3. Gitterschwingungen Gitterschwingungen
|
|
|
- Nadja Bach
- vor 9 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 3. Gitterschwingungen Gitterschwingungen
2 3 GITTERSCHWINGUNGEN Gitterschwingungen 3.1 Harmonische Näherung; Eigenschwingungen Fig 3.1 Wechselwirkungspotential zweier Atome Wir werden uns im folgenden auf die harmonische Näherung beschränken. Potentielle Energie für N Atome mit den Koordinaten x i, i =1 3N sei U (fx i g). Gleichgewichtslage: x 0 i x i = x 0 i + s i, wobei s i << jx 0 i, x 0 jj; 8j U (fx i g)=u (fx 0 i g)+ j s j X 2 k s j s k + Der erste Term ist konstant. Wir setzen ihn gleich Null. Der zweite Term ist
3 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.2 Null (warum?). Der dritte Term, der quadratisch in den Auslenkungen ist, ist der einzige, der bei der harmonischen Näherung berücksichtigt wird. X U H (s) := 2 U s j s k =: 1 k 2 j;k X j;k jk s j s k Newton sche Bewegungsgleichung: m k s k k =, X j kj s j Ansatz für eine harmonische Schwingung: s k = 1 p mk c k e i!t : 3NX j=1 a kj c j =! 2 c k, wobei: a kj := kj p mk m j A := (a kj ) ist eine 3N 3N Matrix (in 3D). Sie ist symmetrisch und positiv definit und hat daher 3N reelle positive Eigenwerte. Ein System in 3D bestehend aus N Atomen besitzt 3N Eigenschwingungen, resp. Normalschwingungen. Die Lösung dieses Eigenwertproblems für einen allgemeinen Festkörper ist schwierig ( Atome/cm 3 ). Hier hilft uns die Translationsinvarianz des Idealkristalls.
4 3 GITTERSCHWINGUNGEN Lineare Kette mit periodischen Randbedingungen m m m m n-1 n n+1 n+2 a Fig 3.2 Lineare eindimensionale Federkette. Newton sche Bewegungsgleichung für longitudinale Schwingungen: ms n = X j(6=n) f jn (s j, s n ), wobei f jn = f nj Tranlationsinvarianz: f j;n = f j+p;n+p 8p f j,n := f j,n;0 = f j;n f n;j Ansatz: s n = Ae i(kna,wt) Einsetzen in die Bewegungsgleichung führt auf die Dispersionsrelation:! 2 = 2 m X j>0 f j (1, cos(kaj)) (3.1) Die Gruppengeschwindigkeit v g ist Null, falls k = =a (Übungen). Die Gruppengeschwindigkeit ist Null, falls k auf die (erste) Brillouinfläche (Zonengrenze) fällt. Die Gruppengeschwindigkeit verschwindet, weil stehende Wellen gebildet werden, wenn die Bragg sche Bedingung erfüllt ist.
5 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.4 Für k = =a folgt: s n = Ae i(n,!t) = Ae,i!t (,1) n ) =2a. Fig 3.3 Benachbarte Atome schwingen gegeneinander (k = =a). Spezialfall: f j = f j;1 =)! = 2! 0 sin ka 2 ;! 2 0 := f m (3.2) ω 0 a k k πω 0 ω max = 2ω 0 ω 0 Fig 3.4 Dispersionsrelation für die einfache lineare Kette.
6 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.5 Gruppengeschwindigkeit: v g =! 0 a 2 sign(k)cos(ka=2) Für jkaj << 1 =) >>aund v g =! 0 a=2 =!(k) k = v. v g = v = s fa m=a p Dies entspricht der Kontinuumsformel für die Geschwindigkeit longitudinaler Schallwellen c = E=, wobei E das Elastizitätsmodul und die Massendichte ist. Äquivalente Wellen s n (k 1 ) s n (k 2 ); 8n, dann sind die Wellen physikalisch äquivalent, resp. k 1 und k 2 sind äquivalent. Es folgt: k 1 = k 2 + m(2=a) s n (k 1 ) s n (k 2 ); 8n, falls k 2, k 1 2G? k = 2π λ k 1 = 1 2 π k 4 a 2 = π a Fig 3.5 Beispiel zweier äquivalenten Wellen.
7 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.6 Wegen der Äquivalenz ist es hinreichend, k-werte im Intervall,=a =a zu betrachten. Zwei Gitterwellen, deren Wellenvektoren sich um einen Vektor des reziproken Gitters unterscheiden, sind identisch. Der Wellenvektor einer Gitterwelle ist nur bis auf einen additiven Vektor des reziproken Gitters bestimmt. Man erhält alle Gitterwellen, wenn man den Wellenvektor in der ersten Brillouin-Zone variiert. Periodische Randbedingungen Es ist zweckmässig anstelle eines unendlichen Kristalls ein System aus N Zellen zu betrachten. Wir betrachten daher eine Kette aus N Atomen und wählen periodische Randbedingungen (sog. zyklische Kette): s n+n = s n 8n. s n+n = Ae i(kna,!t) e ikna = s n =) e ikna 1 =), k 2 = a m N, m 2 Z. Für N-Atome (in einer Dimension) gibt es daher genau N verschiedene Eigenschwingungen, die durch N k-werte in der 1. Brillouin-Zone repräsentiert werden. Allgemein gilt: Die Eigenschwingungen eines Kristalls (in drei Dimensionen) bestehend aus N primitiven Einheitszellen werden durch genau N verschiedene k-vektoren in der 1. Brillouinzone repräsentiert.
8 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.7 Die Frequenzdichte (Zustandsdichte) Die Frequenzdichte (!) gibt die Anzahl der Eigenschwingungen pro Frequenzintervall an. Im k-raum ist die Zustandsdichte k einfach anzugeben: Wir haben N-Zustände im Intervall 2=a, d.h. Es gibt daher Z(!) =2 k (k) = Na 2 = const Na 2 k(!); (k >0) Zustände (Eigenschwingungen) mit Frequenz kleiner als!. = Na (@!=@k) Mit der einfachen Dispersionsrelation 3.2 folgt: (!) = 2N p! 2 max,! ;!! 2 max =2! 0 Beachte: Diese Funktion hat einen Pol. Im dreidimensionalen Raum kommen aber im allgemeinen keine Pole vor. Falls wir richtig gerechnet haben (überprüfen), gilt: Z!max 0 (!) d! = N
9 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.8 Fig 3.6 Zur Zustandsdichte der einfachen linearen Kette. Fig 3.7 Zustandsdichte (!):
10 3 GITTERSCHWINGUNGEN Lineare Kette mit zweiatomiger Zellenstruktur (Basis) a m1 m2 m1 m2 m1 m2 n-1 n n+1 ξ n η n Fig 3.8 Federkette mit zwei verschiedenen Atomen pro Zelle. m 1 n = f ( n + n,1, 2 n ); m 2 n = f ( n + n+1, 2 n ) Ansatz: n := Ae i(kna,wt) n := Be i(kna,wt) =),m 1! 2 A = f (B + Be,ika, 2A);, m 2! 2 B = f (A + Ae ika, 2B) (! 2, 2! 2 1 )!2 1 (1 + e,ika )! 2 2 (1 + eika ) (! 2, 2! 2 2 ) A B =0 wobei! 2 1 = f=m 1 und! 2 2 = f=m 2. =)! 2 =(!2 1 +!2 2 ) q! 4 1 +!4 2 +2!2 1!2 2 cos(ka) Es gibt nun zwei Dispersionszweige!
