Wirtschaftswissenschaftliche Bücherei für Schule und Praxis Begründet von Handelsschul-Direktor Dipl.-Hdl. Friedrich Hutkap

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1 Wirtschaftswissenschaftliche Bücherei für Schule und Praxis Begründet von Handelsschul-Direktor Dipl.-Hdl. Friedrich Hutkap Die Verfasser: Kurt Bohner Oberstudienrat Dipl.-Phys. Dr. Peter Ihlenburg Oberstudienrat Roland Ott Oberstudienrat Elke Gerling Oberstudienrätin Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. * * * * * * * * * *. Auflage by MERKUR VERLAG RINTELN Gesamtherstellung: MERKUR VERLAG RINTELN Hutkap GmbH & Co. KG, Rinteln info@merkur-verlag.de lehrer-service@merkur-verlag.de Internet: ISBN

2 Vorwort Der vorliegende Band ist ein Arbeitsbuch für das Wahlgebiet Lineare Algebra in allen beru ichen Gymnasien und Berufskollegs der Fachrichtung Wirtschaft und Verwaltung sowie Gesundheit und Soziales. Der Stoff in den einzelnen Kapiteln wird schrittweise anhand von Musterbeispielen mit ausführlichen Lösungen erarbeitet. Dabei legen die Autoren großen Wert auf die Verknüpfung von Anschaulichkeit und sachgerechter mathematischer Darstellung. Die übersichtliche Präsentation und die methodische Aufarbeitung beein usst den Lernerfolg positiv und bietet dem Schüler die Möglichkeit, Unterrichtsinhalte selbstständig zu erschließen bzw. sich anzueignen. Jede Lerneinheit schließt mit einer ausreichenden Anzahl von Aufgaben ab. Diese sind zur Ergebnissicherung und Übung gedacht, aber auch als Hausaufgaben geeignet. Am Ende eines jeden Kapitels ndet der Schüler eine Zusammenfassung, die den Stoff in übersichtlicher Darstellung auf das Wesentliche konzentriert. Aufgaben mit unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad, die es dem Schüler ermöglichen, den Stoff zu festigen und zu vertiefen, beenden jedes Kapitel. Beispiele und Aufgaben aus dem Alltag stellen einen praktischen Bezug her. Materialver echtung, das Leontief-Modell, Stochastische Matrizen und die Lineare Optimierung werden als Anwendungsgebiete ausführlich behandelt. Um dem Schüler eine schnelle Orientierung über die Inhalte zu ermöglichen, werden Farben als Gestaltungsmittel eingesetzt. Aufgabenbeispiele und Aufgaben sind grau hinterlegt. De nitionen, Festlegungen, Merksätze und mathematisch wichtige Grundlagen sind rot hinterlegt. Bemerkungen, Hinweise und Beachtenswertes sind blau hinterlegt. Hinweise und Anregungen, die zur Verbesserung beitragen, werden dankbar aufgegriffen. Die Verfasser

3 Inhaltsverzeichnis I. Grundlagen..9 Rechnen mit Matrizen 9. Einführung..9. Begriffe... Addition von Matrizen. Skalare Multiplikation. Multiplikation von Matrizen Lineare Gleichungssysteme... Einführung. Lösung von linearen Gleichungssystemen.... Das LGS ist eindeutig lösbar.... Das LGS ist unlösbar... Das LGS ist mehrdeutig lösbar... Homogene lineare Gleichungssysteme... Rang einer Matrix.8. Aufgabenbeispiele. Lineare Gleichungssysteme mit Parameter. Inverse Matrix und Matrizengleichungen... Inverse Matrix... Berechnung der inversen Matrix.... Existenz der inversen Matrix... Matrizengleichungen. 9 II. Anwendungen Lineare Ver echtung bei mehrstu gen Produktionsprozessen.. Ver echtungsmatrizen. Produktions- und Verbrauchsvektoren 8. Kosten.. Parameter bei Ver echtungsaufgaben.8. Aufgaben zur Abiturvorbereitung.8

