Zur Formulierung mathematischer Aufgaben eine kritische Betrachtung unterschiedlicher Schreibweisen

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1 Bernhard Salzger Zur Formulierung mathematischer Aufgaben eine kritische Betrachtung unterschiedlicher Schreibweisen Beitrag zum Projekt Empirische Studien zur Vereinheitlichung der Schreibkonventionen im Rahmen der Vorbereitung einer standardisierten schriftlichen Reifeprüfung in Mathematik Grundsätzlich ist festzustellen, dass sich im Mathematikunterricht in den letzten Jahrzehnten Formulierungen und Schreibweisen eingebürgert haben, die sich sowohl an Lehrbuchtraditionen und Normen als auch an individuellen Vorlieben von Lehrerinnen und Lehrern orientieren. Dabei finden sich im überwiegenden Maß korrekte einheitliche Notationen, weiters mehrere unterschiedliche Schreibkonventionen, die mehr oder weniger ihre Berechtigung haben, aber eben auch einige unpassende, ungenaue und falsche Schreibweisen. Eine standardisierte Reifeprüfung sollte zweifellos einer korrekten Notation Rechnung tragen bzw. einer Schreibweise, die den Kandidatinnen und Kandidaten keine Schwierigkeiten bei der Bearbeitung der Aufgaben machen darf. Und deshalb muss gerade bei der Reifeprüfung besonderes Augenmerk auf präzise Formulierungen gelegt werden, die keine Mehrdeutigkeiten oder Ungenauigkeiten zulassen. 1. Die Aufgabenstellung Entscheidendes Kriterium einer Aufgabenstellung ist die Aufforderung an die Kandidatinnen und Kandidaten, eine Aufgabe aus einer bestimmten Perspektive zu bearbeiten. So finden sich nach diversen Angaben Formulierungen wie: Berechnen Sie...!, Ermitteln Sie...!, Bestimmen Sie...!, Stellen Sie... auf!, Geben Sie... an!, Formen Sie... um! Überprüfen Sie...!, Beweisen Sie...!, Zeigen Sie...!, Deuten Sie...!, Interpretieren Sie...! usw. Hier sind die meisten Aufforderungen bekannt, jedoch bergen sie auch Unschärfen, die im Unterricht vielleicht gar nicht zur Sprache kommen können, da der Umgang mit diesen Formulierungen zumeist als Selbstverständlichkeit angesehen wird. Berechnen Sie...! sollte dann eingesetzt werden, wenn tatsächlich eine Rechnung durchzuführen ist, deren Ergebnis gefragt ist. Hierbei wird es in den meisten Fällen so sein, dass auch eine Zahl als Resultat zu erwarten ist. Unterschieden werden sollte eine Berechnung von einer Umformung: Die Anweisung Formen Sie... um! ist vor allem dann sinnvoll, wenn eine Gleichung mit mehreren Variablen nach bestimmten Kriterien abgeändert werden soll. Wenn beispielsweise eine Variable in einer Formel durch die übrigen Variablen der Formel auszudrücken ist, sollte nicht gefragt werden: Wie groß ist diese Variable?, sondern etwa: Drücken Sie diese Variable durch die übrigen Variablen der Formel aus! Die Aufforderung Ermitteln Sie...! kann eine Berechnung beinhalten, muss es aber nicht. Genauso gut kann anhand eines Graphen einer linearen Funktion die Steigung ermittelt werden. Die erste Ableitung einer Funktion kann prinzipiell nicht berechnet, aber eben ermittelt werden. Bestimmen Sie...! ist im Allgemeinen nur dann sinnvoll, wenn Wahlfreiheit herrscht. So kann man beispielsweise bei der Ungleichung 5x < 20 ein x bestimmen (es sind ja je nach Definitionsmenge mehrere x möglich), für die diese Ungleichung eine wahre Aussage ist. Die Lösung einer Gleichung zu bestimmen ist keine angemessene Formulierung. Stellen Sie... auf! kann dann verwendet werden, wenn aus einer Angabe mit entsprechendem Kontextwissen ein neuer Sinnzusammenhang entstehen soll, wie zb aus den Punkten A = (3 4) und B = (8 10) eine Normalvektordarstellung einer Geraden, welche die Punkte A und B beinhalten soll. Die Formulierung