11 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.10 Diskussion: (Fall! 1 >! 2,d.h.m 1 <m 2 ) a) Grenzfall ka = )! + = p p 2! 1!, = 2! 2 <! + b) Grenzfall jkaj << 1 )! 2 + =2(!2 1 +!2 2 ), 1!2 2 (ka)2 1!2 2! ;!, 2 = 1!2!2 2 2 (ka)2 1!2 2! 2 1 +!2 2 Allgemein gilt für k 0:!, (k) nimmt monoton mit k zu, während! + (k) monoton abnimmt. Die maximale Frequenz ist gegeben durch: die reduzierte Masse ist.! max 2 = 2f ; wobei,1 = m,1 1 + m,1 2 Fig 3.9 Dispersionsrelation der einfachen zweiatomigen Federkette.
12 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.11 Grenzfall gleicher Massen:! = r 2f m p 1 jcos(ka=2)j ω + cos(ka/4) a ω ω + ω ω sin(ka /4) a π a 2 π a k Fig 3.10 Dispersionsrelation für unterscheidbare Atome mit m 1 = m 2. ω sin(ka /4) a - 2 π a - π a π a 2 π a k Fig 3.11 Dispersionsrelation für ununterscheidbare Atome mit m 1 = m 2.
13 3 GITTERSCHWINGUNGEN π a ω sin(ka/4) a Fig 3.12 Übergang von m 1 6= m 2 auf m 1 = m 2, wobei die letzte Kurve für zwei identische Atome bei einatomiger Zellenstruktur gültig ist. 2 π a
14 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.13 Amplitudenverhältnisse (Übungen) a) Grenzfall ka = :!, -Zweig:, n 0 und, n / (,1)n e,i!t! + -Zweig: + n / (,1) n e,i!t und + n 0 b) Grenzfall ka ' 0:!, -Zweig:, n =, n =) d.h. alle Massen bewegen sich mit gleicher Amplitude miteinander.! + -Zweig: + n =, m2 m 1 + n =) d.h. benachbarte Massen bewegen sich (mit unterschiedlicher Amplitude) gegeneinander. Angenommen die zwei Teilchen der Zelle sind Ionen entgegengesetzter Ladung, so ergeben sich im letzteren Fall grosse oszillierende Dipolmomente, die mit dem elektromagnetischen Feld (Licht, Optik) stark wechselwirken. Man nennt deshalb! + auch optischen Zweig; longitudinaler optischer Zweig, kurz: LO. Der Zweig!, verhält sich für k! 0 wie eine longitudinale Schallwelle. Man verwendet daher die Bezeichnung longitudinaler akustischer Zweig, kurz: LA. In 3 Dimensionen gibt es zusätzlich noch transversale Schwingungsmoden: TA, TO. Beachte: Die Unterscheidung zwischen optischen und akustischen Eigenschwingungen macht nur Sinn im,-punkt (für ka 0).
15 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.14 k = 0 ω + m 1 m 2 m 1 m 2 m 1 m 2 k = 0 ω m 1 m 2 m 1 m 2 m 1 k =± π a ω + m 1 m 2 m 1 m 2 m 1 k =± π a ω m 1 m 2 m 1 m 2 m 1 Fig 3.13 Die Bewegung der Atome für zwei spezielle k-werte. 3.4 Kohärente Streuung am thermisch schwingenden Kristall Klassische Behandlung Wir nehmen an, dass die Atome in ihrer Ruhelage ein Gitter bilden. Die Streudichte bei T =0seivon der Art: 0 (~x) = X j (~x, ~x 0 j ) Es sei eine einzige Normalschwingung angeregt: ~x j (t) =~x 0 j, ~asin( K ~ ~x 0 j, t) Wir wollen nicht X-rays betrachten, sondern die optische Wechselwirkung.
16 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.15 Diese wird bestimmt durch die lokale Polarisierbarkeit, resp. durch die dielektrische Suszeptibilität. (~x) steht also hier für (~x). Die Streuamplitude zum Streuvektor ~q = ~ k 2, ~ k 1, wobei ~ k 1 die einfallende und ~ k 2 die auslaufende Welle beschreibt, ist durch die Fouriertransformation gegeben: A(~q; t) = X j e,i~q(~x0 j,~asin( ~K~x 0 l,t)) Mit der Identität für die Besselsche Funktion 1. Art J n () e isin(x) = 1X n=,1 J n ()e inx und der Streuamplitude A 0 des ruhenden Gitters folgt: Z A 0 (~q) = 0 (~x)e,i~q~x d 3 x = X j e i~x j~q A(~q; t)e,i! 1t = 1 X n=,1 J n (~q ~a) e,i(! 1+n)t A0 (~q, n ~ K) (3.3) Die ausfallende Welle hat die Frequenz! 2 =! 1 + n, Energie-Erhaltung. Die Glieder mit n 6= 0entsprechen der inelastischen Streuung. Elastische Streuung (Nullphononstreuung)! 2 =! 1 und ~ k 2 = ~ k G? Der Vorfaktor J 0 (~q ~a) ist der Debye-Waller Faktor.
17 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.16 Inelastische Streuung mit n = 1 (Einphonon-Streuung) a) n =+1! 2 =! 1 + und ~ k 2 = ~ k 1 + ~ K+ 2 G? Auswahlregel für die Vernichtung eines Phonons. b) n =,1! 2 =! 1, und ~ k 2 = ~ k 1, ~ K+ 2 G? Auswahlregel für die Erzeugung eines Phonons. Diese Gleichungen entsprechen einem Energie- und Impulserhaltungssatz. Energie aus einem elektromagnetischen Strahlungsfeld kann mit den Gitterschwingungen ausgetauscht werden. 3.5 Wechselwirkung mit Licht (Qualitativ) Durch die Quantisierung der Gitter-Eigenschwingungen wird das Energiespektrum jeder einzelnen Eigenschwingung diskret. Das Energiequant wird Phonon genannt. Dieses Teilchen besitzt den Wellenvektor ~ k und die Energie h!( ~ k). Für Lichtquanten (Photonen) gilt genau dasselbe, nur tritt keine nichtlineare Dispersion auf, d.h.! = j ~ kjc. Bei der vollständigen Absorption des Photons gilt! 1 =und ~ k 1 = ~ K+ ~ G, wobei ~ G 2 G?.Dafür Licht k =!=c =2= und h! Phonon 10 mev folgt 100 m, d.h. langwelliges IR-Licht =) j ~ k 1 j << =a.! 1 = ; k 1 0
18 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.17 Photon Photon r k ω k r 1 1 ω 2 2 ω1 = ω Ω 2 + r r r r k 1 = k + K + 2 G r Phonon K Ω Fig 3.14 Phonon-Erzeugung durch inelastische Streuung von Photonen. Heisst allgemein Raman-Streuung; Brillouin-Streuung im Fall der akustischen Schwingungen. Photonübergang Fig 3.15 Photon-Absorption durch Anregung optischer Phononen.
