Versicherungs-und Risikomanagement. Versicherungstechnik

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1 Operaions Research und Wirschafsinformaik Prof Dr P Rech // Marius Radermacher, MSc DOOR Versicherungs-und Risikomanagemen Versicherungsechnik Vx pro S m n Skripum zur Veransalung Winersemeser 2016/2017 Sand: 19 Dezember 2016 Das Fachgebie im Inerne: hp://wwwwisou-dormundde/wiso/or/de/

2 Inhalsverzeichnis Zum Wesen einer Lebens -Versicherung 1 1 Kalkulaionsprinzip und Kalkulaionsgrundlagen 4 11 Das Kalkulaionsprinzip 5 12 Das versichere Risiko als Rechnungsgrundlage 1 Ordnung; Ausscheideordnungen 8 13 Eine garaniere Zinsenwicklung als Rechnungsgrundlage 1 Ordnung Einschub: Kommuaionswere Die Kosenzuschläge als Rechnungsgrundlagen 1 Ordnung Abschlusskosenzuschlag (α-kosen) Verwalungskosenzuschlag (β- und γ-kosen) Die beiden versicherungsechnischen Äquivalenzprinzipien 20 2 Beirags- und Leisungsbarwere, Deckungsrücksellungen Diskree Zahlungsreihen Der Beiragsbarwer Der Leisungsbarwer Das srenge Äquivalenzprinzip und naürliche Beiräge Das schwache Äquivalenzprinzip und das Deckungskapial 36 3 Die versicherungsechnische Bilanzgleichung Kalkulaion mi Hilfe des Thiele schen Gleichungssysems Kalkulaion von Versicherungsleisungen Lösbarkei des Thiele schen Gleichungssysems, explizie Lösung und ökonomische Zulässigkei des Reservevekors Zerlegung des Neo-Beirags Versicherungen mi Ausscheide- und Erlebensfallcharaker Bruokalkulaion Abschluss- und Verriebskosenzuschläge, α-kosen Unmielbare Abschlusskosenzuschläge, Zillmerung Laufende Abschlusskosenzuschläge, α γ -Kosen Verwalungskosenzuschläge, β- und γ-kosen Bruokalkulaion mi dem Thiele schen Gleichungssysem Zerlegung der Bruo-Prämie und des ausreichenden Deckungskapials Sonsige Beiragszuschläge 72 4 Überschüsse in der Lebensversicherung Überschussprognose und Konribuionsformel Überschussdeklaraion und Überschusszueilung Überschussverwendung 82 I

3 44 Finanzierbarkei eines Überschusssysems und Erragswer einer LV 85 5 Technische Änderungen bei Lebensversicherungsverrägen Rückkauf einer Lebensversicherung (Sorno) Die (Nich)-Berücksichigung von Sorno bei der Prämienkalkulaion Beiragsfreisellung von Lebensversicherungen Umwandlung von Lebensversicherungen (konsaner Höhe) 99 6 Die privae Krankenversicherung (PKV) Das hisorische, ökonomische und rechliche Umfeld der PKV Kurze Hisorie: GKV und PKV in Deuschland Unerschiede, Gemeinsamkeien und Beziehungen zwischen GKV und PKV Tarife, Tarifaren und Tarifgesalung in der PKV Prinzipien der Beiragsberechnung in der PKV Gemeinsamkeien mi den Tarifierungsprinzipien der LV Der Rechnungszins Die Ausscheideordnungen Kopfschaden 113 Lieraurverzeichnis 118 II

4 Zum Wesen einer Lebens -Versicherung In diesem einführenden Kapiel wollen wir einen ersen Einblick in die Besonderheien und fachlichen Termini geben, welche eine so genanne Lebens -Versicherung ausmachen Wir werden uns im Rahmen der Veransalung aus mehreren Gründen mi Lebens- Versicherungen und der echnischen Konsrukion (d h genauer der Prämien- und Leisungskalkulaion) bzw der echnischen und ökonomischen Analyse von derarigen Versicherungsproduken beschäfigen Die Gründe sind: Die sich hiner dem Begriff Lebensversicherung verbergenden Palee von Versicherungsproduken zwing zunehmend zur Konsrukion eines auf die Person bezogenen, also maßgeschneideren Versicherungsschuzes Es is also der Frage nachzugehen, wie individueller Versicherungsschuz aus echnischer Sich konsruier wird, und wie das Gu Versicherungsschuz ökonomisch bewere wird Das Markvolumen derariger Produke innerhalb des Gesamversicherungsmarkes is hoch Ensprechend sark is auch die Nachfrage nach Personen, die über die Kompeenz verfügen, Lebens -Versicherungsproduke zu konsruieren (kalkulieren) und zu analysieren Das Konsrukionsprinzip bei Lebens -Versicherungsproduken ha in gewissem Sinne einen universellen Charaker Kleine Hisorie Bereis zur römischen Kaiserzei gab es Personenvereinigungen, deren Ziel in einer gegenseiigen sozialen Unersüzung besand Wesenliche Leisung einer solchen Vereinigung war of die Bezahlung eines sog Serbegeldes, das einem Miglied im Falle seines Todes ein würdiges Begräbnis sichern solle Die Miglieder solcher Vereine kamen meis einmal im Mona zu (of religiös moivieren) Veransalungen zusammen, um bei dieser Gelegenhei einen finanziellen Beirag in die gemeinsame Serbekasse zu enrichen Auch im Mielaler gab es eine Reihe von berufsbezogenen Vereinen von Kaufleuen (Zünfe), Handwerkern, Schauspielern oder Soldaen, die ihren Migliedern soziale Leisungen gewähren und Beerdigungskosen ersezen Diese Leisungen wurden durch ein Einrisgeld finanzier, das die Miglieder bei Aufnahme in den Verein zu zahlen haen Der erse Lebensversicherungsverrag der Wel wurde 1583 von der englischen Versicherungskammer regisrier Mi diesem Verrag wurde das Leben eines gewissen W Gibbons für die Dauer eines Jahres mi einer Leisung von 382 Pfund vom Rasherrn R Marin versicher Gibbons zahle dafür 30 Pfund, sarb innerhalb dieses Zeiraums und die Versicherungssumme 1

5 Zum Wesen einer Lebens -Versicherung musse gezahl werden Glücklicherweise haen 16 Bürger diesen Verrag unerschrieben, so dass jeder dieser Bürger ca 23 Pfund zu zahlen hae Mi einem Lebensversicherungsverrag in unserem heuigen Sinne hae dieser Verrag allerdings rech wenig gemeinsam Er war eher mi einem Weverrag vergleichbar Im Jahre 1765 wurde in England die erse Lebensversicherungsgesellschaf, die Equiable Life Assurance, gegründe, die ihre Versicherungsangeboe mi formalen Mehoden kalkuliere Die erse deusche Lebensversicherungsgesellschaf, die Gohaer Lebensversicherungsbank, wurde 1825 gegründe Prinzipielle Funkionsweise einer Lebensversicherung Durch den Abschluss eines Versicherungsverrages (Versicherungspolice) zwischen einem Versicherungsnehmer (VN) einerseis und einem Versicherer andererseis, in unserem Fall dem Lebensversicherungsunernehmen (VU), läss sich der VN gegen Bezahlung eines fesgelegen Engeles (der Versicherungsprämie oder dem Versicherungsbeirag) vom VU eine fesgelege finanzielle Leisung für sich oder für einen Drien versprechen, für den Fall, dass während des Zeiraumes der Güligkei des Verrages ein besimmes Versicherungsrisiko einri (Einri des Versicherungsfalls) Uner dem Begriff Versicherungsrisiko wird hierbei ein fes definieres, eine lebende Person bereffendes, zukünfiges Ereignis versanden, dessen Einriszeipunk ungewiss = zufällig is, aber dessen Einri der VN befürche und deshalb die wirschaflichen Konsequenzen aus dessen Einri einzugrenzen wünsch (Versicherungsschuz) Durch den Abschluss eines (Lebens-) Versicherungsverrages ransferier der VN dieses Risiko, genauer: den Umgang mi diesem Risiko auf das VU Dieser Transfer erfolg dabei allerdings nich auf die Weise, dass das VU dieses Risiko (komple) übernimm Seine Funkion beseh im Wesenlichen darin, eine Koordinaion vorzunehmen, von wem und in welcher Höhe dieses Risiko übernommen wird In dieser Koordinaionsfunkion ha das VU eine Vielzahl(!) gesezliche Regelungen zu beachen Uner einer Lebensversicherung wird nun eine besondere Ar von Versicherungsverrägen versanden Diese Besonderheien beziehen sich auf die Aren der Versicherungsrisiken, die Aren der Leisungen durch das VU im Falle des Risikoeinris, die Ar des Zusammenhangs zwischen Prämienzahlungen des VN und Leisungen durch das VU, und die Aren evenueller Kapialbildung Bevor wir uns deaillierer dami beschäfigen, wollen wir exemplarisch auflisen, welche Risikoaren ypischerweise als Lebensversicherung vorkommen Typische Lebensversicherungen Typische Lebensversicherungen sind ewa: 2

