitalen Signalverarbeitung. Begründet wird dies dadurch, dass mit der Faltung die drei wichtigsten Größen der Signalverarbeitung zusammengeführt werden: das Eingangssignal, das Ausgangssignal und die Impulsantwort. 3.2 Mathematische Grundlagen Die Faltung verknüpft drei Vektoren: x[k] = (x 0, x 1,..., x k 1 ) y[n] = (y 0, y 1,..., y n 1 ) h[m] = (h 0, h 1,..., h m 1 ) Eingangssignal Ausgangssignal F altungskern Als Symbol für die Faltung wird im folgenden Text benutzt: y = x h Die Länge des Vektors y ist gleich der Summe der Längen von x Der Vektor y berechnet sich nach der Formel: Beispiel: Es ist: y[i] = m 1 j=0 y[0] = h[0]x[0] y[2] = h[0]x[2] + h[1]x[1] + h[2]x[0] y[4] = h[0]x[4] + h[1]x[3] + h[2]x[2] y[6] = h[0]x[6] + h[1]x[5] + h[2]x[4] y[8] = h[0]x[8] + h[1]x[7] + h[2]x[6] y[10] = h[2]x[8] h[j]x[i j] x = [1, 1, 1, 2, 2, 2, 2] h = [ 1, 2, 1] y[1] = h[0]x[1] + h[1]x[0] y[3] = h[0]x[3] + h[1]x[2] + h[2]x[1] y[5] = h[0]x[5] + h[1]x[4] + h[2]x[3] y[7] = h[0]x[7] + h[1]x[6] + h[2]x[5] y[9] = h[1]x[8] + h[2]x[7] 8

9 y[0] = 1 1 y[1] = y[2] = y[3] = y[4] = y[5] = y[6] = y[7] = y[8] = y[9] = y[10] = 1 2 y = [ 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1] Ein Vergleich der beiden Vektoren x und y zeigt: durch die Faltung von x mit h wird erreicht, dass jeder Punkt von x mit seinen beiden Nachbarn verglichen wird und der Unterschied zwischen diesen drei Punkten an y weitergegeben wird. Die Betonung von Unterschieden ist ein Merkmal von Hochpassfiltern, und tatsächlich handelt es sich bei dieser Faltung um ein Hochpassfilter, dass auf Schwingungen der Periodenlängen 3 besonders reagiert. Um andere Perioden gezielt zu fördern, muss die Länge des Kerns h und gegebenenfalls die Werte des Kerns angepaßt werden. Die genaue Bestimmung des Kerns wird in den nachfolgenden Kapiteln erläutert. 3.3 Beispiele für Kerne Impuls h = [0, 0, 0, 1, 0, 0, 0] x = [1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1] Faltung ergibt: y = [0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0] schmales Rechteck h = [0, 0, 1, 1, 1, 0, 0] x = [1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1] Faltung ergibt: y = [0, 0, 1, 2, 3, 3, 4, 6, 9, 12, 14, 15, 15, 14, 12, 9, 6, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 0, 0] breites Rechteck h = [0, 1, 1, 1, 1, 1, 0] x = [1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1] Faltung ergibt: y = [0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 15, 19, 22, 24, 24, 22, 19, 15, 10, 7, 4, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 0] 9