19 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.18 Die Photon-Phonon Wechselwirkung ist in 1.Ordnung Störungstheorie nur mit TO-Phononen möglich (warum?), und zwar nur dann, wenn die Zellenstruktur polar ist. Ohne Beweis: In drei Dimensionen gibt es bei einer r-atomigen Basis 3 akustische Zweige (LA + 2TA) und 3(r, 1) optische Zweige. Berechnung der Lichtabsorption durch Phononen (Qualitativ) Der optische Übergang erfolgt im Grenzfall k! 0. + p - m f/2 m +q -q Fig 3.16 Links: Transversale Schwingung mit Dipolmoment ~p; Rechts: Vereinfachtes Modell. my =,fy + Eq; Für das elektrische Dipolmoment p := 2qy: E= elektrisches Feld p +! 2 0 p =2q2 E=m; mit! 2 0 = f=m Stationäre Lösung: p = p 0 e i!t und E = E 0 e i!t =) p 0 = 2q2 E 0 =m! 2 0,! 2 + i, (3.4)
20 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.19 i, ist ein Dämpfungsterm, den wir ad hoc eingeführt haben. Dieser kommt durch die Anharmonizität zustande (Phonon-Phonon-WW). Phononen können daher zerfallen. Für die dielektrische Suszeptibilität = Np=( 0 E) gilt nun: = 2q2 N=(m 0 )! 2, ; wo N die Dichte ist. 0!2 + i, Fig 3.17 Typisches Lorentz-Resonanzverhalten für die Suszeptibilität. Beachte:! 0 =! TO ( ~ k =0) Den Brechungsindex erhält man aus: n = p = p 1+. Für kleine Frequenzen! <<! 0 ist n reell und grösser als 1. Für sehr grosse Frequenzen geht n asymptotisch gegen 1. Im Bereich um! 0 wird n komplex, so dass Absorption und Reflektion eintritt. Diese liegen im fernen Infrarot und heissen Reststrahlabsorptionen.
21 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.20 Reststrahlabsorption durch TO-Phonon Interbandübergänge Fig 3.18 Reflektivität von UO 2
22 3 GITTERSCHWINGUNGEN Beispiele Γ X Γ Κ X Γ L Fig 3.19 Akustische Moden von Silber (Ag ist fcc mit monoatomiger Basis). Beachte die Entartung der transversalen Moden in der [100] und [111] Richtung. Phonon-Dispersionskurven werden gewöhnlich über Neutronenstreuung bestimmt. Akustische und optische Phononen können aber auch mit Hilfe der Raman-Streuung ermittelt werden.
23 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.22 Γ W Κ X X L Fig 3.20 Zur Erinnerung: 1. Brillouin-Zone für das fcc Gitter.
24 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.23 Fig 3.21 Ein stark polarisierbarer Ionenkristall (LiF, auch fcc). Fig 3.22 Kohlenstoff in der Diamantform (auch fcc).
25 3 GITTERSCHWINGUNGEN Quantisierung der Gitterschwingungen: Phononen Das klassische Hamiltonfunktional H = T + V ist quadratisch in den Auslenkungen s i ; _s i und kann durch eine orthonormale Koordinatentransformation ins Koordinatensystem der Eigenmoden sehr einfach geschrieben werden. Für einen bestimmte Zweig gilt: mit H = 1 2 X P ~? (t)p k ~k (t) +! 2 ( ~ k)q ~? (t)q k ~k (t) ~ k P ~k = _ Q ~k ~ k und Q? ~ k = Q, ~ k Durch kanonische Quantisierung wird H zu einem Operator (Hamiltonoperator): i hq ~k1 ;P ~k2 = ih ~k1 ; ~ k 2 Definition der Operatoren a + und a: a + ~ k := a ~k := 2h!( ~ k),1=2 (!( ~ k)q? ~ k, ip ~ k ) 2h!( ~ k),1=2 (!( ~ k)q ~k + ip? ~ k ) Es folgt: H = X ~ k h!( ~ k) a + ~ a k ~k +1=2 (3.5)
26 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.25 Schrödingergleichung: H = E n =) a + ~ k a ~k = n ~k (3.6) Der Operator a + a kann als Teilchenzahloperator aufgefasst werden: a + k a kjn 1 n k > = (n k ) jn 1 n k > ak ;a + q = k;q Zeige, dass gilt: a + k jn 1 n k > = p nk +1jn 1 (n k +1)> a k jn 1 n k > = p n k jn 1 (n k, 1) > Jeder Eigenvektor jn 1 n k > kann offensichtlich durch wiederholtes Anwenden des Erzeugungsoperators a + k auf den Vakuumszustand j000 > gewonnen werden. a k nennt man Vernichtungsoperator. a + k erzeugt ein Energiequant im Eigenmode der Schwingung zur Frequenz!(k). Diese Schwingungsquanten heissen Phononen.
27 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.26 E = X ~ k n ~k h!( ~ k) (3.7) Der Schwingungszustand ist eindeutig gegeben durch Angabe der Besetzungszahlen n ~k der Eigenschwingungen. Phononen sind Bosonen. Analogie zur elektromagnetischen Hohlraumstrahlung. Impuls des Phonons: In Analogie zum Impuls des Photons wird h ~ k als Phononenimpuls definiert. Dies ist sinnvoll, da dann konventionelle Erhaltungssätze gelten. Beachte: Eine elastische Welle eines Kristalls hat aber keinen physikalischen Impuls, denn die Massen bewegen sich am Ort hin und her. Der Kristallimpuls ist daher nur eine zweckmässige Rechengrösse. ~p k =h ~ k; =) ~ P (ni ) = X ~ k n ~ k (h~ k) E = Dies ist analog zu: X ~k n ~ k h!( ~ k)
28 3 GITTERSCHWINGUNGEN Thermodynamische Eigenschaften, die spezifische Wärme Die spezifische Wärme C V Im thermodynamischen Gleichgewicht ist die Wahrscheinlichkeit w q,dass die Eigenschwingung zum Index q (q steht für ~q und Modenindex) die Energie E q enthält, gegeben durch: w q = e,e q Z ; Z := 1X n q =0 e,e q ; := 1 Z heisst Zustandssumme und E q ist gegeben durch:, wobei n q die Besetzungszahl ist. E q =h! q n q kt Der Erwartungswert E q der Energie im Mode q ist daher: E q = 1X n q =0 w q E q = P Eq e,e q P e,e E q = h! q 2 + h! q e h! q, 1 Also gilt für die mittlere Besetzungszahl n q die sog. Plank sche Verteilung, oder Bose-Einstein-Verteilungsfunktion: n q = 1 e h! q=k B T, 1 (3.8) Für die Gesamtenergie ergibt sich nun:
29 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.28 U = X q 1 h! q e h! q=k BT, 1 (3.9) n kt/hν Fig 3.23 Die Bose-Einstein-Verteilungsfunktion. Beachte: n / T falls k B T>> h! Klassischer Grenzfall (hohe Temperatur): Falls h! << 1 8!, gilt: U ' Nk B T; wobei N = Anzahl der Normalschwingungen.