6 Zum Wesen einer Lebens -Versicherung Todesfallversicherung (oder auch Risiko-Lebensversicherung): Mi einem solchen Verrag wird ein wirschafliches Risiko versicher, welches dadurch enseh, dass eine versichere Person innerhalb eines besimmen Zeiraumes sirb (Todesfall-Risiko) Erlebensfallversicherung (privae Renenversicherung): Hiermi wird ein wirschafliches Risiko versicher, welches dadurch enseh, dass eine versichere Person einen besimmen Zeipunk überleb (Erlebensfall-Risiko) Gemische Versicherung (Versicherung auf den Todes- und Erlebensfall): Hiermi wird ein wirschafliches Risiko versicher, welches enweder dadurch enseh, dass eine versichere Person innerhalb eines besimmen Zeiraumes sirb oder aber die Person das Ende des Zeiraumes erleb (Todes- und Erlebensfallrisiko) Resschuldversicherung: Hiermi wird ein wirschafliches Risiko versicher, welches dadurch enseh, dass ein Schuldner (eines Kredies) während des Rückzahlungszeiraumes dieses Kredies sirb (bzw arbeisunfähig wird) und daher die zu diesem Zeipunk besehende Resschuld (des Kredies) nich mehr ilgen kann (Resschuldrisiko) Verbundene Todesfallversicherung: Hiermi wird ein wirschafliches Risiko versicher, welches dadurch enseh, dass mindesens einer (von zwei oder mehreren Personen) innerhalb eines besimmen Zeiraumes sirb Berufsunfähigkeisversicherung: Hiermi wird ein wirschafliches Risiko versicher, welches dadurch enseh, dass eine versichere Person während eines besimmen Zeiraumes ihren Beruf aufgrund körperlicher Versehrhei nich mehr ausüben kann (Berufsunfähigkeisrisiko) (privae) Pflegerenen-Versicherung: Hiermi wird ein wirschafliches Risiko versicher, welches dadurch enseh, dass eine versichere Person für einen besimmen Zeiraum zum Pflegefall wird Ausseuer-Versicherung / Ausbildungsversicherung: Hiermi wird ein wirschafliches Risiko der Elern versicher, welches dadurch enseh, dass eine versichere Person (Kind) vor oder zu einem fesgelegen Zeipunk, z B dem 25 Lebensjahr, heirae bzw eine Ausbildung beginn, unabhängig davon, ob die Elern zu diesem Zeipunk noch leben oder nich Dread-Disease-Versicherung: Hiermi wird ein wirschafliches Risiko versicher, welches dadurch enseh, dass eine versichere Person eine schwere Erkrankung erleide (z B Herzinfark, Schlaganfall, Krebs, Muliple Sklerose) In Deuschland hae den größen jährlichen Aneil an Neuabschlüssen bis zu Beginn der Jahrausendwende der Typ der gemischen Vesicherungen Dies ändere sich aufgrund einer Modfifikaion der seuerlicher Rahmenbedingungen für diesen Versicherungsyp, vor allem aber auch wegen der zunehmenden Unsicherhei bei der Finanzierung der gesezlichen Renenversicherung und der Höhe der gesezlichen Renen Dies hae zur Folge dass bis ewa zum Jahr 2010, is derzei die privae Risikovorsorge mi Policen des Typs Privae Renenversicherung (privae Alersvorsorge), der Typ von Lebensversicherung mi dem größen Neugeschäf war Durch das momenan sehr geringe Kapialzinsniveau leide allerdings auch dieser Typ von Lebensversicherung derzei an Arakiviä, so dass einige Versicherungsunernehmen überlegen, das Neugeschäf mi derarigen Versicherungen sogar ganz einzusellen 3

7 1 Kalkulaionsprinzip und Kalkulaionsgrundlagen Bei Abschluss eines Versicherungsverrages zwischen einem VU und einem VN werden sowohl die Höhe der Leisung, die das VU im Versicherungsfall zu erbringen ha, als auch die vom VN dafür zu erbringenden finanziellen Gegenleisungen (Versicherungsbeiräge oder Versicherungsprämien) verraglich fixier Die Verragsbesandeile werden in einer sog Versicherungspolice bzw einem Versicherungsschein fesgehalen Versicherungsunernehmen (VU) Versicherungsnehmer (VN) Versicherungsverrag zwischen VU und VN dokumenier u a Beginn/Ende der Übernahme des Versicherungsschuzes (Laufzei) versicheres Risiko versichere Person(en) (Aler bei Beginn, Geschlech) Versicherungsnehmer bezugsberechige Person Versicherungsleisung: finanzielle Leisungen bei Einri des Versicherungsfalls (Höhe, Zahlungsmodaliäen) Prämien/Beiräge: finanzielle Leisungen des VN (Höhe der Prämien, Zahlungsmodaliäen) sonsige Tarif -Merkmale jurisische Bedingungen Abbildung 11: Verragsparner und Verragsgegensand 4