2 Geben Sie... an! ist in den meisten Fällen auch hier anwendbar, sogar noch etwas allgemeiner, zb beim Entnehmen von Informationen aus Tabellen und Graphen. Ist bereits eine Aussage in der Angabe vorhanden, finden Aufforderungen wie Überprüfen Sie...! Verwendung. Diese Formulierung ist in erster Linie prozessorientiert. In ähnlicher Weise sind die Anweisungen Beweisen Sie...! und Zeigen Sie...! zu verstehen; hierbei sind jedoch vornehmlich allgemeine Zusammenhänge nachzuweisen. Die Unterschiede bei Interpretieren Sie...! und Deuten Sie...! sind fließend. Deuten kann man jedoch vor allem ein Ergebnis als etwas, so zb die Steigung einer Sekantenfunktion als mittlere Geschwindigkeit; interpretieren kann man Ergebnisse im Sinnzusammenhang der jeweiligen Aufgabe. 2. Kategorisierung von Schreibweisen Schreibweisen im Unterricht und in Lehrbüchern mögen unterschiedlich sein, letzten Endes zählen aber Norm, Korrektheit und Adäquatheit. Alles zusammen sollte bei den Aufgaben der neuen Reifeprüfung berücksichtigt werden Korrekte und inkorrekte Schreibweisen und Vorstellungen Funktionen Bereits in der achten Schulstufe werden Schülerinnen und Schüler mit dem Begriff der Funktion konfrontiert. Dabei soll das grundlegende Verständnis für diesen Terminus erworben werden. Hier ist vor allem zwischen dem Namen der Funktion, zb f, und dem Funktionswert, zb f(x), zu unterscheiden. Dass f(x) keine Funktion, sondern der Funktionswert an der Stelle x und somit eine (allenfalls unbestimmte) Zahl ist, sollte bei Aufgabenformulierungen beachtet werden. Somit sind auch solche Aussagen wie f < 0 abwegig, während hingegen f(x) < 0 korrekt ist. Funktionen sollten zweckmäßigerweise immer in einer Termdarstellung, zb f(x) = 3x 2, angegeben werden. Diese sind für die Kandidatinnen und Kandidaten die am weitesten verbreitete und auch angemessenste Form der Funktionsdarstellung. Hierbei erleichtert man beispielsweise die Möglichkeit, den Funktionswert an einer bestimmten Stelle anzugeben, zb: f(3) = 7. Dies ist nicht möglich, wenn man die Funktion durch die Gleichung y = 3x 2 angibt. Die Angabe von Funktionen durch solche Gleichungen sollte also nach Möglichkeit vermieden werden. Wenn man die Definitions- und Zielmenge der Funktion angeben will, ist die Schreibweise f: R R x 3x 2 korrekt, es muss jedoch auf die unterschiedlichen Pfeile in der Darstellung geachtet werden: f: R R x 3x 2 ist nämlich inkorrekt. Ist bei einer Funktion f eine Termdarstellung zb der Form f(x) = 3 x² vorgegeben und ist der Graph dieser Funktion in ein Koordinatensystem zu zeichnen, so ist darauf zu achten, dass die 1. Achse mit x und die 2. Achse mit f(x) bezeichnet wird. Oft findet man bei grafischen Darstellungen von Funktionen bei der 2. Achse ein y vor, das in diesem Fall völlig deplatziert ist. Besonders grotesk wäre es, bei Funktionen, die zb eine Termdarstellung v(t) = 3 t² aufweisen, die Achsen mit x und y zu beschriften. Diese Inkorrektheit sollte unbedingt vermieden werden. Deshalb empfiehlt es sich auch nicht, die beiden Achsen stets mit x-achse und y-achse zu bezeichnen, sondern je nach Aufgabe beispielsweise mit t-achse und v-achse oder neutral mit 1. Achse und 2. Achse Lösungen von Gleichungen Die Lösungen einer quadratischen Gleichung können auf verschiedene Arten angegeben werden. Am einwandfreisten ist die Form x = 3 = x = 4, weil damit die Äquivalenz x² 3x + 2 = 0 É x = 3 = x = 4 angeschrieben werden kann. Die Angabe der Lösungen in der Form x 1 = 3, x 2 = 4 ist weniger gut und in der Form x 1 = 3 = x 2 = 4 sogar sinnlos, weil die Äquivalenz x² 3x + 2 = 0 É x 1 = 3 = x 2 = 4 keinen Sinn ergibt. Hier werden ja links und rechts unterschiedliche Variablen verwendet. Dies sollte bei etwaigen Aufgabenstellungen, die Lösungen angeben, berücksichtigt werden.