4 Das Leontief-Modell.9. Beschreibung des Leontief-Modells 9. Inputmatrix..9. Problemstellungen beim Leontief-Modell... Die Konsumabgabe hängt von der gegebenen Produktion ab... Die Produktion richtet sich nach der erwarteten Nachfrage... Der Produktionsvektor und der Konsumvektor sind teilweise gegeben 9. Aufgaben zur Abiturvorbereitung.. Stochastische Matrizen. 9. Beschreibung des Markow-Modells. 9. Stationäre Verteilung und Grenzverteilung. Zyklische Verteilungen Lineare Optimierung.. Grafische Lösung von linearen Ungleichungssystemen.. Lösungsverfahren von Optimierungsaufgaben.. Gra sche Lösung von linearen Optimierungsaufgaben... Die Optimierungsaufgabe hat eine eindeutige Lösung oder keine Lösung.... Die Optimierungsaufgabe hat eine mehrdeutige Lösung... Algebraische Verfahren zur Lösung von linearen Optimierungsaufgaben 9.. Eckpunktberechnungsmethode 9.. Simplexverfahren 9 Simplexverfahren für die Normalform des Maximumproblems 9 Simplexverfahren und mehrdeutige Lösung.9. Aufgaben zur Prüfungsvorbereitung. Anhang Stichwortverzeichnis Formeln zur linearen Algebra 8

5 I. Grundlagen Rechnen mit Matrizen. Einführung Beispiele Eine Junioren rma in einer Schule verkauft an drei Verkaufsständen Disketten, Schreibblöcke, Kugelschreiber und Bleistifte. Die folgende Tabelle zeigt die Verkaufszahlen für einen Tag. Diskette Schreibblock Kugelschreiber Bleistift Stand 8 Stand Stand Die Zahlen der Tabelle kann man in einem Zahlenschema eindeutig darstellen. ( 8 Ein solches Zahlenschema heißt Matrix. Da sie aus Zeilen und Spalten besteht, sagt man: Es liegt eine mal Matrix vor. Sie hat das Format (, bzw. sie ist vom Typ (,. Die Zahlen in der Matrix heißen Elemente der Matrix. Um die Position der Elemente festzulegen, ordnet man jedem Element zwei Zahlen zu, den Zeilenindex und den Spaltenindex. Die Zahl 8 steht in der. Zeile und in der. Spalte. 8 ist das Element a : a ( = 8. Die Zahl steht in der. Zeile und in der. Spalte. ist das Element a : a =. In einem Betrieb werden aus den Rohstoffen R und R die Endprodukte E, E und E gefertigt. Die folgende Tabelle (Matrix gibt an, wie viel ME der Rohstoffe für je eine ME der Endprodukte gebraucht werden. 8 E E E TabelleR ( 8 Rohstoff-Endprodukt-Matrix R 8 9

6 . Begriffe De nition einer Matrix: Ein Zahlenschema aus m Zeilen und n Spalten (m, n N* nennt man eine Matrix vom Format (m, n bzw. vom Typ (m, n. Matrizen werden mit großen Buchstaben bezeichnet: A, B, C, A = ( a a a m a a a m a a a m a n a n a mn Die Zahlen a ij heißen Elemente von A. i ist der Zeilenindex; j ist der Spaltenindex. Beispiele A = ( = ( a ij mn 8 ; Typ(A = (, Elemente von A, z. B.: a = ; a = mit i =,, m und j =,, n B = ( ; Typ(B = (, ; Element von B, z. B.: a = Quadratische Matrix Eine Matrix A vom Typ(A = (m, m heißt quadratische Matrix. Anzahl der Zeilen = Anzahl der Spalten A = ( 8 9 Hauptdiagonale Diagonalelemente: a = ; a = ; a = Besondere quadratische Matrizen a Dreiecksmatrix Eine quadratische Matrix, in der alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen null sind, heißt obere Dreiecksmatrix. A = ( 9 8 ; a ij = für i > j b Einheitsmatrix Alle Elemente der Hauptdiagonalen sind eins, die anderen Elemente sind null. E = ( bzw. E = ( bzw. E = ( E = ( e ij mit e ij = für i = j, und e ij = für i j Die Einheitsmatrix wird mit E bezeichnet.

