Übungen und Fallbeispiele zum Operations Research

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1 Springer-Lehrbuch Übungen und Fallbeispiele zum Operations Research Bearbeitet von Wolfgang Domschke, Andreas Drexl, Robert Klein, Armin Scholl, Stefan Voß 8., aktualisierte Auflage 5. Buch. XII, S. Kartoniert ISBN Format (B x L): 5,5 x 4,7 cm Gewicht: 385 g Wirtschaft > Betriebswirtschaft: Theorie & Allgemeines > Unternehmensforschung, Operational Research (OR) Zu Inhaltsverzeichnis schnell und portofrei erhältlich bei Die Online-Fachbuchhandlung beck-shop.de ist spezialisiert auf Fachbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschaft. Im Sortiment finden Sie alle Medien (Bücher, Zeitschriften, CDs, ebooks, etc.) aller Verlage. Ergänzt wird das Programm durch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusammenstellungen von Büchern zu Sonderpreisen. Der Shop führt mehr als 8 Millionen Produkte.

2 Kapitel : Lineare Optimierung Aufgabe.: Lösen Sie zeichnerisch die folgenden LP-Modelle: a) Max. F(x,y) = 4x + 3y b) Max. F(x,y) = x + y c) Max. F(x,y) = x y x + 3y 9 5x + y x y x + y x + y 6 x + y x, y x y x + y x, y x, y d) Max. F(x,y) = x + y e) Max. F(x,y) = 4x + 3y x + y n(n )x + ny n+(n ) für n =,,... x + 3y 6 x, y x, y Aufgabe.: Formulieren Sie zur Lösung der folgenden Probleme jeweils ein LP und bestimmen Sie graphisch eine optimale Lösung! a) Eine Bergwerksgesellschaft besitzt zwei verschiedene Gruben (bzw. Minen), in denen bestimmte Erzarten gefördert werden. Die Gruben befinden sich in verschiedenen Landesteilen und verfügen über unterschiedliche Kapazitäten. Nach dem Brechen werden bei Erz drei Klassen unterschieden, grob-, mittel- und feinkörniges Erz. Nach jeder Erzart besteht eine gewisse Nachfrage. Die Bergwerksgesellschaft konzentriert sich darauf, einem Hüttenwerk wöchentlich mindestens t grob-, 8t mittel- und 4t feinkörniges Erz zu liefern. Die Betriebskosten für die Gruben sind GE pro Tag bei Grube und 6 GE bei Grube. In der Grube werden dabei pro Tag 6t grob-, t mittel- und 4t feinkörniges Erz gefördert, während die zweite Grube eine tägliche Leistung von t grob-, t mittel- und t feinkörnigem Erz hat. Wie viele Tage sollte jede der Gruben pro Woche befahren werden, um die Aufträge der Firma auf wirtschaftliche Weise zu erfüllen? b) Der Automobilfabrikant Dingeldein stellt in zwei Werken Personenkraftwagen (PKW) und Lastkraftwagen (LKW) her. Im ersten Werk, in dem die grundlegenden Montagearbeiten durchgeführt werden, werden fünf Mann-Tage pro LKW und zwei Mann-Tage pro PKW benötigt. Im zweiten Werk, in dem die Endmontage erfolgt, sind pro PKW und pro LKW je drei Mann-Tage notwendig. Die Kapazität des ersten Werkes beträgt 8 und die des zweiten Werkes 35 Mann-Tage pro Woche. Wie viele PKW und LKW sollte der Fabrikant herstellen, um seinen Gewinn zu maximieren? Als weitere Information ist bekannt, dass der Fabrikant an einem LKW 3 GE und an einem PKW GE verdient. W. Domschke et al., Übungen und Fallbeispiele zum Operations Research, DOI.7/ _, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 5