30 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.29 Im klassischen Grenzfall liefert jede Normalschwingung den Beitrag k B T zur inneren Energie, respektive k B zur spezifischen Wärme (Äquipartitionstheorem). Jedes Atom im Kristall liefert (in 3D) den Beitrag 3k B zur spezifischen Wärme. Allgemeiner Fall Um U zu berechnen, muss die Zustandsdichte (!) im Frequenzraum bekannt sein: U = X j,m odes Z!max 0 1 d!(!) j h! e h!, 1 Das Problem besteht darin, eine vernünftige Abschätzung für (!) anzugeben. Das Modell von Debye Debye fasst den Festkörper als homogenes, isotropes, elastisches Medium auf und betrachtet den Grenzfall kleiner Temperaturen, wo nur akustische Schwingungen angeregt sind. Die longitudinalen und transversalen Schallwellen werden durch ihre Phasengeschwindigkeiten c l und c t charakterisiert. Ausserdem wird die Brillouin-Zone durch eine Kugel mit einem Radius q Dj ersetzt (diese Methode wird später bei der Behandlung der Elektronen wieder vorkommen). In der Gleichung 3.9 ersetzen wir die Summe durch ein Integral unter Benutzung der Zustandsdichte k im k-raum: X ~q i = Z V (2) 3 d 3 q ; V ist das Volumen des Kristalls
31 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.30 U, U 0 = V (2) 3 3X j=1 Z d Z qdj 0 dq q 2 h! j (q) e h! j(q), 1 Für den Zweig j gilt q =! j =c j =) U, U 0 = V (2) 3 4 3X j=1 1 c 3 j Z qdj 0 d(qc j ) h! 3 j (q) e h! j(q), 1 U, U 0 = V (2) c 3 l + 2 c 3 t Z!D 0 d! h! 3 e h!, 1! D heisst Debye Frequenz. In diesem Modell wird die Zustandsdichte pro Mode angenähert durch: D (!) = V (2) 4! 2 3 c (! 3 D,!) Die mittlere Schallgeschwindigkeit pro Mode c ist definiert durch: 3 c := c 3 l c 3 t Die Debye-Frequenz muss selbstkonsistent bestimmt werden: Z!D 0 3 D (!)d! = 3N; N = Anzahl primitiver Zellen Man erhält:! 3 D =62 c 3 n; wobei n = N=V C (U, U 0)=9k B N T D 3 Z D=T 0 x4 e x dx (e x, 1) 2
32 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.31 mit h! D = k B D. D = Debye-Temperatur. Das Debye-Modell liefert eine sehr gute Beschreibung für niedrige Temperaturen, d.h. T<< D (warum?) und im Falle nichtmetallischer Kristalle. C V = B T 3 ; B = const (3.10) Bei Metallen muss der Beitrag der Leitungselektronen zur spezifischen Wärme berücksichtigt werden (proportional zu T ): C V = A T + B T 3 ; A; B = const (3.11) 3Nk 2CV/Nk T[K] Fig 3.24 Spezifische Wärme verschiedener Materialien.
33 3 GITTERSCHWINGUNGEN Nk k 3 2 2CV/N k 1 T / θ T Fig 3.25 Vergleich von Messdaten mit der Debye-Funktion. Fig 3.26 Tabelle für Debye-Temperaturen. Beachte: D ist gross für harte und leichte Materialien.
34 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.33 Fig 3.27 T 3 Tieftemperaturverhalten der spezifischen Wärme am Beispiel von Argon. Das Modell von Einstein: Einstein betrachtet nur eine einzige feste Frequenz; also für drei Zweige: (!) =3N(!,! E ) Mit diesem Modell kann man die Beiträge der optischen Moden zur spezifischen Wärme abschätzen. Es folgt: U, U 0 =3N C V =3Nk B TE T h! E e h! E, =) 1 2 e T E=T, e T E =T, 1 2
35 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.34 Für T! 0 gilt: C V / exp(,t E =T )! 0 Für T>>T E folgt der klassische Wert: C V =3Nk B Fig 3.28 Vergleich der Einstein- mit der Debye-Funktion.
36 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.35 Anomalien in C V Anomalien in der spezifischen Wärme treten bei Phasenübergängen auf. Daraus resultieren Singularitäten, Sprünge und Spitzen je nachdem, welche Ordnung der Phasenübergang hat. Beispiele: Sprung wegen eines Phasenüberganges zweiter Ordnung Fig 3.29 Molwärme von Gallium im normalen und supraleitenden Zustand. Eine besonderes Verhalten tritt für Defekte und amorphe Materialien auf. Die Schottky Anomalie:
37 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.36 Bei Gläsern sind die thermischen Schwingungen lokalisiert. Daraus folgt, dass es keine langwelligen Schwingungskomponenten geben kann. Bei genügend tiefen Temperaturen können diese lokalen Moden nicht mehr angeregt werden, und die spezifische Wärme sollte exponentiell klein werden. Erstaunlicherweise findet man eine lineare Temperaturbeziehung bis hinunter zu mk-temp.: C V / T. U E 2 E 1 x x 2 x 1 Fig 3.31 Links: Mögliche Bewegung von Sauerstoffatomen im amorphen Quarzglas. Rechts: Skizze der Energielandschaft für ein Zwei-Niveau-System. Ein Atom hat im allgemeinen mehrere lokale Gleichgewichtspositionen. Wir wollen hier kurz nur 2-Zustands-Systeme betrachten. Dieses Modell ist auch geeignet zur Behandlung des magnetischen Spinmomentes im äusseren Feld, fürkristalldefekteund zurbehandlungvon elektronischenanregungen. Seien E 1 und E 2 >E 1 die Energien des 2-Zustands-Systems. Es gilt: log, e,e 1 + e,e 2 Die spezifische Wärme hat ein Maximum bei kt (E 2, E 1 )=2 (Figur). Sie nimmt ab bei tiefen und grossen Temperaturen. Dieses Maximum wird auch als Schottky Anomalie bezeichnet. Das Verhalten der spezifischen Wärme von Gläsern kann man erklären, wenn man ein Ensemble von 2-Niveau-Systemen betrachtet: Sei := E 2,
38 3 GITTERSCHWINGUNGEN < E > E 1 E 2 E 1 C /Nk V kt E2-E1 Fig 3.32 Die innere Energie und die spezifische Wärme eines 2-Niveau-Systems. E 1 die Energiedifferenz der zwei wechselwirkenden Zustände und n()d die Anzahl der 2-Niveau-Systeme im Intervall + d. Setzt man n = const, dann folgt (Übung): C V ' 1:64 n 0 k 2 T
39 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.38 Spezifische Wärme Glas, amorph slope 1 slope 3 Kristall Fig 3.33 Spezifische Wärme von Gläsern.