7 Transponierte Matrix Die Zeilen werden mit den entsprechenden Spalten getauscht. Matrix A = ( Vektoren Transponierte Matrix A T = ( Eine Matrix A vom Typ(A = (, n heißt Zeilenvektor. Eine Matrix A vom Typ(A = (m, heißt Spaltenvektor. Spaltenvektor Zeilenvektor A (, = a = ( 9 b = ( 8 Vektoren werden mit kleinen Buchstaben und einem Pfeil bezeichnet. Ein transponierter Zeilenvektor ist ein Spaltenvektor. ( 8 T = ( 8 A = ( ist eine Matrix vom Typ(A = (, mit den Zeilenvektoren ( ; ( ; ( und ( mit den Spaltenvektoren ( (,. Beachten Sie: Eine (m, n-matrix besteht aus m Zeilenvektoren und n Spaltenvektoren. Gleichheit von Matrizen Zwei Matrizen A = ( a ij und B = ( b ij sind gleich, wenn sie vom gleichen Typ (m, n sind und die entsprechenden Elemente gleich sind, d. h.: a = b a = b a mn = b mn. Beispiele Die Matrizen A = ( a b Die Vektoren a = ( 9 und und B = ( 8 sind gleich (A = B, wenn a = 8 b =. b = ( t+ t sind gleich für t =. t

8 Aufgaben. Gegeben sind die Matrizen A und B mit A = ( a ij = ( ( ; B = ( b ij = a Welche Formate haben die Matrizen A und B? b Bestimmen Sie die Elemente: a ; a ; b ; b ; b. c Berechnen Sie: a + a + a. d Lösen Sie die Gleichung: a x = a x.. Bestimmen Sie die Matrix A = ( a ij (,, sodass gilt: für i j a a ij = b a ij = für i = j für i > j i c a ij = für i = j d a ij = für i < j i für i > j j für i j j für i j i + j für i = j. Bestimmen Sie die Matrix A vom Typ (,, wenn Folgendes bekannt ist: a = a = ; a = ; a =,; a =, a. Alle anderen Elemente von A sind null.. Gegeben ist die Matrix A t = ( t t t+ t. Bestimmen Sie t, sodass A t eine obere Dreiecksmatrix ist.. Bestimmen Sie die Elemente der Matrix A = ( a ij = ( a + a a + a a a a a ( a a.. Gegeben sind die Matrizen A und B mit a A = ( d a + b und B = ( + b ; a, b, d R. Bestimmen Sie a, b und d so, dass gilt: A = B.. Bestimmen Sie a und a von A = ( a ij, wenn A T = ( 9.

9 . Addition von Matrizen Beispiel Gegeben sind die Matrizen A = ( 8 und B = ( 9 A und B geben die Verkaufszahlen der Junioren rma für die zwei Verkaufstage einer Woche an. Stellen Sie die Verkaufszahlen für diese Woche in einer Matrix C dar. Lösung Man erhält die Verkaufszahlen einer Woche durch Addition der entsprechenden Elemente von A und B.. Tag: A. Tag: B Wochenumsatz: C ( 8 ( + ( = Die Elemente der Matrix C erhält man durch Addition der entsprechenden Elemente von A und B, d. h., die Matrix C entsteht durch Addition der Matrizen A und B. Matrix C = ( 9. C = A + B Festlegung: Zwei Matrizen A und B werden addiert, indem man die Elemente der Matrizen A und B, die an der gleichen Position stehen, addiert. A + B = ( a ij + ( b ij = ( a ij + b ij Beispiele ( ( + ( = ( 9 ; ( 9 T = ( 9 + ( Keine Addition möglich, da nur Matrizen von gleichem Format addiert werden können. Beachten Sie: A + O = O + A = A A T + B T = (A + B T O: Nullmatrix A + B = B + A Kommutativgesetz (A + B + C = A + (B + C = A + B + C Assoziativgesetz

10 . Skalare Multiplikation Beispiel Die Junioren rma möchte Waren für einen Monat einkaufen. Wie lässt sich, ausgehend von den Verkaufszahlen einer Woche (Matrix C, der voraussichtliche Bedarf für vier Wochen errechnen? Lösung Verkaufszahlen einer Woche: C = ( Voraussichtlicher Bedarf für Wochen: ( 9 ( = 9 9 ( = = C = C Festlegung: Eine Matrix A = ( a ij wird mit einer reellen Zahl (Skalar k multipliziert, indem man jedes Element von A mit der reellen Zahl k multipliziert. k A = k ( a ij = (k a ; k R ij Beispiele a ( c (, d ( e ( 8 = (, (, = ( ; 8 ( = = ( ( = ( 9, b ( ( 8 8 ( = 8 ( = Beachten Sie: Einen gemeinsamen Faktor aller Elemente der Matrix kann man vor die Matrix ziehen. Für k R gilt: k A = A k k (A + B = k A + k B (k A T = k A T

