Natürliche und ganze Zahlen

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1 7 Kapitel 1 Natürliche und ganze Zahlen Bei vielen Brett-, Würfel- oder Kartenspielen gewinnt der Spieler, der die meisten Punkte sammeln kann. Manchmal können diese Zahlen sehr groß werden und in manchen Spielen gibt es auch Minuspunkte.

2 8 Kapitel 1 Natürliche und ganze Zahlen Wiederholung Info E: Einer Z: Zehner H: Hunderter T: Tausender ZT: Zehntausender HT: Hunderttausender Zahlen bis 1 Million In der Grundschule hast du die Zahlen bis 1 Million kennengelernt. Du kennst Zahlen in Wortform oder Ziffernschreibweise: vierzigtausenddreißig oder 4 3. Du kannst sie auch in eine Stellenwerttafel eintragen. Beispiel 1: Stellenwerttafel Trage folgende Zahlen in eine Stellenwerttafel ein. Notiere die ersten beiden auch in Wortform. a) 4 ZT 3 Z b) 5 1 Tausender c) vierhunderttausendzweiundzwanzig d) vierhundertzweiundzwanzigtausend HT ZT T H Z E a) 4 3 vierzigtausenddreißig b) 5 1 fünfhunderttausendundeins c) d) Ordnen von Zahlen Mithilfe einer Stellenwerttafel kannst du schnell erkennen, welche von zwei Zahlen die Größere ist. Info Man liest 7 < 11 7 ist kleiner als 11. Man liest 342 > ist größer als 197. Beispiel 2 Sortiere die beiden Zahlen jeweils der Größe nach. a) 6499 und 7523 b) und a) Tausender b) Tausender HT ZT T H Z E HT ZT T H Z E Also gilt: < 7 523, denn 6 Tausender sind weniger als 7 Tausender. Also gilt: > , denn 9 Zehntausender sind mehr als 8 Zehntausender. Beispiel 3 Gib den Vorgänger und den Nachfolger der Zahl 24 an Der Vorgänger einer Zahl ist um 1 kleiner als die Zahl ist der Vorgänger von Der Nachfolger einer Zahl ist um 1 größer als die Zahl. 241 ist der Nachfolger von 24.

3 9 Aufgaben 1 Trage folgende Zahlen in eine Stellenwerttafel ein und lies sie laut vor. a) b) c) 6 HT 3 T 4 H 2 E 7 ZT 1 Z 5 E 2 HT 1 ZT 4 Z 9 T 3 H 7 Z 8 E 2 Trage die Zahlen in eine Stellenwerttafel ein und notiere sie in Wortform HT 1 H 2 T 3 E 8 T 3 Z Trage folgende Zahlen in eine Stellenwerttafel ein. a) einhunderttausend, zehntausend, eintausend, hundert b) zwanzig, zweihundertzwanzig, zwanzigtausendzwei, zweitausendzwanzig c) fünfzig, elftausend, sechshundertsechs, siebentausendsiebenundsiebzig d) dreihundertviertausend, dreihunderttausendvier, dreitausendvierhundert 4 Lies die Zahlen laut vor und setze dann die Zeichen < oder > richtig ein. a) c) e) 3 HT 9 ZT 1 T 4 Z 1 T 4 H 7 ZT 3 Z 6 ZT 3 H 9 HT 3 H 9 HT 9 Z b) d) 3 HT ZT 6T T f) 33 T 3 T 1 HT 11 T 77 Z 7 T 22 T 2 ZT 5 Erstelle eine Tabelle wie abgebildet. Trage die Zahlen und ihre Vorvorgänger, Vorgänger, Nachfolger und Nachnachfolger ein. Lies dann alle Zahlen laut vor. Vorvorgänger Vorgänger Zahl Nachfolger Nachnachfolger a) 5, 6, 7, 8, 9, 1 b) 9, 99, 999, 9999, , c) 5 HT 9 H, 5 HT 9 E, 5 ZT 9 H, 5 ZT 9 E, 5 T 9 H, 5 T 9 E d) 32 T 999 E, 56 ZT 99 Z, 7 HT 9 H, 12 Z, 98 E, 542 H 6 Gegeben sind die folgenden Zahlen 35 ; 83; 4 28; 9999; 191. a) Zeichne eine Stellenwerttafel und trage die Zahlen ein. b) Notiere die erste Zahl in Wortform und lies die übrigen Zahlen laut vor. c) Ordne die Zahlen der Reihe nach. Beginne mit der kleinsten Zahl. d) Gib den Vorgänger und den Nachfolger jeder Zahl an.

4 1 Kapitel 1 Natürliche und ganze Zahlen 1.1 Der Zahlenstrahl und die Menge der natürlichen Zahlen Einstieg Zahlenvergleich Ordne die Zahlen der Größe nach siebenhundertsechstausend hundertzweitausendvierhunderteinunddreißig Wissen Zahlenstrahl Am Zahlenstrahl wird die Anordnung der Zahlen veranschaulicht. klein groß Der Zahlenstrahl beginnt bei, endet aber nicht. Dies wird durch einen Pfeil dargestellt. Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zahlen ist stets gleich groß. Dieser Abstand wird als Einheit bezeichnet. Je weiter links eine Zahl am Zahlenstrahl steht, desto kleiner ist sie. Man schreibt: 5 < 2 15 > 1 5 ist kleiner als 2 15 ist größer als 1 Der Zahlenstrahl liefert einen Überblick über die Größenverhältnisse von Zahlen. Beispiel 1: Am Zahlenstrahl ablesen Notiere die durch Pfeile markierten Zahlen. a) Beginne mit der kleinsten Zahl. b) Beginne mit der größten Zahl. 5 < 46 < 9 7 < > 9 7 > 46 > 5 Tipp Suche zuerst die größte Zahl. Überlege dir dann, wie du den Zahlenstrahl einteilst, damit alles gut ins Heft passt. Zeichne erst dann den Zahlenstrahl. Beispiel 2: Einen Zahlenstrahl zeichnen Zeichne einen Zahlenstrahl und trage die Zahlen 5, 1, 15 und 2 möglichst genau ein. Wähle eine geschickte Einteilung am Zahlenstrahl. 1. Versuch: 1 cm entspricht So wird der Zahlenstrahl sehr lang und passt nicht ins kleine Heft.

5 1.1 Der Zahlenstrahl und die Menge der natürlichen Zahlen Versuch: 1 cm entspricht So wird es zu eng und unübersichtlich. 3. Versuch: 1 cm entspricht So ist alles übersichtlich und der Platz genügt. Tipp Sind die Zahlen, die man eintragen soll, alle weit weg von, genügt ein Ausschnitt des Zahlenstrahls. Beispiel 3: Ausschnitt eines Zahlenstrahls Zeichne einen Zahlenstrahl und trage die Zahlen 6, 9 und 17 ein N N Menge der natürlichen Zahlen Eine Zusammenfassung von verschiedenen Dingen heißt Menge. Die Bestandteile einer Menge heißen Elemente. Elemente einer Menge schreibst du in geschweifte Klammern. So kannst du alle Schulfächer zur Menge S zusammenfassen: S = { Mathematik; Englisch; Deutsch; Biologie; Sport; } Die Zahlen 1, 2, 3, 4, werden natürliche Zahlen genannt und zu der Menge der natürlichen Zahlen N zusammengefasst. N = { 1; 2; 3; 4; } N = { ; 1; 2; 3; 4; } Schreibweise: 23 N 23 ist Element der Menge der natürlichen Zahlen. N ist kein Element der Menge der natürlichen Zahlen. Es gibt keine größte natürliche Zahl, sondern unendlich viele. Weitere Zahlenmengen sind die Menge aller geraden Zahlen { ; 2; 4; 6; 8; } und die Menge aller ungeraden Zahlen { 1; 3; 5; 7; }. Beachte Um zu zeigen, dass eine Aussage falsch ist, genügt ein einziges Gegenbeispiel. Beispiel 4: Aussagen überprüfen Entscheide, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Gib zu jeder falschen Aussage ein Gegenbeispiel an. a) Jede natürliche Zahl hat eine natürliche Zahl als Vorgänger. b) Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger. a) falsch: Die natürliche Zahl 1 hat als Vorgänger, ist keine natürliche Zahl. b) Richtig: Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen, somit gibt es auch immer einen Nachfolger.