8 1 Kalkulaionsprinzip und Kalkulaionsgrundlagen VT Dabei haben wesenliche Begrifflichkeien die folgende Bedeuung: versichere Person(en): Person (oder Personen), auf die sich das versichere Risiko beziehen soll, versicheres Risiko: inhalliche Beschreibung der Lebenssiuaion, die finanziell abgesicher werden soll, also des Versicherungsrisikos Beim Einreen dieser Lebenssiuaion führ dies zur Auszahlung der finanziellen Leisung durch das Versicherungsunernehmen), Versicherungsnehmer: Verragsparner des Versicherungsunernehmens (VU), ha verragsgesalende Reche und verragliche Verpflichungen (Beiragszahlungen, Informaionspflichen), bezugsberechige oder begünsige Person(en): Inhaber des Reches auf Erhal der Versicherungsleisung Wesenlich dabei is (und dies is ein essenielles Unerscheidungsmerkmal zwischen Lebensversicherungen und so genannen privaen Sach-, Hafpflich-, Feuer-, aber auch Krankenversicherungen), dass das VU (prinzipiell) keine Möglichkei besiz, einen einmal rechsgülig abgeschlossenen Verrag einseiig zu ändern Dem VN werden allerdings uner besimmen Bedingungen solche Reche eingeräum (z B vorzeiiges Beenden eines Verrages, Weierführen eines Verrages ohne die Beiräge weier zuzahlen, d h Beiragsfreisellung) 11 Das Kalkulaionsprinzip Da Lebensversicherungsverräge im Allgemeinen eine langjährige Laufzei besizen, d h die Dauer des vereinbaren Versicherungsschuzes of mehr als 25 bis 30 Jahre beräg, Renenversicherungen meis sogar 60 bis 70 Jahre Verragslaufzei haben, andererseis bei Verragsabschluss für die gesame Laufzei des Verrages die vereinbaren Versicherungsleisungen und die Beiragsleisungen (des VN) verbindlich fesgeleg werden, muss gewährleise sein, dass zu den ensprechenden Fälligkeiszeipunken sämliche vereinbaren Versicherungsleisungen auch erbrach werden können Dies bezeichne man als Verpflichung zur dauernden Erfüllbarkei der Verräge In welchem Zusammenhang die Versicherungsleisungen an die Bezugsberechigen einerseis und die Prämien der VN andererseis, sehen, wird durch ein allgemeines Prinzip besimm, welches den Zusammenhang zwischen den Prämien und zugehörigen Versicherungsleisungen fesleg Für die Lebensversicherungen heiß es in 11 des Versicherungsaufsichsgesezes (VAG): (1) Die Prämien in der Lebensversicherung müssen uner Zugrundelegung angemessener versicherungsmahemaischer Annahmen kalkulier werden und so hoch sein, dass das VU allen seinen Verpflichungen nachkommen, insbesondere für die Erfüllung der einzelnen Verräge ausreichende Deckungsrücksellungen bilden kann (Kapialdeckungsprinzip) Hierbei kann der Finanzlage des VU Rechnung geragen werden, ohne dass planmäßig und auf Dauer Miel eingesez werden dürfen, die nich aus Prämienzahlungen sammen 5

9 1 Kalkulaionsprinzip und Kalkulaionsgrundlagen VT (2) Bei gleichen Voraussezungen dürfen Prämien und Leisungen nur nach gleichen Grundsäzen bemessen werden (Gleichbehandlungsprinzip) Versichere Personen, die bei einem VU eine gleicharige Versicherung abgeschlossen haben (also ewa für den Todesfall, Berufsunfähigkei, Langelebigkei,) und bei denen aufgrund des Gleichbehandlungsprinzips Prämien- und Leisungsermilung nach den selben kalkulaorischen Grundsäzen erfolgen, beschreiben ein sogversicherenkollekiv (oder manchmal nur Kollekiv) Die Vorschrif des 11 VAG bedeue nun kurz gesag, dass sämliche vereinbaren Versicherungsleisungen für die Bezugsberechigen aus den Prämien der Versicherungsnehmer kommen müssen Das heiss im Exremfall beispielsweise aber auch, dass bei einer Todesfallversicherung, bei der die versichere Person unmielbar nach Verragsabschluss sirb, der Bezugsberechige die gesame versichere Leisung erhäl, auch wenn der Versicherungsnehmer VN nur einen einzigen Berag gezahl ha In diesem Fall muss also die versichere Leisung prinzipiell aus den eingezahlen Prämien der (übrigen) Versicherungsnehmer erbrach werden Das Kollekiv sell also die Finanzmiel zur Verfügung, um das Leisungsversprechen zu erfüllen Neben den Prämienzahlungen aller VN des Kollekivs kann das Versicherenkollekiv für die Erfüllung der Versicherungsleisungen explizi aber auch über Erräge verfügen, die sich aus der Anlage von Rücksellungen der (noch nich) für die Erfüllung von Leisungsversprechen benöigen Prämien ergeben Es enseh dami ein Ausgleich zwischen den Beirägen der Versicherungsnehmer einerseis und den Leisungen an den Bezugsberechigen andererseis Dieser Risiko-Ausgleich erfolg also durch die übrigen VN des Kollekivs und durch das Forschreien der Zei, das die Bildung von finanziellen Reserven erlaub Dami ein solcher Risiko-Ausgleich in einem Versicherenkollekiv aber überhaup funkionieren kann, muss das VU dafür Sorge ragen, dass ein solches Kollekiv in angemessener Größe aufgebau, erhalen bzw sogar vergrößer wird Es muss dazu also prinzipiell passende, neue Versicherungsnehmer akquirieren, um einen angemessenen Prämienzufluss für das Kollekiv sicherzusellen bzw zu vergrößern/ und die besehenden VN pflegen, um die Größe zu erhalen bzw zu verhindern, dass das Kollekiv kleiner bzw der Abfluss der Finanzmiel grösser wird Durch das Akquirieren von neuen VN, dh neuen Versicherungsverrägen, und durch die Verwalung der einzelnen Lebensversicherungsverräge der bisherigen VN ensehen dem VU Kosen, welche mi dem eigenlichen, in einer Policverragliche vereinbaren Versicherungsschuz direk nichs zu un haben Die Akquisiion von neuen und die Verwalung der besehenden VN im Kollekiv können daher durchaus als Leisungen des VU versanden werden, die es gegenüber dem Kollekiv erbring für das Versicherenkollekiv versanden werden (indireke Versicherungsleisungen), da sie esseniell für den zu organisierenden Risikoausgleich sind Die Kosen für dieser indireken Versicherungsleisungen sell das VU den VN (also dem Kollekiv) in Rechnung 6

10 1 Kalkulaionsprinzip und Kalkulaionsgrundlagen VT Das in 11 (1) formuliere Kalkulaionsprinzip vor Augen, erkennen wir hier also bereis: Bei gegebener Höhe der im Versicherungsfall vom VU zu erbringenden Versicherungsleisung hängen die von den VN zu zahlenden Prämien von ab Annahmen bzw Einschäzungen über das asächliche Einreen des fes definieren, zukünfigen ungewissen Ereignisses ( Risiko -Einschäzung), Annahmen über die rechnerische Verzinsung des angelegen Kapials ( Rechnungszins ), Annahmen, in welcher Höhe Kosenzuschläge zu erheben sind: Abschlusskosen (Annahmen, welche Kosen die Akquisiion neuer Verräge verursach), laufende Verwalungskosen (Annahmen, welche Kosen die Verwalung besehender Versicherungsverräge verursach) Die quaniaive Ausprägung dieser Annahmen werden als Rechnungsgrundlagen einer Lebensversicherung bezeichne Diese vom VU anzunehmenden Were, sellen die Größen dar, die zur Ermilung der verraglich feszulegenden, vom VN zu erbringenden Beiräge (bzw vom Kollekiv zu erbringenden Leisungen) herangezogen werden Man bezeichne sie als (für die Beirags-/Leisungskalkulaion) relevanen Rechnungsgrundlagen 1 Ordnung dar Da sie für die Prämienkalkulaion relevan sind, müssen vor dem eigenlichen Veragsabschluss fesliegen Beding durch die Tasache, dass es sich bei Lebensversicherungen sehr of um sehr langlaufende Verräge handel, muss ein VU mögliche Unsicherheien in der zeilichen Enwicklung der Kapialzinsen, des zu versicheren Risikos und seiner Organisaionskosen bei der Wahl der Rechnungsgrundlagen 1 Ordnung berücksichigen und diese so vorsichig bemessen, dass die dauernde Erfüllbarkei der Verräge sicher gesell is (versicherungsmahemaisches Vorsichsprinzip) Kosen des VU für die Akquisiion neuer VN verraglich fesgelege Leisung von den VN (Prämien, Beiräge) verzinse Kapialanlagen der Vorperiode Versicherungsunernehmen (VU) Kollekiv gleichariger Versicherungen (Besandsgruppe) (Abschlusskosen) Kosen des VU für die Verwalung der Verräge (Verwalungskosen) verraglich fesgelege Versicherungsleisungen an die VN Reserven zur Kapialanlage in der nächsen Periode Abbildung 12: Zu- und Abflüsse innerhalb eines Kollekivs (Besandsgruppe) zu einem besimmen Zeipunk 7

