1 Grundlagen. 1.1 Einführung: Zentrale Problemstellungen

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2 1 1 Grundlagen 1.1 Einführung: Zenrale Problemsellungen Zenrale Zielsezung der Finanzmahemaik is die Analyse von Zahlungssrömen. Zenraler Inhal der Finanzmahemaik sind demgemäß quaniaive Mehoden, die eine Analyse von Zahlungssrömen ermöglichen. In einem ersen Schri sind daher die beracheen Zahlungssröme zu spezifizieren ( Zahlungssrommodell). Zahlungssröme werden ausgelös durch wirschafliche Handlungen, beispielsweise Invesiionen. Hinsichlich der wirschaflichen Anwendungen befassen wir uns im vorliegenden Tex dabei primär mi Finanzinvesiionen (auch: Invesmens, Kapialanlagen), beispielsweise dem Erwerb eines Zinsiels oder einer Akie. Sachinvesiionen, beispielsweise die Anschaffung einer Maschine, werden hingegen nur gesreif. Ihre Behandlung is Gegensand der Invesiionsrechnung. Hinsichlich der Analyse von Zahlungssrömen sehen dabei vor allem zwei zenrale Problemsellungen im Vordergrund. Problemsellung I: Bewerung Man besimme den Wer eines gegebenen Zahlungssroms. Die zenrale Problemaik beseh hier darin, dass die Zahlungen zu verschiedenen Zeipunken erfolgen, d.h. nich direk vergleichbar sind. Zenraler Schlüssel zur Bewerung is dabei die Verwendung eines Zinsmodells. Problemsellung II: Rendiebesimmung Man besimme die Rendie eines zu einem besimmen Wer erworbenen Zahlungssroms. Die zenrale Problemaik beseh dann in der Nowendigkei einer Annahme über die Anlage der erfolgen Zahlungen (beispielsweise Dividenden, Mieen) bis zum Ende des beracheen Zeihorizons ( Wiederanlageprämisse). Zielsezung und Inhal Anwendungsfelder zenrale Problemsellungen Bewerung Rendiebesimmung Daneben befassen wir uns mi weieren Problemkreisen, wie ewa der Renen- und Tilgungsrechnung.

3 2 1 Grundlagen 1.2 Zahlungssrommodelle Basis-Zahlungssrommodell Ein- und Auszahlungen Vor- und nachschüssige Zahlungen Sandardfälle Wie in Abschni 1.1 ausgeführ, is es in einem ersen Schri erforderlich, Modelle zur Quanifizierung von Zahlungssrömen zu enwickeln. Im vorliegenden Lehrex befassen wir uns dabei ausschließlich mi Folgen von Zahlungen. Zu spezifizieren is zunächs, zu welchen Zeipunken die Zahlungen erfolgen. Im einfachsen Fall ( Basis-Zahlungssrommodell) sind dies die Zeipunke {, 0 1, 2,, T }. Die Zahlungszeipunke sind in diesem Zeimodell äquidisan, d.h. die Perioden zwischen den Zeipunken besizen alle eine idenische Länge. Sandardbeispiele für im Weieren berachee Perioden sind Monae und Jahre. Der Zeipunk 0 ensprich dabei ypischerweise dem Zeipunk der Anlage oder dem Beginn der Planungsperiode (beispielsweise dem akuellen Zeipunk, kurz: heue). Die Zahlungen sind dabei enweder Einzahlungen ez 0 (Zahlungen mi posiivem Vorzeichen) zum Zeipunk oder Auszahlungen az 0 (Zahlungen mi negaivem Vorzeichen) zum Zeipunk oder Salden ez az von Ein- und Auszahlungen. In der Regel unerscheiden wir in der allgemeinen Noaion nich zwischen Ein- und Auszahlungen oder Salden von Ein- und Auszahlungen und noieren mi z die Zahlung zum Zeipunk. Zu unerscheiden sind bei Berachung der Zeimenge { 0, 1,, T} Vorschüssige Zahlungen: Es erfolgen Zahlungen z 0, z 1,, z T 1 jeweils zu Beginn der Perioden 1,..., T Nachschüssige Zahlungen: Es erfolgen Zahlungen z 1,, z T jeweils am Ende der Perioden 1,..., T. Abbildung 1.1 illusrier das vorsehend zugrunde liegende Zei- und Periodenmodell im Falle vor- wie nachschüssiger Zahlungen. Ob eine Zahlung vor- oder nachschüssig is, ergib sich aus dem jeweiligen Problemkonex. Wenden wir uns einigen ypischen Fällen zu. Fall 1 beinhale den Zahlungssrom { ez 1,, ez T }, die ensprechende Invesiion is durch nachschüssige posiive Rückflüsse gekennzeichne. Aber auch ensprechende vorschüssige Rückflüsse sind denkbar, ewa die in Abschni 2.1 behandelen vorschüssigen Renenzahlungen.