6 12 Kapitel 1 Natürliche und ganze Zahlen Aufgaben Trainieren Vertiefen Herausforderung Zahlenstrahl 1 Gib an, welche Zahlen jeweils durch die Pfeile markiert sind. a) A B C D E F b) A B C D E F 2 c) A B C D E F 15 3 Achtung In d) und e) beginnt der Zahlenstrahl nicht bei Null. d) e) A A B C D E F 5 1 B C D E F Gib an, welche Zahlen jeweils durch die Pfeile markiert sind. a) b) c) d) e) A B C D E 3 Fehler am Zahlenstrahl Der folgende Zahlenstrahl ist teilweise fehlerhaft. Beschreibe alle Fehler Zeichne jeweils einen 16 cm langen Zahlenstrahl in dein Heft und trage die folgenden Zahlen möglichst genau ein. a) 25, 1, 15, 6, 725 b) 1, 1, 12, 25, 28

7 1.1 Der Zahlenstrahl und die Menge der natürlichen Zahlen 13 5 Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung und berichtige alle falschen Aussagen. a) Am Zahlenstrahl liegt die Zahl 5 in der Mitte von und 1. b) Die Zahl 1 ist am Zahlenstrahl doppelt so weit von entfernt wie 1. c) Die Zahl 978 liegt am Zahlenstrahl links von der Zahl 987. d) Wählt man am Zahlenstrahl die Einteilung 1 cm entspricht 1, dann muss man nach 1 cm die Zahl 1 eintragen. e) Möchte man einen Zahlenstrahl bis 1 Million mit etwa 1 cm Länge ins Heft zeichnen, dann ist es sinnvoll, die Einteilung 1 cm entspricht 1 zu wählen. f) 1 ist am Zahlenstrahl von gleich weit entfernt wie 9 von 1. Menge der natürlichen Zahlen 6 Setze in deinem Heft die Zeichen und so für die Kästchen ein, dass wahre Aussagen entstehen. a) 1 N b) 1 N c) N d) 473 N e),33 N f) 11 { 1; 3; 5; 7; } 7 Diskutiere mit deinem Nachbarn, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Erklärt eure Entscheidung. a) Es gibt eine größte und kleinste natürliche Zahl. b) Du würdest mehrere Milliarden Jahre benötigen, um alle natürlichen Zahlen aufzuzählen. c) Jede gerade natürliche Zahl hat einen natürlichen Vorgänger. d) Jede ungerade natürliche Zahl hat einen natürlichen Vorgänger. e) Zwischen 1 und 1 liegen genau 89 natürliche Zahlen. f) Zwischen 5 und 5 liegen genau 4499 natürliche Zahlen. Noch fit? I Beschreibe, nach welcher Regel die Zahlenfolge aufgebaut ist, und ergänze die nächsten zwei Zahlen. a) 575; 665; 755; 845; 935; b) 2; 5; 11; 2; 32; 47 Trainieren Vertiefen Herausforderung 8 Beschreibe in Worten, welche Zahlenmengen hier notiert sind. Gib je drei weitere Elemente der Mengen an. a) b)

8 14 Kapitel 1 Natürliche und ganze Zahlen Urlaubsort London Wien Athen Amsterdam Lissabon Entfernung von München 9 km 35 km 15 km 65 km 195 km 9 Luis hat mit seinen Eltern bereits einige Städtereisen unternommen. Er recherchiert im Internet die unge fähren Entfernungen nach München in Luftlinie. a) Zeichne einen Zahlenstrahl mit geeigneter Einteilung und trage alle Städte darauf ein. b) Erläutere, wie lang Luis den Zahlenstrahl aus a) zeichnen müsste, wenn er auch das nächste Reiseziel Sydney (ungefähre Entfernung: 16 3 km) einzeichnen will. 1 Info Da die Division 1 : 5 aufgeht, ist 5 ein Teiler von 1. 1 Zeichne auf weißes Papier eine beliebig lange Linie. Sie ist dein Zahlenstrahl. Markiere am einen Ende und in der Nähe des anderen Ende 1 Million. Schätze die Lage der Werte 5 ; 25 ; 75 ; 9 ; 1 und 5 und zeichne sie ein. Beschreibe dein Vorgehen. 11 Die Menge aller Teiler der Zahl 18 nennt man die Teilermenge von 18 und kürzt sie mit T (18) ab. a) Gib die Menge T (18) mit ihren sechs Elementen an. b) Formuliere je drei wahre Aussagen der Form T (18) und T (18). c) Gib die Teilermengen T (1), T (8), T (19) und T (24) an. 12 Die Menge aller Vielfachen der Zahl 5 nennt man die Vielfachenmenge von 5 und kürzt sie mit V (5) ab. a) Formuliere fünf wahre Aussagen der Form V (5). Erläutere, dass V (5) unendlich viele Elemente hat. b) Formuliere fünf wahre Aussagen der Form V (5). c) Gib je fünf Elemente der Vielfachenmengen V (1), V (8), V (19) und V (24) an. Trainieren Vertiefen Herausforderung 13 Zeichne einen Zahlenstrahl der Länge 16,5 cm auf kariertes Papier. Beschrifte ihn wie im Bild und zerschneide ihn dann entlang der roten Linien in sechs Teile. A B C D 3 a) Stelle durch Umordnung der Teile A bis D einen neuen Zahlenstrahl zusammen. Zeichne alle Möglichkeiten ins Heft und beschrifte jeden Zahlenstrahl vollständig. b) Für einen möglichen Zahlenstrahl gibt es keine Beschriftung der Teilstriche mit natürlichen Zahlen. Beschreibe, um welche Kombination der Zahlenstrahlteile es sich handelt und erkläre, warum sich hier keine natürlichen Zahlen ergeben.