40 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.39 Thermodynamisches Gleichgewicht / Nichtgleichgewicht Wir haben bis jetzt den thermodynamischen Gleichgewichtszustand behandelt. =) T 0 resp. n j; ~ k nicht orts- und zeitabhängig Der totale Kristallimpuls P = X j;~q h~q j n j;~q verschwindet im thermodynamischen Gleichgewicht. Bei Transportphänomenen (hier Wärmeleitung) ist n = n(~x). Phononen diffundieren von T 2 >T 1 nach T 1. Falls keine externen Wärmequellen mehr bestehen, nimmt der Wärmefluss ab, und es stellt sich eine konstante Temperatur ein (Gleichgewicht). Wie kommt nun dieses Gleichgewicht zustande? Dazu bedarf es anharmonischer Wechselwirkungen, die zu Phonon-Phonon-Streuung anlass geben. Ausserdem können Phononen an Gitterdefekten gestreut werden. 3-Phonon-Streuung: ~ k1 + ~ k 2 ) ~ k 3 ; n 1 ) n 1, 1; n 2 ) n 2, 1; n 3 ) n 3 +1 Darum ist die Änderung des Gesamtimpulses h ~ k 3, h ~ k 1, h ~ k 2 =0 Dies gilt für alle sogenanten Normal-Prozesse (N-Prozess), die keinen reziproken Gittervektor ~ G enthalten. Der Totalimpuls bleibt erhalten, und das
41 3 GITTERSCHWINGUNGEN 3.40 thermische Gleichgewicht kann sich nicht einstellen! Dazu sind Umklapp- Prozesse (U-Prozess) notwendig, z.b. ~ k1 + ~ k 2 ) ~ k 3 + ~ G; mit ~ G 2 G? Bei sehr tiefen Temperaturen gilt j ~ k 1 j, j ~ k 2 j << =a und daher nimmt die Möglichkeit für Umklapp-Prozesse sehr schnell ab (exponentiell schnell). Die mittlere freie Weglänge zur Relaxation des Phononenimpulses nimmt bei tiefen Temperaturen daher stark zu. Diese Längenskala ist nach oben durch Streuung an Kristalldefekten begrenzt.
Gitterschwingungen in Festkörpern
in Festkörpern Gitterschwingungen Wie bei den Molekülen wollen wir im folgenden die Dynamik der Festkörper, also Schwingungen des Kristallgitters behandeln Erklärung, Beschreibung Elastische Eigenschaften
4.6 Stöße mit Phononen
Physik der kondensierten Materie WS 00/0 05..00 ii) Wie viele mögliche k-vektoren gibt es in der ersten Brillouinzone? Wir betrachten eine Kette mit N Atomen unter periodischen Randbedingungen, d.h. für
Vorbereitung. (1) bzw. diskreten Wellenzahlen. λ n = 2L n. k n = nπ L
Physikalisches Fortgeschrittenenpraktikum Gitterschwingungen Vorbereitung Armin Burgmeier Robert Schittny 1 Theoretische Grundlagen Im Versuch Gitterschwingungen werden die Schwingungen von Atomen in einem
9. Dynamik des Kristallgitters
9. Dynamik des Kristallgitters Gitterschwingungen harmonische Näherung Phononen als Energiequanten TO TA [http://www.chembio.uoguelph.ca/educmat/chm729/phonons/optmovie.htm] WS 2013/14 1 9.1 Eigenschwingungen
1) Brillouin-Streuung zur Ermittlung der Schallgeschwindigkeit
Übungen zu Materialwissenschaften II Prof. Alexander Holleitner Übungsleiter: Eric Parzinger / Jens Repp Kontakt: [email protected] / [email protected] Blatt 3, Besprechung: 7. und 14.5.214
Einführung in die Festkörperphysik I Prof. Peter Böni, E21
Einführung in die Festkörperphysik I Prof. Peter Böni, E1 Lösung zum 9. Übungsblatt (Besprechung: 18. - 0. Dezember 006) P. Niklowitz, E1 Aufgabe 9.1: Neutronenstreuung an Phononen (a) Geben Sie die Dispersionsrelation
Vorlesung 17. Quantisierung des elektromagnetischen Feldes
Vorlesung 17 Quantisierung des elektromagnetischen Feldes Wir wissen, dass man das elektromagnetische Feld als Wellen oder auch als Teilchen die Photonen beschreiben kann. Die Verbindung zwischen Wellen
13.5 Photonen und Phononen
Woche 11 13.5 Photonen und Phononen Teilchen mit linearem Dispersionsgesetz: E = c p, c - Ausbreitungsgeschwindigkeit (Licht- oder Schallgeschwindigkeit). 13.5.1 Photonen Quantisierung der Eigenschwingungen
338 KAPITEL 7. SCHWINGUNGEN UND WELLEN
338 KAPITEL 7. SCHWINGUNGEN UND WELLEN 1 x 1 0-1 1 x 2 0-1 0 5 10 15 20 25 30 Zeit t Abbildung 7.20: Amplituden von 2 gekoppelten Pendeln. In diesem Beispiel sind D/m = 1 und d = 0.2 D gewählt. Die Zeit
Thermische Eigenschaften von Kristallgittern
Kapitel 5 hermische Eigenschaften von Kristallgittern Wir haben gesehen, dass sich die 3rN Bewegungsgleichungen eines periodischen Festkörpers weitgehend entkoppeln lassen, wenn man die Kräfte harmonisch
Kleine Schwingungen vieler Freiheitsgrade
Kleine Schwingungen vieler Freiheitsgrade Betrachte System mit f Freiheitsgraden: (z.b. N Teilchen in 3 Dim.: ) Koordinaten: Geschwindigkeiten: Kinetische Energie: "Massenmatrix" Nebenbemerkung: Bei fortgeschrittenen
Probestudium der Physik 2011/12
Probestudium der Physik 2011/12 Karsten Kruse 2. Mechanische Schwingungen und Wellen - Theoretische Betrachtungen 2.1 Der harmonische Oszillator Wir betrachten eine lineare Feder mit der Ruhelänge l 0.