4 1.2 Zahlungssrommodelle 3 Vorschüssige Zahlungen z 0 z 1 z 2... z T 1 Periode 1 Periode 2... Periode T T 1 T Nachschüssige Zahlungen z T 1 z 1 z 2 z T... Periode 1 Periode 2... Periode T T 1 T Abb. 1.1: Diskrees Zei- und Periodenmodell Fall 2 beinhale den Zahlungssrom { az 0, ez 1,, ez T }. Zur Durchführung der Invesiion (bzw. zum Erwerb des Zahlungssroms { ez 1,, ez }) is eine (vorschüssige) Anfangsauszahlung nowendig. Dieser folgen dann nur noch Einzahlungen. Der Fall 2 enseh aus dem Fall 1, indem man diesen um die anfängliche Invesiionsauszahlung bzw. um den anfänglichen Preis der Invesiion ergänz. Eine leiche Verallgemeinerung von Fall 2 sell der Zahlungssrom { az 0, z 1,, z T } dar, hier wird die vorschüssige Anfangsauszahlung gefolg von nachschüssigen Zahlungssalden. Ein zenraler Fall hierbei is das Vorliegen ausschließlich posiiver Zahlungssalden, d.h. z > 0 für = 1,..., T. Wir sprechen in diesem Fall von einer Sandardinvesiion bzw. im Haupanwendungsfall von einem Sandardinvesmen. Abschließend bleib anzumerken, dass alle vorsehenden Zahlungssröme uner den allgemeinen Zahlungssrom { z 0, z 1,, z T } subsumierbar sind, wenn man als Spezialfall z 0 = 0 zuläss. Eine weiere Konsequenz des diskreen Zei- und Periodenmodells in Abbildung 1.1 is es, dass keine unerperiodigen Zahlungen erfolgen. Liegen im Anwendungsfall unerperiodige Zahlungen vor, so muss zumindes bei Verwendung dieses Zei- und Periodenmodells eine Vereinbarung darüber geroffen werden, ob eine solche Zahlung dem Periodenanfang oder dem Perioden ende zugeordne wird. Wir kommen dami zu einer Reihe von Beispielen, die den vorsehend dargesellen Basisfall illusrieren sollen. Sandardinvesiion, Sandardinvesmen allgemeiner Zahlungssrom

5 4 1 Grundlagen Bankkredi Beispiel 1.1: Bankkredi In = 0 werde ein Kredi von EUR bei einer Bank aufgenommen und nach 5 Jahren zu einem Berag von EUR (inklusive aufgelaufener Kredizinsen) endfällig geilg. Der resulierende Zahlungssrom aus Sich des Kredigebers (Bank) laue: Z = { , 0, 0, 0, 0, }. In Termen des Basis-Zahlungssrommodells gil somi z 0 = , z 1 = = z 4 = 0, z 5 = Im Rahmen der vorsehend eingeführen Noaion lieg aus Sich der Bank somi ein Sandardinvesmen vor. Der resulierende Zahlungssrom aus Sich des Kredinehmers is ensprechend Z = { , 0, 0, 0, 0, }. In Termen des Basis-Zahlungssrommodells gil also z 0 = , z 1 = = z 4 = 0, z 5 = Wir benuzen die Ergebnisse des Beispiels 1.1 schließlich noch, um ein Beispiel zur Illusraion eines Zahlungssroms gemäß Abbildung 1.1 zu geben. Unersell wird dabei die Sich des Kredinehmers, illusrier wird der zugehörige Zahlungssrom in Abbildung Abb. 1.2: Illusraion Bankkredi (Sich Kredinehmer) Feszinsiel, Bond Ein Feszinsiel (in Abhängigkei von der empirischen Ausgesalungsform auch: Schuldverschreibung, Obligaion, Anleihe, Bond, Reneniel) is im Sandardfall ( Sandardbond, Sraigh Bond) gekennzeichne durch eine fese Laufzei, jährlich nachschüssige Zinszahlungen ( Kupon) in feser Höhe über die gesame Laufzei sowie einer Rückzahlung des Krediberags ( Nennwer) am Ende der Laufzei (endfällige Tilgung).