10 3.3.4 Dreieck h = [0, 1, 2, 3, 2, 1, 0] x = [1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1] Faltung ergibt: y = [0, 1, 3, 6, 8, 10, 13, 19, 27, 35, 41, 44, 44, 41, 35, 27, 18, 11, 6, 5, 4, 5, 4, 4, 2, 1, 0] Dreieck, abgesenkt h = [ 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1] x = [1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1] Faltung ergibt: y = [ 1, 2, 1, 2, 2, 1, 3, 1, 3, 7, 9, 9, 9, 9, 7, 4, 0, 3, 4, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 1] Graben Faltung ergibt: h = [1, 1, 0, 0, 0, 1, 1] x = [1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1] y = [1, 2, 2, 2, 3, 6, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 16, 15, 13, 11, 10, 8, 6, 4, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1] 3.4 Aufgaben Aufgabe 1 Beschreiben Sie die Wirkung der im vorhergehenden Abschnitt genutzten Kerne mit Ihren eigenen Worten. Zeichnen sie dazu für jedes Beispiel x, h, y in ein Diagramm ein. 3.5 Faltung in zwei Dimensionen Die Faltung in zwei Dimensionen ist eine wichtige Operation in der Bildverarbeitung. Sie wird definiert durch: y[i, j] = m 1 u=0 m 1 v=0 h[u, v]x[i u, j v] Dabei ist x das Originalbild, y das Ergebnis der Faltung und h der Kern der Faltung. Vereinfachend wird hier vorausgesetzt, dass h quadratisch und von der Größe m m ist. 10

11 3.5.1 Aufgabe 2 Ein Bild x sei gegeben durch: Ein Kern h sei gegeben durch: Berechnen Sie die Faltung von x mit h Wichtige Kerne in der Bildverarbeitung Verschieben und Abziehen: Kantenerkennung: Kantenhervorhebung, k > 0: Aufgabe 3 k 8 k 8 k k k 8 k 8 k 8 k 8 k 8 Testen sie die angegebenen Kerne für die Bildbearbeitung mit dem Programm GIMP. 11

12 4 Signale im Zeit- und Frequenzbereich Einführung Unter dem Begriff Signal wird im folgenden eine Beschreibung verstanden, die wiedergibt, wie ein abhängiger Parameter mit einem zweiten, unabhängigen Parameter verbunden ist. Beispiel: in elektronischen Schaltungen hängt die Spannung (abhängiger Parameter) von der Zeit (unabhängiger Parameter) ab. Ein Signal ist entweder kontinuierlich oder diskret. Der Unterschied zwischen beiden liegt darin, dass das kontinuierliche Signal zwischen einem positivem und einem negativen Maximalwert jeden Wert annehmen kann, während das diskrete Signal nur eine begrenzte Zahl von Werten annehmen kann. So liefert zum Beispiel der Tonabnehmer eines klassischen Plattenspielers ein kontinuierliches Signal, der CD- Spieler dagegen kann nur verschiedene Spannungspegel ausgeben. Signale werden häufig in Diagrammen dargestellt. In der Regel wird dabei auf der horizontalen Achse der unabhängige Parameter aufgetragen, während auf der vertikalen Achse die Werte des abhängigen Parameters eingetragen werden. Bei elektrischen Signalen ist der unabhängige Parameter häufig die Zeit, abhängige Parameter sind z. B. die Spannung oder die Stromstärke. Bei der Darstellung von Audiosignalen während der Musikwiedergabe über einen PC oder über einen MP3-Player findet man häufig Diagramme, in denen der unabhängige Parameter nicht die Zeit sondern die Frequenz ist. Diese Geräte führen dazu eine Umrechnung durch, die das Audiosignal aus dem so genannten Zeitbereich (Zeit ist unabhängiger Parameter) in den Frequenzbereich (Frequenz ist unabhängiger Parameter) überführt. Diese Umrechnung wird auch Frequenzanalyse genannt. Die umgekehrte Transformation vom Frequenzbereich in den Zeitbereich ist ebenso möglich und wird als Signalsynthese bezeichnet. Aus der Tatsache, dass ein Signal aus dem Zeitbereich in den Frequenzbereich und anschließend wieder aus dem Frequenzbereich zurück in den Zeitbereich transformiert werden kann, ohne dass das Signal verändert wird, kann abgeleitet werden, dass bei beiden Transformationen keine Informationen verloren gehen. Mit anderen Worten: es macht prinzipiell keinen Unterschied, ob ein Signal im Zeitbereich oder im Frequenzbe- 1 Jedes Sample ist ein 16bit-Wert, 2 16 =