1 3.Übungsblatt-Phononen
1 3.Übungsblatt-Phononen 1.1 Phonon dispersion relation for atoms on a 2-d square lattice Das Gesetz von Newton beschreibt die Kraft zwischen Atomen auf einem Gitter, wobei nur die Wechselwirkung zwischen
1-D photonische Kristalle
1-D photonische Kristalle Berechnung der Dispersionsrelation und der Zustandsdichte für elektromagnetische Wellen Antonius Dorda 15.03.09 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Herleitung der Relationen 2
der Periodendauer ist die Frequenz der Schwingung = ω 1 (Masse mal Beschleunigung). Die Lösung dieser Differentialgleichung führt auf die
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg Institut für Werkstoffwissenschaften 6 / AlN Martensstr. 7, 9158 Erlangen orlesung Grundlagen der WET I Dr.-Ing. Matthias Bickermann, Prof. Dr. A. Winnacker
Kleine Schwingungen vieler Freiheitsgrade
Kleine Schwingungen vieler Freiheitsgrade Betrachte System mit f Freiheitsgraden: (z.b. N Teilchen in 3 Dim.: f = 3N) Koordinaten: Geschwindigkeiten: Kinetische Energie: "Massenmatrix" Nebenbemerkung:
T2 Quantenmechanik Lösungen 2
T2 Quantenmechanik Lösungen 2 LMU München, WS 17/18 2.1. Lichtelektrischer Effekt Prof. D. Lüst / Dr. A. Schmidt-May version: 12. 11. Ultraviolettes Licht der Wellenlänge 1 falle auf eine Metalloberfläche,
Elektrodynamik (T3p)
Zusatzaufgaben zur Vorlesung Elektrodynamik (T3p) SoSe 5 Beachten Sie, dass die nachfolgenden Aufgaben nur als zusätzliche Übung und nicht als potenzielle Klausuraufgaben angesehen werden sollten! Aufgabe
Seminar: Quantenoptik und nichtlineare Optik Quantisierung des elektromagnetischen Strahlungsfeldes und die Dipolnäherung
Seminar: Quantenoptik und nichtlineare Optik Quantisierung des elektromagnetischen Strahlungsfeldes und die Dipolnäherung 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 1 Inhalt Motivation
Molekulare Kerndynamik. Grundlagen
Grundlagen Bei der Bestimmung der elektronischen Struktur von Molekülen haben wir bis jetzt den Fall betrachtet, daß die Kerne fest sind. Lösung der elektronischen Schrödingergleichung in einem festen
Vorlesung Statistische Mechanik: N-Teilchensystem
Virialentwicklung Die Berechnung der Zustandssumme bei realen Gasen ist nicht mehr exakt durchführbar. Eine Möglichkeit, die Wechselwirkung in realen Gasen systematisch mitzunehmen ist, eine Entwicklung
Klausur zur T1 (Klassische Mechanik)
Klausur zur T1 (Klassische Mechanik) WS 2006/07 Bearbeitungsdauer: 120 Minuten Prof. Stefan Kehrein Name: Matrikelnummer: Gruppe: Diese Klausur besteht aus vier Aufgaben. In jeder Aufgabe sind 10 Punkte
Schwingungen. Harmonische Schwingungen. t Anharmonische Schwingungen. S. Alexandrova FDIBA TU Sofia 1
Schwingungen Harmonische Schwingungen x t Anharmonische Schwingungen x x t S. Alexandrova FDIBA TU Sofia 1 t ANHARMONISCHE SCHWINGUNGEN EHB : Kraft F = -k(x-x o ) Potentielle Energie: E p E p Parabel mit
1. Was versteht man unter einer Symmetrieoperation? 2. Benennen Sie fünf Symmetrieoperationen und geben Sie je ein Beispiel dazu.
1. Was versteht man unter einer Symmetrieoperation? 2. Benennen Sie fünf Symmetrieoperationen und geben Sie je ein Beispiel dazu. Zeichnen Sie auch die entsprechenden Symmetrieelemente ein. 3. Was sind
Klausur-Musterlösungen
Klausur-Musterlösungen 9.7.4 Theoretische Physik IV: Statistische Physik Prof. Dr. G. Alber Dr. O. Zobay. Der in Abb. dargestellte Kreisprozess wird mit einem elektromagnetischen Feld ausgeführt. Abb..
Stark-Effekt für entartete Zustände
Stark-Effekt für entartete Zustände Die Schrödingergleichung für das Elektron im Wasserstoff lautet H nlm = n nlm mit H = p2 e2 2 m e 4 r Die Eigenfunktion und Eigenwerte dieses ungestörten Systems sind
9.6 Photonen und Phononen
9.6 Photonen und Phononen Wir betrachten nun zwei physialisch sehr unterschiedliche Systeme, deren statistische Behandlungen in mathematischer Hinsicht jedoch sehr ähnlich sind. Das eine System ist das
r r : Abstand der Kerne
Skript zur 10. Vorlesung Quantenmechanik, Freitag den 0. Mai, 011. 7.6 Anwendung Kernschwingungen in einem zweiatomigen Molekül. V ( r ) r 0 V 0 h ω 1 h ω r r : Abstand der Kerne Für Schwingungen kleiner
Physik 1 für Ingenieure
Physik 1 für Ingenieure Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm [email protected] Skript: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/physing1 Übungsblätter und Lösungen: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/physing1/ueb/ue#
Resultate der Quantisierung der Schrödingergleichung in zwei Dimensionen.
Resultate der Quantisierung der Schrödingergleichung in zwei Dimensionen. 22. April 2010 In diesem Text werden die in der Tabelle properties of free fermions angeführten Ergebnisse erklärt und einige Zwischenschritte
Physikalisches Fortgeschrittenenpraktikum. Gitterschwingungen
Physikalisches Fortgeschrittenenpraktikum Gitterschwingungen Gruppe 22 Tobias Großmann Marc Ganzhorn Durchführung: 07.05.2007 1 Inhaltsverzeichnis 1 Theoretische Grundlagen 3 1.1 Kristallstruktur......................................
4 Phononen I: Gitterschwingungen
101 4 Phononen I: Gitterschwingungen Schwingungen in Kristallen mit einatomiger Basis............... 102 Erste Brillouin-Zone............................ 105 Gruppengeschwindigkeit..........................
Elektromagnetische Wellen
Elektromagnetische Wellen Im Gegensatz zu Schallwellen sind elektromagnetische Wellen nicht an ein materielles Medium gebunden -- sie können sich auch in einem perfekten Vakuum ausbreiten. Sie sind auch
Experimentalphysik E1
Experimentalphysik E1 Gedämpfte & erzwungene Schwingungen Alle Informationen zur Vorlesung unter : http://www.physik.lmu.de/lehre/vorlesungen/index.html 16. Dez. 16 Harmonische Schwingungen Auslenkung
Skizzieren Sie den Verlauf der spezifische Wärme als Funktion der Temperatur. Wie ist der Verlauf bei tiefer, wie bei hoher Temperatur?
Skizzieren Sie den Verlauf der spezifische Wärme als Funktion der Temperatur. Wie ist der Verlauf bei tiefer, wie bei hoher Temperatur? Wie berechnet man die innere Energie, wie die spezifische Wärme?
Inhaltsverzeichnis. 0 Einleitung... 1
0 Einleitung... 1 1 Periodische Strukturen... 5 1.1 Kristallstruktur, Bravais-Gitter, Wigner-Seitz-Zelle...... 5 1.1.1 Kristallisation von Festkörpern....... 5 1.1.2 Kristall-System und Kristall-Gitter...
Wellen und Dipolstrahlung
Wellen und Dipolstrahlung Florian Hrubesch. März 00 Maxwellgleichungen a) Leiten Sie aus den Maxwellgleichungen im Vakuum die Wellengleichung im Vakuum her. Zeigen Sie, dass E, B und k senkrecht aufeinander
6.4 Wellen in einem leitenden Medium
6.4. WELLEN IN EINEM LEITENDEN MEDIUM 227 6.4 Wellen in einem leitenden Medium Unter einem leitenden Medium verstehen wir ein System, in dem wir keine ruhenden Ladungen berücksichtigen, aber Ströme, die
Ferienkurs Theoretische Mechanik 2009 Hamilton Formalismus und gekoppelte Systeme
Fakultät für Physik Technische Universität München Michael Schrapp Übungsblatt 3 Ferienkurs Theoretische Mechanik 009 Hamilton Formalismus und gekoppelte Systeme Hamilton-Mechanik. Aus Doctoral General
8.1. Kinetische Theorie der Wärme
8.1. Kinetische Theorie der Wärme Deinition: Ein ideales Gas ist ein System von harten Massenpunkten, die untereinander und mit den Wänden elastische Stöße durchühren und keiner anderen Wechselwirkung
Physik B2.