6 1.2 Zahlungssrommodelle 5 Beispiel 1.2: Feszinsiel In = 0 wird ein Feszinsiel mi einer Laufzei von 3 Jahren und mi einem Umfang (Nennwer) von Ð erworben. Der Zinsiel werfe einen jährlich nachschüssigen Zins in Höhe von 5% des Nennwers ab und werde endfällig geilg. Zahlungssrom aus Sich des Emienen des Zinsiels: Z = {50 000, 2 500, 2 500, }. Zahlungssrom aus Sich des Anlegers (Invesor) in den Zinsiel: Z = { , 2 500, 2 500, }. Aus Sich des Anlegers in den Zinsiel lieg somi ein Sandardinvesmen vor. Der Zahlungssrom des Beispiels 1.2 läss sich aus Sich des Anlegers wie in Abbildung 1.3 dargesell illusrieren Abb. 1.3: Illusraion Feszinsiel (Sich Anleger) Eine Nullkuponanleihe bzw. ein Zerobond is ein Zinsiel, bei dem keine Zinszahlungen erfolgen, sondern nur eine endfällige Tilgung. Die wegfallenden Zinszahlungen werden kompensier durch die Vornahme eines Abschlags (Diskon) auf den vom Invesor bei Kauf zu enrichenden Preis. Nullkuponanleihe, Zerobond Beispiel 1.3: Nullkuponanleihe In = 0 werde die Nullkuponanleihe zu EUR erworben und in = 4 zu EUR geilg. Resulierender Zahlungssrom aus Sich des Invesors: Z = { , 0, 0, 0, }. Auch in diesem Fall lieg ein Sandardinvesmen vor.

7 6 1 Grundlagen verallgemeineres Zahlungssrommodell Zinskonvenionen Wenden wir uns dami einem verallgemeineren Zahlungssrommodell zu. Im Rahmen des zugrunde liegenden Zeimodells wird dabei die Äquidisanz der Zahlungen aufgegeben. Wir gehen dazu allgemein aus von Zahlungszeipunken der Form 0 = 0 < 1 <... < n = T. Dieser Ansaz erlaub insbesondere die Erfassung von»unerperiodigen«(z.b.: unerjährigen) Zahlungen. Zum Zeipunk i (i = 0, 1,, n) erfolg nun eine Zahlung der Höhe z( i ), d.h., der verallgemeinere Zahlungssrom ha die generelle Form: Z = {z( 0 ), z( 1 ),..., z( n )}. Geh man, wie in praxi üblich, von Jahren als Sandardperioden aus, so sell sich bei unerjährigen Zahlungen die Frage nach der Erfassung von Teilperioden. Man sprich von Tagzählungsmehoden ( Day Coun) oder auch von Zinskonvenionen. Dabei is sowohl die Anzahl B der Tage eines Jahres feszulegen (Sandardbeispiele: B = 365, B = 360) als auch die Anzahl A der Tage der Teilperiode. Man sprich dann von einer Tagzählungsmehode nach der Konvenion A / B. Beispiele hierfür sind die Konvenionen ech/ech bzw. acual/acual oder 30/360 oder ech/365. Ech (acual) bedeue hierbei die aggenaue Besimmung der Zinsage. Die Konvenion 30/360 bedeue, dass volle Monae zu 30 Zinsagen und das Jahr zu 12 Monaen (360 Tage) angesez werden (auch: kaufmännische Konvenion). Eine exake formelmäßige Darsellung der 30/360-Konvenion befinde sich in Anhang 1A. Die 30/360-Konvenion beinhale insbesondere die Vereinbarung, dass bei Monaen mi 31 Tagen der 31. Tag kein Zinsag is. Bei allen Konvenionen gil grundsäzlich, dass der erse Tag migezähl wird, der leze jedoch nich (Anzahl der versrichenen Tage). Day Coun Beispiel 1.4: Day Coun Die Konvenion sei ech/ech. Zwischen dem und dem liegen = 42 Tage. Das Jahr 2007 ha 365 Tage und somi umfass der Zeiraum 42/365 = Jahre. Im Falle der Konvenion 30/360 liegen hingegen zwischen dem und dem = 43 Tage, das Jahr wird zu 360 Tagen angesez und dami umfass der Zeiraum 43/360 = Jahre.

