Taschenbuch mathematischer Formeln

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1 Hans-Jochen Bartsch Taschenbuch mathematischer Formeln ISBN-10: ISBN-13: Inhaltsverzeichnis Weitere Informationen oder Bestellungen unter sowie im Buchhandel

2 Inhaltsverzeichnis 1 Logik und Mengen Aussagenlogik Allgemeines Ein- und zweistellige BOOLEsche Funktionen BOOLE-Verband, BOOLEsche Algebra Normalformen KARNAUGH-Verfahren Prädikatenlogik Unscharfe Mengen Mengen Allgemeines Mengenrelationen Mengenoperationen Beziehungen, Gesetze, Rechenregeln bei Mengen Relationen Intervalle Polyadische Zahlensysteme Römisches Zahlensystem Arithmetik Menge der reellen Zahlen Allgemeines Grundoperationen an reellen Zahlen Die vier Grundrechenarten Proportionen, Verhältnisgleichungen Prozentrechnung Näherung Fehlerrechnung Betrag, Signum Summen- und Produktzeichen Potenzen und Wurzeln Logarithmen Allgemeines Logarithmengesetze...68

3 8 Inhaltsverzeichnis Logarithmensysteme Binomischer Lehrsatz Menge der komplexen Zahlen Allgemeines Darstellungsformen komplexer Zahlen Grundrechenarten mit komplexen Zahlen Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Natürliche Logarithmen komplexer Zahlen Kombinatorik Permutationen (Umordnungen) Variationen Kombinationen Folgen Allgemeines Schranken, Grenzen, Grenzwert einer Folge Arithmetische und geometrische Folgen Sprunghaftes Wachstum, Zins- und Zinseszinsrechnung, Rentenrechnung Zinsrechnung Zinseszinsrechnung Rentenrechnung Tilgung einer Schuld, Annuität Algebra (Gleichungen) Allgemeines Lineare algebraische Gleichungen Lineare Gleichungen/Ungleichungen mit einer Variablen Lineare Gleichungen/Ungleichungen mit mehreren Variablen Nichtlineare Gleichungen Nichtlineare algebraische Gleichungen Quadratische Gleichungen/Ungleichungen mit einer Variablen Quadratisches Gleichungssystem mit zwei Variablen Kubische Gleichungen Gleichungen 4. Grades Symmetrische Gleichungen

4 Inhaltsverzeichnis Algebraische Gleichungen n-ten Grades HORNERsches Schema (HORNER-Schema) Wurzelgleichungen mit einer Variablen Transzendente Gleichungen Exponentialgleichungen Logarithmische Gleichungen Goniometrische Gleichungen Betragsgleichungen, Betragsungleichungen Numerische Verfahren Verfahren von MULLER für Polynome Fixpunktiteration NEWTONsches (Tangenten-) Näherungsverfahren Sekantenmethode (Regula falsi) Einschlussverfahren Nichtlineare Gleichungssysteme Allgemeines Iterationsverfahren Quadratisch konvergentes NEWTON-Verfahren Graphische Lösung von Gleichungen Elementare (klassische) Geometrie Planimetrie, ebene Trigonometrie Winkel Teilungen, Ähnlichkeit, Kongruenz, Symmetrie Dreieck Schiefwinkliges Dreieck Gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck Rechtwinkliges Dreieck Vierecke Trapez Parallelogramme Unregelmäßige Vierecke mit Umkreis bzw. Inkreis Vielecke (Polygone) Ebene sternförmige n-ecke Regelmäßige (reguläre) Vielecke Einige bestimmte regelmäßige Vielecke Konstruktion der einfachen regelmäßigen Vielecke Der Kreis...159