11 Aufgaben. Addieren Sie die Matrizen A und B bzw. die Vektoren a und b. a A = ( c A = ( ; B = ( e a = ( ; g A = ( t i a = ( t t ; ; B = ( 9 b A = ( d A = ( b = ( 9 f t t ; B = ( t b = ( 9t t t h A = ( a a 8 j a = ( t t+ t +. Gegeben sind die Matrizen A = ( ( ; B = ; B = ( 8 a = ( ; b = (, B = ( a 8 a a a ; B = (,a,a,a a a a ; b = ( t t T 8t und die Vektoren a = (, b = (, c = ( 8. Berechnen Sie. a A + B b (A + B T c A T B T d (A E e E,(A + B f c T a b +. Gegeben sind die Vektoren a = ( t t t, b = ( t t Bestimmen Sie t so, dass a b + c = o ist. t und c = (. Gegeben sind die Vektoren a = ( und b = (. Berechnen Sie a x aus T b = x + b.. Gegeben ist die Matrix A t mit A t = ( t t+ t t t t + t. Berechnen Sie A t A + A T. b d. A = ( d b ist für b, d R* eine (; -Matrix. Für welche Werte von b und d gilt A + A T = E? t.

12 . Multiplikation von Matrizen Beispiel Herbert kauft zum Schuljahresbeginn Schreibwaren ein. Er führt einen Preisvergleich zwischen der Junioren rma und einem Schreibwarenladen durch. Junioren rma Menge Stückpreis (in Preis (in Schreibblöcke,, =, Kugelschreiber,, =,8 Bleistifte,, =, Gesamtpreis: 8, Schreibwarenladen Menge Stückpreis (in Preis (in Schreibblöcke,, =,8 Kugelschreiber,, =, Bleistifte,, =, Gesamtpreis: 8, Den Gesamtpreis kann man mit dem Schema von Falk berechnen. Junioren rma (,,, Stückpreisvektor (, +, +, = 8, Mengen- Gesamtpreis vektor Zeilenvektor a mal Spaltenvektor b ergibt eine Zahl (Skalar. b a a b = Zahl Junioren rma/schreibwarenladen (,,,,,, ( (8, 8, Mengen- Gesamtpreisvektor vektor Stückpreismatrix Zeilenvektor a mal Matrix B ergibt einen Zeilenvektor. a B a B Zeilenvektor

13 Karl möchte die gleichen Artikel einkaufen wie Herbert, nur braucht er andere Stückzahlen: Mengenvektor a = (. Er führt auch einen Preisvergleich zwischen der Junioren rma mit dem Schreibwarenladen durch. Der Gesamtpreis, den Herbert und Karl bezahlen müssten, kann wieder mit dem Falk schen Schema berechnet werden. Matrix A mal Matrix B Ju Laden (,, Stückpreismatrix B ergibt eine Matrix:,,,, Herbert: ( ( 8, 8, Karl:,,8 A A B Matrix Mengenmatrix Gesamtpreismatrix Z. B.:, +, +, =,8 De nition der Matrizenmultiplikation Das Produkt zweier Matrizen A = ( a ij und B = ( b rs wird nach folgendem Schema berechnet. b b b l b p b b b l b p b n b n b nl b np = B A = a a a n a a a n a k a k a kn a m a m a mn c c c l c p c c c l c p c kl c m c m c ml c mp = A B Berechnung des Elementes c kl : n c kl = a kl b + a k b l + + a kn b nl = a kj b jl j= Beachten Sie: A B kann nur berechnet werden, wenn die Anzahl der Spalten von A mit der Anzahl der Zeilen von B übereinstimmt. A (m, n B (n, p = C (m, p