3 Kapitel : Lineare Optimierung Aufgabe.3: Maximiere F( )= +x Gegeben sei das nebenstehende LP mit einem positiven Parameter β i. x Man bestimme für = 8, = und = 6 jeweils 5x β β β 3 graphisch die Menge der zulässigen und die Menge der 9 optimalen Lösungen! β i Aufgabe.4: Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem nach, x und x 3 auf und bestimmen Sie eine Lösung des Systems mit nichtnegativen Variablenwerten, für welche die Funktion F(,...,x 6 ) = 5 3x +x 3 3x 4 +5x 5 6x 6 einen maximalen Wert annimmt: 3x 3 + 3x 4 4x 5 + 9x 6 = 3 x x 3 + x 4 x 5 4x 6 = x 3 + 7x 4 3x 5 + 9x 6 = Aufgabe.5: Untersuchen Sie, ob x = (,3,6,) eine optimale Lösung des Ungleichungssystems + 3x + 4x 3 + x x 3 + x x 3 + x 4 6,x 3,x 4 bezüglich der zu maximierenden Zielfunktion F(,...,x 4 )=7 +9x + x 3 +8x 4 ist! Aufgabe.6: Das System Ax = b,, x i für i =,...,n geht durch die Substitution := x' x'' mit x' und x'' in ein LP mit nichtnegativen Entscheidungsvariablen über. Zeigen Sie, dass in jeder Basislösung x' x'' = gilt! Aufgabe.7: Die Firma Wichtelmann GmbH & Co. KG fertigt Vorgartenzwerge. Interessierten Kleingärtnern steht folgendes reichhaltige Sortiment zur Auswahl: ) Wächter-Zwerg Hugo mit Laterne und Hellebarde, besonders romantisch. ) Gärtner-Zwerg Jan mit Schaufel, besonders eindrucksvoll in Blumenbeeten. 3) Räuberhauptmann-Zwerg Hotzenplotz, Luxusausführung. 4) Seemanns-Zwerg Freddy mit Akkordeon, singt auf Wunsch einfühlsame Seemannslieder, ideal für den seefahrtsliebenden Gärtner. 5) Zwerg Anton mit Pfeife, kartenspielend, für gesellige Gärtner.

4 Kapitel : Lineare Optimierung 3 Für die Herstellung der Zwerge werden drei verschiedene Tonarten A, B, C verwendet, von denen jeweils nur ein begrenzter Vorrat pro Periode zur Verfügung steht. Je nach Artikel werden unterschiedliche Mengen Ton (gemessen in kg) zur Herstellung eines Zwerges benötigt. Gesucht ist das gewinnmaximale Produktionsprogramm für die nächste Periode, wenn man davon ausgeht, dass die hergestellten Produkte vollständig abgesetzt werden können. Die planungsrelevanten Daten sind in obiger Tabelle zusammengestellt. a) Formulieren Sie ein LP, dessen Lösung das gewinnmaximale Produktionsprogramm pro Periode angibt! b) Errechnen Sie die optimale Lösung mit Hilfe des Simplex-Algorithmus! c) Untersuchen Sie den Lösungsverlauf! Warum ergibt sich eine ganzzahlige Lösung? d) Geben Sie eine ökonomische Interpretation des Optimaltableaus! Aufgabe.8: Ein Betrieb kann fünf Produkte P i (i =,...,5) herstellen. Jedes der Produkte durchläuft drei Arbeitsprozesse A, A, A 3 auf Maschinen, die mit einer Kapazität von 6, bzw. Maschinenstunden pro Woche zur Verfügung stehen. Der Kapazitätsbedarf an Maschinenstunden pro ME der einzelnen Produkte ist nebenstehender Tabelle zu entnehmen. Tonart Tonbedarf pro ME des Artikels Vorrat A B 8 C 5 Gewinn/ME 3 P P P 3 P 4 P 5 A A A Welche Mengen x i der Produkte P i sind pro Woche herzustellen, wenn der Gewinn 8, 9, 6, bzw. GE pro Einheit von P,P,..., P 5 ist und der Gesamtgewinn maximiert werden soll? Aufgabe.9: Lösen Sie das nebenstehende LP (siehe Domschke et al. (5, Kap..)) mit dem Simplex-Algorithmus! Wählen Sie dabei als Pivotspalte nicht diejenige mit dem kleinsten negativen, sondern die erste mit negativem Wert bei Betrachtung der F-Zeile von links nach rechts (Pivotstrategie "first-fit")! Stellen Sie die Folge der Eckpunkte auf dem Weg zum Optimum graphisch dar und vergleichen Sie diese mit derjenigen, die sich bei Anwendung der üblichen Pivotstrategie "steepest ascent" ergibt! Maximiere F(x) = +x () 6 + 9x 7 () x 6 (3)