9 1.2 Das Dezimalsystem und große natürliche Zahlen Das Dezimalsystem und große natürliche Zahlen Einstieg Planetensystem Die Abstände der einzelnen Planeten von der Sonne sind riesig und kaum vorstellbar. In der Tabelle sind die Planeten nach ihrer Größe sortiert. a) Gib an, welche Entfernung zur Sonne die kleinste und welche die größte ist. Erkläre jeweils deine Antwort. b) Ordne die Planeten nach ihrer Entfernung zur Sonne. Beginne mit der geringsten Entfernung. Planet Entfernung zur Sonne in Kilometer Merkur Mars Venus 18 2 Erde Neptun Uranus Saturn Jupiter Wissen Beachte Zahlwörter unter einer Million schreibt man zusammen und klein. Über einer Million schreibt man sie getrennt und die Stufe jeweils groß. Weitere Zahlwörter: Billiarde, Trillion, Trilliarde, Quadrillion, Quadrilliarde, Quintillion, Quintilliarde... Dezimalsystem Du kannst eine natürliche Zahl mithilfe von zehn Ziffern schreiben. Dabei hat die Ziffer je nach Position eine andere Bedeutung. Zum Beispiel steht die Ziffer 5 in der Zahl 59 für 5 Zehner, in der Zahl 59 dagegen für 5 Hunderter. Da die Stelle, an der die Ziffer steht, ihren Wert festlegt, ist unser Zahlensystem ein Stellenwertsystem. Es gibt auch andere Zahlensysteme, zum Beispiel das Römische Zahlensystem (S. 24/25), dies ist kein Stellenwertsystem. Die Stellenwerttafel gibt den Wert jeder Ziffer an. Billionen Milliarden Millionen Tausender HB ZB B HMd ZMd Md HM ZM M HT ZT T H Z E hundertdrei Billionen eine Milliarde Beispiel 1: Dezimalsystem a) Schreibe in Ziffern: vierzig Billionen zweihundertdrei Millionen siebentausendunddrei Notiere die wichtigsten Stufen und wie häufig sie in der Zahl vorkommen. B Md M T Alternativ: 4 ZB 2 HM 3 M 7 T 3 E vierzigtausend b) Schreibe in Worten: achthundertvierundsechzig Millionen dreihundertzweiundfünfzig Schreibe die Zahl in Dreierblöcken. B Md M T dreiundzwanzig Billionen fünfzig Milliarden vier Millionen fünfhunderttausendfünfhundertfünf

10 16 Kapitel 1 Natürliche und ganze Zahlen Hinweis Das Zeichen bedeutet ist ungefähr gleich. Die Zahlen 1; 1; 1; 1; 1 ; 1 ;, die du als Stufe aus der Stellenwerttafel kennst, nennt man Stufenzahlen. Da die nächste Stufenzahl jeweils den zehnfachen Wert der vorangehenden hat, heißt unser Stellenwertsystem Zehnersystem oder Dezimalsystem. Die Stufenzahlen lassen sich mithilfe von Zehnerpotenzen kürzer schreiben: 1 = hoch 3 1 = hoch 9 3 Endnullen 9 Endnullen Bei Zehnerpotenzen gibt die Hochzahl die Anzahl der Endnullen an. Auch große Zahlen mit vielen Endnullen lassen sich mit Zehnerpotenzen kürzer schreiben, z. B. 3 = oder 27 = Zahlen runden Manchmal genügt es, eine Zahl nur ungefähr zu kennen. Wenn du eine Zahl auf Zehner/Hunderter/Tausender/ rundest, dann näherst du sie durch den nächstgelegenen Zehner/Hunderter/Tausender/ an. H Auf Hunderter runden: Hier wird abgerundet T Auf Tausender runden: Hier wird aufgerundet Die Rundungsregel gibt an, ob du aufrunden oder abrunden musst. Dies erkennst du nicht an der Stelle, auf die gerundet werden soll, sondern nur an der nachfolgenden Stelle. Bei, 1, 2, 3, 4 rundet man ab. Bei 5, 6, 7, 8, 9 rundet man auf. Vor allem bei großen Zahlen gewinnst du durch Runden eine bessere Übersicht. Zum Beispiel gilt Beispiel 2: Runden Runde die Zahl auf a) Zehntausender. Markiere die Zehntausen der-stelle und nimm die nach folgende Stelle unter die Lupe. Wegen der 3 musst du abrunden. ZT Beachte: Auf die Ziffern rechts von der 3 kommt es beim Runden nicht an! b) Millionen. Markiere die Millionen-Stelle und nimm die nachfolgende Stelle unter die Lupe. Wegen der 7 musst du aufrunden. M

11 1.2 Das Dezimalsystem und große natürliche Zahlen 17 Aufgaben Trainieren Vertiefen Herausforderung Dezimalsystem 1 Trage die folgenden Zahlen in eine Stellenwerttafel ein. a) c) 5 HMd 3 ZMd 2 Md 2 ZM 5 ZT 4 E b) d) 5 B 34 Md 27 M 9 T 22 E e) drei Billionen vierhundertzwölf Milliarden zweihundertsechs Millionen einunddreißigtausendfünfhundertsiebenundzwanzig f) dreihundertsechs Billionen drei Millionen sechzigtausendundvier 2 Trage die Zahlen in eine Stellenwerttafel ein und gib sie in Ziffern und Wortform an. Beschreibe, welche Schwierigkeiten sich ergeben. a) 4 HT 12 ZT 7 T 7 H 2 Z 22 E b) 23 HMd 6 Md 14 HM 2 ZM 3 M 17 HT 35 E 3 Ordne zu, wer welche Zahl genannt hat. Eine Zahl bleibt übrig. 2 ; 22 ; 22 ; 22 ; 2 ; 22 ; 2 ; 22 ; 22 Julia zwei Millionen Kevin zweihundertzwei Milliarden Pepe zweiundzwanzig Millionen Anton zweiundzwanzig Milliarden Luis zweihundertzwanzig Millionen Hanna zwei Milliarden Clara zweihundertzwanzig Milliarden Nele zweihundertzwei Millionen 4 Simon möchte die Zahl vorlesen. Dazu teilt er sie übersichtlich in Dreierblöcke ein: Beschreibe, was er dabei falsch gemacht hat. Korrigiere seinen Fehler und lies die Zahl laut vor. 5 Notiere die folgenden Zahlen in Worten. Eine Stellenwerttafel oder übersichtliche Dreierblöcke können dir helfen. a) 3, 3, 3, 3 b) 48, 48, 48, 48 c) 227, 227, 227, 227 d) 1111, 1111, 1111, 1111

12 18 Kapitel 1 Natürliche und ganze Zahlen 6 Gib die Zahlen sowie ihren Vorgänger und Nachfolger übersichtlich Vorgänger Zahl Nachfolger in einer Tabelle an. Lies dann alle Zahlen laut vor. a) , 99999, 54399, 1111 b) 1 M, 3 Md, 11 B, 7 HB c) 4 B 65 M 2 T, 76 Md 9 E, 4 ZM 8 ZT 9 Z, 1 HMd 4 ZM d) sechs Millionen dreihundertdreizehntausendvierhundertsiebenundsiebzig, zweiundzwanzig Milliarden dreihundertvier Millionen sechstausendundsiebzehn, einhundertvierzig Billionen siebentausendachthundertneunundvierzig, siebenhundertsechs Billionen zweiundzwanzig Milliarden sechsundneunzig Millionen 7 Ordne die Zahlen wie angegeben und lies dabei alle Zahlen laut vor. Beginne bei a) und b) mit der kleinsten Zahl und bei c) und d) mit der größten Zahl. a) ; ; ; ; 74 5 ; b) ; ; ; ; ; c) 5 Md 3 HT; 5 ZMd 3 HT; 5 ZMd 3 T; 5 HMd 3 H; 5 HMd 3 ZT; 5 Md 3 H d) 3 B 622 T 49; 3 B 622 M 49; 3 B 622 M 49 T; 3 M 622 T 49; 3 B 622 Md 49 T; 3 B 622 Md 49 8 Gib die folgenden Zahlen in Ziffern an vier Millionen zwölftausend dreihundertsiebzig Milliarden fünfhundertacht Millionen neunhundertfünfzigtausendzweihundertzwölf zwei Billionen hunertdreizehn Milliarden neunhundertneunzig Millionen achtzigtausendvierhundertsechsundfünfzig hundert Millionen dreihundertachtzehntausendvierhundertvierunddreißig dreihundert Billionen zwei Milliarden vierhundert 9 Noa behauptet: Die Zahl ist größer als , da die 5 größer als die 4 ist. Nimm kritisch dazu Stellung. 1 Gib die Zahlen ohne Zehnerpotenz-Schreibweise an und lies sie laut vor. a) b) c) d) e) f) Lies die Zahlen laut vor und gib sie mithilfe einer Zehnerpotenz an. a) 1 ; 1; 1; 1 ; 1 ; 1 b) 6 1; 6 1 ; 4; 5 ; 75 c) 4 B; 45 Md; 78 Md 457 T; 57 Md 45 M

