Propädeutikum Mathematik

Transkript

1 Fultät IV - Wirtshft ud Iforti Ateilug Wirtshftsiforti Ateilug Betrieswirtshft Propädeutiu Mtheti Soerseester 013 Prof. Dr. Jörg Steph Prof. Dr. Dieter Leit

2 Literturhiweise Büher zu Studieeistieg, die de Stoff des Propädeutius ehdel, git es viele. Meistes he sie ei Wort wie Studieeistieg, Studieegi, Vorurs, et. i Titel. I der FH-Biliothe fide sie z.b.: Piehler, Sippel, Pfeiffer: Mtheti zu Studieeistieg, Spriger, 1995 Shäfer, W. et. Al.: Mthetivorurs, Teuer, Wiesde, 00 Keitz, A.: Mtheti zu Studieegi, Vieweg, Wiesde, 001 Crer, E., Neslehov, J.: Vorurs Mtheti, Spriger, 004 Hilfe fidet uh i Iteret, z.b. uter Hier git es uh Lis zu weitere Iteretseite. I der FH-Biliothe ls eoo vorhde: v de Crts, J. / Bosh, R.: Grudwisse Mtheti, Spriger, 009 Hier werde die Mthe-Grudlge i eizigrtiger ud spßiger Weise drgeote: Prtoll, Heiz u..: Mthe hito, Perso, 003 Ei großer Teil der Üugsufge ist de Buh vo Krl Bosh: Brüeurs Mtheti, Oldeourg Verlg Mühe etoe. Dieses Buh det uh ihltlih weitgehed (er iht vollstädig!) de i Propädeutiu ehdelte Stoff.

3 Ihlt 1. Mege. Zhlereihe 3. Reheregel für reelle Zhle 4. Bruhrehe 5. Sue ud Produte 6. Bioishe Forel 7. Poteze ud Wurzel 8. Logrithe 9. Gleihuge it eier Uete 10. Prozetrehug, Dreistz 11. Ugleihuge it eier Uete 1. Gleihugssystee 13. Grudlge der eee Geoetrie 14. Trigooetrishe Futioe

4 1. Mege Eie Mege ist eie Zusefssug vo estite utersheidre Ojete zu eie Gze. Ei Ojet gehört etweder zu eier Mege oder iht. Die Ojete eier Mege heiße Eleete dieser Mege. Flls x Eleet der Mege A ist shreit : x A Flls x iht Eleet vo A ist shreit : x A Zur Drstellug eier Mege A git es folgede Mögliheite: 1. Beshreiug der Eleete vo A durh Age der hrterisierede Eigeshfte. Aufzählug der Eleete vo A 3. Zeihe eies Megedigrs vo A Grudege: Mege ller zulässige Ojete (Uiversu) leere Mege: Mege, die ei Eleet ethält Shreiweise für die leere Mege: oder {} Zwei Mege A ud B sid gleih, i Zeihe A = B, we sie die gleihe Eleete esitze. Eie Mege A heißt Teilege der Mege B, we jedes Eleet vo A uh Eleet vo B ist. Shreiweise: A B Megeopertore: Shittege, Vereiigugsege A B = { x x A ud x B } A B = { x x A oder x B } Hierei wird oder i ihtusshließede Si verwedet, d.h. zu A B gehöre uh diejeige Eleete, die sowohl Eleet vo A ls uh Eleet vo B sid.

5 . Zhlereihe Die Mege der türlihe Zhle IN = { 1,, 3, 4,... } Die Mege der gze Zhle Z = {..., -3, -, -1, 0, 1,, 3,...} Die Mege der rtiole Zhle (Brühe) Q = { y x x, y Z ud y 0} Zu jede Put uf der Zhlegerde (Zhlestrhl) gehört eideutig eie reelle Zhl. IR ezeihet die Mege der reelle Zhle. Für die Zhlereihe gilt: IN Z Q IR 3. Reheregel für reelle Zhle Für die Additio + ud die Multiplitio * vo reelle Zhle,, gelte die Regel: + = + ; = ; Kouttivgesetze ( + ) + = + ( + ); () = (); Assozitivgesetze + 0 = 0 + = ; 0 ist eutrles Eleet der Additio 1 = 1 = ; 1 ist eutrles El. der Multiplitio + (-) = - = 0; - ist iverses Eleet der Additio *(1/) = 1, flls 0; 1/ ist iverses El. der Multiplitio ( + ) = + ; (+) = + ; Distriutivgesetze *0 = 0* = 0 * = 0 gilt geu d, we = 0 oder = 0. Tere sid sivolle Ausdrüe estehed us Kostte (Zhle), Vrile, Reheopertioe ud Kler. Die Reihefolge der Auswertug (Berehug) eies Ters wird durh Klersetzug zw. Vorrgregel vershiedeer Reheopertore estit, z.b. Putrehug geht vor Strihrehug

