TASCHENBUCH MATHEMATISCHER FORMELN

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1 TASCHENBUCH MATHEMATISCHER FORMELN Von Dr.-Ing. HANS-JOCHEN BARTSCH 14., erweiterte Auflage Mit 401 Bildern A FACHBUCHVERLAG LEIPZIG

2 Inhaltsverzeichnis 1. Mathematische Zeichen und Symbole Mathematische Logik Auesagenlogik Allgemeines BooLEsche Grundfunktionen Rechengesetze, Rechenregeln Verknüpfungsmöglichkeiten von zwei Eingangsvariablen in lexikographischer Ordnung Normalformen KABNATTGH-Tafel Prädikatenlogik Allgemeines Axiome, Ableitungsregeln Arithmetik Mengen Grundbegriffe Mengenoperationen Beziehungen, Eigenschaften, Rechenregeln, Abbildung Zahlensysteme Zahlenbereiche Bereich der reellen Zahlen P Grundoperationen (Rechenoperationen 1. und 2. Stufe) Die vier Grundrechenarten Proportionen Prozentrechnung, Zinsrechnung Näherung Betrag, Signum 51 З Summen- und Produktzeichen Potenzen, Wurzeln Logarithmus Allgemeines 55

3 8 Inhaltsverzeichnis Logarithmengesetze Logarithmensysteme Binomischer Lehrsatz Bereich der komplexen Zahlen С Allgemeines Darstellungsformen komplexer Zahlen \3. Grundrechenarten mit komplexen Zahlen Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Natürliche Logarithmen von komplexen Zahlen Kombinatorik Permutationen Variationen Kombinationen Polgen Allgemeines Schranken, Grenzen, Grenzwert einer Folge Arithmetische und geometrische Folgen Zinseszins- und Rentenrechnung Algebra Gleichungen, Ungleichungen Allgemeines Lineare algebraische Gleichungen/Ungleichungen Gleichungen/Ungleichungen mit einer Variablen Gleichungen/Ungleichungen mit mehreren Variablen Systeme linearer Gleichungen mit mehreren Variablen Matrizen Allgemeines Matrizengesetze Austauschverfahren GATjssscher Algorithmus Determinanten Allgemeines Determinantengesetze CBAMERSche Regel, Lösung eines Gleichungssystems Algebraische Gleichungen (Ungleichungen) höheren Grades Quadratische Gleichung (Ungleichung) mit einer Variablen 116

4 Inhaltsverzeichnis Quadratische Gleichungen mit zwei Variablen Kubische Gleichung mit einer Variablen Symmetrische Gleichung 4. Grades Algebraische Gleichungen и-ten Grades Transzendente Gleichungen Wurzelgleichungen mit einer Variablen Exponentialgleichungen Logarithmische Gleichungen Goniometrische Gleichungen Näherungsverfahren zur Bestimmung der Wurzeln einer Gleichung Regula falsi (lineare Interpolation, Intervallschachtelung) Iterationsverfahren NEWTONsches Näherungsverfahren Graphische Lösung von Gleichungen Funktionen Allgemeines Operationen mit Funktionen Rationale Operationen Operatoren der numerischen Mathematik Grenzwert, Stetigkeit, Kurvendiskussion Grenzwert Unbestimmte Ausdrücke Stetigkeit einer Funktion Kurvendiskussion Verhalten im Unendlichen, Grenzwert des Funktionswertes für a;->-±co Nullstellen einer Funktion Unstetigkeiten Lokale Monotonie und Extrema von Funktionen Wendepunkt einer Kurve Verschiebung, Stauchung, Streckung, Spiegelung Rationale Funktionen Ganzrationale Funktionen Ganzrationale Funktion 1. Grades (lineare Funktion) Ganzrationale Funktion 2. Grades (quadratische Funktion).. 157

5 10 Inhaltsverzeichnis Ganzrationale Funktion 3. Grades (kubische Funktion) Zerlegung ganzrationaler Funktionen in Linearfaktoren Interpolationsformeln Potenzfunktionen Nichtrationale Funktionen Wurzelfunktion Exponentialfunktion Logarithmische Funktion Winkelfunktionen (trigonometrische, goniometrische Funktionen) Allgemeines Additionstheoreme (goniometrische Beziehungen) Verschiedene trigonometrische Funktionen, Überlagerung, Multiplikation trigonometrischer Funktionen Arcusfunktionen, zyklometrische Funktionen Hyperbelfunktionen Areafunktionen Algebraische Kurven и-ter Ordnung Zykloiden (Rollkurven) Spirallinien Kettenlinie Traktrix (Schleppkurve) Geometrie Winkel Ähnlichkeit Bewegungen und Kongruenz Dreieck Schiefwinkliges Dreieck Rechtwinkliges Dreieck (y = 90 ) Gleichseitiges Dreieck Vierecke Vielecke (n-ecke) Kreis Geometrische Körper (Stereometrie) Allgemeines 237