5 4 Kapitel : Lineare Optimierung Aufgabe.: Ermitteln Sie sämtliche Basislösungen des nebenstehenden LPs, veranschaulichen Sie graphisch deren Lage, und berechnen Sie die optimale Lösung mit dem Simplex-Algorithmus! Aufgabe.: Gegeben ist das nebenstehende LP. Bestimmen Sie eine (optimale) Lösung a) mit der M-Methode und b) mit dem primalen Simplex-Algorithmus! Hinweis: Bevor Sie das jeweilige Verfahren anwenden, sollten Sie das Modell in die Maximierungsform mit - Nebenbedingungen bzw. in die Normalform überführen. Aufgabe.: Lösen Sie das nebenstehende LP mit Hilfe des Simplex-Algorithmus! Hinweis: Ermitteln Sie eine zulässige Startlösung mit Hilfe des dualen Simplex-Algorithmus oder der M-Methode! Aufgabe.3: Maximiere F(x) = 4 + 3x 8 () () + 3x 8 (3) Minimiere F(x) = +x +3x 3 x x 3 8 x,x 3 Minimiere F(x) = +x 6 6 = 4 Gegeben ist das folgende Simplextableau. Es zeigt eine zulässige Basislösung eines erweiterten Modells, die unter Verwendung der M-Methode entstanden ist. x x 3 x 4 x 5 y y b i F 4 M-Zeile M M M M M a) Geben Sie diese Basislösung explizit an! b) Welches Maximierungsmodell P (ohne Schlupf- und künstliche Variablen) liegt dem erweiterten Tableau zugrunde? Wie bezeichnet man die Variablen,x 3? c) Gibt es eine zulässige Lösung für P? Wenn ja, geben Sie eine an! d) Ermitteln Sie eine optimale Lösung von P! Wie viele optimale Lösungen gibt es und woran lässt sich dies erkennen?

6 Kapitel : Lineare Optimierung 5 Aufgabe.4: Gegeben sei das nebenstehende LP. a) Wie lautet das dazu duale LP? b) Geben Sie das duale LP in Maximierungsform mit - Nebenbedingungen an und berechnen Sie eine Optimallösung mit dem dualen Simplex-Algorithmus! c) Bestimmen Sie anhand des Optimaltableaus des dualen LPs die Optimallösung des primalen LPs! Aufgabe.5: Seien A eine reellwertige Matrix mit m Zeilen und n Spalten, b ein reellwertiges m-tupel und c ein reellwertiges n-tupel; dann sind die beiden folgenden LPe zueinander dual: Maximiere c T x Minimiere b T y Ax b A T y c x y Man zeige, dass unter den genannten Voraussetzungen () Maximiere c T x Ax = b und x () Minimiere b T y A T y c und y m zueinander duale LPe sind! Hinweis: Man verwende ggf. die Lösung der Aufgabe.6! Aufgabe.6: Es soll ein Ernährungsplan mit minimalen Kosten erstellt werden, bei dem mindestens ME Kalorien und mindestens ME Vitamine pro Essensration angeboten werden. Dafür stehen fünf Lebensmittelsorten zur Verfügung, aus denen sich der Kalorien- bzw. Vitamingehalt (K bzw. V) wie folgt ermitteln lässt: K = + x 4 + x 5 (x i = Menge des Lebensmittels i) V = x + x 3 + x 4 + x 5 Die Kosten für die Lebensmittel betragen pro Ration: F(x) = +3x 3 +x 4 + x 5 Maximiere F(x) =6 +4x +x a) Formulieren Sie diese Aufgabe als LP! b) Formulieren Sie das dazu duale LP! c) Ermitteln Sie eine Lösung des primalen LPs, indem Sie zunächst das duale LP graphisch lösen und anschließend die gesuchte Lösung mit Hilfe der Dualitätstheorie herleiten!