11 1 Kalkulaionsprinzip und Kalkulaionsgrundlagen VT Neben den für die Beirags-/Leisungsbesimmung fesgelegen Rechnungsgrundlagen 1 Ordnung gib es solche 2 Ordnung, (manchmal sprich man sogar von Rechniungsgrundlagen 3 Ordnung) In den Rechnungsgrundlagen 2 Ordnung werden die bereffenden Größen realisisch prognosizier (das Vorsichprinzip ri in gewissem Masse in den Hinergrund Auf diese Weise is es möglich, ewa während der Laufzei des versicherungsverrages eine Prognose über den asächlichen Versicherungsverlauf und dami auch eine Prognose über die zukünfig zu erwarenden Überschüsse abzugeben Rechnungsgrundlagen 2 Ordnung dienen also zunächs nich einer verragsrelevanen Leisungs- bzw Beiragsfeslegung, sondern sind Inpugrössen für ein Planungsinsrumenarium des VU Rechnungsgrundlagen 3 Ordnung geben die asächlichen Were der obigen Größen an Sie sind sofern überhaup exak ermielbar ers a poseriori bekann Es sind also die Grössen, mi denen ein Versicherungsverrag nachkalkulier werden kann 12 Das versichere Risiko als Rechnungsgrundlage 1 Ordnung; Ausscheideordnungen Da der Einri des Versicherungsfalles ungewiss is, is der Zeipunk, wann die Versicherungsleisungfällig wird eine sochasische Grösse Ähnliches gil auch für Beiragszahlungen, da es ewa sein kann, dass der VN während der Verragslaufzei versirb, und daher ab diesem Zeipunk dem Kollekiv seine Beiräge nich mehr zur Verfügung sellen kann Um aus der Sich des VU die zu erwarenden Zahlungssröme in das Kollekiv hinein bzw aus dem Kollekiv heraus quanifizieren zu können hinaus angeben zu können, muss daher das Unernehmen für die im Rahmen der Recchnungsgrundlagen 1 Ordnung zu reffenden Annahmenverlässliche Daen (ewa in Form von Wahrscheinlichkeisaussagen) über das zu versichernde Risiko (bspw zu serben, einen besimmen Zeipunk zu erleben, berufsunfähig zu werden ec) zu Grunde legen Derarige Informaionen werden aus sog Ausscheideordnungen ennommen, welche aufgrund objekiver saisischer Erhebungen zusande kommen und anschließend (durch das VU) eine vor dem Hinergrund des Vorischsprinzips eine Bewerung erfahren Ausscheideordnungen beschreiben den Abbau einer besimmen Personengesamhei im Zeiverlauf aufgrund besimmer Ausscheiderursachen Man unerscheide dabei einfache Ausscheideordnungen, bei denen der Ausri aus dem Kollekiv aufgrund eines einzigen Ausscheideursache beschrieben wird und zusammengeseze Ausscheideordnungen, welche mehrere Ausrisursachen berücksichigen Wird beispielsweise nur Tod als Ausrisursache berache, so nenn man die ensprechende Ausscheideordnung eine Serbeafel Eine Akiviäsordnung berache hingegen gleichzeiig die beiden Ausscheideursachen Tod und Invalidiä Da eine Serbeafel immer noch die wichigse Ausscheideordnung darsell, wollen wir eine solche Konsrukion kurz skizzieren: Serbeafeln sollen den Abbau einer (fesen) Personengesamhei (Kollekiv) durch Tod im zeilichen Verlauf beschreiben Die Daen zur Ersellung einer Serbeafel (bzw sonsigen Ausscheideordnung) gewinn man aus der Beobachung großer Personengesamheien Das Serben bzw Überleben is abhängig von Aler, Geschlech, Generaion, Beruf, Lebensumsänden ec 8

12 1 Kalkulaionsprinzip und Kalkulaionsgrundlagen VT radiionellen Serbeafeln berachen nur zwei dieser Merkmale, nämlich Aler (einer Person) und Geschlech (einer Person) Generaionenserbeafeln (oder auch Kohorenserbeafeln) beschreiben für eine Kohore von Nulljährigen, d h einer fixen Menge von Personen, die alle in einem besimmen, aber demselben Jahr geboren sind, wie viele von diesen in dem einzelnen Aler der Kohore (noch) angehören, bzw wieviele davon in den einzelnen Lebensalern versorben sind Für die Kohorengrösse zu Anfang wähl man üblicherweise Personen repräsenaiv aus In diesem Zusammenhang ha sich eingebürger, in der Serbeafel mi x das (vollendee) Aler eines Mannes und mi y das (vollendee) Aler einer Frau zu bezeichnen Die Zahlen x und y werden dabei üblicherweise ganzzahlig gesez Weierhin bedeue die Zahl l x die Anzahl lebender Männer des Alers x Analog wird mi der Zahl l y die Anzahl lebender Frauen des Alers y bezeichne 1 Unersell man, dass der Ausri infolge eines Todes nach einer besimmen Gesezmässigkei erfolg, kann man dieses Gesez dadurch ausdrücken, dass man die Anzahl l x+1 der nach einem Jahr in der Kohore noch lebenden Männer des Alers x + 1 angib Die Anzahl d x der durch Tod ausgereenen x-jährigen Männer innerhalb dieses einen Jahres ergib sich (bei einem geschlossenen Kollekiv) dann als d x = l x l x+1 Das Wesenliche einer Serbeafel is nun die Angabe der Zahlenfolge l 0, l 1, l 2,, l ω 1, l ω Das Aler ω bezeichne hier das so genanne kalkulaorische Schlussaler, d h das leze Aler x, in dem die Kohore überhaup noch lebende Personen enhalen kann (bzw soll), also l ω+1 := 0 Ausgehend von den Nulljährigen lise eine Serbeafel dann beispielsweise folgenden Größen auf: l x Anzahl der Überlebenden des vollendeen Alers x, also der lebenden x-jährigen, d x = l x l x+1 q x = dx l x p x = 1 q x e 0 x = 1 l x 2 l x + l x+1 l x + l x+2 l x + + lω l x = 1 l x ( 1 2 l x + l x l ω ) Anzahl der im Aler von x Jahren Gesorbenen, relaive Häufigkei, als x-jähriger zu serben (wird als Schäzung für die sog einjährige Serbewahrscheinlichkei eines x-jährigen inerpreier); dx l x heiß rohe Serbewahrscheinlichkei, Wahrscheinlichkei, als x-jähriger das Aler x + 1 zu erreichen (einjährige Überlebenswahrscheinlichkei eines x- jährigen), erwaree Anzahl von Jahren, welche ein x-jähriger noch zu leben ha (fernere Lebenserwarung eines x-jährigen) Die milere Lebenserwarung ensprich dabei der ferneren Lebenserwarung eines Null-Jährigen Die wahrscheinliche Lebensdauer ensprich dem Median der Lebensdauervereilung, also dem Aler, in dem 50% der Kohore gesorben sind Als normale Lebensdauer wird der Modalwer, 1 Wir werden im Weieren nur Männer berachen Alle Überlegungen gelen naürlich, muais muandis, auch für Frauen 9