13 reich betrachtet wird, die Daten enthalten in beiden Fällen die gleiche Information und es kann immer zwischen beiden Bereichen gewechselt werden. 4.2 Wechsel vom Zeit- in den Frequenzbereich Besteht ein Signal aus nur einem Wert, so gibt es keinen Unterschied zwischen Zeitbereich und Frequenzbereich. Besteht ein Signal im Zeitbereich aus zwei Werten x 0 und x 1, so hat es auch im Frequenzbereich zwei Werte: x 0 + x 1 und x 0 x 1. Aus vier Werten im Zeitbereich x 0, x 1, x 2, x 3 werden durch die Transformation vier Werte im Frequenzbereich: x 0 + x 1 + x 2 + x 3 x 0 i x 1 x 2 + i x 3 x 0 x 1 + x 2 x 3 x 0 + i x 1 x 2 i x 3 Aus diesen Beispielen lässt sich erahnen, dass die Transformation vom Zeit- in den Frequenzbereich einem systematischen Ablauf folgt. Da die mathematischen Schritte vielfach in der Literatur 2 und im Internet dokumentiert sind, soll hier auf die Berechnung nicht weiter eingegangen werden. In der Praxis umfassen die Signale hunderte, tausende oder auch Millionen von Werten 3. Bei solchen Datenmengen können die Transformationen in den Frequenzbereich nur noch mit Computern berechnet werden. Gut geeignet ist zum Beispiel das Programm GNU-octave, das kostenlos aus dem Internet bezogen werden kann. GNU-octave verfügt über den Befehl fft(z), der für die in einem Vektor z gegebenen Werte die Transformation in den Frequenzbereich vornimmt. 4.3 Wechsel vom Frequenz- in den Zeitbereich Sind X 0, X 1, X 2,..., X N die Parameter 4 des Signals im Frequenzbereich, so berechnen sich die Parameter im Zeitbereich durch die Formel: x k = N/2 m=0 X m e 2 π i k N Programme mit Schwerpunkt in der Signalbearbeitung stellen auch für diese Transformation fertige Befehle bereit. In GNU-octave heißt dieser Befehl if f t(z). 2 Digital Signal Processing; A Practical Guide for Engineers and Scientists von Steven W. Smith sei hier besonders empfohlen. Die einzelnen Kapitel des Buches stehen auch als PDF Dateien im Internet bereit 3 zum Auslesen einer Musik CD werden pro Sekunde pro Kanal Werte verarbeitet. Die Zahl wurde bei der Entwicklung des Formates gewählt, da sie als Produkt kleiner Primzahlen viele Möglichkeiten bietet, die Datenrate durch ganzzahlige Division zu unterteilen ist gleich 2x2x3x3x5x5x7x7. 4 in der Regel handelt es sich um komplexe Zahlen 13

14 4.4 2-D und 3-D Transformationen Die Prinzipien der Transformationen zwischen Zeit- und Frequenzbereich lassen sich von der eindimensionalen Welt auf höhere Dimensionen übertragen. Typische Anwendungen für 2-D Transformationen finden sich in der Bildbearbeitung. Dort werden zum Beispiel Bilddetails hervorgehoben, indem die Bildinformation mittels einer zweidimensionalen Transformation in den Frequenzbereich übertragen werden, um dort die hochfrequenten Anteile des Bildes zu verstärken. Die Rücktransformation in den Bildraum liefert ein Bild, das Details betont und insgesamt schärfer wirkt. Zur Berechnung der zweidimensionalen Frequenzdarstellung eines Bildes mit BxH Pixeln in B Spalten und H Zeilen werden zuerst für jede Zeile getrennt die Parameter der Frequenzdarstellung der Zeilen berechnet. Anschließend werden die berechneten Parameter in Querrichtung transformiert. Die gesamte Transformation setzt sich daher zusammen aus H Transformationen in der einen Richtung und B Transformationen in der zweiten Richtung. Beispiel: folgende 16 Punkte seien im Zeitbereich gegeben: Die Transformation in vertikaler Richtung ergibt: Die Transformation in horizontaler Richtung ergibt: Dieses Zerlegen der Transformation kann immer weiter fortgeführt werden und ebnet den Weg in drei und mehr Dimensionen. Anwendungen dafür finden sich z. B. in der Analyse komplexer Strömungen in Turbinen. 14