Physik B2 https://e3.physik.tudortmund.de/~suter/vorlesung/physik_a2_ws17/physik_a2_ws17.html 1 Wellen Welle = Ausbreitung einer Störung in einem kontinuierlichen Medium oder einer räumlich periodischen
Grundlagen der Physik 2 Schwingungen und Wärmelehre
Grundlagen der Physik 2 Schwingungen und Wärmelehre Othmar Marti [email protected] Institut für Experimentelle Physik 11. 06. 2007 Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre 11. 06.
UniversitätQ Osnabrück Fachbereich Physik Dr. W. Bodenberger
UniversitätQ Osnabrück Fachbereich Physik Dr. W. Bodenberger Statistik der Elektronen und Löcher in Halbleitern Die klassische Theorie der Leitungselektronen in Metallen ist nicht anwendbar auf die Elektronen
Paarverteilungsfunktion und Strukturfaktor Seminar: Weiche Materie
30.11.2007 Paarverteilungsfunktion und Strukturfaktor Seminar: Weiche Materie Johanna Flock Gliederung Einleitung Kurze Wiederholung Statistischer Mechanik Ensemble Statistische Beschreibung von Kolloid
4. Energetik des Kristallgitters 4.1 Energie und spezifische Wärme
4. Energetik des Kristallgitters 4.1 Energie und spezifische Wärme 1. Hauptsatz der Thermodynamik: du = dq + dw, U = E kin + E pot Keine externen Felder: dw = -pdv Metalle: Thermische Ausdehnung: a 10-6
Inhaltsverzeichnis. Teil I. Nichtrelativistische Vielteilchen-Systeme
Inhaltsverzeichnis Teil I. Nichtrelativistische Vielteilchen-Systeme 1. Zweite Quantisierung... 3 1.1 Identische Teilchen, Mehrteilchenzustände undpermutationssymmetrie... 3 1.1.1 Zustände und Observable
Musterlösung 01/09/2014
Musterlösung 1/9/14 1 Quickies (a) Warum spielen die Welleneigenschaften bei einem fahrenden PKW (m = 1t, v = 1km/h) keine Rolle? (b) Wie groß ist die Energie von Lichtquanten mit einer Wellenlänge von
f) Ideales Gas - mikroskopisch
f) Ideales Gas - mikroskopisch i) Annahmen Schon gehabt: Massenpunkte ohne Eigenvolumen Nur elastische Stöße, keine Wechselwirkungen Jetzt dazu: Wände vollkommen elastisch, perfekte Reflektoren Zeitliches
Experimentalphysik E1
Experimentalphysik E1 Erzwungene & gekoppelte Schwingungen Alle Informationen zur Vorlesung unter : http://www.physik.lmu.de/lehre/vorlesungen/index.html 10. Jan. 016 Gedämpfte Schwingungen m d x dt +
Moderne Theoretische Physik III (Theorie F Statistische Mechanik) SS 17
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Moderne Theoretische Physik III (Theorie F Statistische Mechanik SS 7 Prof. Dr. Alexander Mirlin Musterlösung: Blatt 6
Theoretische Festkörperphysik
Gerd Czycholl Theoretische Festkörperphysik Von den klassischen Modellen zu modernen Forschungsthemen 3., aktualisierte Auflage Mit über 60 Übungsaufgaben mit vollständigen Lösungen im Internet unter www.springer.com
3. Fluid-Struktur-Kopplung
3. Fluid-Struktur-Kopplung Bei einer schwingenden Struktur muss die Normalkomponente der Schallschnelle mit der Normalkomponente der Geschwindigkeit an der Oberfläche der Struktur übereinstimmen. Dadurch
Vorlesung am 7. Juni 2010
Materialwissenschaften, SS 2008 Ernst Bauer, Ch. Eisenmenger-Sittner und Josef Fidler 1.) Kristallstrukturen 2.) Strukturbestimmung 3.) Mehrstoffsysteme 4.) Makroskopische Eigenschaften von Festkörpern
Elektronen in Metallen. Seminar: Nanostrukturphysik 1 Fakultät: 7 Dozent: Dr. M. Kobliscka Referent: Daniel Gillo Datum:
Elektronen in Metallen Seminar: Nanostrukturphysik 1 Fakultät: 7 Dozent: Dr. M. Kobliscka Referent: Datum: 1.01.14 Gliederung 1. Einleitung 1.1 Elektronen 1. Metalle. Drude-Modell.1 Ohm'sches Gesetz. Grenzen
Übungen zu FK I, WS2008/09, Version vom 5. Dezember 2008
1. Die grundlegenden kubischen Gitter werden aufgespannt durch die Gittervektoren a = (1, 0, 0), b = (0, 1, 0) und c = (0, 0, 1). Die Koordinaten der Atome in der Einheitszelle bezüglich diesen Gittervektoren
8. Periodische Bewegungen
8. Periodische Bewegungen 8.1 Schwingungen 8.1.1 Harmonische Schwingung 8.1.2 Schwingungsenergie 9.1.3 Gedämpfte Schwingung 8.1.4 Erzwungene Schwingung 8. Periodische Bewegungen Schwingung Zustand y wiederholt
Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences. 22. Dezember 2016 HSD. Physik. Schwingungen
Physik Schwingungen Zusammenfassung Mechanik Physik Mathe Einheiten Bewegung Bewegung 3d Newtons Gesetze Energie Gravitation Rotation Impuls Ableitung, Integration Vektoren Skalarprodukt Gradient Kreuzprodukt
10. Thermische Eigenschaften fester Körper
10. Thermische Eigenschaften fester Körper l T = l 0 1 + α T T 0 V T = V 0 1 + α V T T 0 α V 3α [ A. Melzer ] 1 Energie 10. Thermische Eigenschaften fester Harmonischer Oszillator Körper Ort Ort [ D. Suter
Photonische Kristalle
Kapitel 2 Photonische Kristalle 2.1 Einführung In den letzten 20 Jahren entwickelten sich die Photonischen Kristalle zu einem bevorzugten Gegenstand der Grundlagenforschung aber auch der angewandten Forschung
Ferienkurs Quantenmechanik I WKB-Näherung und Störungstheorie
Ferienkurs Quantenmechanik I WKB-Näherung und Störungstheorie Sebastian Wild Freitag, 6.. Inhaltsverzeichnis Die WKB-Näherung. Grundlegendes............................. Tunnelwahrscheinlichkeit.......................