13 1 Kalkulaionsprinzip und Kalkulaionsgrundlagen VT d h das Aler, in dem die meisen der Kohore serben, bezeichne Die Größen l x,d x und e 0 x heißen biomerische Funkionen Beispielhaf is hier die Serbeafel abgebilde, wie sie vom Saisischen Budesam für diesen Zeiraum im Jahr 2015 herausgegeben wurde (siehe wwwdesaisde) Serbeafel 2012/14 Deuschland Männlich Vollendees Aler in Jahren Serbe- Überlebens- Überlebende Gesorbene Von den Überlebenden im Aler x Durchschniliche im Aler x im Aler x bis zum insgesam Lebenserwarung wahrscheinlichkei bis uner x+1 Aler x+1 durchlebe noch zu im Aler x vom Aler x bis x+1 durchlebende in Jahren Jahre x q x p x l x d x L x T x e x 0 0, , ,40 0, , ,43 4 0, , ,45 6 0, , ,47 70, , , ,49 0, , , , , , ,54 0, , , ,59 0, , ,64 0, , ,67 0, ,69 0, , ,75 0, , , , , , ,91 0, , , , , , , , , , , , , , , , , ,

14 1 Kalkulaionsprinzip und Kalkulaionsgrundlagen VT Vollendees Aler in Jahren Serbe- Überlebens- Überlebende Gesorbene Von den Überlebenden im Aler x Durchschniliche im Aler x im Aler x bis zum insgesam Lebenserwarung wahrscheinlichkei bis uner x+1 Aler x+1 durchlebe noch zu im Aler x vom Aler x bis x+1 durchlebende in Jahren Jahre x q x p x l x d x L x T x e x 50 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,50 0, , , ,79 0, ,76 0, ,30 5,44 5,05 4,33 0, , , ,40 3, ,

15 1 Kalkulaionsprinzip und Kalkulaionsgrundlagen VT Außer den in der Serbeafel angegebenen Größen sind die folgenden abgeleieen Größen noch von Bedeuung: q x = d x+ l x p x = l x+ l x Wahrscheinlichkei, dass ein x-jähriger nach Jahren noch leb (-jährige Überlebenswahrscheinlichkei); offenbar is 1 p x = p x, q x = lx l x+ l x = 1 p x Wahrscheinlichkei, dass ein x-jähriger innerhalb der nächsen Jahre sirb (-jährige Serbewahrscheinlichkei), = l x+ l x dx+ l x+ = p x q x+ Wahrscheinlichkei, dass ein x-jähriger im Aler von x + sirb (um Jahre aufgeschobene Serbewahrscheinlichkei) Bei der Ersellung sog Periodenserbeafeln (Querschnisserbeafel) werden Personen aus einem oder mehreren Kalenderjahren zugrunde geleg Es werden dadurch sämliche in dieser Zeispanne lebenden Gebursjahrgänge berache Während dieser Berachungseperiode liefern auch hier die Anzahlen l x der x-jährigen bzw d x der als x jährige Gesorbene die Informaionen die um q x anzugeben Bei der oben abgebildeen Serbeafel handel es sich um eine Periodenserbeafel Um konkree Serbeafel für das VU zu generieren werden nun zusäzlich Trend- und Selekionseffeke berücksichig So könne ewa der medizinische Forschri dafür sorgen, dass in Zukunf die Serbewahrscheinlichkeien geringer ausfallen, als sie durch die q x besimm sind Ebenfalls is naürlich das das Vorsichsprinzip bei der konkreen Feslegung der q x (als Rechnungsgrundlage 1 Ordnung) zu wahren Miels umfangreichen saisischen Mehoden enseh aus all diesen Daen und Trend- und Selekionsannahmen so die eigenliche Serbeafel, die das VU für die Prämienkalkulaion heranzieh Die zu Grunde liegenden saisischen Mehoden hier darzusellen, würde allerdings den Rahmen dieser Veransalung sprengen Verwiesen sei ewa auf [19] Die Wahl der richigen Serbeafel (bzw analog irgend einer anderen Ausscheideordnung) als Rechnungsgrundlage 1 Ordnung is von zenraler Bedeuung bei der Kalkulaion von Versicherungsleisungen/Beiragsleisungen Bis 1994 wurden den Versicherungsuneernehmen die zu werwendenden Ausscheideordnungen durch das BAV (Bundesaufsichsam für das Versicherungswesen) vorgegeben Sei diesem Zeiraum sind die VU prinzipiell frei und können Ausscheideordnungen grundsäzlich nach eigenem Ermessen wählen Dami kann ein Versicherungsunernehmen Spezifika bei den bei ihm versicheren Personen berücksichigen Der Aufwand für die Ersellung einer solchen VU-individuellen Ausscheideordnung sell jedoch für die einzelnen Unernehmnen einen immensen Aufwand dar Derzei sell daher die DAV (Deusche Akuar Vereinigung ev) Regel-Ausscheideordnungen für die VU zur Verfügung Die neuese bezüglich des Risikos Langlebigkei wurde dor 2004 ersell (DAV 2004 R), die akuelle Serbeafel bezüglich des Risikos Serblichkei is die Serbeafel DAV 2008 T Hinsichlich des Pflegefallrisikos wird derzei die Tafel DAV 2008 P verwende Die oben dargeselle Sysemaik für die Serbeafel gil ganz ensprechend auch für die Konsrukion dieser Ausscheideordnungen, Wenn wir also in Zukunf die Nomenklaur q x,d x,l x,e 0 x verwenden, so beziehen wir uns dami zwar auf eine Serbeafel, die Nomenklaur gil aber muais 12

16 1 Kalkulaionsprinzip und Kalkulaionsgrundlagen VT muandis- in analoger Weise für andere Ausscheideordnungen (zb Invalidiäsafeln oder Pflegefallafeln Und dies sowohl für Männer als auch für Frauen Wichig: Per Gesezesverordnung darf sei Ende 2012 innerhalb der Rechnungsgrundlagen 1 Ordnung (!) nich mehr nach dem Geschlech differenzier werden, obwohl in der Lebensversicherung risikogereche Beiräge kalkulier werden sollen Dies is eine Konsequenz aus der EU-Gleichsellungsrichlinie aus dem Jahr 2004 (RL 2004/113 EG) Diese erhäl in Ar 5 Abs 1 folgenden Grundsaz: Die Migliedsaaen ragen dafür Sorge, dass späesens bei den nach dem 21 Dezember 2007 neu abgeschlossenen Verrägen die Berücksichigung des Fakors Geschlech bei der Berechnung von Prämien und Leisungen im Bereich des Versicherungswesens und verwander Finanzdiensleisungen nich zu unerschiedlichen Prämien und Leisungen führ Gegen diese Richlinie haben vor allem deusche Versicherer geklag, sind mi der Klage aber Anfang 2011 vor dem EuGH unerlegen Um zu verhindern, dass nun alle nach dem geschlossenen Verräge unwirksam sind, gewähre der EuGH eine Übergangszei bis zum Ab diesem Zeipunk müssen die Prämien sämlicher neu abgeschlossener Versicherungen nach geschlechsunabhängigen Ausscheideordnungen kalkulier werden (Unisex-Tarife) Diese Unisex-Kalkulaion beriff allerdings nich bereis besehende Verräge und auch die Berechnung der Reserven kann (solle!) zukünfig weierhin mi geschlechsdifferenzierenden Ausscheideordnungen erfolgen 13 Eine garaniere Zinsenwicklung als Rechnungsgrundlage 1 Ordnung Die vom VU einzuschäzende Verzinsung der Reserven sell eine weiere wesenliche Grundlage bei der Kalkulaion von Prämien und Versicherungsleisungen dar Wegen der verraglichen Fixierung von Versicherungsleisung(en) bzw Prämien zu Beginn eines Versicherungsverrages ha das VU hierzu ensprechend langfrisige (!) Zinsannahmen zu reffen Mi der Feslegung dieser Zinsannahmen binde sich das VU bereis zu Beginn des Verrages für jedes Jahr der gesamen Laufzei Es geh dami also ein langfrisiges, verraglich bindendes Verzinsungsverprechen gegenüber dem Kollekiv (und dami gegenüber dem einzelnen VN) ein garanieren Verzinsung Diese langfrisige Zinsgaranie (Garanieverzinsung), die ein wesenliches Merkmal der (deuschen) Lebensversicherung is, wird echnisch durch eine Feslegung kalkulaorischer Zinssäze I := (i 1, i 2,, i n ) für die einzelnzelnen Jahre der Versicherungslaufzei geroffen Die Größe i beschreib dabei den Zinssaz, den das VU dem Kollekiv gegenüber für die Anlage der Kapialreserven des 2 Dies war übrigens der Tag, an dem der ale Maya-Kalender den Welunergang prophezeie 13