13 1.2 Das Dezimalsystem und große natürliche Zahlen 19 Hinweis Manchmal findest du für Million die Abkürzung Mio. und für Milliarde Mrd. 12 Jeweils drei Zahlen sind gleich. Gib alle Dreiergruppen an. 3 Mio. 3 Mrd. 3 Mio. 3 Mio. 3 Mrd Gib an, welche Zahlen jeweils durch die Pfeile markiert sind. a) b) c) 1 Md 5 M 1 M d) 2 B A B C D E 14 Trage die folgenden Zahlen auf einem Zahlenstrahl ein. a) 12 Md; 3 ; 18 Md; 7 b) 6 B; 8 ; 1 HB 2 ZB; 2 ZB 5 B Zahlen runden 15 Lies die folgenden Zahlen laut vor. Runde sie anschließend auf Tausender. a) b) c) d) 1 M e) f) g) 145 H h) i) Lies die folgenden Zahlen laut vor. Runde sie anschließend auf die in Klammern angegebene Stelle. a) (T) (ZT) (HT) b) (HT) (M) (ZM) c) (M) (HM) (Md) 17 In einer Zeitungsmeldung heißt es: Im Jahr 214 besuchten Personen den Münchner Tierpark; 7 davon nutzten Dauer- oder Familienkarten. Erläutere, weshalb die Zahlenangaben so nicht sinnvoll sein können. 18 Gib die größte und die kleinste Zahl an, die zu dem angegebenen gerundeten Wert führt. a) Auf Hunderter gerundet: 7 b) Auf Tausender gerundet: 5 c) Auf Hunderter gerundet: 96 d) Auf Millionen gerundet: 1 e) Auf Millionen gerundet: 233 6? 7? 8

14 2 Kapitel 1 Natürliche und ganze Zahlen 19 Du kannst bei 47 3 in die roten Kästchen Ziffern einsetzen. Finde drei verschiedene Ziffernpaare, so dass bei der entstehenden fünfstelligen Zahl a) das Runden auf Tausender 47 ergibt. Beschreibe, welche Ziffern möglich sind. b) das Runden auf Hunderter 47 6 ergibt. c) sowohl das Aufrunden auf Hunderter als auch das Aufrunden auf Tausender zu demselben Ergebnis führt. Vermischte Aufgaben 2 Ein Journalist hat einen Bauern über seinen Hühnerstall interviewt und anscheinend die Sache etwas zu genau genommen. Runde die Zahlen so, dass die Informationen einprägsam sind. Münsterlandkurier Ein typischer Hühnerhof produziert mit Hennen täglich Eier und hat ständig 8971 Küken in der Aufzucht. Jedes Huhn legt im ersten Jahr 253 Eier, in den 25 Wochen danach noch mal 13 Eier. Das halbautomatische Sammeln, Sor tieren und Verpacken der Eier dauert eine Stunde am Tag. Die Tagesproduktion landet in 31,23 Kisten. Jede Woche werden 7618 kg Futtermittel ange liefert. 21 Bill Gates ist seit vielen Jahren einer der reichsten Menschen der Welt. Im Jahr 213 wurde sein Vermögen auf mehr als 6 Milliarden US-Dollar geschätzt. a) Ermittle, wie viele Häuser zum Preis von 1 Million US-Dollar sich Bill Gates leisten kann. b) Ermittle, wie viele Monate (Jahre) Justin sein Taschengeld (1 $ pro Monat) sparen müsste, damit er auch so viel Geld wie Bill Gates besitzt. 22 Seit Herbst 214 gilt der FC Bayern München als weltweit mitgliederstärkster Sportverein. Laut der offiziellen Bundesliga-Internetseite hatte er zu diesem Zeitpunkt 251 Mitglieder. Am selben Tag konnte man in der Zeitung lesen, dass der Verein 25 Mitglieder umfasst, während die offizielle Website des FC Bayern angab. Erläutere, wie es zu den unterschiedlichen Zahlenangaben kommen kann. 23 Justus und Linus sollen berechnen und auf Hunderter runden. Justus schreibt: Linus schreibt: = = Erläutere beide Lösungen und gehe dabei auf einen möglichen Fehler ein. 24 Paula behauptet: Es ist egal, ob ich eine Zahl sofort auf Tausender runde oder ob ich sie zuerst auf Hunderter und im nächsten Schritt auf Tausender runde. Diskutiere mithilfe von Beispielen Paulas Aussage mit deinem Nachbarn.

15 1.2 Das Dezimalsystem und große natürliche Zahlen 21 Noch fit? I Eine Umfrage hat die durchschnittliche Anzahl der Hörer pro Tag ermittelt. Die Hörer wurden außerdem gefragt, ob sie bis 2 Jahre, zwischen 21 und 5 Jahre oder über 5 Jahre alt sind. a) Gib an, wie viele Hörer zwischen 21 und 5 Jahren der Sender Fun Radio hat. b) Bestimme die Anzahl aller Hörer bis 2 Jahre, die einen der drei Sender hören Anzahl Hörer/Tag Rockwave bis ab 51 Fun Radio Superwelle c) Ermittle die Anzahl der Hörer ab 51 Jahren, die jeder Sender hat. Gib auch die Unterschiede zwischen den Sendern an. Trainieren Vertiefen Herausforderung 25 In der Tabelle siehst du die Bevölkerungszahlen der bevölkerungsreichsten USA 321 Land Bevölkerung in Mio. Länder der Welt und der Europäischen China 1367 Union mit 28 Mitgliedsstaaten (EU-28) Brasilien 24 (Stand 215). EU a) Ordne die Länder nach der Indien 1251 Einwohnerzahl. Indonesien 256 b) Veranschauliche die Bevölkerungszahlen am Zahlenstrahl. Runde dazu geeignet und finde eine passende Einteilung des Zahlenstrahls. c) Gib an, in welchen Ländern mehr als eine halbe Milliarde Menschen leben. 26 In einem Artikel über Rüdiger Gamm, eines der größten Rechengenies der Welt, heißt es: Wie viel ist 43 hoch 2? Rüdiger Gamm schließt die Augen ( ). Wenige Sekunden später sprudeln Zahlen aus ihm heraus ( ): 467 Quintillionen, 56 Quadrilliarden, 167 Quadrillionen, 777 Trilliarden, 397 Trillionen, 914 Billiarden, 441 Billionen, 56 Milliarden, 671 Millionen, 494 Tausend und eins. Erstelle mithilfe des Artikels eine Stellenwerttafel und trage die Zahl ein. 27 Ein Lichtjahr bezeichnet die Strecke, die das Licht in einem Jahr zurücklegt. Es beträgt m, das entspricht cm beziehungsweise mm. Trage diese Zahlen in die Stellenwerttafel aus Aufgabe 25 ein und lies sie laut vor.