8 1.2 Zahlungssrommodelle 7 Beispiel 1.5: Zinsiel Zinsiel Der Feszinsiel aus Beispiel 1.2 werde nich bei Emission erworben, sondern ers nach 3 Monaen und zwar zu einem Preis von Ð, die Konvenion sei 30/360. Zeimodell: 0 = 0.25, 1 = 1, 2 = 2, 3 = 3. Zahlungssrommodell: z( 0 ) = , z( 1 ) = 2 500, z( 2 ) = 2 500, z( 3 ) = Beispiel 1.6: Akieninvesmen Akieninvesmen In = 0 werde ein Akieninvesmen in Höhe von EUR geäig. Nach 6 bzw. 18 Monaen erfolg eine Dividendenzahlung in Höhe von 200 bzw. EUR 300 und nach 27 Monaen werde das Akieninvesmen uner Realisierung eines Kursverluss zu EUR aufgelös. Die Konvenion sei 30/360. Zeimodell: 0 = 0, 1 = 0.5, 2 = 1.5, 3 = 2.25 Zahlungssrommodell: z( 0 ) = , z( 1 ) = 200, z( 2 ) = 300, z( 3 ) = Bei einem hesaurierenden Invesmenfonds bzw. einem Performanceindex (Beispiel: DAX) werden die Dividenden nich ausgeschüe, sondern reinvesier. Thesaurierung Beispiel 1.7: Thesaurierender Invesmenfonds Thesaurierender Fonds In = 0 werden für EUR Aneile eines hesaurierenden Akienfonds erworben und nach 21 Monaen verkauf, der Verkaufserlös berage EUR Die Konvenion sei 30/360. Zeimodell: 0 = 0, 1 = 1.75 Zahlungssrommodell: z( 0 ) = , z( 1 ) = In Termen des verallgemeineren Zahlungssrommodells liegen bei den Beispielen wiederum jeweils Sandardinvesmens vor.

9 8 1 Grundlagen 1.3 Zenrale Prämisse: Sichere Zahlungen Enscheidungsmodell uner Sicherhei Planungsperspekive Konrollperspekive Zenrale Prämisse des gesamen vorliegenden Texes is, dass alle Zahlungen sicher (deerminier, deerminisisch) sind, d.h. alle Zahlungen z( i ) sind hinsichlich ihres Einriszeipunks und ihrer Höhe nach vollsändig bekann ( Enscheidungsmodell uner Sicherhei). Falls der reale Zahlungssrom jedoch indeerminier is, so is dies eine Annahme zur vereinfachen Abbildung der Realiä oder aber auch eine didakische Vorsufe für komplexere Modellansäze. Bei der Analyse der prakischen Relevanz sicherer Zahlungen sind zwei Sichweisen zu unerscheiden. I. Ex ane- bzw. Planungsperspekive: Klammer man bei Feszinsieln das»ausfallrisiko«(zahlungsunfähigkei des Schuldners) aus und häl man den Tiel bis zur Endfälligkei, so resulier ein solcher sicherer Zahlungssrom (unsicher bleiben allerdings auch in diesem Fall die künfigen Wiederanlagebedingungen für die erfolgen Kuponzahlungen). Verkauf man den Tiel vor Endfälligkei, so resulier jedoch ein Kursrisiko (Unsicherhei des Rückzahlungsberags zum Markwer). Bei Akien sind die Kursenwicklungen grundsäzlich unsicher, in deulich geringerem Ausmaß gil dies für die Dividenden. Die Desinvesiionswere sind bei einem Akienengagemen somi unsicher. Im Rahmen einer Planungsrechnung kann man sich in diesem Falle hilfsweise mi unerschiedlichen deerminisischen Szenarien (z.b.: 3%, 7%, 10% jährliche Kursenwicklung) behelfen. II. Ex pos- bzw. Konrollperspekive: Ex pos, d.h. nach abgeschlossener Invesiion oder bei hisorischer Berachung von Invesmens (beispielsweise Kurszeireihen), haben sich alle Zahlungen realisier und sind dami deerminier. 1.4 Zinsmodelle Die grundlegende Problemaik bei der Bewerung eines deerminisischen Zahlungssroms (beispielsweise) der Form Z = {z 0, z 1,, z T } oder Z = {z( 0 ), z( 1 ),, z( n )} beseh darin, dass die Zahlungen zu verschiedenen Zeipunken erfolgen, d.h. nich direk vergleichbar sind. Zenraler Schlüssel zur Vornahme einer Bewerung is dann die Verwendung eines Zinsmo-