6 4. Bruhrehe Erweiter ud Kürze vo Zähler ud Neer eies Bruhes it der gleihe Zhl 0 ädert de Wert des Bruhes iht: : : Zwei Brühe / ud /d sid gleih, we d = gilt. U zwei Brühe zu ddiere, üsse die Neer der Brühe gleih sei: U zwei Brühe zu ultipliziere, rehet Zähler l Zähler ud Neer l Neer : d d Dividiere durh eie Bruh edeutet ultipliziere it de Kehrwert des Bruhes: d d d : 5. Sue, Produte, Bioiloeffiziete Flls viele Sude ddiert werde, verwedet oft folgede Shreiweise it de griehishe Buhste Sig ls sogete Suezeihe: Alog verwedet für ds Produt ehrerer Ftore ds Produtzeihe: Für eie türlihe Zhl wird! (sprih: Fultät) defiiert ls ds Produt der erste türlihe Zhle:! = (-1) Zusätzlih wird defiiert 0! = 1. Für zwei türlihe Zhle ud it wird der Bioiloeffiziet (sprih: üer ) defiiert ls: )!!(!

7 6. Bioishe Forel ( + ) = + + ( ) = + ( + )( ) = Allgeeier Bioisher Lehrstz für reelle Zhle ud ud türlihe Zhl : ( ) 0 7. Poteze ud Wurzel Für IN ud IR ist die -te Potez der Zhl, d.h. ds -fhe Produt der Zhl it sih selst, lso =.... heißt Bsis ud Expoet. Es gelte die Potezgesetze: = + ( ) = = ( ) Für 0 defiiert 0 = 1 ud - = 1. Dit gelte die Potezgesetze uh für elieige gzzhlige Expoete ud ußerde gilt, die -te Wurzel us ist diejeige positive reelle Zhl, dere -te Potez gleih ist. Weitere Defiitioe: 1,, 1 1

8 8. Logrithe Für, IR it 1 ud > 0 heißt die Lösug der Gleihug x = der Logrithus vo zur Bsis, geshriee: x = log log ist diejeige Zhl, it der poteziere uss, u zu erhlte. Reheregel: Uforugsregel: log (x y) = log x + log y log (x/y) = log x - log y log (x ) = log x log 1 = 0 log = 1 log log x log x 9. Gleihuge it eier Uete Für eie liere Gleihug der For x = gilt 1. Fll: flls 0, ist x = / die eizige Lösug. Fll: flls = 0 ud 0, git es eie Lösug 3. Fll: flls = 0 ud = 0, ist jedes x IR Lösug. Eie qudrtishe Gleihug der For x + px + q = 0 ht, flls p - 4q 0 ist, die Lösuge x p p 4 1 q x p p 4 q Flls p - 4q = 0, git es die eideutige Lösug p x. Flls p - 4q < 0, ht die qudrtishe Gleihug eie Lösug i der Grudege der reelle Zhle. Ftorisierug vo qudrtishe Tere x + px + q: Sid x 1 ud x die Lösuge der qudrtishe Gleihug x + px + q = 0, so gilt x + px + q = (x x 1 )(x x )

9 10. Dreistz ud Prozetrehug Eifher Dreistz: Zwei Größe A ud B stehe i ostte Verhältis zueider (sid proportiol, je ehr vo A, uso ehr vo B ). Ht Eiheite vo A ud Eiheite vo B gegee ud suht die Azhl x Eiheite vo A, die i desele Verhältis zu d Eiheite vo B stehe, so gilt: x d Ugeehrter Dreistz: Zwei Größe A ud B stehe i ugeehrt proportiole Verhältis zueider ( je ehr vo A, uso weiger vo B ). Ht Eiheite vo A ud Eiheite vo B gegee ud suht die Azhl x Eiheite vo A, die zu d Eiheite vo B gehöre, so gilt: x d Prozet edeutet vo Hudert, d.h. p % sid p Hudertstel lso p/100. Ht eie prozetule Ateil p gegee ud suht die zugehörige solute Zhl, so ultipliziert die solute Größe der Grudgestheit (de Grudwert) it p/100 (etspriht de eifhe Dreistz). Zissätze werde üliherweise i Prozet gegee. Bei der sogete Verzisug it Ziseszis lutet der fudetle Zusehg zwishe Afgspitl K 0, jährlihe Zisstz i, Algezeitru i Jhre ud Edpitl K : i K K 0 (1 ) Ugleihuge it eier Uete Für zwei elieige reelle Zhle ud gilt geu eie der drei Beziehuge < ist leier ls, flls uf de Zhlestrhl lis vo liegt = ist gleih, flls ud desele Put uf de Zhlestrhl drstelle > ist größer ls, flls uf de Zhlestrhl rehts vo liegt. Liere Ugleihuge löst log liere Gleihuge durh Äquivlezuforuge, woei zu ehte ist, ds ei Multiplitio zw. Divisio der Ugleihug it eier egtive Zhl ds Ugleihheitszeihe ugeehrt wird. Zur Lösug qudrtisher Ugleihuge folgederße vorgehe: 1. Shritt: Ugleihug i Norlfor x + px + q > 0 (zw. < 0) rige. Shritt: Ftorisierug i (x x 1 )(x x ) > 0 (zw. < 0) (siehe Kpitel 9) 3. Shritt: Erittlug der Lösugsege durh Fllutersheidug I 3. Shritt verwedet : Ei Produt ist geu d > 0, we eide Ftore > 0 sid oder we eide Ftore < 0 sid, zw. ei Produt ist geu d < 0, we ei Ftor > 0 ist ud ei Ftor < 0 ist.