16 22 Kapitel 1 Natürliche und ganze Zahlen 28 Luzia und Benedikt legen in einer Stellenwerttafel mit Plättchen Zahlen. Luzia: Benedikt: HM ZM M HT ZT T H Z E HM ZM M HT ZT T H Z E a) Schreibe beide Zahlen in Ziffern und in Worten. b) Ordne die Zahlen. Verwende das Zeichen >. c) Gib den Vorgänger und den Nachfolger von beiden Zahlen an. Erläutere dein Vorgehen. d) Notiere die drei größten Zahlen, die du mit fünf Plättchen legen kannst. e) Gib die kleinste Zahl an, die du erhältst, wenn du bei Luzia ein Plättchen entfernst. f) Gib die größte Zahl an, die du erhältst, wenn du bei Benedikt ein Plättchen verschiebst. 29 In einem Stempelset gibt es einen Stempel für jede Ziffer von bis 9. a) Gib die größte achtstellige Zahl an, die du ohne die 9 drucken kannst. b) Gib die kleinste elfstellige Zahl an, die du ohne die drucken kannst. c) Gib die kleinste zehnstellige Zahl an, die du drucken kannst, wenn alle Stempel außer der mit der 1 mindestens einmal verwendet werden müssen. d) Gib die größte neunstellige Zahl an, die du drucken kannst, wenn genau drei verschiedene Stempel verwendet werden. e) Notiere selbst solche Zahlenrätsel und erstelle für jedes eine Musterlösung. 3 In einem Zahlenbaukasten gibt es eine Karte für jede Ziffer. a) Sophia wettet mit Lukas, dass er es nicht schafft, die kleinste elfstellige Zahl in 1 Sekunden zu legen. Erkläre, wie hoch ihre Gewinnchance ist. b) Sophia legt die Zahl und behauptet, dass das die kleinste neunstellige Zahl ist, die man legen kann. Beschreibe Sophias Fehler und verbessere ihre Zahl. c) Kilian hat den gleichen Baukasten. Er hat jedoch einige Karten verloren. Mit seinen Karten ist die kleinste fünfstellige Zahl, die er legen kann. Erläutere, wie viele Karten er mindestens verloren hat und gib an, welche es sind. Sebastian hat auch einen Zahlenbaukasten, der eine Karte für jede Ziffer enthält sowie die zwei zusätzlichen Zahlenkarten 75 und 25. d) Gib die größte fünfzehnstellige Zahl an, die er legen kann und begründe, weshalb er nicht mit der größten Zahlenkarte 25 beginnen darf.. e) Gib die kleinste zehnstellige Zahl an, die er legen kann. f) Gib die größte achtstellige Zahl an, die er legen kann, wenn er beide Zahlenkarten (75 und 25) verwenden soll.

17 1.2 Das Dezimalsystem und große natürliche Zahlen Erläutere, welche der folgenden Zahlenangaben vermutlich gerundet sind. Gib an, in welchem größtmöglichen Bereich der exakte Zahlenwert liegen kann. a) Der Eurotunnel, der England mit Frankreich verbindet, ist 49 9 m lang. b) Die Allianz Arena in München hat Sitzplätze. c) Vor 65 Millionen Jahren starben die Dinosaurier aus. d) Der Mount Everest ist mit seinen 8848 m der höchste Berg der Welt. e) Die Entfernung von der Erde zum Mond beträgt km. f) Ein Kilometer hat 1 Meter. 32 Rechts siehst du zwei Anzeigen für Gebrauchtwagen aus einer alten Zeitung. Die Angaben für den Kilometerstand sind jeweils gerundet. a) Ermittle bei beiden Autos den größten und kleinsten Kilometerstand, der zu den gerundeten Kilometerangaben führt. Anzeigen: KFZ-Markt Dasuki Bingo, Liberty, rot, Faltdach, Bj. 7/14, 25 tkm, VB 49 Dasuki Bingo, Liberty, Faltdach, R/CD, Bj. 6/14, 26 km, 48 b) Ermittle den größten und kleinsten Unterschied, den die Kilometerstände beider Autos in Wirklichkeit haben können. 33 Bilde aus den Wortteilen vierzig ; Millionen, Milliarden vier hundert acht möglichst viele Zahlen. Notiere sie in Worten und in Ziffern. Trainieren Vertiefen Herausforderung 34 In einem Stempelset gibt es einen Stempel für jede Ziffer. a) Ermittle, wie viele verschiedene dreistellige Zahlen du damit stempeln kannst. b) Ermittle, wie viele der dreistelligen Zahlen an der Einerstelle eine 1 haben. c) Ermittle, wie viele verschiedene Zahlen es gibt, wenn ein Stempel fehlt. d) Ermittle, wie viele zehnstellige Zahlen du drucken kannst, bei denen jeder Stempel nur einmal verwendet werden darf. 35 Spiel für zwei Personen Ihr benötigt einen Würfel und je ein Blatt mit einer Stellenwerttafel bis Hunderttausender. Es wird abwechselnd gewürfelt; jeder Spieler trägt die Augenzahl an einer beliebigen Position seiner Stellenwerttafel ein. Die größte sechsstellige Zahl gewinnt. a) Spielt insgesamt drei Runden. b) Beschreibe, wie du vorgehst, um eine möglichst große Zahl zu erhalten. c) Erkläre, welche sechsstelligen Zahlen im Spiel nicht vorkommen können. d) Erkläre, wie viele verschiedene Zahlen sich beim Spiel ergeben können.

18 24 Kapitel 1 Natürliche und ganze Zahlen Thema Römische Zahlen Im Alltag sind dir bestimmt schon andere Zahlen aufgefallen. Unsere Schreibweise mit den arabischen Ziffern ist noch gar nicht so alt. Wir verwenden sie erst seit ca. 5 Jahren. Vorher wurden die römischen Zahlzeichen genutzt. Du findest sie manchmal noch bei Uhren, an Häusern oder Denk mälern. Schau dir das Bild ganz genau an und beschreibe, wie die Römer ihre Zahlen 1 bis 12 gebildet haben. Als Marie sich im Klassenraum umsieht, wundert sie sich, dass dieses Ziffernblatt der Uhr ein wenig anders aussieht. Lukas erklärt ihr auch wieso. Die Römer hatten noch nicht so feste Regeln. Sie haben die Zahlen teilweise sehr unterschiedlich gebildet. Sie haben zum Beispiel auch mehr als drei gleiche Zahlzeichen hintereinander geschrieben. Die Zahl 4 konnte zum Beispiel als ΙΙΙΙ oder als ΙV geschrieben werden. Später wurden Regeln vereinbart, damit es eindeutige Zahlen gibt. Folgende Zahlzeichen gibt es bei den Römischen Zahlen: So kannst du dir die Zeichen leicht merken. Römisches Zahlzeichen I V X L C D M Arabische Zahl Merkhilfe 1 ct ille Spätere Regeln für die römischen Zahlen I. Die Zahlzeichen notiert man normalerweise der Größe nach und zählt ihre Werte zusammen. XVI = = 16 DCXI = = 611 II. Manchmal steht jedoch ein Zeichen für eine kleinere Zahl vor einer grö ßeren. In diesem Fall wird der kleinere Wert vom größeren abgezogen. IX = 1 1 = 9 XL = 5 1 = 4 III. Die Zeichen I, X, C und M dürfen höchstens dreimal direkt hintereinander notiert werden. IV. Die Zeichen V, L und D dürfen in einer Zahl höchstens einmal notiert werden.