5 10 Inhaltsverzeichnis Sätze zum Kreis Kreisberechnungen Geometrische Körper (Stereometrie) Allgemeines Ebenflächig begrenzte Körper (Polyeder, Vielflache) Prismatische Körper Pyramide, Pyramidenstumpf Prismoide Die fünf regelmäßigen Polyeder (PLATONische Körper) Krummflächig begrenzte Körper Zylinder, Zylinderabschnitt Kegel, Kegelstumpf Kugel Tonne, Torus Fraktale Geometrie Sphärische Trigonometrie Allgemeines Rechtwinkliges sphärisches Dreieck Schiefwinkliges sphärisches Dreieck Grundaufgaben zur Berechnung sphärischer Dreiecke Mathematische Geographie Lineare Algebra Vektorraum Matrizen Matrizenarten, Definitionen Allgemeines Quadratische Matrizen Inverse Matrix, Inverse, (Um-) Kehrmatrix A Rang einer Matrix Matrizennormen Grenzwert, Differenzialquotient, Integral Matrizengesetze Gleichheit und Summe zweier Matrizen Multiplikation von Matrizen...199

6 Inhaltsverzeichnis Matrizengleichungen Eigenwerte, Eigenvektoren quadratischer Matrizen Numerische Verfahren HOUSEHOLDER-Orthogonalisierung (-Transformation) QR-Verfahren Vektoriteration (Potenzmethode, v. MISES- Verfahren) Determinanten Determinante einer quadratischen Matrix Berechnung von Determinanten Rechenregeln für Determinanten Praktische Berechnung einer Determinante Lineare Gleichungssysteme Allgemeines Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme Einfacher und verketteter GAUSSscher Algorithmus GAUSSscher Algorithmus für Systeme mit gleicher Matrix A und m rechten Seiten GAUSS-JORDAN-Verfahren zur Matrixinversion GAUSSscher Algorithmus für symmetrische positiv definite Koeffizientenmatrix, CHOLESKY-Verfahren Gleichungssysteme mit symmetrischer, tridiagonaler, positiv definiter Matrix GAUSS-SEIDELsches Iterationsverfahren Austauschverfahren CRAMERsche Regel Überbestimmte lineare Gleichungssysteme Lineare Optimierung Allgemeines Graphische Lösung für zwei Variable Simplexalgorithmus Abbildungen Lineare Abbildungen Affine Abbildungen Allgemeines Allgemeine, nicht winkeltreue affine Abbildungen. 247

7 12 Inhaltsverzeichnis Ähnlichkeitsabbildungen Kongruenzabbildungen Koordinatentransformation Allgemeines Orthogonale Koordinatentransformation in der Ebene Orthogonale Koordinatentransformation im Raum Vektoren, Analytische Geometrie Vektoren, Grundlagen Vektoralgebra Addition und Subtraktion von Vektoren Multiplikation von Vektoren Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Skalarprodukt (inneres Produkt, Punktprodukt) Vektorprodukt (äußeres Produkt, Kreuzprodukt) Mehrfache Produkte von Vektoren Koordinatensysteme Allgemeines Ebene (2D-)Koordinatensysteme Räumliche (3D-)Koordinatensysteme Punkte, Kurven 1. Ordnung Punkte Gerade, Strahl, Strecke, Punktmengen, Teilung einer Strecke Gleichungen einer Geraden in der (x, y)-ebene Gleichungen einer Geraden im Raum Abstand eines Punktes von einer Geraden Mehrere Geraden Schnittpunkt zweier Geraden Schnittwinkel zweier Geraden Abstand zweier Geraden Drei und mehr Geraden Ebenen Eine Ebene Gleichungen einer Ebene im Raum Richtungskosinus der Normalen einer Ebene Abstand eines Punktes P 1 von einer Ebene...299