Aufgabe 2.1: Wiederholung: komplexer Brechungsindex
Übungen zu Materialwissenschaften II Prof. Alexander Holleitner Übungsleiter: Jens Repp / Eric Parzinger Kontakt: [email protected] / [email protected] Blatt 2, Besprechung: 23.04.2014 / 30.04.2014
4.2 Der Harmonische Oszillator
Dieter Suter - 208 - Physik B3, SS03 4.2 Der Harmonische Oszillator 4.2.1 Harmonische Schwingungen Die Zeitabhängigkeit einer allgemeinen Schwingung ist beliebig, abgesehen von der Periodizität. Die mathematische
Statistische Mechanik
David H. Trevena Statistische Mechanik Eine Einführung '«WO«.»vmo i; Übersetzt von Thomas Filk VCH Weinheim New York Basel Cambridge Tokyo Inhaltsverzeichnis Vorwort von H. N. V. Temperley Vorwort des
PROBLEME AUS DER PHYSIK
Helmut Vogel PROBLEME AUS DER PHYSIK Aufgaben und Lösungen zur 16. Auflage von Gerthsen Kneser Vogel Physik Mit über 1100 Aufgaben, 158 Abbildungen und 16 Tabellen Springer-Verlag Berlin Heidelberg New
Einführung in die Physik
Einführung in die Physik für Pharmazeuten und Biologen (PPh) Mechanik, Elektrizitätslehre, Optik Übung : Vorlesung: Tutorials: Montags 13:15 bis 14 Uhr, Liebig-HS Montags 14:15 bis 15:45, Liebig HS Montags
Statistische Physik - Theorie der Wärme (PD Dr. M. Falcke) Übungsblatt 12: Ferromagnet
Freie Universität Berlin WS 2006/2007 Fachbereich Physik 26.01.2007 Statistische Physik - heorie der Wärme PD Dr. M. Falcke) Übungsblatt 12: Ferromagnet Aufgabe 1 6 Punkte) Ein ferromagnetisches System
Festkörperphys i. Einführung in die Grundlagen
Harald Ibach Hans Lüth Festkörperphys i Einführung in die Grundlagen 1. Die chemische Bindung in Festkörpern 1 1.1 Das Periodensystem 1 1.2 Kovalente Bindung 4 1.3 DieIonenbindung 9 1.4 Metallische Bindung
I.1.3 b. (I.7a) I.1 Grundbegriffe der Newton schen Mechanik 9
I. Grundbegriffe der Newton schen Mechanik 9 I..3 b Arbeit einer Kraft Wird die Wirkung einer Kraft über ein Zeitintervall oder genauer über die Strecke, welche das mechanische System in diesem Zeitintervall
Feynman Vorlesungen über Physik
Feynman Vorlesungen über Physik Band llhouantenmechanik. Definitive Edition von Richard R Feynman, Robert B. Leighton und Matthew Sands 5., verbesserte Auflage Mit 192 Bildern und 22Tabellen Oldenbourg
1. Wärmelehre 1.1. Temperatur. Physikalische Grundeinheiten : Die Internationalen Basiseinheiten SI (frz. Système international d unités)
1. Wärmelehre 1.1. Temperatur Physikalische Grundeinheiten : Die Internationalen Basiseinheiten SI (frz. Système international d unités) 1. Wärmelehre 1.1. Temperatur Ein Maß für die Temperatur Prinzip
(a) Warum spielen die Welleneigenschaften bei einem fahrenden PKW (m = 1t, v = 100km/h) keine Rolle?
FK Ex 4-07/09/2015 1 Quickies (a) Warum spielen die Welleneigenschaften bei einem fahrenden PKW (m = 1t, v = 100km/h) keine Rolle? (b) Wie groß ist die Energie von Lichtquanten mit einer Wellenlänge von
ν und λ ausgedrückt in Energie E und Impuls p
phys4.011 Page 1 8.3 Die Schrödinger-Gleichung die grundlegende Gleichung der Quantenmechanik (in den bis jetzt diskutierten Fällen) eine Wellengleichung für Materiewellen (gilt aber auch allgemeiner)
10. Thermische Eigenschaften fester Körper
10. Thermische Eigenschaften fester Körper [ A. Melzer ] WS 2013/14 1 10.1 Zustandsgleichung und thermische Ausdehnung Grüneisenparameter γ WS 2013/14 2 Eduard Grüneisen (1877 1949) Grüneisen, E.: Theorie
Lösungsvorschlag Übung 9
Lösungsvorschlag Übung 9 Aufgabe 1: Wellenfunktion und Aufenthaltswahrscheinlichkeit a Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist eine Wahrscheinlichkeit pro Volumenelement. Die Wahrscheinlichkeit selbst ist eine
Experimentalphysik II Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Experimentalphysik II Elektromagnetische Schwingungen und Wellen Ferienkurs Sommersemester 2009 Martina Stadlmeier 10.09.2009 Inhaltsverzeichnis 1 Elektromagnetische Schwingungen 2 1.1 Energieumwandlung
X. Quantisierung des elektromagnetischen Feldes
Hamiltonian des freien em. Feldes 1 X. Quantisierung des elektromagnetischen Feldes 1. Hamiltonian des freien elektromagnetischen Feldes Elektromagnetische Feldenergie (klassisch): Modenentwicklung (Moden
Einführung in die Schwingungsspektroskopie
Einführung in die Schwingungsspektroskopie Quelle: Frederik Uibel und Andreas Maurer, Uni Tübingen 2004 Molekülbewegungen Translation: Rotation: Die Bewegung des gesamten Moleküls ls in die drei Raumrichtungen.
1 Physikalische Hintergrunde: Teilchen oder Welle?
Skript zur 1. Vorlesung Quantenmechanik, Montag den 11. April, 2011. 1 Physikalische Hintergrunde: Teilchen oder Welle? 1.1 Geschichtliches: Warum Quantenmechanik? Bis 1900: klassische Physik Newtonsche
Theorie der Wärme Musterlösung 11.
Theorie der Wärme Musterlösung. FS 05 Prof. Thomas Gehrmann Übung. Edelgas im Schwerefeld Berechne den Erwartungswert der Energie eines monoatomaren idealen Gases z. B. eines Edelgases in einem zylindrischen
9. Periodische Bewegungen
Inhalt 9.1 Schwingungen 9.1.2 Schwingungsenergie 9.1.3 Gedämpfte Schwingung 9.1.4 Erzwungene Schwingung 9.1 Schwingungen 9.1 Schwingungen Schwingung Zustand y wiederholt sich in bestimmten Zeitabständen
Ergebnis: Allg. Lösung der homogenen DGL ist Summe über alle Eigenlösungen: mit
Zusammenfassung: Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten (i) Suche Lösung für homogene DGL per Exponential-Ansatz: e-ansatz: Zeitabhängigkeit nur im Exponenten! zeitunabhängiger Vektor, Ergebnis: Allg.
Fakultät für Physik Physikalisches Praktikum für Fortgeschrittene. Gitterschwingungen. Kevin Edelmann, Julian Stöckel Gruppe
Fakultät für Physik Physikalisches Praktikum für Fortgeschrittene Gitterschwingungen Kevin Edelmann, Julian Stöckel Gruppe 109 18.5.011 Zusammenfassung Anhand einer modellhaften, eindimensionalen Oszillatorkette
3. Kapitel Der Compton Effekt
3. Kapitel Der Compton Effekt 3.1 Lernziele Sie können erklären, wie die Streuung von Röntgenstrahlen an Graphit funktioniert. Sie kennen die physikalisch theoretischen Voraussetzungen, die es zum Verstehen
4 Gitterschwingungen und Phononen
Die Struktur eines Festkörpers ist dadurch definiert, dass die Atome sich an der Stelle befinden, welche die Gesamtenergie der Anordnung minimiert. Dies ist deshalb die Position, die sie - abgesehen von
Übungen zur Experimentalphysik 3
Übungen zur Experimentalphysik 3 Prof. Dr. L. Oberauer Wintersemester 21/211 13. Übungsblatt - 31. Januar 211 Musterlösung Franziska Konitzer ([email protected]) Aufgabe 1 ( ) (2 Punkte) Der Mensch