14 Beispiele Gegeben sind die Matrizen A = ( Berechnen Sie. a A B und B A b A E und B = (. Lösung a A B = ( B A = ( 8 Berechnung im Schema: Berechnung im Schema: A B B A B A B A Beachten Sie: A B B A (im Allgemeinen Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ. b A E = ( ( = A Beachten Sie: A E = E A = A E steht für Einheitsmatrix. Gegeben sind die Rohstoff-Zwischenprodukt-Tabelle und die Zwischenprodukt-Endprodukt-Tabelle. Z Z E E E R Z R Z Berechnen Sie, wie viele ME der Rohstoffe für je eine ME der Endprodukte benötigt werden. Lösung Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix: A = (R, Z = ( Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix: B = (Z, E = ( Die Rohstoff-Endprodukt-Matrix C erhält man durch Multiplikation: C = A B = ( ( = ( Erläuterung: Für die Produktion von ME E benötigt man ME R und ME R. 8

15 Ein Betrieb produziert aus den drei Rohstoffen R, R und R die Produkte P und P. Der Material uss in Mengeneinheiten (ME ist der Tabelle (Stückliste zu entnehmen. R R R P P 8 a Ein Kunde erteilt einen Auftrag über ME von P und ME von P. Berechnen Sie, wie viel ME der Rohstoffe von jeder Sorte benötigt werden. b Die Rohstoffkosten betragen GE (Geldeinheiten für ME R, GE für ME R und GE für ME R. Berechnen Sie die gesamten Rohstoffkosten für die Produktion von ME von P und 8 ME von P. Lösung a Aus der Tabelle erhält man die Rohstoff-Endprodukt-Matrix A = ( 8. Die. Spalte der Matrix gibt an, wie viel ME der einzelnen Rohstoffe R, R und R für die Herstellung von ME P benötigt werden: ME R und ME R. Die. Zeile der Matrix gibt an, wie viel ME des Rohstoffes R für die Herstellung von ME von P bzw. P benötigt werden. Berechnung des Rohstoffbedarfs am Beispiel von R : P P P P R + = Für die Herstellung von ME von P und ME von P braucht man ME R. Multiplikation mit dem Produktionsvektor (als Spaltenvektor ergibt die benötigte Menge an Rohstoffen. ( 8 ( = ( Für die Herstellung von ME von P und ME von P braucht man ME von R, ME von R und ME von R. Beachten Sie: A r p = mit A = (R, P-Matrix p ist der Produktionsvektor r ist der Rohstoffvektor Beachten Sie auch die Formate: A (, p (, = r (, 9

16 b Berechnung der Rohstoffkosten für zum Beispiel ME von P : In ME von P sind enthalten R R Kosten für ME R R R R + + = 8 Die Rohstoffkosten für ME von P betragen 8 GE. Multiplikation von links mit dem Kostenvektor k (als Zeilenvektor ergibt die Rohstoffkosten für je eine ME der Produkte. ( ( 8 = (8 Für die Herstellung von ME von P betragen die Rohstoffkosten 8 GE, für ME von P betragen die Rohstoffkosten GE. Rohstoffkosten für die Produktion von ME von P und 8 ME von P : Multiplikation von Rohstoffkosten je ME P und P mit dem Produktionsvektor ergibt die Gesamtrohstoffkosten (eine Zahl. P Kosten für ME P P P = In Matrixschreibweise: (8 ( 8 = Oder: ( Rohstoffkosten- Produktions- Gesamtrohstoffvektor k vektor p kosten 8 ( 8 = ( 9 ( ( 9 Gesamtrohstoffbedarf 8 = Gesamtrohstoffkosten 8 Bemerkung: Kostenvektoren sind Zeilenvektoren, Verbrauchsvektoren und Produktionsvektoren sind Spaltenvektoren.