15 4.5 Interpretation von Darstellungen im Frequenzbereich Die folgende Tabelle gibt eine Interpretationshilfe für die Darstellungen im Frequenzbereich. Sie geht dazu von Spektren aus und betrachtet durch Rücktransformation in den Zeitbereich die zugehörige Schwingungsform. Da die Transformation vom Zeit- in den Frequenzbereich und auch die Transformation vom Frequenz- in den Zeitbereich linear sind, ist stets die Addition von Spektren gleichbedeutend mit der Addition von den zugehörigen Zeitsignalen. F requenzbereich Zeitbereich Interpretation (4, 0, 0, 0) (1, 1, 1, 1) reine Gleichspannung (0, 4, 0, 4) (2, 0, 2, 0) cos Schwingung erster Ordnung (0, 0, 4, 0) (1, 1, 1, 1) cos Schwingung zweiter Ordnung (0, 4i, 0, 4)i (0, 2, 0, 2) ( sin) Schwingung erster Ordnung (0, 4 4i, 0, 4 + 4i) (2, 2, 2, 2) cos Schwingung, 45 verschoben (0, 0, 4, 0) ( 1, 1, 1, 1) ( cos) Schwingung 4.6 Übungsaufgaben Aufgabe 1 Frage Ein Signal hat im Zeitbereich die Komponenten (0, 1, 2, 3). Welche Komponenten hat das Signal im Frequenzbereich? Lösung (6, 2 + 2i, 2, 2 2i) Aufgabe 2 Frage Ein Signal hat im Zeitbereich die Komponenten (0, 1, 2, 3.) wie lauten die Komponenten dieses Signals im Zeitbereich, wenn der Anteil der Schwingung zweiter Ordnung abgezogen wird? Lösung Im Frequenzbereich hat das Signal die Komponenten 6, 2+2i, 2, 2 2i. Die Schwingung zweiter Ordnung hat also die Komponente -2 im Frequenzbereich. Mit Hilfe der 15

16 Tabelle des letzten Kapitels ergibt sich: (0, 0, 2, 0) = 0.5 (0, 0, 4, 0) im F requenzbereich 0.5 ( 1, 1, 1, 1) = ( 0.5, 0.5, 0.5, 0.5) im Zeitbereich (0, 1, 2, 3) ( 0.5, 0.5, 0.5, 0.5) = (0.5, 0.5, 2.5, 2.5) 16

17 4.6.3 Aufgabe 3 Frage Erstellen Sie eine Tabelle zur Interpretation der Spektren im zweidimensionalen Fall bei 4x4 Komponenten. Lösung Es müssen 16 Fälle betrachtet werden. Die folgende Tabelle zeigt eine Auswahl. F requenzbereich Zeitbereich Interpretation 16, 0, 0, 0 1, 1, 1, 1 reine Gleichspannung 1, 1, 1, 1 1, 1, 1, 1 1, 1, 1, 1 0, 16, 0, 16 16, 0, 0, 0 16, 0, 0, 0 0, 16, 0, 16 0, 16 0, 16 0, 16, 0, Aufgabe 4 Frage 2, 0, 2, 0 2, 0, 2, 0 2, 0, 2 0 2, 0, 2, 0 2, 2, 2, 2 2, 2, 2, 2 4, 0, 4, 0 4, 0, 4, 0 2, 0, 2, 0 2, 0, 2, 0 2, 0, 2, 0 2, 0, 2, 0 1. Ordnung x Richtung 1. Ordnung y Richtung 1. Ordnung in jede Richtung 1. Ordnung horizontal, 2. Ordnung vertikal Machen Sie sich mit der Transformation von Signalen mit acht Punkten vertraut. 17