7 6 Kapitel : Lineare Optimierung Aufgabe.7: Gegeben sei das nebenstehende LP-Modell P. a) Geben Sie das zu P duale Modell D an! Ermitteln Sie dabei D durch direkte Anwendung der + x 4 5 x Dualisierungsregeln auf P, ohne dieses Modell 3x 3 = 4 x vorher zu transformieren! x 4,x 3 sowie x,x 4 b) Formulieren Sie ein zu P äquivalentes Modell P, das ausschließlich Gleichheitsrestriktionen sowie nichtnegative Variablen enthält! c) Geben Sie das zu P duale Modell D an! d) Sind die Modelle D und D äquivalent? Maximiere F(x) = +x +3x 3 +x 4 Aufgabe.8: Gegeben sei das nebenstehende LP. a) Bestimmen Sie eine optimale Lösung mit Hilfe des revidierten Simplex-Algorithmus! b) Verwenden Sie zur Bestimmung einer optimalen Lösung den Simplex-Algorithmus mit impliziter Berücksichtigung oberer Schranken! Maximiere F(x) =3 +5x 4 x 3 8 Aufgabe.9: Maximiere F(x) = +x Lösen Sie das nebenstehende LP durch Anwendung des Simplex-Algorithmus mit impliziter Berücksichtigung oberer Schranken! x x 3 6 Aufgabe.: [ 6, ], x [ 5, ] Gegeben ist folgendes LP: Maximiere F(x) = +4x + 6x 3 (= c +c x +c 3 x 3 ) + 6x 5 (= b ) 9 + x + 5x 3 6 (= b ),x 3 a) Lösen Sie das Problem mit dem primalen Simplex-Algorithmus! b) Betrachten Sie unabhängig voneinander folgende Datenänderungen und ermitteln Sie die jeweilige optimale Lösung, ausgehend von dem in a) erhaltenen Optimaltableau: (i) b = (ii) b = 3 (iii) c = (iv) c 3 =8

8 Kapitel : Lineare Optimierung 7 _ + c) In welchem Intervall [ b k b k, bk + b k ] können b bzw. b variiert werden, ohne dass die unter a) ermittelte optimale Basislösung die Optimalitätseigenschaft verliert, d.h. ohne dass ein Basistausch erforderlich wird? _ d) In welchem Intervall [ c k c k, c k + c+ k ] können c bzw. c 3 variiert werden, ohne dass die unter a) ermittelte optimale Basislösung ihre Optimalitätseigenschaft verliert? Aufgabe.: Bestimmen Sie für das nebenstehende LP die optimalen Basislösungen und optimalen Zielfunktionswerte in Abhängigkeit des reellwertigen Parameters μ! Veranschaulichen Sie den Verlauf des Zielfunktionswertes F μ in Abhängigkeit von μ! Aufgabe.: Bestimmen Sie nichtnegative Variablenwerte, x, x 3, x 4 unter Beachtung der nebenstehenden Nebenbedingungen so, dass die Funktion F (x) = 3x 4x 3 +x 4 maximiert wird und dabei die Summe F (x) = +x möglichst klein ist! Maximiere F μ ( )= +x 8+μ 7+7μ x 3+μ 9 +x +x x 3 + x 4 6 Aufgabe.3: Produkt Gewichtungsfaktor Ein Unternehmen fertigt drei Produkte. Zielart 3 Es verfolgt damit neben dem langfristigen Gewinnziel weitere Zielsetzungen. Prestige Gewinn In der nebenstehenden Tabelle sind das Umweltvertr jeweils angestrebte Ziel, die Zielbeiträge der einzelnen Produkte pro ME und ein entsprechender Gewichtungsfaktor angegeben. Bezeichnet man mit, x und x 3 die zu produzierenden Mengen der Produkte, und 3, so ist das folgende Nebenbedingungssystem zu berücksichtigen: 6 + 3x + 5x 3 5 (Kapazitätsrestriktion im Produktionsbereich) 3 + 4x + 5x 3 (Absatzrestriktion),x 3 a) Lösen Sie dieses Problem mit Mehrfachzielsetzung (Gewinnmaximierung; höchstmögliches Prestige des Unternehmens, das durch die einzelnen Produkte unterschiedlich beeinflusst wird; maximale Umweltverträglichkeit der Produkte) durch Zielgewichtung! b) Bestimmen Sie eine Zielkompromisslösung auf der Grundlage der Minimierung von Abstandsfunktionen (siehe Domschke et al. (5, Kap..7.4)) mit p = sowie p = und unter Verwendung der oben angegebenen Gewichtungen!