17 Was man wissen sollte über das Rechnen mit Matrizen Addition von Matrizen: A + B Es können nur Matrizen vom gleichen Typ addiert werden. A + B = ( a ij + (b ij = ( a ij + b ij Eigenschaften A T + B T = (A + B T A + O = O + A = A A + B = B + A O: Nullmatrix Kommutativgesetz (A + B + C = A + (B + C = A + B + C Assoziativgesetz Skalare Multiplikation: k A Multiplikation einer Zahl k R (Skalar mit einer Matrix. Eigenschaften (k R k A = A k k (A + B = k A + k B (k A T = k A T Multiplikation zweier Matrizen: A B k A = k ( a ij = (k a ij ; k R Die Spaltenzahl der Matrix A muss mit der Zeilenzahl der Matrix B übereinstimmen. Ist A eine (m, n- und B eine (n, p-matrix, dann gilt für das Format der Ergebnismatrix: (m, n (n, p (m, p Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, d. h., A B B A (im Allg. Eigenschaften (k R (A B C = A (B C = A B C Assoziativgesetz (A + B C = A C + B C Distributivgesetz A (B + C = A B + A C A O = O A = O O: Nullmatrix A E = E A = A E: Einheitsmatrix k (A B = (k A B = A (k B = (A B k (k A = k A mit A = A A Multiplikation zweier Vektoren: a b Zeilenvektor mal Spaltenvektor ergibt eine Zahl. Beachten Sie: Die Division zweier Matrizen ist nicht de niert.

18 Aufgaben. Gegeben sind die Matrizen A und B und die Vektoren a und b durch A = ( (, B =, a = (, b = (. Berechnen Sie. a A B b b A B c A d (B + E A e A a a f b. Gegeben sind die Matrizen A, B und C durch A = (, B = (, C = (. Berechnen Sie. a A + C B T b A (B + C T c (A B T + A A T. Multiplizieren Sie aus. a (A + E (A + B b (A + B c (A + E (A E. Gegeben ist die Matrix A = ( a A ( t t. Berechnen Sie. b A A T ( t t t. Bestimmen Sie a und b so, dass für die Matrix A = (. Berechnen Sie x, sodass (,,,, ( x x x ( x + ( x x c,a ( t t a b gilt: A = E. + = ergibt. x. Gegeben ist die Matrix A durch A = (. Bestimmen Sie ( A T und ( A T n. 8. Gegeben sind die Matrizen A = ( 8 und B = ( Berechnen Sie A B und B A. Vergleichen Sie..

19 9. Gegeben sind die Vektoren k = (, p = ( Berechnen Sie k p und k C p.. Klammmern Sie einen gemeinsamen Faktor aus. und die Matrix C = ( a A = (,8,,,,,,8, b b = ( ( c B = 8. Gegeben sind die Matizen A und B durch 8 A = ( 9 und B = (. 8 a Berechnen Sie die Elemente c und c des Matrizenproduktes C = A B. b Das Element a der Matrix A wird geändert zu k; das Element b der Matrix B wird geändert zu (k. Berechnen Sie nun das neue Element c des Matrizenproduktes C = A B.. Für jedes t R sind die Vektoren a t und b t gegeben durch a t = ( t t und b t = ( t. Die Funktion f ist gegeben durch f(t = t( a T t b t t. Zeigen Sie, dass f streng monoton wachsend ist. Wo hat das Schaubild von f die kleinste Steigung?. Ein Betrieb stellt aus den zwei Rohstoffen R und R die Produkte E, E und E her. Der Material uss in Mengeneinheiten (ME ist der Tabelle zu entnehmen. a Berechnen Sie, wie viel ME der Rohstoffe für die Produktion von 8 ME von E, ME von E und ME von E benötigt werden. b Die Materialkosten je ME eines Rohstoffes sind gegeben durch k R = (,,8. Berechnen Sie die Kosten für die Herstellung je einer ME der drei Produkte. Wie hoch sind die Materialkosten für den Auftrag aus Teilaufgabe a?. Gegeben sind die Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix A = (. E E E R und die Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix B = ( Berechnen Sie C = ( c ij = A B und interpretieren Sie das Element c. R.