3 Vektoren Eine weit verbreitete Vorstellung ist jene, dass Vektoren (Zahlenpaare, Zahlentripel), die als Punkte gedeutet werden, in Zeilenform zu schreiben sind, Vektoren, die als Pfeile gedeutet werden, in Spaltenform. Dem ist natürlich nicht so, denn ein Zahlenpaar bzw. ein Zahlentripel kann in jeder Deutung in beiden Darstellungsformen geschrieben werden. In der Vektorrechnung in R² ist es gleichgültig, ob ein Zahlenpaar in Zeilen- oder Spaltenform geschrieben wird. Diese Unterscheidung wird erst notwendig, wenn man die Zahlenpaare als Matrizen auffasst, denn eine 1 x 2-Matrix ist nicht dasselbe wie eine 2 x 1-Matrix; aber die Matrizenrechnung steht ja nicht im Lehrplan. Die genannte Unterscheidung ist also irrelevant und somit für Aufgabenstellungen hinsichtlich der neuen Matura überflüssig Mengenbezeichnungen Zahlenmengen werden in eigener Schrift angegeben, zb: N, Q oder R. Dies sollte auch bei zentralen Aufgabenstellungen beibehalten werden, da eine Menge R nicht notwendigerweise die Menge der reellen Zahlen sein muss. Ebenso ist es nicht zielführend, Definitionsmenge oder Wertemenge mit D oder W zu bezeichnen, da diese je nach Aufgabe unterschiedlich sind, während mit der Menge der ganzen Zahlen Z oder der Menge der komplexen Zahlen C immer dieselbe allgemein normativ vorgegebene Zahlenmenge gemeint ist Adäquate und inadäquate Schreibweisen Vektoren als Punkte Werden Vektoren als Punkte gedeutet, ändert das nichts daran, dass es sich um Zahlenpaare oder Zahlentripel handelt. Da ein Vektor in R n mit A = (a 1 a 2 a 3... a n ) definiert ist, wobei a 1, a 2,..., a n * R, ist ein Vektor in R² mit A = (a 1 a 2 ) definiert, wobei a 1, a 2 * R. Somit ist nicht einzusehen, warum das Gleichheitszeichen zwischen A und (a 1 a 2 ) weggelassen werden soll. Dies hat sich zwar teilweise eingebürgert, ist aber nicht im Einklang mit der Definition von Vektoren und daher inadäquat bei Aufgaben für die neue Reifeprüfung Differentialrechnung Stellt man eine Funktion f in der Form f: y = x² dar, so ergeben sich spätestens in der Differentialrechnung massive Schwierigkeiten, wenn Ableitungen zu ermitteln sind und dabei mit lokalen Extremstellen und Wendestellen hantiert werden muss. Allein schon die problematische Darstellung f : y = 2x ist manchmal als y = 2x zu lesen. Will man nun die Steigung der Funktion f an der Stelle 5 anschreiben, steht man vor dem Dilemma, keine angemessene Möglichkeit in dieser Schreibweise vorzufinden. Wird nun als Ausweg y (5) = 10 gewählt, so verstößt man hiermit allein schon gegen die Vorschrift, dass es sich um die Funktion f und nicht um die Funktion y handelt. Weiters müsste y als Zahl aufgefasst werden, was in der Form y und in der Darstellung y (5) zu weiteren Konflikten führt. In dieser Form kann nur von einer inadäquaten Schreibweise gesprochen werden Logarithmus Die Bezeichnung a log b als Logarithmus von b zur Basis a mit a, b * R + und a 1 ist mehr oder weniger gebräuchlich, ebenso die Bezeichnung ln x als natürlicher Logarithmus (logarithmus naturalis) von x * R +. Hingegen kann die Schreibweise lg x zu Irritationen führen, da die Darstellungsart als logarithmus generalis für den Logarithmus zur Basis 10 nicht so sehr gebräuchlich ist und zu Fehlern führen kann. Hier ist die Bezeichnung 10 log x zu bevorzugen, da hier keinerlei Missverständnisse auftreten können Zulässige Schreibweisen Für die leere Menge gibt es sowohl die Schreibweise { } als auch die Form. Hier gibt es weder Vor- noch Nachteile für die eine oder andere Darstellung, beide sollten den Kandidatinnen und Kandidaten aber bekannt sein; damit müssten Schwierigkeiten zu vermeiden sein.