10 1. Gleihugssystee Liere Gleihugssystee it zwei Uete it der Eisetzugsethode (Sustitutiosethode) oder it der Additiosethode löse. Die Eisetzugsethode lässt sih folgederße sizziere: 1. Auflöse eier der eide Gleihuge h eier Vrile.. Eisetze des für diese Vrile erhltee Ausdrus i die dere Gleihug. 3. Auflösug dieser Gleihug h der (verlieee) Vrile. 4. Eisetze dieser Vrile i 1. Flls i 3. ei Widerspruh etsteht, ht ds Syste eie Lösug. Flls i 3. eie Idetität etsteht ht ds Syste uedlih viele Lösuge, die durh die Gleihug i 1. Beshriee werde öe. Bei ihtliere Gleihugssystee it zwei Uete i viele Fälle eeflls die Sustitutiosethode erfolgreih wede. 13. Grudlge der eee Geoetrie Jeder Put P i der Eee lässt sih durh ei Pr (x P y P ) reeller Zhle eshreie, woei x P die x-koordite vo P ist ud y P die y-koordite vo P. Die Putege eier Gerde g i der Eee lässt sih durh eie liere Gleihug y = x + eshreie, g = { (x y) xir, yir, y = x + }. Hierei ist die Steigug vo g ud der Shittput vo g it der y-ahse des Koorditesystes. Zwei Gerde g ud h it de Steiguge 1 zw. sid prllel, flls 1 =. Die Gerde stehe sereht zueider, flls 1 = -1. Die Shittpute der Gerde estit durh Löse des liere Gleihugssystes (der Gerdegleihuge). Drei Pute A, B ud C, die iht uf eier geeise Gerde liege, ilde ei Dreie. Die de Pute gegeüerliegede Seite (ud ihre Läge) werde it, ud ezeihet, die Wiel it,,. Für die Sue der Wiel i Dreie gilt + + = 180 o. Für die Seiteläge gelte die Dreiesugleihuge < + ; < + ; < +. Ist h die zur Seite gehörige Höhe des Dreies, so gilt für de Fläheihlt F des Dreies: F = ½ h. (Etsprehede Forel gelte für die Seite ud ).

11 Sid ud die Kthete eies rehtwilige Dreies it Hypotheuse (lso = 90 o ), so gilt der Stz des Pythgors: + =. Ei Viere it vier rehte Wiel heißt Rehte. Gegeüerliegede Seite sid gleihlg ud prllel. Sid ud die Seiteläge des Rehtes, so erehet sih sei Fläheihlt F h der Forel F =. Für de Ufg U gilt U = +. Ei Rehte it vier gleihe Seiteläge heißt Qudrt. Die Mege ller Pute der Eee, die zu eie Put M de gleihe Astd r he, ilde eie Kreis. Der Put M ist d der Mittelput des Kreises, der Astd r ist der Rdius des Kreises. Der doppelte Rdius d heißt Durhesser des Kreises. Für de Fläheihlt F ud de Ufg U eies Kreises it Rdius r gelte folgede Forel: F = r U = r 14. Trigooetrishe Futioe I rehtwilige Dreiee it = 90 o gilt (siehe Kpitel 13): si Gegethete Hypotheuse os Athete Hypotheuse t Gegethete Athete Wielessuge lsse sih i Kreis i Grd (eie volle Udrehug etspriht 360 o ) oder i Bogeß (eie volle Udrehug etspriht de Kreisufg r) durhführe. Ei Wiel etspriht der Kreisogeläge α πr 360

12 Der Eiheitsreis ht Rdius r = 1 ud Mittelput i Nullput des Koorditesystes. Ei Kreisoge der Läge t defiiert eie Put uf de Eiheitsreis, desse Koordite it os t ud si t defiiert werde. Dies erweitert die Defiitio der trigooetrishe Futioe sius ud osius i rehtwilige Dreie uf elieige reelle Zhle t. Geäß Defiitio sid diese Futioe periodish it Periode, d.h. es gilt: si(x + ) = si x ud os(x + ) = os x für lle reelle Zhle x. Aus de Stz des Pythgors ergit sih diret die Gleihug si x + os x = 1 für lle reelle Zhle x. Weitere ützlihe Beziehuge zwishe de trigooetrishe Futioe sid si x t x ud os x si( x ). os x