20 Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme haben eine zentrale Bedeutung in verschiedenen Bereichen der Mathematik. Nicht nur zur Bestimmung einer Gleichung einer Parabel stellen wir ein lineares Gleichungssystem auf. Mit einem linearen Gleichungssystem lassen sich auch zahlreiche Probleme aus Technik und Wirtschaft modellieren und damit lösen. Aus dem Wissen über die unbekannten Größen, die bei diesen Problemen auftauchen, leiten wir Gleichungen her. Eine zentrale Aufgabe der linearen Algebra ist die Lösung linearer Gleichungssysteme.. Einführung Ein Obstbauer liefert Äpfel der Sorten Boskop (B, Jonathan (J und Elstar (E an den Großmarkt. Die Lieferungen der letzten Tage (in kg lassen sich aus der Tabelle ablesen. T T T B J E Der Großhändler überweist für die Lieferung am. Tag ( T, für die Lieferung am. Tag ( T 8 und für die Lieferung am. Tag ( T. Welche Gleichungen müssen die Preise pro kg erfüllen? Zeigen Sie, dass die Preise für Boskop (B, /kg, Jonathan (J, /kg und Elstar (E /kg betragen. Lösung Man setzt für den Preis in pro kg B x, pro kg J x und pro kg E x. Der Bauer bekommt x für kg B, x für kg J und x für kg E, insgesamt : x + x + x = Für die Lieferung aller Tage ergibt sich ein lineares Gleichungssystem (LGS: x + x + x = Bedingungen für die Preise: x + x + x = 8 x + x + x = Einsetzen von x =,; x =, und x = in die drei Gleichungen führt zu drei wahre Aussagen. Bemerkungen: Das LGS hat die Lösung x =,; x =,; x =. Lösungsvektor x = ( x x x (, =,

21 Welcher der Vektoren ( ( und ist Lösung des linearen Gleichungsystems x + x x = und x + x + x =? Lösung Eine Lösung erfüllt alle Gleichungen eines linearen Gleichungssystems (LGS. ( ist Lösung, denn + = w. A. ( + + = w. A. ( ist keine Lösung, denn + = w. A. + + = f. A. Gegeben ist das lineare Gleichungssystem in Stufenform x + x x = x, x = x = Bestimmen Sie die Lösung des LGS. Lösung Einsetzen von x = in x, x = ergibt x =,. Einsetzen von x = und x =, in x + x x = ergibt x =,. Lösung des LGS: x =,; x =,; x = Lösungsvektor: x = (,, Beachten Sie: Lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten x, x, x,, x n a x + a x + a x + + a n x n = b a x + a x + a x + + a n x n = b : : : : : a m x + a m x + a m x + + a mn x n = b m Bemerkung: a ij heißen Koef zienten. Eine Lösung eines LGS mit n Unbekannten besteht aus n Zahlen, die allen Gleichungen genügen. Bemerkungen: Aus der Stufenform (siehe Beispiel lässt sich die Lösung leicht bestimmen. Welche Umformungen sind geeignet, um diese günstige Stufenform zu erzeugen? Wie erhält man die Lösungen eines linearen Gleichungssystems?

22 . Lösung von linearen Gleichungssystemen.. Das LGS ist eindeutig lösbar Beispiele Lösen Sie das lineare Gleichungssystem x x x = x x 8 x = x + x + x = 9. Lösung mit dem Gauß schen Eliminationsverfahren Um eine Stufenform zu erreichen, müssen zwei Unbekannte eliminiert werden. Wir eliminieren x : x x x = ( x x x = ( x x 8 x = x + x + x = 9 x + x + x = x x x = x x 8 x = x + x + x = 9 Addition ergibt: x + x = x x = Wir eliminieren x : x + x = ( x x = ( x + x = x x = Addition der beiden Gleichungen: x = <=> x = Einsetzen von x = in x + x = ergibt x =. Einsetzen von x = und x = in x x x = ergibt x =. ( ist die Lösung des LGS. Das LGS hat genau eine Lösung. Verkürzte Darstellung x x x = ( x x 8 x = + 8 x + x + x = 9 9 x x x = x + x = + x x = x x x = x + x = Dreiecksform x = Beachten Sie: Die zulässigen Elementarumformungen, um die Dreiecksform zu erreichen, sind die Multiplikation einer Gleichung mit einer Zahl ungleich null und die Addition von Gleichungen. ( + +