4 3. Bezeichnungen Bereits in der Unterstufe beginnt das Erlernen exakter Begriffsbezeichnungen, welches ein Fundament für weitere Bezeichnungen in der Oberstufe darstellen soll. Und schon in der fünften Schulstufe werden häufig vermeintlich vereinfachte Benennungen verwendet, die sich jedoch früher oder später als unexakt und sogar irreführend herausstellen Problematische Bezeichnungen Inhalt, Länge und Maß Die Oberfläche eines Körpers kann betrachtet, angemalt oder ertastet werden; berechnet werden kann hingegen die Oberfläche nicht, nur der Oberflächeninhalt bzw. der Inhalt der Oberfläche. Ein ähnliches Problem findet sich in der sechsten und siebenten Schulstufe bei rechtwinkeligen Dreiecken, bei denen mit Recht von Katheten und der Hypotenuse die Rede ist, wenn die Komponenten eines solchen Dreiecks zu benennen sind; aber auch hier kann eine Kathete nicht berechnet werden, nur die Kathetenlänge bzw. die Länge einer Kathete. Dies zieht sich weiter in die neunte Schulstufe zu den Begriffen Gegenkathete und Ankathete, wo dasselbe Problem in verschärfter Weise bei der Erlernung der Bedeutung von Sinus, Cosinus und Tangens auftritt (siehe ). Auch hier sind Gegenkathetenlänge, Ankathetenlänge und Hypotenusenlänge die angemessenen Bezeichnungen. Wollte man sehr genau sein, müsste man auch zwischen Winkel und Winkelmaß bzw. Winkelgröße unterscheiden. Da dies aber selten zu Missverständnissen führt, kann dies als weniger problematisch bezeichnet werden. Ebenso können im Zusammenhang mit geometrischen Abbildungen Formulierungen wie der Winkel α toleriert werden, obwohl α genau genommen das Maß dieses Winkels bedeutet. Vermieden werden sollten aber Aufforderungen wie: Geben Sie den Winkel... an!, da hier eine Antwort wie etwa CAB richtig wäre, obwohl vermutlich das Maß des Winkels CAB gefragt ist Potenzfunktion In der Grundkompetenzenliste (BIFIE Wien, September 2011, Seite 9) sind im Inhaltsbereich Funktionale Abhängigkeiten Potenzfunktionen genannt, die folgendermaßen typisiert werden: f(x) = a x z + b, z * Z, oder mit f(x) = a x 1/2 + b. Die Bezeichnung Potenzfunktion ist hier jedoch mathematisch nicht korrekt, da eine Potenzfunktion durch die Termdarstellung f(x) = a x z, z * Z definiert ist, die additive Konstante b macht daraus eine Polynomfunktion und keine Potenzfunktion mehr. Hier sollte die Benennung in der Grundkompetenzliste und bei Aufgaben für die schriftliche Reifeprüfung überdacht werden Winkelfunktion Bereits in der neunten Schulstufe bei der Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke ist hie und da von der Einführung von Winkelfunktionen die Rede, während doch zunächst Sinus, Cosinus und Tangens nur als Verhältniszahlen kennengelernt werden. So ist der Sinus eines Winkels das Verhältnis von Gegenkathetenlänge zur Hypotenusenlänge und dies vorerst beschränkt auf das Intervall ]0 ; 90 [. Und selbst bei der Erweiterung auf [0 ; 360 [ im Zusammenhang mit Polarkoordinaten und Einheitskreis ist die funktionale Vorstellung auch noch nicht notwendig. In der gesamten Trigonometrie der neunten Schulstufe werden Sinus, Cosinus und Tangens nicht als Funktionen gebraucht. Die Einführung der Funktionen sin: R R, cos: R R und tan: A R (mit entsprechend eingeschränkter