8 Inhaltsverzeichnis Durchstoßpunkt D einer Geraden durch eine Ebene Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene Zwei Ebenen Drei und mehr Ebenen Flächeninhalt, Schwerpunkt, Volumen Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte) Allgemeines Kreis Gleichungen des Kreises Schnittpunkt einer Geraden mit einem Kreis Tangente und Normale eines Kreises Polare eines Punktes in Bezug auf einen Kreis Potenz p in Bezug auf einen Kreis Kreisbüschel Ellipse Gleichungen der Ellipse Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ellipse Tangente, Normale und Durchmesser einer Ellipse Polare eines Punktes in Bezug auf eine Ellipse Krümmung einer Ellipse Haupt- und Nebenkreis einer Ellipse Flächeninhalt und Umfang von Ellipse, Ellipsensegment und Ellipsensektor Ellipsenkonstruktionen Parabel Gleichungen der Parabel Schnittpunkt einer Geraden mit einer Parabel Tangente und Normale einer Parabel Polare eines Punktes in Bezug auf eine Parabel Krümmung einer Parabel Parabelsegment, Parabelbogen, Brennstrahllänge Parabelkonstruktionen Hyperbel Gleichungen der Hyperbel Schnittpunkt einer Geraden mit einer Hyperbel Tangente und Normale einer Hyperbel Polare eines Punktes in Bezug auf eine Hyperbel.. 333

9 14 Inhaltsverzeichnis Krümmung einer Hyperbel Hyperbelsegment und Hyperbelsektor Hyperbelkonstruktionen Flächen 2. Ordnung Allgemeines Kugel Ellipsoid Hyperboloid Kegel Zylinder Paraboloid Hauptachsentransformation Funktionen Allgemeines Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Funktionen mit mehreren Variablen Rationale Operationen mit Funktionen Grenzwerte, Unbestimmte Ausdrücke Grenzwert einer Funktion Unbestimmte Ausdrücke Eigenschaften reeller Funktionen Ausgewählte Eigenschaften von Funktionen Nullstellen einer Funktion Stetigkeit einer Funktion Rationale Funktionen Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) Ganzrationale Funktion 1. Grades (lineare Funktion) Ganzrationale Funktion 2. Grades (quadratische Funktion) Ganzrationale Funktion 3. Grades (kubische Funktion) Zerlegung von Funktionen in Linearfaktoren Interpolation Allgemeines Interpolationsformel von LAGRANGE...375

10 Inhaltsverzeichnis Interpolationsformel von NEWTON Interpolationsformel von GREGORY-NEWTON Interpolation durch kubische Polynomsplines BEZIER-Splines Gebrochenrationale Funktion Potenzfunktion Sonstige (elementare) Funktionen Nichtrationale Funktionen Wurzelfunktion Exponentialfunktion Logarithmische Funktion Winkelfunktionen, trigonometrische Funktionen Allgemeines Goniometrische Beziehungen Allgemeine Sinusfunktion (harmonische Funktion) Modulation Überlagerung (Superposition) von Schwingungen Multiplikation von Funktionen Komplexe Zeigerdarstellung von Sinusgrößen Zyklometrische Funktionen, Arkusfunktionen Hyperbelfunktionen Areafunktionen Algebraische Kurven höherer Ordnung Kurven 3. Ordnung Kurven 4. Ordnung Zykloiden (Rollkurven) Gewöhnliche (gespitzte) Zykloide Epizykloiden Hypozykloiden Spirallinien Logarithmische Spirale Archimedische Spirale Hyperbolische Spirale Sonstige Kurven Kettenlinie Traktrix (Schleppkurve)...433

11 16 Inhaltsverzeichnis 7.11 Komplexe Funktionen Allgemeines Konforme Abbildungen Lineare und quadratische konforme Abbildungen Inversion (Stürzung) Differenzialrechnung Funktionen einer Variablen Allgemeines Erste Ableitungen der elementaren Funktionen Differenziationsregeln, Ableitungsregeln Grundregeln Höhere Ableitungen und Differenziale Differenziation impliziter Funktionen Fx (, y) Differenziation von Funktionen in Parameterform Differenziation von Funktionen in Polarkoordinaten Graphische Differenziation Numerische Differenziation Logarithmische Differenziation Mittelwertsätze Funktionen mehrerer Variablen Partielle Ableitung 1. Ordnung Höhere partielle Ableitungen Totale Ableitungen für zwei Variable Anwendungen, Differenzialgeometrie Ebene Kurven, eine unabhängige Variable Bogenelement, Differenzial der Bogenlänge Tangente und Normale Zwei Kurven Monotonie und Krümmungsverhalten einer Funktion Lokale Extrema von Funktionen Besondere Punkte einer Kurve Asymptoten Einhüllende Kurven (Enveloppe) Kurvendiskussion Raumkurven, zwei unabhängige Variable Darstellungen in kartesischen Koordinaten...473