19 25 Aufgaben 1 Finde passende Paare. CXV 47 IIV 57 XLVII DCCV LXVII 3 CXIIV 115 MCCV Jahreszahlen an Gebäuden sind oft als römische Zahl geschrieben. a) Finde heraus, wann die abgebildeten Gebäude erbaut worden sind. b) Gehe selbst auf Erkundung in deiner Stadt. Fotografiere römische Zahlen und rechne sie in unsere Zahlen um. 3 Stellenwertsystem Anna sollte bei der Hausaufgabe die Zahlen umschreiben. 51 = VI 515 = VIV IIV = 115 VIII = 5111 a) Erkläre, welchen Denkfehler Anna bei jeder Lösung gemacht hat. b) Erkläre Anna, was sie beim Umwandeln beachten muss und gib die richtigen Lösungen an. c) Begründe, warum es sich beim Römischen Zahlensystem im Gegensatz zum Dezimalsystem um kein Stellenwertsystem handelt. d) Erläutere, welche Vorteile ein Stellenwertsystem gegenüber dem Römischen System hat. 4 Lege jeweils ein Streichholz um, damit die Gleichung stimmt. 5 Marie hat ein altes Papyrus-Stück mit einem magischen Quadrat gefunden. Leider sind paar Zahlen nicht mehr lesbar. Ergänze die Zahlen so, dass die Summe in jeder Zeile, jeder Spalte und jeder Diagonale gleich groß ist.

20 26 Kapitel 1 Natürliche und ganze Zahlen 1.3 Messen unter Null negative Zahlen Einstieg C Temperaturmessungen höchste In Würzburg wurden in der ersten Datum Temperatur Januarwoche die tiefsten und höchsten Tagestemperaturen gemessen. Beantworte die folgenden Fragen: Wann war es am wärmsten? An welchem Tag war es am kältesten? Wie groß war der Temperaturunterschied am 4. 1.? Um wie viel C war die tiefste Tagestemperatur am kälter als die höchste? An welchem Tag war der Temperaturunterschied am größten? C 2 C C 1 C C 2 C C 3 C C 5 C C 8 C C 7 C tiefste Temperatur Wissen Menge der ganzen Zahlen Werte von Größen können unterhalb der Null liegen. Vor ihnen steht dann ein Minuszeichen. Temperatur: 7 C steht für 7 C unter dem Gefrierpunkt von Wasser. Kontostand: 23 steht für 23 Schulden. Geografische Höhe: 23 m steht für 23 m unter dem Meeresspiegel. Z N Zahlen unter Null sind negative Zahlen. Sie haben ein negatives Vorzeichen (Minuszeichen). Die natürlichen Zahlen sind positive Zahlen. Die ist weder positiv noch negativ. Die Menge der natürlichen Zahlen N = { 1; 2; 3; } wird mit der Null und der Menge der negativen Zahlen { 1; 2; 3; } zur Menge der ganzen Zahlen Z = { ; 3; 2; 1; ; 1; 2; 3; } erweitert. Die natürlichen Zahlen kannst du zur besseren Unterscheidung mit einem Pluszeichen schreiben, z. B. +3 statt 3 oder +12 statt 12. Zahlengerade Ein Thermometer zeigt Werte unterhalb und oberhalb von null Grad. Durch Drehen des Thermometers liegen diese Werte links und rechts von der Null. Der Teil rechts von der Null erinnert an den dir bekannten Zahlenstrahl. C negative Werte positive Werte

21 1.3 Messen unter Null negative Zahlen 27 Durch Erweiterung des Zahlenstrahls erhältst du eine Zahlengerade negative Zahlen Null positive Zahlen Je weiter rechts eine Zahl auf der Zahlengeraden steht, desto größer ist sie. Beispiel 1: An der Zahlengeraden vergleichen Wähle zwei der grün eingetragenen Zahlen aus und vergleiche sie miteinander Z. B.: 7 liegt rechts von 1, es gilt 7 > 1; 25 liegt links von 13, es gilt 25 < Der Abstand einer Zahl von der Null auf der Zahlengeraden heißt Betrag dieser Zahl. Man schreibt z. B. 7 = 7 oder 7 = 7 bzw. +7 = 7. Es gilt =. Zahlen mit gleichem Abstand zu heißen Zahl und Gegenzahl. Die Gegenzahl zu 4 ist 4. Die Gegenzahl zu 12 ist 12. Beispiel 2: Beträge von Zahlen a) Bestimme die ganzen Zahlen, die den Betrag 5 haben. b) Markiere an einer Zahlengeraden alle Zahlen, deren Betrag kleiner als 4 ist. a) 5 und 5 haben den Abstand 5 von der Null. Es gilt 5 = 5 = 5. b) Einfache Rechnungen Rechnungen mit negativen Werten kannst du an der Zahlengeraden darstellen. Beim Addieren wanderst du nach rechts und beim Subtrahieren nach links. Beispiel 3: Einfache Rechnungen an der Zahlengeraden a) Die Temperatur beträgt 5 C und b) Lisa hat 2 und will etwas für 8 steigt um 3 C. Bestimme die jetzige kaufen. Bestimme, wie viel Geld sie sich Temperatur. leihen muss Start Ergebnis: = 2 Die Temperatur beträgt jetzt 2 C. Ergebnis: 2 8 = 6 Lisa muss sich 6 leihen. Start

22 28 Kapitel 1 Natürliche und ganze Zahlen Aufgaben C 3 Trainieren Vertiefen Herausforderung Menge der ganzen Zahlen 1 Ordne den am Thermometer markierten Punkten folgende Temperaturen zu: 6 C, C, 7 C, 18 C, 18 C, 1 C. A B C D E F Gib die geografischen Höhen der eingezeichneten Orte an. 3 Setze in deinem Heft die Zeichen und so für die Kästchen ein, dass wahre Aussagen entstehen. a) 1 N b) 1 Z c) 5 N d) 5 Z e) 1 N f) 1 N g) N h) Z Geografische Höhe in m Piratenkopf Festungshügel Sturmfelsen Todessenke Wrackgraben 4 Überprüfe auf Richtigkeit. Begründe deine Entscheidung. a) Die kleinste ganze Zahl ist Null. c) Es gibt keine kleinste ganze Zahl. b) Jede ganze Zahl ist eine natürliche d) Jede natürliche Zahl ist der Zahl. Vorgänger einer ganzen Zahl. Zahlengerade 5 Welche Zahlen stehen an den grünen Markierungen? Suche zuerst die Null und notiere dann die gesuchten Zahlen. a) b) 3 1 c) 3 18 Hinweis Einheit 1 cm bedeutet, dass zwei aufeinanderfolgende Zahlen auf dem Zahlenstrahl den Abstand 1 cm haben. 6 Zeichne eine Zahlengerade a) mit der Einheit 1 cm und trage die Zahlen 1; 7; 7; 3; 4; 2 und 5 ein. b) mit der Einheit 5 mm und trage die Zahlen 12; 3; 14; 2; 1; 1; 8 ein. c) mit der Einheit 1 mm und trage alle 5 mm eine Markierung ein. Veranschauliche die Zahlen 55; 25; 12; 37; 7; 64; 5 und Temperaturen ordnen Aus dem Europawetterbericht: Berlin bedeckt 4 C, Paris bedeckt 1 C, London Regen 6 C, Reykjavik sonnig 2 C, Oslo Schnee 6 C, Stockholm wolkig 4 C, Moskau heiter 6 C, Warschau heiter C, Wien bedeckt 5 C, Athen sonnig 22 C, Rom heiter 16 C, Madrid heiter 1 C. Sortiere die Städte nach ihrer Temperatur. Beginne mit der kältesten Stadt.