17 1 Kalkulaionsprinzip und Kalkulaionsgrundlagen VT Abrechnungsverbandes für das -e Jahr der Versicherung garanier Bei der Wahl der Were für i is das VU in einem gewissen Maße frei Wegen der Verpflichung zur dauerhafen Erfüllbarkei der Verräge gehen die VU allerdings sehr vorsichig bei der Fixierung derariger Zinssäze vor (Vorsichsprinzip) Das VU räg durch dieses Garanie-Versprechen ja das Risiko, ggf diese Rendie zukünfig (in jedem Jahr der Laufzei des Verrages) auch asächlich zu erzielen, um so die (nach VAG 11) erforderlichen Kapialreserven (Deckungsrücksellungen) auch bilden zu können Für eine kalkulaorische Verzinsung der Kapialreserven (Deckungsrücksellungen) ha der Gesezgeber aus diesem Grunde Höchswere angegeben Dieser sogenanne Höchsrechnungszins i is in der Vergangenhei immer wieder den Enwicklungen am Kapialmark angepass worden Eine Fausregel soll diesen Höchswer in ewa an 60% des Zinssazes für längerfrisig laufende Saasanleihen (dh an Werpapiere mi dem formal geringsen Ausfallrisiko) orienieren Die Höchsrechnungszinssäze für eine kalkulaorische Verzinsung der Dechungsrücksellungen bei Lebensversicherungsproduken berugen/beragen: 1903 bis 1922 i = 3, 5% 1923 bis 1941 i = 4, 0% regulierer, fesgeleger Rechnungszins 1942 bis 1986 i = 3, 0% (saalicherseis fesgeleg) 1987 bis 06/1994 i = 3, 5% 07/1994 bis 06/2000 i = 4, 0% 07/2000 bis 2003 i = 3, 25% 2004 bis 2006 i = 2, 75% deregulierer saalich fesgeleger Höchs bis 2011 i = 2, 25% Rechnungszins für Deckungsrücksellungen 2012 bis 2014 i = 1, 75% 2015 bis 2016 i = 1, 25% 2017 bis i = 0, 90% Bis 1994 wurde der anzuwendende Rechnungszins vom damaligen Bundesaufsichsam für das Versicherungswesen (BAV) jez BAFin (Bundesansal für Finanzdiensleisungsaufsich) den Versicherern vorgeschrieben Ab 1994 gib es einen vom Finanzminiserium vorgeschriebenen Höchsrechnungszins Die Versicherer drücken ihre Einschäzung über die zukünfige Verzinsung der Reserven eines Abrechnungsverbandes in einem derzei noch einheilichen (= zeilich konsanen) kalkulaorischen jährlichen Rechnungszins i aus, dh I = (i, i, i,, i) Er beschreib also für die Zukunf die Höhe einer angenommenen einheilichen garanieren jährlichen Verzinsung der Kapialreserven im ensprechenden Abrechnungsverband Marküblich is es auch, den gesezlich fesgelege Höchsrechnungszins (für die Verzinsung der Rücksellungen) bei der Beirag-/Leisungs Kalkulaion zu verwenden Moivier is dies dadurch, dass sich diese Rücksellungen lezlich aus den Beirägen der VN ergeben, und dieser Zinssaz so auch eine angenommene jährliche Verzinsung der vom VN eingenommenen 14

18 1 Kalkulaionsprinzip und Kalkulaionsgrundlagen VT Versicherungsprämien widerspiegeln kann Zu bemerken is allerdings, dass grundsäzlich die Verwendung von verschiedenen Rechnungszinssäzen für die Verzinsung eingezahler Prämien einerseis, bzw Verzinsung der Deckungsrücksellungen (Kapialreserven) andererseis, erlaub wäre Als Alernaive zur Konsanz des kalkulaorischen Garanie-Zinssazes i während der gesamen Lebensdauer eines Abrechnungsverbandes werden in der deuschen Versicherungswirschaf derzei sogenanne emporäre Zinsgaranien oder Abschnis-Garanien diskuier In dieser Konzepion wird die Laufzei eines Versicherungsverrages gedanklich in mehrere Phasen unereil Während der einzelnen zeilichen Abschnie werden dann jeweils unerschiedliche Zinssäze garanier Diese verschiedenen garanieren Zinssäze können dann wiederum enweder zu Beginn eines Verrages für sämliche Phasen oder aber jeweils zu Beginn der einzelnen Phasen neu fesgeleg werden Es gib heue auch bereis Lebensversicherungen, bei denen gänzlich auf eine garaniere Verzinsung verziche wird Bei derarigen Versicherungen,so genannen Fonds-Versicherungen, werden die anzulegenden Reserven einem Anlage-Fonds zugeführ, der für eine ensprechende Verzinsung zu sorgen ha Das VU gib über die Höhe der Rendie allerdings a priori keinerlei Versprechen ab Somi lieg in diesem Fall das Rendie-Risiko vollsändig bei den VN 14 Einschub: Kommuaionswere Neben den vorgesellen Größen in der Serbeafel lassen sich nun, mi Annahmen über die Verzinsung, bereis eine Reihe von kombinieren Grössen ableien Diese so genannen Kommuaionswere spielen besonders früher (und in vielen Bereichen auch heue noch) eine große Rolle bei der Kalkulaion und der quaniaiven Analyse von Lebensversicherungen Kommuaionswere wurden bereis Ende des 18 Jahrhunders von Teens (siehe [7]) eingeführ und zum ersen mal verwende Früher waren diese Kommuaionswere in einem besonderen Maße nowendig, ja sogar unverzichbar, da man ohne Zuhilfenahme von Rechnern beispielsweise die Prämien bzw Leisungen für spezielle Lebensversicherungsproduke (ewa Leibrenen) ermieln musse Für die dazu nowendigen und aus damaliger Sich auch aufwendigen, da manuell, durchzuführenden Rechenoperaionen griff man auf einmal berechnee und dann in Tabellenform vorliegende numerische Were dieser Grundgrößen zurück Durch einfache Rechenoperaionen (meis Addiionen und Divisionen) auf derarigen Tafel-Weren ließen sich dann besimme versicherungsechnische Grundgrößen eines Lebensversicherungsverrages relaiv einfach besimmen 3 Weder aus rechenechnischer Sich, noch aus mehodisch-insrumeneller Sich gib es sichhalige Begründungen, auch heue noch derarige Kommuaionswere für die Besimmung versicherungsechnischer Größen heranzuziehen Ihre Verwendung schränk sogar die Kalkulaion einer großen Palee poenieller Lebensversicherungsproduke ein 3 Eine solche Verafelung der Kommuaionswere läss sich vielleich mi den früher in Tabellenform vorliegenden Logarihmenafeln, oder Tafeln rigonomerischer Formeln vergleichen, welche heue prakisch ebenfalls bedeuungslos geworden sind 15