12 Inhaltsverzeichnis Bogenelement einer Raumkurve Tangente und Normale einer Raumkurve Krümmung einer Raumkurve Windung (Torsion) Flächen im Raum Extremstellen von Funktionen mit mehreren Variablen Integralrechnung Allgemeines Unbestimmtes Integral Bestimmtes Integral (RIEMANNsches Integral) Uneigentliche Integrale Grundintegrale, Stammintegrale Integrationsregeln und -verfahren Grundregeln Integration durch Substitution Partielle Integration (Produktintegration) Integration nach Partialbruchzerlegung Integration nach Reihenentwicklung Graphische Integration Numerische Integration Allgemeines NEWTON-COTES-Formeln Rechteckformel Sehnentrapezformel SIMPSONsche Formel, KEPLERsche Fassformel NEWTONsche 38-Formel Tangententrapezformel GAUSSsches Quadraturverfahren ROMBERG-Quadraturverfahren Bereichsintegrale, Gebietsintegrale Zweidimensionales Bereichsintegral, Doppelintegral Raumintegral, Volumenintegral, Dreifachintegral Anwendungen der Integralrechnung Geometrische Anwendungen Flächeninhalte (Quadratur)...522

13 18 Inhaltsverzeichnis Bogenlänge (Rektifikation) Mantelflächen von Rotationskörpern Volumen von Rotationskörpern (Kubatur) Volumen eines Körpers Technisch-physikalische Anwendungen Bewegungen, Kinematik Arbeit Zeitlich veränderliche Ströme und Spannungen Momente 1. Grades Schwerpunkte Momente 2. Grades (Festigkeitslehre) Massenmomente 2. Grades (Dynamik) Vektoranalysis Vektorfunktion Felder Gradient eines skalaren Feldes Divergenz eines Vektorfeldes Rotation eines Vektorfeldes Kurvenintegrale (Linienintegrale) Kurvenintegral erster Art Kurvenintegral zweiter Art Flächenintegrale (Oberflächenintegrale) Flächenintegral erster Art Flächenintegral zweiter Art Integralsätze GAUSSscher Integralsatz STOKESscher Integralsatz Differenzialgleichungen Allgemeines Differenzialgleichungen, Arten Gewöhnliche Differenzialgleichungen Differenzialgleichungen 1. Ordnung Differenzialgleichung mit trennbaren Variablen Gleichgradige Differenzialgleichung 1. Ordnung Lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung Homogene lineare Dgl. 1. Ordnung Inhomogene lineare Dgl. 1. Ordnung

14 Inhaltsverzeichnis Totale Differenzialgleichung Integrierender Faktor BERNOULLIsche Differenzialgleichung RICCATIsche Differenzialgleichung CLAIRAUTsche Differenzialgleichung Differenzialgleichungen 2. Ordnung Sonderfälle, Reduzierung der Ordnung Homogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Homogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung mit veränderlichen Koeffizienten Inhomogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Inhomogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung mit veränderlichen Koeffizienten BESSELsche Differenzialgleichung Anwendungsfall Schwingungen Differenzialgleichungen n-ter Ordnung Lineare Differenzialgleichungssysteme Näherungslösungen für Differenzialgleichungen 1. Ordnung Verfahren unbestimmter Koeffizienten Iterationsverfahren Anfangswertprobleme Allgemeines Explizite Einschrittverfahren Polygonzugverfahren von EULER-CAUCHY HEUN-Verfahren Klassisches Verfahren von RUNGE-KUTTA Einbettungsformeln Mehrschrittverfahren Explizitverfahren von ADAMS-BASHFORTH Prädiktor-Korrektor-Verfahren von ADAMS- MOULTON Extrapolationsverfahren von BULIRSCH-STOER- GRAGG Randwertprobleme Allgemeines Schießverfahren