Definitionsmenge A) hat ihren Platz erst im Rahmen der Funktionenlehre der zehnten Schulstufe, wobei noch dazu im Gegensatz zur Trigonometrie die Argumente im Bogenmaß angegeben werden. Die Bezeichnung Winkelfunktion sollte also bei trigonometrischen Aufgaben nicht verwendet werden Intervalle Die Bezeichnung symmetrisches Intervall ist immer wieder bei Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu lesen. Intuitiv ist zwar durchaus klar, was damit gemeint ist, die Formulierung ist jedoch fragwürdig, da ein Intervall an sich nicht symmetrisch sein kann. Hier wäre es angemessen, von einem Intervall, das symmetrisch

5 um einen bestimmten Wert liegt zu sprechen. Damit sind Missverständnisse weitestgehend ausgeschlossen Mehrere mögliche Bezeichnungen Bei einigen Bezeichnungen gibt es keine allzu gewichtigen Vor- oder Nachteile. Beispiele hierfür wären die Terrassenstelle, die auch als Sattelstelle geläufig ist (bzw. Terrassenpunkt Sattelpunkt), bei der Krümmung sind neben der Links- und Rechtskrümmung auch die Benennungen positive und negative Krümmung vertraut, Ähnliches gilt für die Bezeichnung Vektorprodukt als Kreuzprodukt und schließlich wird etwa reziprok häufig mit indirekt proportional gleichgesetzt. Hierfür gäbe es noch weitere Beispiele. Während in diesem Zusammenhang die individuelle Vorliebe wahrscheinlich im Vordergrund steht, kann für den Fall der Krümmung in zweierlei Hinsicht für die Bezeichnung Links- und Rechtskrümmung argumentiert werden. Erstens ist die damit verbundene Vorstellung für die Lernenden mit Lenkbewegungen intuitiv nachvollziehbar und zweitens findet sich genau diese Bezeichnung in der Grundkompetenzenliste (BIFIE Wien, September 2011, Seite 13). 4. Abschließende Bemerkung Es mag sein, dass sich die Schreibweise in einer bei der Matura gestellten Aufgabe von einer erlernten unterscheidet, es mag auch sein, dass manche Formulierungen bei der Matura vielleicht etwas anders sind, als man sie aus dem Unterricht gewohnt ist, der wesentliche Aspekt ist m. E. der, dass die Kandidatinnen und Kandidaten bei der schriftlichen Reifeprüfung mit korrekten, angemessen und unmissverständlich formulierten Aufgaben konfrontiert werden. Gibt es mehrere geläufige Formulierungen (siehe 3.2.), so sollte es kein Problem sein, verschiedene Formulierungen in der Aufgabenstellung anzuführen. Die Lehrbücher, welche für die neue standardisierte schriftliche Reifeprüfung bearbeitet worden sind, können jetzt nicht mehr geändert werden. Eine Überprüfung der Akzeptanz von Schreibweisen bei Schülerinnen und Schülern ist in meinen Augen etwas prekär, da es eigentlich nicht sein kann, dass sich vielleicht eine Mehrheit für eine zwar gewohnte, aber inkorrekte Schreibweise entscheidet und diese dann Verwendung bei den Maturaaufgaben findet. Was nun zählt, sind aus meiner Sicht ausschließlich sachliche Argumente für die eine oder andere Schreibweise. Dezember 2012 Dr. Bernhard Salzger AHS-Lehrer für Mathematik und Deutsch am Don Bosco-Gymnasium Unterwaltersdorf Don Bosco-Straße Ebreichsdorf-Unterwaltersdorf Mitautor des Lehrwerks Mathematik verstehen Vortragender im Auftrag des Landesschulrats für Niederösterreich an der PH NÖ in Baden zum Schwerpunkt Neue Reifeprüfung in Mathematik