19 1 Kalkulaionsprinzip und Kalkulaionsgrundlagen VT Da aber auch in der neueren Lieraur Kommuaionswere immer noch vielfälig zelebrier werden 4, sei auch hier wenigsens auflisend auf die häufigsen Größen hingewiesen Uner Benuzung der rohen Serbewahrscheinlichkeien einer Serbeafel und bei Verwendung eines über alle Jahre konsanen Zinssazes i und folglich eines konsanen Diskonfakors v = i, werden für die einzelnen Aler x ypischerweise folgende Kommuaionswere (bzw Barwerfakoren) abellier i Diskoniere Zahl der Lebenden des Alers x: D x := l x v x ii Summe der diskonieren Zahl der Lebenden ab Aler x: ω N x := D j j=x iii Doppel aufsummiere Zahl der Lebenden ab Aler x: ω ω S x := N j = (j x + 1) D j j=x j=x iv Diskoniere Zahl der Toen des Alers x: C x := d x v x+1 v Summe der diskonieren Zahl der Toen ab Aler x: ω M x := C j j=x vi Doppel aufsummiere Zahl der Toen ab Aler x: ω ω R x := M j = (j x + 1) C j j=x j=x Leich sieh man dann sofor die folgenden Zusammenhänge zwischen diesen Größen: i C x = v D x D x+1 4 Tasächlich liegen diese Größen auch heue noch (in of sehr umfangreichen Tabellen) verafel vor So ewa in den Maerialen des Saisischen Bundesames (siehe beispielsweise [17]) 16

20 1 Kalkulaionsprinzip und Kalkulaionsgrundlagen VT ii M x = D x (1 v) N x = v N x N x+1 iii R x = N x (1 v) S x = v S x S x+1 iv D x+j D x = l x+j l x v j = j p x v j, j = 0, 1, ω x v ä x := ω x jp x v j = N x D x = 1 + N x+1 D x vi Die Größe ä x heiß auchvorschüssiger Leibrenenbarwer(fakor) einer Person des Alers x ω x m ä x := j=m jp x v j = ω x j=m D x+j D x = N x+m D x vii Die Größe m ä x heiß auch der um m Jahre aufgeschobene, vorschüssige Leibrenenbarwer(fakor) einer Person des Alers x ä x, n := n 1 jp x v j = 1 ω x D x D x+j 1 ω x D x j=n D x+j = N x N x+n D x = ä x n ä x viii Die Größe ä x, n heiß auch emporärer, vorschüssiger Leibrenenbarwer(fakor) einer Person des Alers x n 1 m ä x, n := j+mp x v j = 1 m+n 1 D x j=m D x+j = N x+m N x+n+m D x = m ä x n+m ä x iix Die Größe m ä x, n heiß auch der um m Jahre aufgeschobene, emporäre, vorschüssige Leibrenenbarwer(fakor) einer Person des Alers x a x := ω x j=1 jp x v j = N x+1 D x = 1 ä x Die Größe a x heiß auch nachschüssiger Leibrenenbarwer(fakor) einer Person des Alers x 17

21 1 Kalkulaionsprinzip und Kalkulaionsgrundlagen VT 15 Die Kosenzuschläge als Rechnungsgrundlagen 1 Ordnung Das Organisieren des Gewährens von Versicherungsschuz verursach beim VU Kosen Gedanklich sind diese der Preis für alle im Zusammenhang mi einem Versicherungsverrag anfallenden indireken Versicherungsleisungen Diese Kosen sell das VU den VN des Kollekivs in Rechnung, indem es auf der einzelverraglichen Ebene eine ensprechende Kosenzuordnung vornimm und dem einzelnen VN seine ensprechenden Kosen im Rahmen seiner Beiragzahlungen zuschläg Gemäss 11 VAG müssen nämlich auch diese Kosen aus den Prämien der VN besrien werden Ensprechend müssen bei einer Beiragskalkulaion diese Kosenzuschläge Berücksichigung finden Eine solche Kalkulaion nenn man Bruo- Beiragskalkulaion im Gegensaz zur Neo-Beiragskalkulaion, welche die Kosenzuschlägen für die indireken Versicherungsleisungen nich berücksichig Abhängig vom Zeipunk, in welchem die indireken Versicherungsleisungen durch das VU erbrach werden, unerscheide man zunächs grob zwischen Abschluss- und Verwalungskosen 151 Abschlusskosenzuschlag (α-kosen) Hiner dem Begriff Abschlusskosenzuschlag verbirg sich der Kosenblock für sämliche Aufwendungen des VU, die vor und mi dem Abschluss eines Versicherungsverrags verbunden sind Im Allgemeinen wird hier differenzier: (i) äußere Abschlusskosen: Vermilungsprovisionen (an den Aussendiens) für die Akquisiion eines neuen Verrages, Lohnaneile für den angesellen Außendiens, die dem Abschluss eine Verrages zugeordne werden können, aneilige Kosen für Geschäfssellen, ec, (ii) innere Abschlusskosen: Kosen für die Aufragsbearbeiung (Gesundheisprüfung, Anferigung der Police, EDV-Erfassung, ), aneilige Kosen für Miarbeierschulung, Kosen für Markeing, aneilige Enwicklungskosen für neue Vesicherungsproduke Das VU muss also bei der Prämienkalkulaion a priori eine Vorsellung darüber haben, in welcher Gesamhöhe derarige Abschlusskosen anfallen, wie, wann und in welcher Höhe diese ensandenen Abschlusskosen dem VN (über seine Prämien) belase werden 18

22 1 Kalkulaionsprinzip und Kalkulaionsgrundlagen VT Als Bezugsgröße für die Ermilung der Höhe dieser kalkulaorischen Abschlusskosenzuschläge wird derzei i Allg die Summe aller vom VN zu zahlenden Beiräge herangezogen Um daraus die Höhe der Abschlusskosen zu ermieln leg das VU einen Wer α fes (daher der Name α-kosen), der den sog rechnungsmässigen Abschlusskosensaz beschreib Beispielsweise lieg für gemische Versicherungen bei VU mi selbsändigem Außendiens derzei dieser kalkulaorische Abschlusskosensaz bei ewa 4%, d h 4% aller gezahlen Beiräge einer solchen Versicherung werden dem Kollekiv ( und somi dem einzelnen VN) kalkulaorisch als Abschlusskosen in Rechnung gesell Die deuschen VU weisen zu einem sehr großen Teil einen negaiven Saldo zwischen asächlichen Abschlusskosen und rechnungsmässigen Abschlusskosenzuschlägen auf Dieser Abschlusskosenverlus wird auch als überrechnungsmäßige Abschlusskosen bezeichne und wird in der GuV gesonder ausgewiesen 152 Verwalungskosenzuschlag (β- und γ- Kosen) Hiner dem Begriff Verwalungskosenzuschlag verbergen sich die Kosenzuschläge für sämliche Aufwendungen des VU, die mi der Verwalung eines Versicherungsverrags verbunden sind Im Allgemeinen wird hier differenzier: (i) Inkassokosen (eher hisorisch) (β-kosen), (ii) laufende Verwalungskosen (γ-kosen): Kosen für die Besandsführung, Löhne und Gehäler der Miarbeier, Miee, Seuern, Kundenkorrespondenz, Aufwendungen für Verragsbeendigung, Kosen, die durch die Sornierung von Verrägen ensehen, Kosen, die bei Ablauf oder Einri des Versicherungsfalls ensehen Ähnlich wie schon bei den Abschlusskosen muss das VU für die Prämienkalkulaion a priori feslegen, wann und in welcher Gesamhöhe diese Verwalungskosen anfallen, bzw wie, wann und in welcher Höhe diese Kosenar dem VN über seine Prämien belase werden Als Bezugsgrößen für die Feslegung der Höhe der kalkulaorischen Verwalungskosenzuschläge werden i Allg die Prämien des VN, Versicherungsleisungen des VU (zb Renenhöhe, Versicherungssumme), oder eine Kombinaion aus derarigen Größen herangezogen Diese Bezugsgrößen werden dann ähnlich wie bei den Abschlusskosenzuschlägen mi kalkulaorischen Verwalungskosensäzen β bzw γ (daher der Name β-kosen, bzw γ-kosen) muliplizier und so die kalkulaorische Höhe dieser Kosenar ermiel, die dem VN in Rechnung gesell wird Wir werden im Zusammenhang mi der Bruokalkulaion noch auf diese Kosen zurückkommen und sie für die Kalkulaion sysemaisieren 19

