Verteilungstests: "Nichtparametrische" Tests. Anpassungstest : Prüfen einer Verteilungshypothese

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1 Vertelungstests: "Nchtparametrsche" Tests Hpothesentests zu den uneannten Vertelungen der Grundgesamthet. Stmmt de n der Stchproe eoachtete Vertelung mt ener Vorgae üeren? Frage nach der Güte der Anpassung Anpassungstest : Prüfen ener Vertelungshpothese "Beoachte versus erwartete Häufgeten." Nullhpothese: de eoachte Vertelung st de erwartete und nur zufällg gestört. Je Klasse mmer Ch -Test : Sgnfanz=10% mndestens 5 Elemente! Klasse s Häufget (:eoachtet) theoretsche H. (e:erwartet) (-e) /e ,5 0, ,5 0, ,0 1, ,3, , 0, ,3, ,,3637 N = 77 76,9 8,76 Klassenzahl= 7 Frehetsgrade 6 (mmer ens wenger here) rtscher Wert c c = 10,6446 Der erechnete χ -Wert st 8,76 und damt lener als der rtsche Wert. De Nullhpothese ann somt ncht agelehnt werden. p-wert = 0,1874 "Üerschretungswahrsch." EXCELs Ch -Test = 0, Interpretaton: Bs zu desem Sgnfanznveau ann man de Hpothese ncht alehnen. oder: n 18,7% aller (Zu-)Fälle wäre de Awechung noch größer. Achtung: Wenn wetere Größen aus der Stchproe zur Bestmmung der theoretschen Werte verwendet werden, wrd de Anzahl der Frehetsgrade entsprechend reduzert: [Vertelungstest_Folen.doc] S. 1 [ ]

2 Datensatz "Forellengewchte" aus Burhard Hese: Computerunterstützte Statst, Addson Wesle, Gewcht n Gramm 198; 163; 3; 14; 141; 0; 199; 0; 175; 09; 178; 17; 36; 01; 1; 10; 19; 171; 161; 167; 00; 07; 193; 150; 18; 98; 31; 14; 315; 190; 17; 180; 173; 81; 68; 167; 08; 140; 11; 141; 41; 9; 03; 86; 0; ; 88; 31; 45; 41; 6; 81; 81; 136; 37; 141; 136; 05; 48; 35; 151; 6; 14; 313; 160; 43; 3; 37; 314; 83; 08; 59; 05; 7; 5; 183; 137; 17; 188; 17; 195; 59; 0; 09; 15; 60; 65; 07; 81; 19; 53; 39; 96; 00; 187; 33; 139; 10; 163; 55; 4; 157; 157; 45; 187; 180; 17; 7; 70; 43; 48; 303; 33; 14; 38; 51; 15; 58; 13; 01; 9; 19; 14; 185; 13; 70; 183; 306; 19; 335; 3; 1; 83; ; 84; 84; 16; 49; 0; ; 153; 81; 37; 6; 180; 14; 164; 146; 38; 149; 157; 1; 0; 13; 0; ; 79; 48; 48; 303; 08; 116; 149; 13; 135; 71; 31; 116; 69; 194; 16; 7; 04; 30; 3; 05; 184; 148; 10; 9; 1; 38; 186; 93; 0; 151; 43; 31; 0; 30; 73; 91; 69; 79; 0; 15; 6; 43; 130; 79; 43; 45; 91; 1; 17; 49; 9; 98; 51; 144; 45; 6; 6; 83; 94; 305; 48; 16; 155; 98; 100; 36; 19; 48; 13; 47; 35; 3; 53; 150; 158; 79; 58; 118; 141; 315; ; 196; 6; 49; 04; 181; 134; 91; 15; 30; 05; 96; 18; 9 50 Wert von Hstogrammlassen: Klasse gezählte H'K () theor. H'K (e) (-e)^/e ,48 0, ,4 9, ,41 1, ,3 6, ,6 5, ,38 0, ,09 7, ,16 1, ,09 0,306 Summe = 50 48,96 33,7 Ch -Test mt α = 5% Klassenanzahl = 9 Frehetsgrade f = 9-3 = 6 rtscher Wert c = 1,59 De Forellenpopulaton st aufgrund der Stchproenergensse ncht als normalvertelt anzusehen! (e 6 Klassen doch!) [Vertelungstest_Folen.doc] S. [ ]