10 1.4 Zinsmodelle 9 dells. Dabei gehen wir im Weieren von einem einheilichen deerminisischen Zins aus. Die Modellannahme der Sicherhei ersreck sich dami gleichermaßen auf die Höhe der angenommenen Verzinsung. Der über die gesame Periode besehende einheiliche Zins (bzw. allgemeiner die in den einzelnen Subperioden besehenden Zinsen) is (bzw. sind) bekann. Als grundlegendes Zinsmodell berachen wir im Weieren das Modell eines vollkommenen Kapialmarks in diskreer Zei mi einem Periodenzinssaz r > 0. Die Bedingung des vollkommenen Kapialmarks bedeue dabei, dass zu r beliebig hohe Geldberäge angeleg und ebenso beliebig hohe Kredie aufgenommen werden können. Der Zinssaz r is dabei frisigkeisunabhängig, d.h. unabhängig von der Dauer der Kapialanlage bzw. von der Laufzei des Kredis. Wir führen zunächs eine Reihe von Sandardnoaionen ein: p : Zinsfuß (z.b.: 5) r := p/100 Zinssaz (z.b.: 5%) q := 1+r Aufzinsungsfakor (z.b.: 1.05) v := q 1 = 1/q Abzinsungs- bzw. Diskonierungsfakor (z.b.: (1.05) 1 = ). Der Zinssaz für eine besimme Periode spezifizier dabei den Preis für die Überlassung von Kapial für diese Periode. Die Bedingung eines einheilichen Soll- und Habenzinses kann leich aufgeweich werden (gespalener Zinssaz), dann können Ein- und Auszahlungen jedoch nich mehr saldier, sondern müssen jeweils gerenn berache werden. Der Einfachhei halber verzichen wir im Weieren auf diese leich allgemeinere Modellbildung. Das im Weieren berachee Basis-Zinsmodell kann nun wie folg konkreisier werden: Zeimodell {0,1,...,T}, die Sandardperiode is dabei ein Jahr nachschüssige Verzinsung zum Per Annum (p.a.)-zinssaz r (Zinsguschrif am Periodenende) Zinskapialisierung (die Zinszahlungen werden nich ausgeschüe, sondern erhöhen den Anlageberag bzw. die Schuld); man sprich in diesem Zusammenhang auch von einem Zinseszins es beseh ein anfängliches Kapial bzw. eine anfängliche Schuld K 0 in = 0. Die Werenwicklung des anfänglichen Kapials (der anfänglichen Schuld) K 0 über T Perioden uner Zugrundelegung dieses Zinsmodells führ dann zu dem folgenden Kapialsand (Schuldensand) K T = K T (r) zum Zeipunk T ( Endwer): sichere Verzinsung vollkommener Kapialmark Zinsgrößen Soll- und Habenzins Basis-Zinsmodell Endwerbesimmung

11 10 1 Grundlagen bei der Berachung von T Perioden somi zur Werenwicklung gemäß Beziehung (1.1). Die Beziehungen (1.3) und (1.1) werden illusrier in Abbildung 1.5. Der durch die vorsehenden Beziehungen beschriebene Effek, dass nich nur der anfängliche Kapialberag eine Verzinsung erfähr, sondern auch die jeweils aufgelaufenen Zinsen, wird auch als Zinseszinseffek bezeichne. Insbesondere wächs das Kapial aufgrund dieses Effekes ex- periodenweise Aufzinsung T (1.1) K T (r) = K p = K (1 + r) T = K 0 q T. Zur Begründung dieses Zusammenhangs berachen wir die Folge K 0, K 1,, K T der jährlichen Werenwicklungen. Die Werenwicklung zweier aufeinander folgender Jahre is dabei gekennzeichne durch (1.2) K = K 1 + K 1 r = K 1 (1 + r) = K 1 q. K 1 is dabei der Kapialsand am Anfang der Periode und K 1 r der am Ende der Periode gugeschriebene Zinsberag. Dieser grundlegende Zusammenhang wird illusrier in Abbildung 1.4. q q q K 0 K 1 K K K T 1 K T T 1 T Abb. 1.4: Periodenweise Aufzinsung Aus der Verknüpfung der einperiodigen Werenwicklungen resulier: K 1 = K 0 q K 2 = K 1 q = K 0 q 2 K 3 = K 2 q = K 0 q 3, ec. Dies führ zu der allgemeinen Werenwicklung (1.3) K = K 0 (1 + r) = K 0 q, Zinseszinseffek

12 1.4 Zinsmodelle 11 T q q K 0... K... K T T Abb. 1.5: Periodenübergreifende Aufzinsung poneniell (exponenielle Verzinsung, auch: geomerische Verzinsung). Im Konras hierzu seh die einfache oder lineare Verzinsung, hierbei wird nur der anfängliche Kapialberag periodisch verzins und es gil in diesem Falle exponenielle und lineare Verzinsung (1.4) K = K 0 + K 0 r + + K 0 r = K 0 (1 + r). Die korrespondierenden Werenwicklungen werden illusrier in Abbildung 1.6. K K = K (1+ r) 0 K = K 0 (1+ r) K 1 K 0 1 Abb. 1.6: Exponenielle versus lineare Verzinsung