23 1 Kalkulaionsprinzip und Kalkulaionsgrundlagen VT 16 Die beiden versicherungsechnischen Äquivalenzprinzipien In diesem Abschni sellen wir den Kalkulaionsgrundsaz vor, der innerhalb der Lebensversicherung eine fundamenale Bedeuung für die Beiragsbesimmung ha Mi dem Versicherungsverrag garanier das VU dem VN eine a priori fesgelege Versicherungsleisung, falls der Versicherungsfall einri Im Gegenzug verpfliche sich der VN, dafür zu besimmen Zeipunken während der Laufzei des Verrags a priori fesgelege Beiräge (Prämien) zu leisen Die echnische Besimmung von Beiragsleisungen des VN (bzw der Versicherungsleisungen des Kollekivs, der Besandsgruppe eines Kollekivs) gesale sich nun derar, dass den Beiragsleisungen des VN die ensprechenden Versicherungsleisungen des Kollekivs gegenübergesell werden Beiragsleisungen des VN Versicherungsleisungen des Kollekivs, indireke Leisungen des VU Abbildung 13: Gegenübersellung von Beirägen und Leisungen Ein im Sinne des Kollekivs erses, angemessenes Kalkulaionsprinzip, welches den Anforderungen des 11 VAG gerech wird, könne darin besehen zu fordern, die Prämien so zu kalkulieren, dass zu jedem Zeipunk der Verragslaufzei die in vom VN erwarungsgemäss zu zahlende Prämie und die in zu erwarenden Leisungen (des Kollekivs) an ihn wermäßig idenisch sind: Wer zum Zeipunk aller für den Zeipunk erwarungsgemäss von den VN zu zahlenden Beiragsleisungen! = Wer zum Zeipunk aller für den Zeipunk zu erwarenden, verraglich fesgelegen (Versicherungs)- Leisungen an die VN (und an das VU) Wird eine Leisungs-Prämienkalkulaion nach diesem Kalkulaionsprinzip vorgenommen, so nennen wir dies sarkes versicherungsechnisches Äquivalenzprinzip In jedem Zeipunk der Versicherungslaufzei finanzier also die zu erwarende Prämie die für diesen Zeipunk zu erwarende Versicherungsleisung Da aber die Prämien einerseis und die zu erwarenden Versicherungsleisungen (des Kollekivs) bzw die sonsigen Leisungen (des VU) andererseis im Allgemeinen zu verschiedenen Zeipunken anfallen, könne man auch ein alernaives Kalkulaionsprinzip ins Auge fassen, welches den gesamen Wer der einzelnen Verräge (über die Laufzei hinweg) berücksichig Dies führ zu einem, im Sinne des Kollekivs ebenfalls angemessenen Kalkulaionsprinzip, welches auch den Anforderungen des 11 VAG gerech wird Dieses forder, die Prämien so zu kalkulieren, dass für jeden Zeipunk gil, dass die aus den einzelnen Verrägen gesamhaf zu erwarenden Prämienleisungen und die aus den Verrägen 20

24 1 Kalkulaionsprinzip und Kalkulaionsgrundlagen VT gesamhaf zu erwarenden Versicherungsleisungen bezogen auf den Zeipunk wermäßig idenisch sind: Wer zum Zeipunk aller zu erwarenden, verraglich fesgelegen Prämienzahlungen eines jeden VN! = Wer zum Zeipunk aller zu erwarenden, verraglich fesgelegen (Versicherungs)-Leisungen an einen jeden VN (und an das VU) Eine Leisungs-Prämienkalkulaion, die nach diesem Kalkulaionsprinzip vorgenommen wird, nennen wir das schwache versicherungsechnische Äquivalenzprinzip Wir werden späer sehen, dass beide Äquivalenzprinzipien in einem sehr engen, aber zenralen Zusammenhang sehen Nachdem durch die beiden versicherungsechnischen Äquivalenzprinzipien zwei Kalkulaionsgrundsäze fesgeleg sind, mi welchen wir besimmen können, wie die Leisungen des Kollekivs und die dafür zu erbringenden Prämienleisungen des VN zusammenhängen, müssen wir uns nun Gedanken darüber machen, wie die einzelnen quaniaiven Komponenen der Rechnungsgrundlagen konkre in den Kalkulaionsprozess einbezogen werden 21

25 2 Neokalkulaion: Beirags- und Leisungsbarwere, Deckungsrücksellungen Eine Beirags-/Leisungskalkulaion basier auf einem (der beiden) versicherungsechnischen Äquivalenzprinzipien, verbunden mi angemessenen versicherungsechnischen Annahmen über Erragsgrößen (kalkulaorischer Zinssäze), Risikogrößen (Ausscheideordnung) und Kosengrößen(α, β, γ- Kosen) asl Rechnungsgrundlagen 1 Ordnung In diesem Kapiel wollen wir diese Prinzipien nun formalisieren, um zu einem ensprechenden Kalkül zu gelangen Wir werden zunächs davon ausgehen, dass das VU bei der Kalkulaion keinerlei Kosen berücksichig, dass also sowohl Abschlusskosen (α-kosen) als auch die Verwalungs- und Inkassokosen((β-Kosen) und (γ-kosen)) während der gesamen Laufzei der Versicherung gleich Null sind Eine Beirags-Leisungs-Kalkulaion, die derarige Kosengrößen nich mi einbezieh, wird als Neokalkulaion bezeichne Obwohl die Nichberücksichigung von Kosengrößen auf den ersen Blick ewas realiäsfremd erschein, werden wir sehen, dass das Neokalkulaions-Prinzip sehr leich auf den Fall überragbar is, dass späer posiive Abschluss- und Verwalungs- bzw Inkassokosen mi einbezogen werden Wir werden ein Modell bereisellen, welches flexibel die versicherungsechnische Konsrukion einer breien Palee verschiedenser Lebensversicherungsproduke erlaub Mi diesem Modell können somi nich nur Beirags- bzw Leisungsspekren der derzeiigen, markgängigen Versicherungsproduke kalkulier werden, vielmehr erlaub dieses Modell auch derarige Kalkulaionen für momenan (noch) nich auf dem Mark befindliche Produke durchzuführen Das Modell ha zwei wesenliche Charakerisika: (i) das Modell is diskoninuierlich, d h die Laufzei eines Versicherungsverrages wird in eine endliche Anzahl von Zeiperioden {[0, 1[, [1, 2[, [2, 3[,, [j 1, j[,, [n 1, n]} }{{} Periode Nr j zerleg Wir wollen hier pragmaischerweise annehmen, dass die Zeiperiode Nr j durch den j+1- en Jahresag des Versicherungsverrages besimm werden (jährliche Berachung) Diese jährlich Berachung is allerdings keine große formale Einschränkung Auch eine Diskreisierung in unerjährige Perioden liefer dieselbe Modellsrukur Der diskoninuierliche Charaker unseres Modells führ dazu, dass alle Ereignisse, die einen einzelnen Versicherungsverrag bereffen, in unserer Berachung nur zu den ganz 22