23 1.3 Messen unter Null negative Zahlen 29 Hinweis NN bedeutet Normal Null. Die Höhe wird dabei von einer festgelegten Meeresspiegelhöhe gemessen. 8 Höhenlagen ordnen Aus einem Geographiebuch stammen die nebenstehenden Angaben. Sortiere die Orte nach ihrer geografischen Höhe. 9 Ganze Zahlen ordnen Setze für das richtige Zeichen ein (<, >). a) 2 7 d) 7 2 b) 2 7 e) 3 c) 2 7 f) 3 8 Ort Totes Meer (Ufer) Feldberg, Schwarzwald Mount Everest Marianengraben Quito, Ecuador Höhe 42 m unter NN 1493 m über NN 8848 m über NN 1134 m unter NN 285 m über NN g) h) i) Gib jeweils die Gegenzahl und den Betrag an. a) 17; 3; 2; 31 c) 21; 614; 447; 1632 b) 1; 12; 46; 14 d) ; 6862; 1742; 215 e) ; 47; 712 f) 1 H 2 Z 6 E; 1 M 11 Zahlen und Beträge sortieren Sortiere die Zahlen nach ihrer Größe. Beginne mit der größten Zahl. Sortiere dann ihre Beträge aufsteigend. a) 12; 5; 2; 6; 9; 4 b) 222; 436; 1138; 532; 478; Wähle aus den nebenstehenden Zahlen aus: a) drei Zahlen, die kleiner sind als 11. b) alle Zahlen, die größer sind als 1. 1; 4; 3; 14; 1; 13; 13; 17; 12; 22; 2; 11; 33; Einfache Rechnungen 13 Am Montag betrug die Temperatur 2 C. Am nächsten Tag fiel die Temperatur um 4 Grad, am darauf folgenden Tag um weitere 3 Grad. An den beiden nächsten Tagen wurde es etwas wärmer, die Temperatur stieg jeweils um 3 Grad. Gib die Temperatur am Freitag an. 14 Sina hat noch 8 Euro Taschengeld. Damit möchte sie ins Kino gehen und Popcorn und Cola kaufen. Die Eintrittskarte kostet 6 Euro, eine mittlere Portion Popcorn mit Cola 5 Euro. Beschreibe Sinas Problem und schlage eine Lösung vor. 15 Eine zweitägige Fahrradtour um das IJsselmeer (Niederlande) begann auf einer geografischen Höhe von 5 m. Die Strecke am ersten Tag führte immer leicht aufwärts. Die Stadt für die Übernachtung lag 6 m höher als der Startpunkt. Am zweiten Tag ging es mit einem Höhenunterschied von 17 m abwärts. Bestimme die geografische Höhe am Ende der Fahrradtour.

24 3 Kapitel 1 Natürliche und ganze Zahlen Tipp Du kannst Rechnungen wie in Nr. 16 immer in Sachzusammenhänge wie in Nr. 13, 14 oder 15 übersetzen. 16 Zeichne eine Zahlengerade von 12 bis 12 und rechne daran. a) 6 4 b) 6 6 c) 6 8 d) 2 8 e) 4 5 f) g) h) Lösungswort: 12 (r); 9 (a); 7 (n); 6 (i); 3 (e); 2 (d); (n); 2 (i); 3 (s); 5 (e); 6 (l) 17 Rechne an einer Zahlengeraden. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, was dir auffällt a) b) c) 7 11 d) 7 11 e) f) g) 11 7 h) Kontostände Berechne die fehlenden Größen. alter Kontostand Belastung (Soll) Gutschrift (Haben) neuer Kontostand Vermischte Aufgaben 19 Gib jeweils zwei Zahlen mit den geforderten Eigenschaften an: a) ganze Zahlen, die zwischen 1 und 99 liegen b) negative Zahlen, die zwischen 5 und 5 liegen c) natürliche Zahlen, die zwischen 1 und 21 liegen und kleiner als 3 sind d) ganze Zahlen, die zwischen 88 und 82 liegen und größer als 85 sind 2 Wahrheit oder Lüge? Überprüft auf Richtigkeit. Begründet falsche Aussagen mit einem Gegenbeispiel. a) Die größte zweistellige negative Zahl ist 99. b) Die kleinste dreistellige ganze Zahl ist 1. c) Alle ganze Zahlen sind positiv. d) Der Betrag einer ganzen Zahl ist stets positiv. e) Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige größer, die den größeren Betrag hat. f) Die Menge der ganzen Zahlen besitzt kein kleinstes Element. g) Jede ganze Zahl hat eine Gegenzahl. 21 Vorgänger und Nachfolger Bestimme zu jeder Zahl den Vorgänger und den Nachfolger. a) b) 1 c) 2 d) 179 e) 179 f) 1199 g) 2 h) 2

25 1.3 Messen unter Null negative Zahlen Erkläre, nach welchem System die Zahlenfolgen aufgebaut sind. Notiere jeweils die nächsten drei Zahlen: a) 2; 4; 6; 8; b) 2; 4; 6; 8; c) 3; 1; 1; 3; d) 4; 1; 6; 11; e) 5; 3; 4; 2; f) 1; 3; 6; 1; Lösungswort: 22 (s); 8 (n); 5 (u); 3 (e); 1 (m); (i); 3 (t); 12 (l); 14 (p); 19 (r) 23 Finde auf der Zahlengeraden die Mitte zwischen den beiden angegebenen Zahlen. a) 8 und 2 b) 7 und 31 c) 4 und 4 d) 4 und 2 e) 8 und 2 f) 3 und 14 Noch fit? Info Bei einem Spielwürfel ergeben die Augenzahlen auf gegenüberliegenden Seiten immer 7. I Der Spielwürfel wird wie angezeigt in Feld 1, dann in Feld 2, in Feld 3 bis in Feld 4 gekippt. a) Gib für jedes der Felder 1 bis 4 an, welche Augenzahl auf der oberen Seite des Würfels zu sehen ist. b) Stell dir vor, dass der Würfel im gleichen Zickzack-Muster weiter gekippt wird. Gib an, welche Augenzahl auf Feld 8 oben liegen würde Trainieren Vertiefen Herausforderung 24 Die Zahlen A, B und C sollen bestimmt werden. A C B Tim, Sophie, Felix und Marie haben die Aufgabe gelöst und vergleichen ihre Ergebnisse: Tim: A = 1; B = 6; C = 5 Sophie: A = 5; B = 25; C = 25 Felix: A = 3; B = 18; C = 15 Marie: A = 1, C = 5; B = 6 Wer hat die Aufgabe richtig gelöst? Begründe deine Antwort. 25 Bei einem Fernsehquiz ist Herr Kluge bei der Frage angekommen. Zum Glück kennt er die Geburtsjahre: Plutarch 46 n. Chr., Hadrian 76 n. Chr., Caesar 1 v. Chr., Seneca 4 v. Chr., Augustus 63 v. Chr., Kleopatra 69 v. Chr., Pythagoras 58 v. Chr. Der Moderator drängt auf eine Antwort. Erläutere, welche Antwort Herr Kluge geben soll. Welche der folgenden Persönlichkeiten aus der Antike wurde als drittes geboren? Plutarch Seneca Hadrian Augustus Caesar Kleopatra