9 8 Kapitel : Lineare Optimierung Aufgabe.4: Gegeben sei das -Personen-Nullsummen-Matrixspiel mit der nebenstehenden Auszahlungsmatrix von Spieler B an Spieler A. a 3 a) Man prüfe, ob sich die Matrix reduzieren lässt! Das ist immer dann der Fall, wenn es für Spieler A eine Strategie a k gibt, die bei keiner Entscheidung von B günstiger ist als eine andere Strategie a i. Man sagt, a k wird von a i dominiert oder a k ist ineffizient. Entsprechend besitzt evtl. auch B eine oder mehrere dominierte bzw. ineffiziente Strategien. b) Berechnen Sie den unteren und oberen Spielwert des verbleibenden Spiels! c) Formulieren und lösen Sie für das Spiel ein LP! Geben Sie die optimalen Strategien des Spiels in der gemischten Erweiterung und den Spielwert an! Aufgabe.5: Das Papier-Stein-Schere-Knobeln ist ein -Personen-Nullsummen-Matrixspiel mit nebenstehender Auszahlungsmatrix von Spieler B an Spieler A. b b b 3 b 4 a 3 a 3 b =Papier b =Stein b 3 =Schere a =Papier a = Stein a 3 =Schere a) Ermitteln Sie den unteren und oberen Spielwert des Spiels in reinen Strategien! b) Bestimmen Sie optimale Strategien des Spiels in der gemischten Erweiterung mittels linearer Optimierung!

10 Lösungen zu Kapitel : Lineare Optimierung Aufgabe.: a) Optimale Lösung: x* =.4, y* =. F* = 6. b) Optimale Lösung: x* = /6 =.833 y* = 5/6 =.833 F*=8/3=.67 y 4 x+y= y 4 5x+y= x y= X F= 4 6 x+3y=9 x X F = 4 x+y=6 4 6 x c) Es existiert keine zulässige Lösung. d) Der zulässige Bereich ist unbeschränkt. Der Zielfunktionswert lässt sich beliebig steigern; somit ist keine optimale y 3 Lösung angebbar. x + y= x y = x y = 4 y F=4 x+y= X x + y = 3 x x + 3y = x

11 Lösungen zu Kapitel : Lineare Optimierung e) n = : y n = : x + y 3 n = 3: 6x + 3y 7 n = 4: x + 4y 3 usw. Die optimale Lösung befindet sich im Schnittpunkt der Restriktionen für n= und n=3. Sie lautet x* =.833, y* =.667 und besitzt den Zielfunktionswert F* = Für n nähert sich die Restriktion der Bedingung x an. y n= 3 n= n= 4 X F= n= n n= x Aufgabe.: a) Formulierung als LP: Anzahl der Arbeitstage in Grube x 7 (4) x Anzahl der Arbeitstage in Grube 6 Minimiere F(x) = + 6x 6 () 8 () 4 + x 4 (3) 7 (4) (5) Die anhand der nebenstehenden Abbildung graphisch ermittelte optimale Lösung ist x =, x = 3 mit F* = F = X (3) () F* = 68 () x 4 6

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