15 20 Inhaltsverzeichnis Direkte Differenzenapproximation Partielle Differenzialgleichungen Allgemeines Partielle Differenzialgleichung 1. Ordnung Partielle Differenzialgleichung 2. Ordnung Reihen, Fourier- und Laplace-Transformation Unendliche Reihen Unendliche Zahlenreihen Summen einiger konvergenter Zahlenreihen Potenzreihen Allgemeines Entwicklung von Funktionen in Potenzreihen Numerische Berechnung von Reihen Zusammenstellung fertig entwickelter Reihen Näherungsformeln FOURIER-Reihen FOURIER-Reihe einer periodischen, nichtsinusförmigen Funktion Numerische harmonische Analyse Ausgewählte FOURIER-Reihen FOURIER-Transformation LAPLACE-Transformation Allgemeines Rechenregeln der LAPLACE-Transformation Anwendungen der LAPLACE-Transformation Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen Test linearer Übertragungsglieder Korrespondenzentabelle der LAPLACE-Transformationen Stochastik Beschreibende (deskriptive) Statistik Allgemeines Mittelwerte (Lagemaße) Streuungsmaße Fehlerfortpflanzung Lineare Korrelation, lineare Regression, Ausgleichsrechnung Methode der kleinsten Quadrate...683

16 Inhaltsverzeichnis Lineare Korrelation Ausgleich durch eine Parabel Ausgleichung mit Nebenbedingungen Wahrscheinlichkeitsrechnung Allgemeines Ereignisalgebra Definitionen der Wahrscheinlichkeit Regeln und Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung Simulation von Zufallsversuchen Zufallsvariable, Verteilungsfunktion Zufallsvariable Kennwerte von Verteilungsfunktionen Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilung Wahrscheinlichkeitsfunktion, Verteilungsfunktion Binomialverteilung Bnp (, ) Hypergeometrische Verteilung HN (, Mn, ) POISSON-Verteilung ( ) Stetige Zufallsvariable und ihre Verteilung Verteilungsfunktion, Dichtefunktion Stetige Gleichverteilung (Rechteckverteilung) Rab (, ) Normalverteilung (GAUSS-LAPLACE) N(, ) Standard-Normalverteilung N (,) Exponentialverteilung E( ) WEIBULL-Verteilung W(, r) Mathematische (induktive) Statistik Statistische Schätzmethoden Punktschätzung Intervallschätzung, Konfidenzschätzung Statistische Prüf- und Testverfahren, Prüfverteilungen Allgemeines Signifikanztest über die Wahrscheinlichkeit p einer alternativen Grundgesamtheit Signifikanztest für EX ( )bei bekanntem 2, z-test Signifikanztest für EX ( )bei unbekanntem 2, t-test Anpassungstest...730

17 22 Inhaltsverzeichnis Prüfverteilungen Integraltabellen Integrale rationaler Funktionen Integrale mit ax b Integrale mit ax b, cx d Integrale mit ax bx c Integrale mit a x Integrale mit a x Integrale mit a x, a x Integrale nichtrationaler Funktionen Integrale mit x n und ( a b x) m Integrale mit ( ax b) n Integrale mit ( ax b), m ( cx d) Integrale mit ( a x ) Integrale mit ( a x ) x a n Integrale mit ( ) Integrale mit ( ax bx c) n Integrale transzendenter Funktionen Integrale mit e ax (Exponentialfunktion) Integrale der Hyperbelfunktionen Integrale mit ln x (logarithmische Funktion) Integrale mit sin ax Integrale mit cos ax Integrale mit sin ax und cos ax bzw. cos bx Integrale mit tan ax bzw. cot ax Integrale der Arkusfunktionen Integrale der Areafunktionen Bestimmte und uneigentliche Integrale Anhang Sachwortverzeichnis