23 Gegeben ist ein LGS x x = x + x = x + x + x =. Berechnen Sie den Lösungsvektor x. Lösung Mit dem Gauß schen Eliminationsverfahren Matrixschreibweise ( heißt Addition x x = x + x = x + x + x = x x = x + x = + x x = x x = x + x = x = 8 Aus der Gleichung Die letzte Zeile der erweiterten x = 8 Dreiecksmatrix entspricht x = 8 erhält man x =. x = Die zweite Zeile entspricht x + x = Einsetzen ergibt: x + = x + = x = x = Entsprechend berechnet man x : x = x = Der Lösungsvektor lautet x = (. Bemerkung: Die Matrix ( heißt Koef zientenmatrix. Die Matrix ( Jede Zeile in der erweiterten Koef zientenmatrix entspricht einer Gleichung. x x x ( heißt erweiterte Koef zientenmatrix. Beachten Sie: Ein LGS ist eindeutig lösbar, wenn alle Diagonalelemente in der Dreiecksform ungleich null sind. x = (x x x T ist Lösung des LGS, wenn das Einsetzen in alle Gleichungen des LGS jeweils eine wahre Aussage ergibt. ( ( 8 ( ( Dreiecksform

24 Was man beim Au ösen von linearen Gleichungssystemen beachten sollte. Additionsverfahren a Das LGS ist gegeben durch die erweiterte Koef zientenmatrix: ( Au ösung durch Additionsverfahren Das LGS hat den Lösungsvektor x = (,, (. Beachten Sie: Das Vielfache einer Gleichung (Zeile darf zu einer anderen Gleichung (Zeile addiert werden. b Das LGS ist gegeben durch die erweiterte Koef zientenmatrix: ( 9 Au ösung durch Additionsverfahren: ( ( Umformung in die erweiterte Dreiecksform: ( Das LGS hat den Lösungsvektor x = (. Elimination von x bedeutet einen geringeren Rechenaufwand.. Was man bei der Multiplikation mit null beachten sollte Beispiel: Das gegebene LGS ist eindeutig lösbar. ( ( ( ( Das LGS bleibt eindeutig lösbar. Erlaubte Umformung, Äquivalenzumformung. Zeilentausch Das LGS ist gegeben durch ( Zur Umformung in die erweiterte ( obere Dreiecksform ist ein Zeilentausch notwendig. Das neue LGS ist mehrdeutig lösbar. Keine Äquivalenzumformung! ( 8 8 ( ( 8

25 Schreibweisen für lineare Gleichungssysteme (LGS I. Lineares Gleichungssystem: Gleichungen für die Unbekannten x, x und x x + x + x = x + x = x + x x = _ II. LGS in der Form der erweiterten Koef zientenmatrix (A b ( Bemerkung: Jede Zeile in der erweiterten Koef zientenmatrix entspricht einer Gleichung. III. Lineares Gleichungssystem als Matrizengleichung ( x x ( = In Kurzform: A ( x x = A ist die Koef zientenmatrix; x ist der Lösungsvektor. b Zur Lösung mit dem Eliminationsverfahren nach Gauß wird (A b in die erweiterte Dreiecksform (A* b * umgeformt: ( Aufgaben. Bestimmen Sie den Lösungsvektor. a ( ( b ( c. Welcher der Vektoren ( oder ( ist Lösung von x x + x = 9 x x + 9 x = x x + x =? 9. Stellen Sie ein LGS aus zwei Gleichungen mit Unbekannten auf, das nur die Lösung ( hat. 9

26 . Lösen Sie mit dem Gaußverfahren. a x x = b x + x x = 9 x + x x = x x = x + x x = x + x x = 8 c x + x + x = d x x = x x x = x + x + x = x + x + x = x + x = e x + y + z = f x + y + z = x + y + z = x + y + z = 9 x + y + z = 9 x + y + z =. Bestimmen Sie den Lösungsvektor. a x + x = b,8 x,x = 8 x + x =,, x +,8 x = c x + x = d 8 x x x = x x = x + 8x x = x + x = x x + 8 x = e x + x x = f x + x + x = x + x + x = 9 x + x x = x + x = x = x + g x + y = x + h (x + = (y + x + y = y x = y. Bestimmen Sie die Lösung in Abhängigkeit von t. a x + x = t b x + x + x = c x + x + x = t x + x = x x + x = t x + x = t x x x = x + 9 x = t. Es sind A = ( und B = ( a a b c c,b zwei Matrizen (a, b, c R. Welche Werte müssen für a, b und c gewählt werden, damit A B = ( 9? 8. Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung x + y + z =, die nur aus nichtnegativen ganzen Zahlen bestehen. ( ( a b c d 8 c b a 9. Für folgende Matrizen gilt: b a a = 8 ( b a 8 Berechnen Sie die Werte a, b, c und d.