26 32 Kapitel 1 Natürliche und ganze Zahlen 26 Zähle abwechselnd mit deinem Nachbarn. Stellt euch gegenseitig ähnliche Aufgaben. a) Zähle in 5-er Schritten von 75 bis + 5. b) Zähle in 25-er Schritten von 2 bis + 1. c) Zähle von 1 in fünf Schritten bis. d) Zähle von 1 in acht Schritten bis. e) Zähle von 1 in acht Schritten bis Zeichne eine Zahlengerade von 7 bis +7 und kennzeichne in der entsprechenden Farbe alle ganzen Zahlen, a) die von +2 genau 4 Einheiten entfernt sind in orange, b) die von 3 höchstens 3 Einheiten entfernt sind in grün, c) die von 2 mindestens 4 Einheiten entfernt sind in blau, d) die kleiner als +3 sind in rot, e) die größer als 5 sind in gelb. f) Erstelle eine Aufgabe, die als Lösung die Punkte auf der Zahlengerade hat, die sowohl grün als auch gelb markiert sind. 28 Zeichne jeweils Zahlengeraden von 6 bis +6 und kennzeichne die ganzen Zahlen, für die folgende Zahlenrätsel gelten. Gib deine Lösung auch in Mengenschreibweise an. a)? = b)? = 3 c)? = 3 d)? < 4 29 Welche ganze Zahl kann das sein? Erläutere deine Antwort. a) die kleinste positive Zahl d) Stelle eine ähnliche Frage und lasse b) die größte positive Zahl sie von deiner Nachbarin bzw. deinem c) die größte negative Zahl Nachbarn beantworten. Trainieren Vertiefen Herausforderung 3 In einem Bürohaus hat Mr Bean seinen Teddy verloren, bevor er in einen Aufzug stieg. Leider weiß er das Stockwerk nicht mehr. Er erinnert sich: Ich wollte sechs Stockwerke nach oben fahren, aber auf halbem Weg stieg eine Frau mit einem seltsamen Hut ein und fuhr mit mir acht Etagen hinunter. Dann wollte ich aussteigen, aber drei dicke Männer drängten mich in den Aufzug zurück. Sie wollten neun Etagen nach oben fahren. Drei Etagen davor drückte ich schnell auf HALT und stieg aus. Ich nahm den nächsten Aufzug und fuhr acht Stockwerke nach unten. Dort war es dunkel: Ich war im Keller gelandet! Hilf Mr Bean, seinen Teddy zu finden. Chefetage 9 Entwicklung 8 Einkauf 7 Werbung 6 Kantine 5 Buchhaltung 4 Marketing 3 Personalabteilung 2 Callcenter 1 Ausgang Tiefgarage A 1 Tiefgarage B 2 Tiefgarage C 3 Keller 4

27 33 Check up Was kannst du? Was musst du noch üben? Mit diesen Aufgaben kannst du deinen Lernfortschritt überprüfen. Lösungen findest du im Anhang. 1 Tassilo hat mit seinen Eltern schon einige Wanderungen unternommen. Aus den Urlauben hat er jeweils die maximale Höhe über dem Meeresspiegel herausgesucht, die sie erreicht haben. a) Runde alle Höhenangaben auf Hunderter. b) Zeichne dann einen Zahlenstrahl mit geeigneter Einteilung und trage alle gerundeten Höhenangaben ein. Reiseland (Berg) Maximal erreichte Höhe in m Italien (Vesuv) 1281 Niederlande (Vaalserberg) 327 Deutschland (Zugspitze) 2962 Zypern (Olympos) 1952 Spanien (Puig Major) Gib folgende Zahl in Ziffern an: vierzig Billionen vierhunderteine Million dreißigtausendundzwei 3 Gib Vorgänger und Nachfolger der folgenden Zahlen in Ziffern an. a) 4 Milliarden b) 1 6 c) 1 4 Auf den folgenden Ausschnitten von Zahlengeraden sind jeweils zwei Zahlen sowie die Mitte zwischen ihnen markiert. Gib die fehlenden Zahlen an. Beschreibe jeweils dabei, wie du vorgegangen bist. a) A C B b) c) 1 13 A C B 1 6 A C B Die Flugentfernung von Frankfurt nach Tokio beträgt auf Tausender gerundet 9 km. Gib die größte und die kleinste Entfernung an, die gerundet 9 km ergibt. 6 Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe jeweils deine Antwort. a) Jede gerade vierstellige natürliche Zahl enthält die Ziffer 2. b) Jede natürliche Zahl hat eine ganze Zahl als Vorgänger. c) Die kleinste dreistellige ganze Zahl ist 1. d) Der Betrag einer ganzen Zahl ist größer als diese Zahl. 7 Anja hat momentan 7 in ihrer Spardose. Sie möchte sich ein Buch für 1 und ein Eis für 3 kaufen. Ihre Oma schenkt 5. Berechne, wie viel Geld sie sich noch leihen muss, damit sie alles bezahlen kann.

28 34 Kapitel 1 Natürliche und ganze Zahlen Auf einen Blick Zahlenstrahl und Menge der natürlichen Zahlen klein N groß N Der Zahlenstrahl beginnt bei, endet aber nicht. Dies wird durch einen Pfeil dargestellt. Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zahlen ist stets gleich groß und wird als Einheit bezeichnet. Je weiter links eine Zahl am Zahlenstrahl steht, desto kleiner ist sie. Die Zahlen 1; 2; 3; 4; werden natürliche Zahlen genannt und zur Menge der natürlichen Zahlen N zusammengefasst. N = { 1; 2; 3; 4; } N = { ; 1; 2; 3; 4; } Schreibweise: 23 N 23 ist Element der Menge der natürlichen Zahlen. N ist kein Element der Menge der natürlichen Zahlen. Stellenwerttafel und Dezimalsystem Die Stellenwerttafel kann auf beliebig große Zahlen erweitert werden: Billionen Milliarden Millionen Tausender HB ZB B HMd ZMd Md HM ZM M HT ZT T H Z E Die Zahlen 1; 1; 1; 1; 1 ; 1 ; nennt man Stufenzahlen. Da die nächste Stufenzahl jeweils den zehnfachen Wert der vorangehenden hat, heißt unser Stellenwertsystem Zehnersystem oder Dezimalsystem. Die Stufenzahlen lassen sich mithilfe von Zehnerpotenzen kürzer schreiben: 1 = hoch 3 1 = hoch 9 3 Endnullen 9 Endnullen Runden Ob du aufrunden oder abrunden musst, erkennst du nicht an der Stelle, auf die gerundet werden soll, sondern nur an der nachfolgenden Stelle. Bei, 1, 2, 3, 4 rundest du ab. Bei 5, 6, 7, 8, 9 rundest du auf. H T Auf Hunderter runden: Auf Tausender runden: Z N Menge der ganzen Zahlen und Zahlengerade Die Menge der natürlichen Zahlen N = { 1; 2; 3; } wird mit der Null und der Menge der negativen Zahlen { 1; 2; 3; } zur Menge der ganzen Zahlen Z = { ; 3; 2; 1; ; 1; 2; 3; } erweitert. Die ist weder positiv noch negativ negative Zahlen Null positive Zahlen