3 Fragestellung des c -Homogentätstestes: Gehören zwe Stchproen aufgrund der eoachteten Stchproenvertelung zur glechen Grundgesamthet (deren Vertelung aer ncht eannt oder vorgegeen st)? Bespel: (ftve) Testergensse von angehenden Maschnenauern und Wrtschaftsngeneuren an ener FH e ener Mathematlausur: Note MB WIW Summe Summen : Stchproentests snd n der Pras edeutsamer als solche mt nur ener Stchproe, da se wenger Vorannahmen voraussetzen! De rechnersche Durchführung und Interpretaton st genau we em Unahänggetstest : Fragestellung des c -Unahänggetstestes: Snd zwe nomnalsalerte Mermale vonenander unahängg oder ncht? In eden Fällen muß man sch erstmal üer -dmensonale Zufallsvaralen lar werden (das üersprungene Kaptel II.7 m "Papula") Zwedmensonale Zufallsvarale (Pap. II.7.): * Mermale werden glechzetg eoachtet * Mermale werden zuenander n Bezehung gesetzt Vertelungsfunton F(;) := P(X und glechzetg Y ) sollte dese Egenschaften mndestens aufwesen: [Vertelungstest_Folen.doc] S. 3 [ ]

4 (1) lm F(;) = lm F(;) = 0 () lm F(;) = 1 (Achtung: Fehler e Papula) (3) P((a 1 < X 1 ) (a < Y )) = F( 1 ; ) F(a 1 ; ) F( 1 ;a )+F(a 1 ;a ) (weder de Analoge zum -D-ntegreren!) Für dsrete zwedmensonale Vertelungen: X { 1,,...}, Y { 1,,...} Wahrschenlchetsfunton f(;):=p(x= Y= ) für = und =, sonst 0. Wahrschenlchetsvertelung: F(;) = X \ Y f ( ; ) 1... n Zelensumme 1 f( 1 ; 1 ) f( 1 ; )... f( 1 ; n ) p 1 * m f( m ; 1 ) f( m ; )... f( m ; n ) p m * Spaltensumme p 1 ** p ** p n ** De Werte der letzten Spalte zw. letzten Zele nennt man de Randvertelungen f 1 () zw. f (). Für gewöhnlch snd f 1 zw f ncht dentsch mt den Wahrschenlchetsfuntonen (Dchten) der endmensonalen Zufallsvaralen X zw. Y, wel (und wenn) dese enen Zusammenhang aufwesen! [Vertelungstest_Folen.doc] S. 4 [ ]

5 Bespel ener echten zwedmensonalen Vertelung: Ene Maschne estze zwe störanfällge Bautele B 1 und B. Bezechne X de Ausfälle pro Tag von B 1 und Y von B. Es gee für jedes Bautel höchstens Ausfälle pro Tag. Man hat dese relatven Häufgeten (zw. Wahrschenlcheten) eoachtet: X \ Y ,30 0,14 0,0 1 0,18 0,10 0,0 0,1 0,06 0,06 Offenschtlch gt es enen Zusammenhang, denn de Ausfallrate für B 1 stegt, wenn B zwe Defete aufwest! Randvertelung von X n der gemensamen -dm.-vertelung: f 1 ( 1 )=0,46; f 1 ( )=0,30; f 1 ( 3 )=0,4 und de Randvertelung von Y: f ( 1 )=0,60; f ( )=0,30; f ( 3 )=0,10 Taelle der gemensamen Vertelung F(;) : X \ Y ,30 0,44 0,46 1 0,48 0,7 0,76 0,60 0,90 1,00 Wären X und Y vonenander stochastsch unahängg, dann würde für de gemensame Wahrschenlchet der Produtsatz (II.7.3) gelten: P(X= Y= ) = P(X= ) P(Y= ) e Unahängget. f( ; ) = f 1 ( ) f ( ) e stochastscher Unahängget! [Vertelungstest_Folen.doc] S. 5 [ ]

6 Im Bespel müßte de gemensame Wahrschenlchetsfunton der Maschne e stochastscher Unahängget von B 1, B so aussehen: X \ Y 0 1 f 1 () 0 0,76 0,138 0,046 0,46 1 0,180 0,009 0,003 0,30 0,144 0,07 0,04 0,4 f () 0,60 0,30 0,10 We star st de Awechung zwschen deser theoretschen und der tatsächlch eoachteten Taelle? Vertelungstest entschedet üer Sgnfanz! Vora noch dese Formeln (Papula III.6.1): = EW(X) := f ( ; ) f 1 ( ) Var(X)= ( ) E(X) f 1 ( ) EW(Y) = f ( ) Var(Y)= ( ) E(Y) f Alle Formeln verwenden de Randvertelungen. ( ) Es gt ferner edngte Erwartungswerte we z.b. EW(X Y= ) Be Unahängget natürlch: EW(X Y)=EW(X) EW(Y) und EW(X Y= )=EW(X) : alle glech! Wchtg : Kovaranz ener zwedm. Zufallsvarale (sehe III-9): Cov(X;Y):=EW( (X EW(X)) (Y EW(Y)) ) = EW(X Y) EW(X) EW(Y) De emprsche Kovaranz ener zwedmensonalen Stchproe (ahängge, glechzetg gemessene Mermale, sehe III-87) : [Vertelungstest_Folen.doc] S. 6 [ ]