18 5 Morphologische Bildverarbeitung 5.1 Einführung Die Erkennung von Objekten in Bildern kann eine schwierige Aufgabe sein, die sich dadurch vereinfachen lässt, wenn statt mit Grauwertbildern mit Schwarzweißbildern gearbeitet wird. Problematisch dabei ist jedoch der Übergang von Grauwerten auf Schwarzweiß an kontrastarmen Grenzen eines Objektes, die häufig einen zerfaserten Rand ergeben. Zur Glättung dieser Ränder werden morphologische Bildverarbeitungsalgorithmen eingesetzt, die hier erläutert werden sollen. Diese Algorithmen sind grundsätzlich verschieden von Algorithmen, die mit Faltung oder mit Transformationen zwischen Zeitund Frequenzraum arbeiten, insbesondere lassen sie sich nicht durch die dahinter stehenden mathematischen Verfahren beschreiben. Die vier wichtigsten Algorithmen sind: Erosion Erweiterung Öffnen Schließen 5.2 Erosion Bei der Erosion wird für jedes Pixel des Objektes geprüft, ob es ein Pixel des Hintergrundes berührt. Ist dies der Fall, so erhält das Pixel die Hintergrundfarbe. Die Erosion 18

19 verkleinert das Objektbild. Beispiel: vordererosion... O... O.... O O O. O O O.. O O O O O O O O O. O O O O. O O O.. O O O.. O O O.. O O... O O... O.... O O O.. O.. O O O O O O. O. O O O O O O O 5.3 Erweiterung nachdererosion... O... O.... O.... O O..... O.. O O O O O Bei der Erweiterung wird für jedes Pixel des Hintergrundes geprüft, ob es ein Pixel des Objektes berührt. Ist dies der Fall, so erhält das Pixel die Objektfarbe. Die Erweiterung vergrößert das Objektbild. Beispiel: vordererweiterung :... O... O.... O O O. O O O.. O O O O O O O O O. O O O O. O O O.. O O O.. O O O.. O O... O O... O.... O O O.. O.. O O O O O O. O. O O O O O O O 19

20 nachdererweiterung :.. O O O. O O O.. O O O O O O O O O 5.4 Öffnen Bei der Operation Öffnen wird zuerst die Operation Erosionen und dann die Operation Erweitern ausgeführt. Beispiel: vordererosion... O... O.... O O O. O O O.. O O O O O O O O O. O O O O. O O O.. O O O.. O O O.. O O... O O... O.... O O O.. O.. O O O O O O. O. O O O O O O O nachdererosion... O... O.... O.... O O..... O.. O O O O O 20

21 5.5 Schließen nachdemerweitern.. O O O. O O O.. O O O O. O O O.. O O O O. O O O.. O O O.. O O O O O O... O O O O O O O O.. O OO O O O O O O Bei der Operation Schließen wird zuerst die Operation Erweitern und dann die Operation Erosionen ausgeführt. Beispiel: vordererweiterung :... O... O.... O O O. O O O.. O O O O O O O O O. O O O O. O O O.. O O O.. O O O.. O O... O O... O.... O O O.. O.. O O O O O O. O. O O O O O O O nachdererweiterung :.. O O O. O O O.. O O O O O O O O O 21

22 nachdererosion :... O... O..... O... O.... O O O O O O O O 5.6 Aufgaben Aufgabe 1 Bei den obigen Beispielen wurden bei jedem Pixel acht Nachbarn geprüft. Wie wären die Resultate, wenn nur die Nachbarn links, rechts, oben und unten geprüft würden? 22