6 Inhaltsverzeichnis Ebenflächig begrenzte Körper Krummflächig begrenzte Körper Sphärische Trigonometrie, Geometrie der Kugeloberfläohe Allgemeines Rechtwinkliges sphärisches Dreieck (y = 90 ) Schiefwinkliges sphärisches Dreieck Grundaufgaben zur Berechnung sphärischer Dreiecke Mathematische Geographie Vektorrechnung, Analytische Geometrie Vektorraum V n Koordinaten Koordinatensysteme Koordinatentransformation Vektoralgebra Addition und Subtraktion von Vektoren Multiplikation von Vektoren Punkte, Strecken, Geraden, Ebenen, Dreieck, Tetraeder Punkte, Strecken Die Gerade Zwei Geraden Die Ebene Flächen, Körper Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte) Die Ellipse Der Kreis Die Parabel Die Hyperbel Die allgemeine Gleichung 2. Grades in x und у Flächen 2. Ordnung Das Ellipsoid Die Kugel Das Hyperboloid Der Kegel Der Zylinder Das Paraboloid (ohne Symmetriepunkt) Die allgemeine Gleichung 2. Grades in x, у, z Konforme Abbildung 338

7 12 Inhaltsverzeichnis 8. Differentialrechnung Differentiation von Funktionen mit zwei Variablen Allgemeines Ableitungen der elementaren Funktionen Differentiationsregeln Differentiation einer Vektorfunktion Graphische Differentiation Numerische Differentiation Logarithmische Differentiation Differentiation von Funktionen mit drei Variablen z-f(x,y) Mittelwertsätze Differentialgeometrie Ebene Kurven Raumkurven Krumme Flächen Vektoranalysis Felder Gradient eines skalaren Feldes Divergenz eines Vektorfeldes Rotation eines Vektorfeldes Integralrechnung Allgemeines Grundintegrale Integrationsregeln Einige besondere Integrale Integrale rationaler Funktionen Integrale irrationaler Funktionen Integrale trigonometrischer Funktionen Integrale der Hyperbelfunktionen Integrale der Exponentialfunktionen Integrale der logarithmischen Funktionen 412

8 Inhaltsverzeichnis Integrale der Arcusfunktionen Integrale der Areafunktionen Einige bestimmte und uneigentliche Integrale {m, n 6 N) Graphische Integration Numerische Integration (numerische Quadratur) Kurvenintegrale Flächenintegral Raumintegrale Anwendungen der Integralrechnung Differentialgleichungen Allgemeines Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung F(x, y,y') = Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen Gleichgradige Differentialgleichung 1. Ordnung Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung Totale (exakte) Differentialgleichung 1. Ordnung Integrierender Paktor (EuLEBscher Multiplikator) BEENOiTLLische Differentialgleichung CLAiRATJTsche Differentialgleichung RicCATische Differentialgleichung Gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung Auf Differentialgleichungen 1. Ordnung zurückfährbare Differentialgleichung 2. Ordnung Homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit veränderlichen Koeffizienten Inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit veränderlichen Koeffizienten BESSELsche Differentialgleichung Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen ra-ter Ordnung 464

9 14 Inhaltsverzeichnis Integration von Differentialgleichungen durch Potenzreihenansatz Numerische Lösung von Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Unendliche Remen,Fourier-Reihe,Fourier-Integral, Laplace-Transformation Unendliche Reihen Allgemeines Summen einiger unendlicher konvergenter Zahlenreihen Potenzreihen Beihendarstellung, numerische Berechnung von Beihen Zusammenstellung fertig entwickelter Beihen Näherungsformeln For/RiEB-Beihe, FouEiEE-Integral, LAPLACE-Transformation FouEiER-Beihe FotTKlER-Integral, FouRiER-Transformation LAPLACE-Transformation Feblerrechnung, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Statistik, Aasgleicherechnung Fehlerrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung Allgemeines Wahrscheinlichkeitsverteilungen Diskrete Verteilungsfunktionen Stetige Verteilungsfunktionen Mathematische Statistik Allgemeines Mittelwerte (Stichprobenfunktion) Streuungsmaße Ausgleichsrechnung Fehlerfortpflanzung für mittlere Fehler Lineare Regression, lineare Korrelation 540

10 Inhaltsverzeichnis Lineare Optimierung Allgemeines Graphisches Verfahren für zwei Variablen Kanonische Form der linearen Optimierung Simplexverfahren, Simplexalgorithmus Ausgewählte Verfahren der numerischen Mathematik Lösung linearer Gleichungssysteme GAUSSscher Algorithmus als Dreieckszerlegung (Faktorisierung) ÜHOLESKY-Verfahren für symmetrische, positiv definite Koeffizientenmatrix Gleichungssystem mit symmetrischer, tridiagonaler, positiv definiter Matrix GAtrss-SEiDELsches Iterationsverfahren Lösung nichtlinearer Gleichungen Lösung algebraischer Gleichungen Lösung von Systemen nichtlinearer Gleichungen Eigenwerte und Eigenvektoren von (n,n)-matrizen Allgemeines Iterationsverfahren nach v. MISES Transformation auf die ÜESSENBEEG-Form, QR-Verfahren Interpolation Differentiation mittels interpolierender kubischer Polynom-Splines Numerische Quadratur Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Allgemeines Einschrittverfahren Mehrschrittverfahren Extrapolationsverfahren von BULIBSCH-STOEK- GBAGG Randwertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen (RWP) 587 Sachwortverzeichnis 592