7 1 s := ( ) ( ) n 1 n = 1 De Kov. st groß und postv, wenn postve/neg. Awechungen der X-Varale vom Mttelwert enhergehen mt pos./neg. Aw. von Y. Entsprechend st de Kov. negatv und von großem Betrag, wenn neg. Awechungen der X-Var. vom Mttelwert mt pos. Awechungen von Y und umgeehrt enhergehen. Korrelaton edeutet zusätzlche Normerung auf [-1;+1] (II.6.1.): ρ := Cov(X;Y) Var(X) Var(Y) emprsch: s r:= s s Interpretaton: r 1 lnearer Zusammenhang mt pos. Stegung r -1 lnearer Zusammenhang mt neg. Stegung r < 0,5 en lnearer Zusammenhang (ah.von n) r [0;1] : Bestmmthetsmaß (als Prozentwert) der lneare Antel des Zusammenhangs. Wenn X und Y unahängg snd, dann (hnrechend!) st Cov(X;Y)=0! Unorrelerte, ncht unahängge -dmesnonale Zufallsvarale: X \ Y f 1 () 0 0,05 0,40 0,05 0,50 1 0,15 0,0 0,15 0,50 f () 0,0 0,60 0,0 1 Kovaranz und Korrelaton ewerten nur den lnearen Zusammenhang zweer Varalen! Her das Dagramm ener Auswertung von 30 männlchen Studerenden hnschtlch Körperlänge und Gewcht: [Vertelungstest_Folen.doc] S. 7 [ ]

8 = 1, ,7 R = 0, ,0 80,0 Gewcht Gewcht Resduum Lnear (Gewcht) 60,0 40,0 0,0 Resduen , Besonders nteressant snd e gerngem r de Resduen, also de senrechten Awechungen der Meßwerte von der Geraden. Wenn se ene Strutur aufwesen, ann man des evtl. für ene essere Annäherung/Ausglechsform verwenden! r st proportonal zur Stegung der Ausglechsgeraden: a = Ausglechgerade: = a + Körpergröße s r s -0,0 Stegung : a n Achsenaschntt : := = n a. [Vertelungstest_Folen.doc] S. 8 [ ]

9 Ausglechsgerade R = 0, Lnear () ,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10, Ausglechsgerade R = 0, Lnear () ,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10, Ausglechsgerade R = 0, Lnear () ,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 [Vertelungstest_Folen.doc] S. 9 [ ]

10 De wrlche Unahängget zweer Varalen ann nur durch enen Unahänggetstest elegt werden, her c -Unaänggetstest: Pvot-/Kontngenztaelle: Auszählung der asoluten Häufgeten Mermal B Kat. B 1 Kat. B... Kat. B n Zelensumme MermalA Kat. A 1 h 11 h 1... h 1n h 1 * Kat. A m h m1 h m... h mn h m * Spaltensumme h 1 ** h ** h n ** n Hpothese H 0 : Bede Mermale snd vonenander unahängg. Hpothese H A : De eden Mermale snd ncht vonenander unahängg. Be Unahängget (H 0 ) glt: P(A B )=h * h **/n. De erwarteten (as.) Häufgeten lauten: h e = h * h **/n. h * h ** Prüfgröße des c -Tests: c h j n := h * h ** n der Test muß mt ν=(n-1) (m-1) Frehetsgraden gerechnet werden! Annahmeerech : 0 c c rt. Alehnungserech von H 0 : c rt <c. c rt :=(c ) -1 (1-α; ν) für das vorgegeene Sgnfanznveau. Alternatv/ergänzend ann auch der p-wert erechnet werden! Dese Rechnung erfolgt dentsch em c Homogentätstest! [Vertelungstest_Folen.doc] S. 10 [ ]

11 Bespel: "Maschne mt zwe störanfällgen Beutelen" (s.o. S. 5,6). Man enötgt asolute Häufgeten, ene Wahrschenlcheten zw. rel. H'K! Wenn de eoachteten Werte aus ener Zet von 100 Tagen stammen, dann st n=100 und es folgen z.b. h 11 =30 sowe h 11 e =7,6 : c = 8,156 e 4= Frehetsgraden en p-wert=0,0871. En Sgnfanztest für α=5% würde also ene Alehnung der Hpothese der Unahängget ergeen (für α=10% schon). Achtung: de mnmale Klassenhäufget eträgt (<5) e Y=, der c -Test st also ncht zuverlässg! Bespel "ftve Klausurergensse e MB, WIW" : c -Testvar. = 148,5 α = 5% Frehetsgrade v = 4 1 = 4 c_rt = 9, De Hpothese der Unahängget st sehr lar wderlegt! Man eachte jedoch, daß n ener Klassen (eoachtete Werte) de as. Häufget 0 eträgt, der Test also ncht ganz verläßlch st, was angeschts der hohen Testvar. aer rrelevant schent. p-wert = 4,67E-31 De MBs und de WIWs snd also nhomogen, "unverglechlch". Achtung: de Varalen müssen nomnalsalert zw. (Ü10) ünstlch quantserte ordnale Mermale sen! [Vertelungstest_Folen.doc] S. 11 [ ]